Notice sur les travaux scienti ques de Bertrand Deroin

Notice sur les travaux scientiques
de
Bertrand Deroin
2015
1
Panorama
Les EDO 1 algébriques dans le domaine complexe apparaissent dans de nombreuses
branches des mathématiques. Leur double nature, géométrique et dynamique, les rend
particulièrement intéressantes. Je me suis spécialisé dans leur étude parce que, d'une
part, il s'agit d'un sujet encore largement ouvert, et d'autre part parce que les techniques mises en oeuvre pour les comprendre sont très variées, alliant théorie ergodique,
dynamique aléatoire, théorie des feuilletages, théorie de Nevanlinna, géométrie complexe et hermitienne, structures géométriques, théorie des représentations, théorie de
Lie, certaines EDP les équations d'auto-dualité par exemple etc..
Les EDO algébriques permettent de capturer certains aspects de la géométrie des
variétés algébriques, notamment en ce qui concerne les problèmes d'uniformisation qui
ne peuvent être abordés par nature que par des méthodes transcendantes. Un exemple
emblématique et très classique est l'uniformisation des triangles à l'aide des solutions
de l'équation hypergéométrique de Gauss
z(1 − z)
dw
d2 w
+ (c − (a + b + 1)z)
− abw = 0.
2
dz
dz
(1)
Plus généralement, les équations linéaires permettent de dénir des structures géométriques sur les variétés algébriques complexes, et peuvent mener à l'uniformisation
de ces dernières par des espaces géométriques modèles. Dans le cas de la dimension
un, cette méthode est très satisfaisante, car elle permet de munir toutes les courbes
algébriques de structures projectives complexes, et même de les uniformiser par l'un
des modèles P1 , C ou H en spéciant convenablement les paramètres. Les structures
projectives complexes sur les courbes jouent également un rôle crucial dans d'autres
problèmes d'uniformisation, notamment en dimension trois réelle, je renvoie au survol
de David Dumas sur ce sujet [43]. La correspondance de Riemann-Hilbert, qui associe
à une équation diérentielle lináire sa monodromie, joue un rôle central dans tous ces
problèmes.
1. Dans ce document, on notera brièvement EDO pour équation diérentielle ordinaire.
1
Travaux
2
Les EDOs algébriques linéaires, leurs espaces de modules, et leurs liens avec les
variétés de caractères i.e. les quotients des espaces de représentations linéaires d'un
groupe donné obtenus par la théorie géométrique des invariants via la correspondance
de Riemann-Hilbert constituent une partie importante de mes recherches, notamment
par l'étude de nouveaux invariants numériques associés à ces structures. L'un de ces
invariants est l'exposant de Lyapunov, qui mesure le taux de croissance des solutions le
long de trajectoires browniennes. J'ai découvert dans ma thèse une formule qui permet
de l'exprimer en termes cohomologiques, et donc de le relier à des invariants de nature
géométrique liés à la théorie de Nevanlinna. Cet exposant incarne ainsi la double nature
géométrique et dynamique des EDOs, et joue un rôle crucial dans une série de travaux
récents en collaboration avec Christophe Dupont [32] à propos des ensembles limites
des feuilletages algébriques sur les surfaces, et indépendamment, avec Romain Dujardin
à propos de la géométrie des variétés de caractères, voir [29, 30, 31].
Si la correspondance de Riemann-Hilbert est une opération transcendante, elle permet néanmoins de dénir d'autres EDOs algébriques très intéressantes, dite isomonodromiques. Par exemple, dans le cas des courbes hyperelliptiques, les périodes des
formes abéliennes s'expriment par les intégrales hyperelliptiques de la forme
Z
∞
xi
P (x)dx
p
,
(x(x − 1)(x − x1 ) . . . (x − x2g−1 )
(2)
où les xi sont des nombres complexes deux à deux distincts, et où P est un polynôme
de degré inférieur à g − 1. Si ces dernières sont des fonctions transcendantes des coordonnées xi et des coecients de P , l'équation d'isopériodicité s'écrit elle, comme
un système algébrique d'équations diérentielles. Par exemple, prenons le cas de genre
g = 2 pour ne pas compliquer les notations, et notons P (x) = ax + b. L'équation
d'isopériodicité s'écrit alors de la façon suivante

xj (1−xj )

x˙j = axj +b
ȧ = −1/2

P

ḃ = − 12 1 + j
(3)
b(xj −1) .
axj +b
Ces équations vieilles de deux siècles possèdent une géométrie très riche, en lien avec
les systèmes intégrables, et ont retrouvé un regain d'intérêt assez récemment, notamment avec les travaux de Eskin/Okounkov [45], de Gruschevski/Krichever [62], et ceux
de McMullen [89, 90, 91]. De façon plus générale, je me suis intéressé à l'équation
d'isomonodromie sur les espaces de modules d'équations diérentielles linéaires ou de
leurs avatars sur les espaces de modules de structures projectives branchées. L'exemple
emblématique d'une telle équation est l'équation VI de Painlevé, qui permet de décrire
les variations isomonodromiques des connexions méromorphes avec 4 pôles sur un bré
de rang 2 au dessus de P1 ,
d2 w
1 1
1
1 dw 2
1
1
1 dw
=
+
+
(
)
−
+
+
+
dz 2
2 w w − 1 z − w dt
z z − 1 z − w dt
w(w − 1(w − z)
z
z−1
z(z − 1) +
α
+
β
+
γ
+
δ
(4)
z 2 (z − 1)2
w2
(w − 1)2
(w − z)2
Travaux
3
Les relations entre les feuilletages isomonodromiques et les variétés de caractères et
notamment de l'action du groupe modulaire sur ces dernières est intime, et passe par
la correspondance de Riemann-Hilbert. Pour transférer les propriétés dynamiques de
l'action du groupe modulaire sur les variétés de caractères aux propriétés dynamiques
des feuilletages isomonodromiques, il est crucial de comprendre la topologie de la correspondance de Riemann-Hilbert. Ce problème fait partie d'un programme que nous
avons élaboré avec Calsamiglia et Francaviglia, et que nous avons réussi à mettre en
place dans certains cas particuliers. Nous avons par exemple pu établir que l'équation
(3) possède de remarquables propriétés dynamiques analogues à celles des ot unipotents en théorie de Ratner. Ce principe de transfer peut être établi en étudiant certaines
opérations de chrirurgie sur les espaces de modules isomonodromiques. Elles existent
également dans le cadre plus général des espaces de modules de structures projectives
branchées, voir nos travaux [16, 17].
Les feuilletages que j'ai décrit jusqu'à présent forment une classe très particulière
de feuilletages algébriques complexes. Leur étude systématique n'a été initiée que relativement récemment. Brunella, McQuillan et Mendes ont obtenu ainsi une classication birationnelle des feuilletages algébriques sur les surfaces, dans l'esprit de la
classication d'Enriques/Kodaira des surfaces algébriques complexes. Néanmoins, les
feuilletages dits de type général échappent à cette classication. Des exemples très
simples de feuilletages de type général sont les feuilletages algébriques complexes du
plan projectif de degré supérieur à 2, qui sont dénis dans une carte ane par une
équation du type
ẋ = P (x, y) ẏ = Q(x, y),
(5)
où P et Q sont des polynômes complexes en deux variables. Dans le cas réel, les ensembles limites des feuilletages algébriques dénis par une équation du type (5) sont
décrit par le théorème de Poincaré-Bendixson : ce sont des singularités, des orbites
périodiques, ou bien des graphes constitués de singularités et de connexions de selles.
Les feuilletages réels sur les surfaces compactes de genre ≥ 1 peuvent avoir des orbites
denses ou des minimaux excetionnels, mais ils ne sont jamais chaotiques. Dans le cas
complexe, la situation est beaucoup plus compliquée. Par exemple, les travaux de Mjuller/Ilyashenko et plus récemment leurs généralisations par Loray/Rebelo ont montré
que pour tout entier d ≥ 2, il existe des ouverts dans l'espace des paramètres des
feuilletages de degré d du plan projectif complexe, dont toutes les feuilles sont denses,
et de surcroît sont rigides et ergodiques. Ils s'agit de systèmes chaotiques, par exemple
l'ensemble des feuilles ayant des points xes hyperboliques est dense. D'autres exemples
proviennent plus simplement de la correspondance de Riemann-Hilbert : les ensembles
limites des feuilletages du plan projectif qui s'obtiennent par projectivisation d'EDOs
linéaires telles que par exemple l'équation hypergéométrique (1) ont des ensembles
limites transversalement modelés sur l'ensemble limite d'un groupe kleinien quelconque.
La description des ensembles limites des feuilletages algébriques complexes sur les surfaces, c'est à dire d'un analogue complexe de la théorie de Poincaré-Bendixson, est un
problème dicile qui reste essentiellement complètement ouvert ; voici plusieurs questions très simples concernant la dynamique et la topologie des ensembles limites qui
illustrent notre ignorance sur ces questions.
Conjecture du minimal exceptionnel : les feuilles d'un feuilletage algébrique du plan
Travaux
4
projectif complexe déni par une équation du type (5) accumulent toujours sur des
singularités du feuilletage.
Analogue de la conjecture d'Ahlfors : les ensembles limites des feuilletages algébriques sur les surfaces sont soit toute la surface ambiante, soit de mesure nulle.
Conjecture d'Anosov : pour tout d ≥ 2, les feuilles d'un feuilletage générique du
plan projectif complexe de degré d sont des disques hyperboliques, sauf pour un nombre
dénombrable qui sont des anneaux.
Ces trois conjectures m'ont servi de motivations. J'ai d'ailleurs réussi à en montrer certains cas particuliers. Plus spéciquement, j'ai étudié de façon systématique
la dynamique des pseudo-groupes de transformations holomorphes sur les surfaces de
Riemann. Ces systèmes codent à la fois la dynamique des feuilletages algébriques des
surfaces, mais sont en fait beaucoup plus généraux, par exemple ils codent également
la dynamique des correspondances algébriques sur les courbes. J'ai notamment entrepris de comprendre dans quelles situations un tel pseudo-groupe peut développer des
ensembles limites non triviaux.
Pour mener ces études, j'ai été amené à m'intéresser à d'autres systèmes dynamiques, tels que les groupes de diéomorphismes du cercle, qui forment une source
d'exemples très riches, ou bien à la théorie plus classique des feuilletages réels, notamment les feuilletages par surfaces des 3-variétés fermées. Par exemple, dans une série
de travaux en collaboration avec Kleptsyn et Navas [34, 35, 36], nous avons réussi à
caractériser les groupes de diéomorphismes analytiques du cercle admettant un minimal exceptionnel, et ceci nous a permi de montrer l'analogue de la conjecture d'Ahlfors
dans ce contexte, conjecturé par Hector, Ghys et Sullivan dans les années 80, à savoir
que les minimaux exceptionnels sont toujours de mesure nulle.
Dans le cas complexe, je me suis aperçu que, sous certaines hypothéses que j'essaie
d'aaiblir, les seuls exemples de pseudo-groupes de ce type proviennent de systèmes
dynamiques holomorphes plus classiques : les groupes kleiniens, les applications à allure polynomiales généralisées, et les accouplements de ces exemples (voir à ce propos
les travaux de Bullett et Penrose [14]). Ceci m'a poussé à étudié de façon plus approfondie la correspondance de Riemann-Hilbert entre feuilletages algébriques et groupes
kleiniens, et à essayer de l'étendre en une correspondance entre feuilletages algébriques
et dynamique rationnelle. J'ai obtenu en collaboration avec Aurélien Alvarez des résultats expérimentaux, à l'aide de calculs par ordinateurs, qui ont montré qu'une telle
correspondance existe bien (voir à ce propos la partie 1.1 de mon projet de recherche).
2
Liste des travaux
A transfer principle : from periods to isoperiodic foliation. Avec G. Calsamiglia
et S. Francaviglia. Preprint
Toward the solution of some fundamental questions concerning group actions
on the circle and codimension-one foliations. Avec V. Kleptysn et A. Navas.
Preprint
Complex projective structures : Lyapunov exponent, degree, and harmonic mea-
Travaux
5
sure. Avec R. Dujardin. Preprint
Dominating surface groups representations by Fuchsian ones. Avec N. Tholozan.
Paru electroniquement à International Mathematical Research Notices (2015)
Topology and dynamics of Levi-ats in surfaces of general type. 2 Avec C. Dupont. Paru electroniquement à Journal of the American Mathematical Society
(2015)
Lyapunov exponents for surface group representations. Avec R. Dujardin. Communications in Mathematical Physics 340 (2015), no. 2, 433-469.
The oriented graph of graftings in the Fuchsian case. Avec G. Calsamiglia, S.
Francaviglia. Publicacions Matemàtiques 58 (2014) no 1, 31-46
Branched projective structures with Fuchsian holonomy. Avec G. Calsamiglia,
S. Francaviglia. Geometry and Topology 18 (2014) no 1 379-446.
Poisson boundary of discrete groups of dieomorphisms of the circle. Ergodic
Theory and Dynamical Systems 33 (2013), no. 2, 400415.
Symmetric random walks on Homeo+ (R). With V. Kleptsyn, A. Navas, K. Parwani. Annals of Probability 2013, Vol. 41, No. 3B, 20662089.
The group of almost-periodic homeomorphisms of the real line. Enseignement
Mathématique (2) 59 (2013), 112.
Singular sets of holonomy maps for algebraic foliations. Avec G. Calsamiglia, A.
Guillot, S. Frankel. Journal of European Mathematical Society Volume 15, Issue
3, 2013, pp. 10671099
Random walks, Kleinian groups, and bifurcation currents. Avec R. Dujardin.
Inventiones Mathematicae 190 (2012), no. 1, 57118.
Feuilletage de Hirsch, mesures harmoniques, et g-mesures. Avec Constantin Vernicos. Proceedings Franco-Urugayan colloquium in mathematics, Punta del Este
(2009)
On the question of ergodicity for minimal group actions on the circle. Avec V.
Kleptsyn, A. Navas. Moscow Mathematical Journal 2009, vol. 9, no 2, p. 263-303
Laminations dans les espaces projectifs complexes. Journal Institut Mathématique de Jussieu 7 no. 1 (2008), p. 67-91
Non unique-ergodicity of harmonic measure : smoothing Samuel's Petite examples.
Proceedings Dierential Geometry VIII International Colloquium Santiago de
Compostela 2008, p. 36-42
Sur la dynamique unidimensionnelle en régularité intermédiaire. Avec V. Kleptsyn and A. Navas. Acta Mathematica 199 no. 2 (2007), p. 199-262
Random conformal dynamical systems. Avec V. Kleptsyn. Geometric and Functional Analysis 17 no.4 (2007), 1043-1105
Non rigidity of Riemann surface laminations. Proceeding American Mathematical
Society 135 (2007), no. 3, 495-512
Examples of almost-holomorphic and totally real laminations in complex surfaces. Topology 45 (2006), no. 3, 495-512
Hypersurfaces Levi-plates immergées dans les surfaces complexes de courbure
positive. Annales Scientiques École Normale Supérieure (4) 38 (2005), no. 1,
57-75
Variétés complexes compactes très homogènes. Boletin Sociedad Matematica
2. Cet article a reçu le prix La Recherche 2015.
Travaux
6
Mexicana (3) Vol.9, (2003) no. 2, 213-234
3
Feuilletages algébriques complexes
3.1 Théorie ergodique, théorie de Nevanlinna et exposants de
Lyapunov feuilletés
Schwartzman [107] a eu l'idée d'associer des 1-cycles à un champ de vecteurs réel
V sur une variété compacte lisse M . Il procède de la façon suivante : il considère les
courbes intégrales de l'équation ẋ = V (x) à partir d'une condition initiale x(0) = x0
donnée jusqu'à un temps t > 0 très grand, puis il referme la courbe x|[0,t] par un chemin
de M reliant x(t) à x(0) de longueur bornée par le diamètre de M . Il obtient alors un
cycle ct dans H1 (M, R), et démontre que pour des points x0 choisis génériquement vis
à vis d'une mesure invariante par le ot exp(tV ), les cycles ctt convergent lorsque t tend
vers l'inni, vers ce qu'il appelle un cycle asymptotique. Lorsque le ot est uniquement
ergodique, le ot admet alors un unique cycle asymptotique, qui doit être pensé comme
le cycle de l'équation. Cette construction est très importante, notamment pour étudier
les ots (ou les feuilletages) sur les surfaces compactes, et plus particulièrement encore
les feuilletages horizontaux sur les surfaces de translation, qui sont génériquement uniquement ergodiques, d'après un résultat indépendemment obtenu par Masur et Veech,
[85, 116].
Dans le domaine complexe, cette construction ne se généralise pas directement, du
fait que les solutions sont des surfaces de Riemann, et par conséquent n'ont pas un
temps réel comme pour les EDO réelles. On peut néanmoins unifomiser les feuilles
par l'un des modèles P1 (C), C, D et utiliser la théorie de Nevanlinna, pour construire
des cycles associés à n'importe quel feuilletage algébrique complexe. Regardons par
exemple le cas d'une feuille entière, i.e. uniformisée par C, qui a été étudié intensément
ces dernières années, notamment à cause du lien avec la conjecture d'hyperbolicité, voir
à ce propos le survol [41]. Ahlfors a démontré qu'on pouvait lui associer un courant
de type (1, 1), positif et fermé, construit en prenant des limites normalisées des images
des courants d'intégration sur des grands disques de la droite complexe. Le cas le
plus général est celui où les feuilles sont hyperboliques, i.e. revêtues par le disque
unité. Par exemple, un feuilletage de degré d générique du plan projectif a toutes
ses feuilles hyperboliques, par un théorème de Lins-Neto, voir [76]. Une construction
récente de Fornaess et Sibony, voir [47], montre que le procédé d'Ahlfors s'étend au cas
des feuilles hyperboliques (i.e. uniformisées par le disque unité), et donne naissance à
un courant de type (1, 1) et positif sur le feuilletage. En général, les courants limites
ne sont pas fermés, mais néanmoins ∂∂ -fermés, et en utilisant le lemme du ∂∂ , on
peut montrer qu'ils dénissent bien une classe d'homologie de dimension deux (en
fait de type (1, 1)) analogue aux cycles asymptotiques de Schwartzman. On appelle
un tel courant un courant harmonique feuilleté. Les classes d'homologie associées aux
courants harmoniques feuilletés contiennent beaucoup d'informations sur la géométrie
et la dynamique du feuilletage.
Les courants harmoniques feuilletés ont de remarquables propriétés d'unicité, au
Travaux
7
moins en dimension deux. En collaboration avec Victor Kleptsyn, nous avons montré un résultat d'unique ergodicité dans le cadre des feuilletages transversalement
holomorphes et sans singularités : nous montrons qu'un feuilletage transversalement
holomorphe d'une variété compacte qui n'admet pas de mesure transverse invariante
n'a qu'un nombre ni de courants harmoniques feuilletés (à multiplication par une
constante près), et ils sont supportés par des ensembles minimaux disjoints du feuilletage, voir [33]. L'extension de ce dernier au cas singulier pose de nombreux problèmes
et reste encore ouvert, mais permettrait en théorie de montrer des propriétés d'unique
ergodicité des courants harmoniques feuilletés pour les feuilletages holomorphes singuliers sur les surfaces complexes compactes en général. Fornaess et Sibony ont démontré
ceci dans le cas d'un feuilletage générique de degré supérieur à deux du plan projectif
complexe.
Les courants harmoniques feuilletés construits en utilisant la théorie de Nevanlinna
ont un lien intrinsèque avec une autre théorie développée par Garnett pour l'étude des
feuilletages. Cette dernière consiste à employer un processus stochastique continu le
long des solutions, le mouvement brownien le long des feuilles. Nous renvoyons à [51].
Un tel processus est particulièrement bien adapté à l'étude des EDO dans le domaine
complexe à cause de l'invariance conforme du mouvement brownien en dimension deux.
J'ai introduit et étudié un exposant de Lyapunov pour les feuilletages holomorphes sur
les surfaces complexes, qui mesure à quelle vitesse les feuilles se rapprochent les unes
des autres le long de trajectoires browniennes feuilletées. Cet exposant est bien déni
pour presque toute feuille par rapport à un courant harmonique feuilleté lorsque cellesci n'accumulent pas sur les singularités (la question de savoir s'il est toujours déni
pour des feuilles qui accumulent sur le lieu singulier du feuilletage reste ouverte en toute
généralité ; cette question est à la source des dicultés pour démontrer des propriétés
d'unique ergodicité pour les feuilletages singuliers sur les surfaces complexes compactes
en général). J'ai trouvé une formule qui permet d'exprimer l'exposant de Lyapunov en
termes de l'intersection cohomologique du courant harmonique feuilleté avec la classe
de Chern du bré normal du feuilletage et celle de son bré canonique. Voir l'appendice
de [23]. Cette formule a été très féconde, et est utilisée dans plusieurs de mes travaux.
Elle est similaire à la formule de Eskin-Kontsevich-Zorich pour la somme des exposants
de Lyapunov du ot de Teichmüller.
3.2 Laminations dans les variétés projectives complexes
Les ensembles limites des feuilletages algébriques complexes par courbes ont en
dehors du lieu singulier une structure de lamination par surfaces de Riemann, c'est
à dire d'un espace localement compact muni d'une partition en surfaces de Riemann,
qui est localement biholomorphe au produit d'un disque holomorphe par un espace
topologique dit transverse . Ces espaces transverses peuvent être assez compliqués
d'un point de vue topologique et géométrique : par exemple, tous les ensembles limites
de groupes kleiniens peuvent apparaître de cette façon.
Il existe une multitude d'autres exemples de laminations par surfaces de Riemann,
provenant soit de la théorie plus classique des feuilletages réels, soit de constructions
combinatoires presque-périodiques, notamment liées aux pavages. Je renvoie au sur-
Travaux
8
vol [53] de Ghys sur cet aspect. Les premières laminations par surfaces de Riemann
à avoir vu le jour ont été dénies par Sullivan dans son étude de la dynamique des
endomorphismes dilatants du cercle de classe C 1 . Il associe à n'importe quelle classe
de conjugaison diérentiable d'un tel endomorphisme une lamination par surfaces de
Riemann sur un espace compact, et montre que cette lamination retient la classe de
conjugaison considérée. 3 Décrivons la lamination de Sullivan associée à l'endomorphisme z ∈ S1 7→ z 2 ∈ S1 . Il introduit dans ce cas la limite inverse de l'endomorphisme
holomorphe z ∈ D∗ 7→ z 2 ∈ D∗ , c'est à dire l'ensemble des suites ẑ = (zn )n∈Z telles que
zn+1 = zn2 pour tout n ∈ Z, et considère le quotient de la limite inverse par l'application ẑ 7→ ẑ 2 dénie par ẑ 2 = (zn2 )n . Il s'agit ici d'un espace compact qui est localement
modelé sur le produit d'un disque holomorphe par un ensemble de Cantor. En termes
arithmétiques, cette lamination est biholomorphe au quotient de H × Q2 par l'action
diagonale du groupe formé par les transformations ane du type x 7→ 2n x + b et
b ∈ Z[1/2].
Dans ma thèse, j'ai développé la théorie des fonctions sur les laminations par surfaces de Riemann, voir [26]. Par fonction, j'entend une fonction à valeurs complexe qui
est continue et holomorphe le long des feuilles. J'ai notamment caractérisé les laminations par surfaces de Riemann qui peuvent se plonger de façon holomorphe dans des
espaces projectifs complexes. Il convient de remarquer qu'il y a des diérences essentielles entre la théorie classique dans le cas des surfaces de Riemann compactes, et celle
plus générale sur les laminations par surfaces de Riemann. Une première diérence,
c'est que certaines laminations par surfaces de Riemann n'admettent aucune fonction
méromorphe, et en particulier ne peuvent pas se plonger dans un espace projectif complexe. L'exemple le plus simple de ce phénomène est la composante de Reeb d'un tore
solide, et qui ne peut être réalisée comme une lamination par courbes holomorphes
dans un espace projectif complexe. En eet, si c'était le cas, le bord de la composante de Reeb serait une courbe holomorphe compacte de Pn (C) qui serait homologue
à 0, ce qui est bien sûr impossible (les classes d'homologie des courbes holomorphes
compactes dans les variétés kählériennes sont non nulles). Il s'agit essentiellement de
la seule obstruction : je démontre qu'une lamination par surfaces de Riemann admet
beaucoup de fonctions continues méromorphes le long des feuilles si et seulement si
aucun cycle feuilleté n'est homologue à 0. Cette condition sur les cycles feuilletés est une
condition topologique, et je démontre qu'elle est également équivalente à posséder des
multi-transversales totales. En particulier, je démontre que tout solénoïde (terminologie de Sullivan pour désigner une lamination transversalement totalement discontinue)
admet beaucoup de fonctions méromorphes. Dans le cas de la lamination de Sullivan,
on vérie aisément cela en considérant les fonctions automorphes du type
fp,α (ẑ) =
X
n
α−n ẑ p·2
(6)
n∈Z
où p ∈ N et où α est un nombre complexe de module |α| > 1, qui vérient toutes la
condition d'automorphie f (ẑ 2 ) = αf (ẑ). Dans ce cas, on montre facilement qu'il existe
des entiers p1 , p2 , p3 , p4 et α de module |α| > 1 tels que l'application [fp1 ,α , . . . , fp3 ,α ]
3. Cette construction permet de faire un lien entre la dynamique des endomorphismes sur les cercle
et la théorie de Teichmüller, et sert de point de départ pour montrer des principes d'universalité pour
ces systèmes dynamique.
Travaux
9
plonge holomorphiquement le solénoïde de Sullivan dans P3 (C). Les fonctions méromorphes que je construis sur des laminations compactes par surfaces de Riemann sans
cycle feuilleté homologue à sont de ce type, ils s'agit à chaque fois de séries Fuchsiennes 4 . Une seconde diérence essentielle, c'est qu'il n'y a pas de théorème de rigidité pour les laminations par courbes dans les espaces projectifs complexes, analogue
au théorème de Chow et plus généralement au principe GAGA : les laminations par
courbes holomorphes génériques ne sont tangentes à aucune EDO algébrique, elles
ne sont invariantes par aucune transformation rationnelle, etc.. Ceci découle de mon
travail [25] sur les espaces de déformation de laminations par surfaces de Riemann
compacte, qui montre que les laminations hyperboliques qui sont toutes projectives
ont un espace de déformation qui est une variété banachique de dimension innie.
Une fois qu'on sait plonger une lamination dans un espace projectif complexe de
façon holomorphe, on peut se demander quelle est la dimension minimale de l'espace
projectif en question. Douady a conjecturé qu'une lamination par courbes holomorphe
contenue dans le plan projectif complexe doit contenir une feuille compacte, ce qui
donnerait une obstruction très contraignate pour plonger une lamination holomorphiquement dans le plan projectif complexe. Cette conjecture est une généralisation de la
conjecture du minimal exceptionnel, selon laquelle toute feuille d'un feuilletage algébrique du plan projectif complexe accumule sur une singularité. Je pense que la conjecture de Douady est fausse, et j'en ai presque trouvé un contre-exemple [24] : il existe
des structures J -holomorphes du plan projectif complexe qui sont arbitrairement proche
de la structure standard, et pour lesquelles il existe des plontements J -holomorphes de
la lamination de Sullivan. La méthode consiste à approximer le solénoïde de Sullivan
par des surfaces branchées, puis à plonger ces dernières de façon presque holomorphe
dans le plan projectif. Je fais remarquer que lorsque la structure presque-complexe tend
vers la structure standard, les solénoïdes que je construis convergent vers l'union de
trois droites projectives, et ne permet pas de construire un contre-exemple à la conjecture de Douady par passage à la limite. Néanmoins je pense qu'il doit exister de tels
contre-exemples.
Il existe un type particulier de laminations par courbes holomorphes plus régulières
que les autres dans les surfaces complexes : les hypersurfaces Levi-plates. Il s'agit d'une
hypersurface réelle qui est feuilletée par des courbes holomorphes. Une telle hypersurface ne peut être feuilletée que d'une seule façon par des courbes holomorphes : ces
dernières sont les courbes tangentes à l'unique distribution par droites complexes dite de Cauchy-Riemann dans le bré tangent à l'hypersurface. A la diérence des
laminations par courbes holomorphes en général, les hypersurfaces Levi-plates analytiques dans les surfaces algébriques ont sous une certaine hypothèse des propriétés
de rigidité de type GAGA : mon étudiante Carolina Canales a démontré dans sa thèse
que toute hypersurface Levi-plate analytique dans une surface algébrique et qui n'a
pas de cycle feuilleté est tangente à un feuilletage algébrique. 5 Les hypersurfaces Levi4. Au passage, je démontre un théorème de plongement à la Kodaira pour les laminations par
variétés complexes en général, qui avait été suggéré par Gromov dans [61]. Tous ces travaux se trouvent
dans [26].
5. En revanche, il existe des hypersurfaces Levi-plates toriques dans des surfaces rationnelles qui
ne sont pas tangentes à un feuilletage algébrique déni globalement, en vertu de travaux dûs à Arnold,
et à Sad.
Travaux
10
plates sont en quelque sorte les analogues pour les EDOs algébriques complexes des
groupes Fuchsiens (qui ont des ensembles limites analytiques) ou des produits de Blaschke/polynômes de Tchebyche en dynamique rationnelle unidimensionnelle (qui ont
des ensembles de Julia analytique). De nombreuses tentatives pour montrer la nonexistence d'une hypersurface Levi-plate dans le plan projectif complexe se sont toutes
avérées infructueuses 6 . J'ai moi-même cru trouver une démonstration dans ma thèse,
en utilisant l'exposant de Lyapunov feuilleté, mais elle contenait une erreur. Cependant
elle donnait quand même un résultat intéressant, voir [23] : une hypersurface Levi-plate
dans le plan projectif complexe ne peut avoir un courant harmonique absolument continu
par rapport à la mesure de Lebesgue. En particulier, cela produit beaucoup d'exemples
de feuilletages CR sur des 3-variétés fermées qui ne peuvent pas se plonger dans le plan
projectif complexe de façon holomorphe.
En collaboration avec Christophe Dupont, nous nous sommes intéressé aux hypersurfaces Levi-plates dans d'autres surfaces algébriques complexes, notamment les
surfaces de type général, voir [32]. Les exemples d'hypersurfaces Levi-plates dans les
surfaces complexes sont nombreux. On peut par exemple montrer que tous les modèles géométriques de Thurston sont portées par certaines hypersurfaces Levi-plates de
surfaces complexes algébriques, hormis le modèle sphérique S3 . Ce dernier ne peut apparaître à cause du célèbre théorème de Novikov, selon lequel un feuilletage par surfaces
sur une telle variété doit posséder une feuille compacte. Cette remarque est dûe à Inaba
et Mischenko. Nous avons exhibé de nouvelles contraintes topologiques pour les hypersurfaces Levi-plates dans les surfaces de type général. Il s'agit des surfaces algébriques
dont la dimension de Kodaira est égale à 2 ; par exemple, les hypersurfaces lisses de
P3 (C) de degré ≥ 5 sont de type général, les quotients de domaines symétriques bornés
de C2 , etc. Nous montrons que dans la décompostion de Thurston-Perelman en morceaux géométriques des hypersurfaces levi-plates des surfaces de type général, seules
les géométries H3 , H2 × R et SL^
(2, R) apparaissent. La méthode utilise un mélange
d'arguments de nature topologique et dynamique, la formule exprimant l'exposant de
Lyapunov feuilleté en termes cohomologique apparaissant de façon cruciale.
3.3 Transcendance et monodromie
Rares sont les équations diérentielles algébriques qui admettent des solutions algébriques : les solutions sont en général des fonctions transcendantes. Cette propriété
peut être expliquée géométriquement par le phénomène de monodromie. Par exemple,
considérons une équation diérentielle algébrique du type
P (x, y)
dy
=
,
dx
Q(x, y)
(7)
où P et Q sont des polynômes complexes. Lorsque la variable x décrit un lacet, il arrive
que la solution y(x) partant d'une condition initiale y existe tout le long de ce lacet,
mais prenne une valeurs y 0 diérente de y lorsque x revient à sa position initiale. C'est
le phénomène de monodromie. Les transformations y 7→ y 0 associées à des lacets dans
6. Voir par exemple les articles faux de Ohsawa et Siu sur le sujet, mais il y en a eu beaucoup
d'autres.
Travaux
11
la coordonnée x ne sont dénies que localement, et sont appelées holonomies. Leur
ensemble forme un pseudo-groupe, appelé le pseudo-groupe d'holonomie. Par exemple
pour les équations de Riccati de la forme
dy
= A(x)y 2 + B(x)y + C(x),
dx
(8)
A, B et C étant des fractions rationnelles, les transformations d'holonomie sont données
par la formule
y0 =
αy + β
,
γy + δ
(9)
α β
pour une certaine matrice
de PGL(2, C). Dans ce cas très particulier, la moγ δ
nodromie des solutions prend la forme d'un groupe, celui formé par toutes les transformations (9).
Comprendre les applications d'holonomie des EDOs algébriques est important pour
divers problèmes touchant à la dynamique, à la géométrie et aux questions de transcendance. D'abord, la dynamique d'une EDO/feuilletage algébrique est codée par celle de
son pseudo-groupe d'holonomie : les questions de densité des feuilles se transcrivent en
la densité des orbites du pseudo-groupe d'holonomie, les ensembles limites des feuilles
sont transversalement modelés sur les ensembles limites du pseudo-groupe d'holonomie, etc.. Ilyashenko [71] et Loray [78] ont conjecturé que les transformations d'holonomie formaient une classe très particulière de fonctions, notamment à l'égard du
prolongement analytique, analogue aux solutions des EDOs 7 : ils ont conjecturé que
les applications d'holonomie peuvent être étendues analytiquement le long de tout chemin qui évite une famille dénombrable de points. Ce type de propriétés conduiraient
éventuellement à la dénition d'un groupe de monodromie pour les EDOs algébriques
en général, plutôt que celle d'un pseudo-groupe, qui a beaucoup moins de structure
algébrique. Pour conclure ce paragraphe, voici une conjecture passionnante de Bogomolov à propos des applications d'holonomie, qui est encore complètement ouverte :
est-il vrai que toute variété complexe compacte admet un atlas dont les changements
de coordonnées sont des applications d'holonomie d'une certaine EDO algébrique ? Une
réponse positive à cette question serait très intéressante, car elle permettrait d' algébriser toute variété complexe compacte. Nous avons récemment trouvé de nouveaux
exemples d'atlas de cette nature sur des surfaces de Riemann de genre 3, en collaboration avec Aurélien Alvarez, qui semblent promis à des généralisation en dimension
supérieure. Je renvoie à la partie 1.1 de mon projet de recherche sur cette question.
Peu de temps après ma thèse, j'ai imaginé un exemple très simple qui mettait en
défaut la conjecture d'Ilyashenko/Loray. Il s'agit d'une application d'holonomie associée à une équation du type (7) mais qui ne peut être étendue analytiquement en
aucun point du bord de ce disque. Dans un travail [19] en collaboration avec Gabriel
Calsamiglia, Sidney Frankel et Adolfo Guillot, nous avons généralisé ce contre-exemple
pour des feuilletages génériques de P2 (C) de degré ≥ 2 : nous montrons que pour un
7. Un théorème de Painlevé stipule que les solutions des équations diérentielles algébriques
peuvent être étendues analytiquement le long de tout chemin qui évite une partie dénombrable de
points dans la coordonnée temps.
12
Travaux
feuilletage générique de P2 (C) de degré ≥ 2, il existe deux courbes algébriques C et D,
et un germe d'application d'holonomie entre C et D dont le prolongement analytique
ne peut ête eectué sur un ensemble de Cantor de C de dimension de Hausdor strictement positive. L'argument utilise de façon cruciale les propriétés de contractions des
pseudo-groupes d'holonomie des feuilletages algébriques de P2 (C). Récemment, Nicolas
Hussenot a néanmoins montré que dans le cas des équations de Riccati, on peut étendre
analytiquement les applications d'holonomie le long de presque toute trajectoire brownienne dans la courbe algébrique source, en dehors d'un ensemble de cas exceptionnels
bien compris. Ce travail est remarquable et il me semble plausible que cette forme plus
faible de la conjecture de Loray/Ilyashenko soit vraie en général. Cette méthode pourrait permettre de dénir un vrai groupe de monodromie pour les EDOs algébriques,
et par conséquent une forme plus générale de la correspondance de Riemann-Hilbert,
mais cela reste encore très spéculatif.
Certaines EDOs spéciques, mais très intéressantes, ont des structures transverses
qui interdisent le genre de phénomènes que l'on voit apparaître dans nos contreexemples à la conjecture de Ilyashenko/Loray. C'est par exemple le cas des feuilletages
isomonodromiques que l'on a introduit dans le panorama. Ces feuilletages sont transversalement modelés sur des variétés de caractères, les applications d'holonomie étant
alors dénies par l'action du groupe modulaire sur ces dernières. Plus précisément, pour
tous les feuilletages isomonodromiques, on a la situation suivante : si X désigne la variété ambiante privée de l'ensemble singulier du feuilletage, il existe une application
d'un revêtement de X à valeurs dans une variété de caractères, qui est équivariante
vis à vis d'une certaine représentation du groupe fondamental de X à valeurs dans le
groupe modulaire. Cette application est appelée l'application des périodes. Le feuilletage isomonodromique est alors localement déni au niveau du revêtement de X par
les niveaux de l'application des périodes. Une question très naturelle est de comprendre
quelles propriétés dynamiques de l'action du groupe modulaire sur les variétés de caractères se transfèrent au feuilletage isomonodromique. Il existe une condition très
simple de nature topologique sur la correspondance de Riemann-Hilbert, qui permet
d'assurer que ce principe de transfer ait lieu : il faut et il sut que l'application période
aient des bres connexes.
Cette condition topologique sur l'application période est délicate à établir en général, et d'ailleurs elle n'est pas toujours satisfaite. Dans le cas des feuilletages dénis par
des formes fermées sur des variétés kählériennes, ceci a été établi par Simpson [108], en
utilisant une forme transcendante du théorème de la section hyperplane de Lefschetz
(i.e. le problème consiste à étudier la topologie des préimages d'un hyperplan par une
application holomorphe à valeurs dans un espace projectif, qui pourrait éventuellement
être transcendante). Dans un travail récent en collaboration avec Gabriel Calsamiglia
et Stefano Francaviglia, voir [18], nous avons pu établir ce principe de transfer dans le
cas des feuilletages isopériodiques sur l'espace des modules des diérentielles abéliennes
en genre g ≥ 2 quelconque, répondant ainsi à une question de McMullen, voir [89]. Il en
résulte en particulier que les composantes ergodiques de ces feuilletages sont données
par les niveaux de la fonction volume , et qu'ils possèdent des propriétés analogues
aux propriétés de Ratner pour l'action des groupes unipotents sur les espaces homogènes. Déterminer systématiquement les feuilletages isomonodromiques qui satisfont
Travaux
13
un tel principe de transfer est un problème très intéressant.
4
Structures projectives complexes et variétés de caractères
Une structure projective complexe sur une surface (réelle) S est une structure géométrique localement modelée sur (PSL(2, C), P1 (C)). Plus précisément c'est la donnée
d'un atlas maximal de diéomorphismes locaux (préservant l'orientation) d'ouverts de
la surface vers des ouverts de la sphère de Riemann, qui dièrent par composition au
but par une transformation de Möbius. Deux structures projectives complexes sont
identiées s'il existe un diéomorphisme entre ces surfaces qui échange les atlas. Un tel
diéomorphisme est appelé projectif. Une structure projective complexe est de façon
équivalente dénie par une de ses applications développantes, c'est à dire par un diéomorphisme local D : Se → P1 (C) déni sur le revêtement universel de la surface, qui
est équivariant par rapport à une représentation ρ : π1 (S) → PSL(2, C). Cette représentation est appelée l'holonomie de l'application développante. 8 Des exemples importants de structures projectives complexes proviennent des géométries riemanniennes
sphériques, euclidiennes et hyperboliques sur les surfaces. Ces structures sont des quotients d'ouverts de la sphère de Riemann par un sous-groupe discret de PSL(2, C),
resp. P1 (C), C, H, et sont caractérisées par leur holonomie. D'autres exemples apparaissent dans le problème d'uniformisation des 3-variétés hyperboliques. Il existe encore beaucoup d'autres exemples de structures projectives complexes. Pour illustrer
ceci, citons le théorème de Gallo-Kapovich-Marden, selon lequel toute représentation
ρ : π1 (S) → SL(2, C) non élémentaire est l'holonomie d'une structure projective sur la
surface S , voir [50]. En particulier, les holonomies des structures projectives complexes
n'ont aucune raison d'être discrètes.
4.1 Isomonodromie et chirurgie
Comprendre ce que l'holonomie retient d'une structure projective complexe est au
coeur de la problématique des travaux que je présente dans cette partie. Il s'avère qu'il
existe un certain nombre de chirurgies qui préserve l'holonomie mais qui changent la
structure projective. Des exemples sont les greages, qui à partir d'une structure projective complexe marquée permettent d'en construire une innité d'autres qui ont la
même holonomie. Elles consistent à couper la surface le long d'une courbe fermée simple
et d'y insérer un anneau de Hopf. On trouve cette construction dans les travaux de
Maskit [84], Hejhal [66], Sullivan-Thurston [112]. D'autres exemples de chirurgies sont
les variations de Schier, ou bien les bullages, et consistent dans le premier cas à bouger les points de branchement de la structure, dans le second à ajouter une sphère de
Riemann en créant des points de branchement. Pour comprendre ces diérents types de
chirurgie, introduisons l'ensemble Mρ des structures projectives branchées sur une surface marquée ayant pour holonomie une représentation donnée ρ : π1 (S) → PSL(2, C),
8. Deux applications développantes de la structure dièrent par composition au but par une transformation de Möbius. Les holonomies des applications développantes de la structure sont donc toutes
conjuguées par une transformation de Möbius.
Travaux
14
modulo isomorphisme projectif qui préserve le marquage. Cet ensemble peut être stratié en une union Mρ = ∪k≥0 Mk,ρ , où k désigne le nombre de points de branchement de
la structure. Les espaces Mk,ρ sont des variétés analytiques complexes non singulières
de dimension k localement modelées sur des espaces de Hurwitz, dés lors que la représentation ρ est non élémentaire. Voir l'appendice de [16]. Le cas des structures non
branchées, c'est à dire où k = 0, est déjà très intéressant. Dans ce cas, Goldman [58]
(cas Fuchsien) et plus récemment Baba [3] (cas d'holonomie générique), ont montré
que deux structures projectives complexes ayant la même holonomie dièrent par une
série de greages et de dé-greages. Dans le travail [17], nous précisons le théorème de
Goldman dans le cas Fuchsien, en étudiant la structure de graphe de gree des espaces
M0,ρ . Nous montrons en particulier qu'ils sont hyperconnectés, au sens que toute structure projective à holonomie fuchsienne exotique se déduit de toute autre par au plus
deux multi-greage. Cette étude du graphe des grees a des résonnances avec un travail
récent et indépendant de Thompson dans le cas des holonomies de type Schottky, voir
[113].
L'étude de la topologie des espaces Mk,ρ lorsque k > 0 est très intéressante, car elle
fait apparaître des relations entre les diverses chirurgies que j'ai décrit précédemment.
L'une d'elle est particulièrement remarquable et constitue l'un des résultats principaux
de [16] : on peut créer des greages à partir de variations de Schier et de bullages. Ceci
nous a amené à montrer que l'on peut construire n'importe quelle structure projective
avec holonomie Fuchsienne à partir de la structure uniformisante, en eectuant un
certains nombres de bullages et de variations de Schier. Une autre façon équivalente
d'énoncer ce résultat est de dire que les espaces Mk,ρ sont connexes si k > 0 et ρ est
Fuchsienne. Il s'agit d'une généralisation du théorème de Clebsch et Hurwitz sur la
connexité des espaces Mk,id . Voir aussi l'article récent de McMullen [89] dans lequel il
démontre la connexité de certains espaces iso-périodiques de surfaces de translation en
genre 2 et 3 en utilisant la résolution du problème de Schottky dans ces cas. Ce résultat
ne se généralise pas à toute représentation ρ. En eet, si par exemple ρ est l'holonomie
d'une métrique conique à courbure −1, avec k ≥ 2 points singuliers, l'espace Mk,ρ
admet au moins deux composantes connexes, une composante stricte étant constituée
des métriques coniques d'holonomie ρ. Pour montrer que cette composante est stricte on
utilise le théorème de Gallo-Kapovich-Marden qui permet de construire une structure
ayant pour holonomie ρ avec 0 ou 1 point de branchement, puis on eectue des bullages,
ces derniers interdisent à la structure de provenir d'une métrique.
Pour démontrer le théorème de connexité, nous utilisons une idée utilisée par Faltings, voir [46], et Goldman, voir [58], qui consiste à partitioner l'espace ambiant d'une
structure projective dénie par une développante à holonomie réelle, i.e. dont l'image
est dans PSL(2, R), en trois parties, une positive, une négative, et une réelle, chacune
étant au niveau du revêtement universel de la surface la préimage par la développante
d'un des ensembles de la décomposition de la sphère de Riemann en
P1 (C) = H+ ∪ H− ∪ P1 (R).
(10)
Ici, H± désignent les demi-plans supérieurs et inférieurs de P1 (C). Les parties positives
et négatives sont alors des domaines à bord et à coin lorsqu'un point de branchement
est réel de la surface, séparés par la partie réelle, qui est un ensemble analytique de
Travaux
15
dimension réelle 1. Les parties positives et négatives héritent d'une structure de surface
hyperbolique conique avec des angles multiples de 2π , qui sont dénies en tirant les
|dz|
métriques hyperboliques |=z|
sur les demi-plans H± .
La démonstration consiste par récurrence à eectuer des variations de Schier successives ce qui est équivalent à se déplacer continûment dans les espaces de modules
Mk,ρ de façon à pouvoir eectuer un débullage. En d'autres termes, trouver un domaine à bord dont l'intérieur se développe de façon injective sur la sphère privée d'un
intervalle. Au bout de k/2 étapes on obtient une structure projective sans points de
branchement, après avoir enlevé k/2 bulles. En appliquant le théorème de Goldman,
on parvient à montrer que notre structure originale est dans la même composante
connexe qu'un greage sur une structure uniformisante. La démonstration se conclut
en démontrant la relation
greage + bullage = bullage + variation de Schier
(11)
Cette relation est à mon avis la partie la plus intéressante de notre travail. La compréhension des relations de ce type entre les diverses formes de chirurgie donne des
informations sur la topologie des espaces Mk,ρ .
4.2 Nouveaux invariants de structures projectives complexes :
exposants de Lyapunov, degré et mesure harmonique
Étant donné un compact K ⊂ C, la mesure harmonique de K est la distribution
du premier point d'intersection d'un chemin brownien partant de l'inni (le chemin
Brownien est paramétrisé en utilisant la métrique sphérique de la sphère P1 (C)). Jones
et Wol [74], après les travaux de Carleson [22] et Makarov [83], ont montré que la
mesure harmonique est toujours de dimension de Hausdor inférieure ou égale à 1, et
que si K est connexe alors la dimension de la mesure harmonique est égale à 1.
La dénition de mesure harmonique peut être étendue, dans certaines situations,
au cas où l'on ne regarde pas un domaine du plan qui serait la composante connexe
de P1 (C) \ K contenant le point à l'inni dans le cas précédent mais un domaine étalé
sur le plan. Un cas où cette dénition est rendue possible est celui des applications
développantes associées à des structures projectives complexes. Prenons donc une application holomorphe D : D → P1 (C) localement univalente et équivariante par rapport
à une représentation d'un réseau cocompact Γ ⊂ Aut(D) à valeurs dans P1 (C). Dans
sa thèse, Nicolas Hussenot a démontré que si ω : [0, ∞) → D est un chemin Brownien
dans le disque pour la métrique de Poincaré, alors il existe un point p = p(ω) de la
sphère de Riemann vers lequel ω tend au sens de Cesaro, c'est à dire que
1
t
Z
t
δωs ds → p.
(12)
0
Nous appelons ici mesure harmonique associée à D la distribution du point p. Une
façon alternative de dénir la mesure harmonique est la suivante. Furstenberg a démontré qu'il existe une unique application ϕ : ∂D → P1 (C) qui est ρ-équivariante et
dénie pour presque tout point par rapport à la mesure de Lebesgue. L'image de la
Travaux
16
mesure de Lebesgue par ϕ est la mesure harmonique. J'ai obtenu le résultat suivant
en collaboration avec Romain Dujardin [30], il généralise le théorème de Makarov pour
les mesures harmoniques d'une structure projective, et en donne une démonstration
alternative de nature cohomologique : La dimension de Hausdor de la mesure harmonique d'une structure projective complexe sur une surface de Riemann compacte est
toujours majorée par 1, avec égalité si et seulement si la développante est injective, ou
de manière équivalente si la structure appartient à l'adhérence de la tranche de Bers.
Pour le démontrer, nous introduisons de nouveaux invariants associés à des structures projectives complexes sur des surfaces de Riemann de genre ≥ 2, qui ont à mon
avis un intérêt propre. Le premier de ces invariants est de nature géométrique, il s'agit
du degré d'une structure projective. Étant donnée une structure projective complexe
sur une surface de Riemann compacte S de genre g ≥ 2, on uniformise S par le
|dz|
disque unité, muni de sa métrique hyperbolique 1−|z|
2 . On peut alors démontrer qu'
il existe un nombre δ ≥ 0 tel que pour toute application développante de la structure
D : Se ' D → P1 (C), pour toute suite zn ∈ P1 (C) de points de la sphère de Riemann,
pour toute suite xn de points de Se ' D, et pour toute suite rn de nombre strictement
positifs tels que rn →n→+∞ +∞, on ait
|D−1 (zn ) ∩ B(xn , rn )|
= δ.
n→+∞
V (rn )
lim
|dz|
Ici, V (r) désigne le volume d'une boule de rayon r dans l'espace homogène (D, 1−|z|
2 ).
La démonstration de ce fait n'est pas triviale, elle repose sur un théorème d'équidistribution de grands disques dans les feuilles d'un bré plat en P1 (C) au dessus d'une
surface hyperbolique, dû à Bonatti et Gomez-Mont, voir [9]. Le nombre δ est invariant
par revêtements non ramiés, et n'a donc pas la propriété de multiplicativité vis à vis de
la caractéristique d'Euler que devrait vérier un degré. On dénit donc le degré d'une
structure projective comme étant le nombre deg = vol(S) · δ . Cette normalisation est
faite en sorte que pour une structure projective branchée (voir partie 4.1) induite par
une revêtement ramié de S dans P1 (C), le degré corresponde au degré topologique. Le
nombre δ peut aussi être interprété comme l'asymptotique de la caractéristique T (D, r)
en théorie de Nevanlinna ; on a
T (D, r) ∼r→∞ 2πδ log
1
1−r
.
Le degré d'une structure projective complexe s'annule exactement lorsque cette dernière est le quotient d'un domaine de discontinuité d'un groupe Kleinien ou l'une de
ses composantes, et sinon en dehors de ce cas il est strictement positif. Un exemple
intéressant est le cas des structures projectives obtenues par greage, qui ont un degré
strictement positif.
Le deuxième invariant que nous associons à une structure projective complexe sur
une surface compacte S de genre ≥ 2 est son exposant de Lyapunov, et ne dépend
en fait que de l'holonomie de la structure, que nous noterons ρ dans la suite, et de
la structure de surface de Riemann sous-jancente. Considérons un chemin Brownien
ω : [0, ∞) → S sur la surface S équippé de la métrique de Poincaré. Pour tout t > 0,
refermons le chemin ω|[0,t] par une géodésique de longueur minimale. Nous obtenons
Travaux
17
de cette façon un élément ωt ∈ π1 (S, p0 ) bien déni modulo multiplication par un
nombre ni d'éléments du groupe fondamental. En utilisant l'ergodicité du mouvement
Brownien sur S , et le théorème ergodique sous-additif, on montre qu'il existe un nombre
χ = χρ tel que presque sûrement, on ait
χρ = lim
t→∞
1
log ||ρ(ωt )||.
t
(13)
Le résultat principal de [30] est la formule suivante
χ=
1
+ 2πδ.
2
(14)
On la démontre en interprétant l'exposant χ comme un exposant de Lyapunov associé
à un feuilletage algébrique sur une surface, et en utilisant la nature cohomologique de
ce dernier. Cette formule a des analogies avec la formule de Manning-Przytycki
χ = log d +
X
G(c)
c
en dynamique polynomiale. Dans cette dernière, χ est l'exposant de Lyapunov pour la
mesure d'entropie maximale, d est le degré du polynôme, et on somme la fonction de
Green sur les points critiques du polynôme. L'analogie vient de ce que les termes 1/2 et
log d sont des termes entropiques (respectivement l'entropie du mouvement Brownien
sur le disque
hyperbolique et l'entropie d'un polynôme de degré d), et que les termes
P
2πδ et c G(c) sont tous les deux positifs ou nuls.
4.3 Variétés de caractères du groupe PSL(2, C)
Les groupes kleiniens, i.e. les sous-groupes discret de PSL(2, C) de type ni, sont
maintenant bien compris, en vertu de la solution de la conjecture des laminations terminales par Brock, Canary et Minsky [11] et de la tameness conjecture par Agol [2]
et Calegari-Gabai [15]. Il reste néammoins beaucoup à faire pour comprendre la dynamique et la géométrie des sous-groupes non discrets. Ces groupes apparaissent notamment comme monodromie des équations diérentielles linéaires, telles que l'équation
hypergéométrique par exemple, ou bien comme holonomie des structures projectives
complexes. Ce sont ces deux exemples qui m'ont amené à m'y intéresser.
La dichotomie discret/non discret dans les espaces de paramètres de représentations
d'un groupe dans PSL(2, C) est liée mais non équivalente à une autre dichotomie
introduite par Sullivan. Ce dernier a développé une théorie de la stabilité dans ce
contexte, qui tire ses origines de la notion de stabilité structurelle en systèmes dynamiques. Pour être plus spécique, soit G un groupe de type ni. On se donne une
famille holomorphe {ρλ }λ∈Λ de représentations de G dans PSL(2, C), i.e. Λ est une
variété complexe connexe, et pour tout g ∈ G, l'application λ 7→ ρλ (g) est holomorphe.
Pour simplier, on va supposer que
1) pour tout λ, la représentation ρλ est non élémentaire,
2) la classe de conjugaison de ρλ est non constante,
3) pour des paramètres λ génériques, ρλ est injective.
Travaux
18
Un paramètre λ0 ∈ Λ est algébriquement stable s'il admet un voisinage V dans Λ tel que
les représentations ρλ sont injectives dans V. Il est appelé structurellement stable s'il
admet un voisinage tel que pour tout λ dans ce voisinage, il existe un homéomorphisme
Φ : P1 (C) → P1 (C) tel que ρλ ◦ Φ = Φ ◦ ρλ0 . Sullivan a démontré que ces deux notions
de stabilité sont identiques ; nous appellerons stable une représentation vériant l'une
de ces deux propriétés. On obtient donc une décomposition de Λ en
Λ = stab ∪ bif
(15)
composée d'un ensemble ouvert de stabilité, et d'un ensemble fermé de bifurcations.
Des exemples typiques de paramètres stables sont les représentations convexes cocompactes. Dans le cas où Λ est une composante connexe de la variété Hom(G, PSL(2, C)),
et qu'elle est non rigide, Sullivan a montré qu'une représentation est stable si et seulement si elle est convexe cocompacte, voir [111]. Ainsi, si une représentation est non
rigide et non convexe cocompacte, alors on peut toujours la perturber de façon à ce
qu'une nouvelle relation apparaisse. Signalons qu'une théorie de la stabilité analogue
n'existe pas en dimension supérieure et qu'il serait très intéressant de la développer.
Des exemples de représentations instables sont les représentations non discrètes, et
forment des ouverts non vides de l'espace des paramètres. Glutsyuk a obtenu une
version quantitative du résultat d'instabilité de Sullivan, voir [56]. Il montre que si
ρ : Fs → PSL(2, C) est une représentation dont l'image est non discrète, alors il existe
c > 0 telle que pour tout n on peut trouver une représentation ρ0 : Fs → PSL(2, C)
telle que le noyau de ρ0 contient un élément non trivial de longueur ≤ n, et telle que
κ
log 1.5
.
||ρ0 (s) − ρ(s)|| ≤ ecn , où κ = log
1.9
En collaboration avec Romain Dujardin, nous avons trouvé dans [29] une version
quantitative du théorème de stabilité de Sullivan d'un autre type. Nous montrons par
exemple que pour tout entier p ≥ 2, tout ε > 0, et pour tout compact K ⊂ bif , on
peut trouver un élément γ ∈ G tel que le ε-voisinage de l'ensemble des résentations
ρ pour lesquelles ρ(γ) est d'ordre p contient K . Ce fait résulte d'un principe plus
général selon lequel ces ensembles s'équidistribuent par rapport à un courant dont
le support est le lieu de bifurcation lorsque γ est choisi comme un mot aléatoire de
grande longueur. Ce résultat tire ses origines de travaux analogues dans les espaces
à paramètres d'applications rationnelles, obtenus par Dujardin-Favre [42], BassanelliBerteloot [6, 7, 8], etc. Pour être plus spécique, introduisons pour tout nombre α ∈ C,
et tout g ∈ G, les sous-variétés analytiques de Λ
Λg,α = {λ ∈ Λ | Tr2 (ρλ (g)) = α}.
(16)
La fonction αg (λ) = Tr2 (ρλ (g)) est un polynôme en les fonctions αs , où s est un générateur de G, dont le degré est de l'ordre de la longueur de g pour la métrique des
mots. Les variétés Λg,α (les niveaux αg = α) sont donc des sous-variétés de plus en plus
compliquées de Λ. Ces variétés Λg,α lorsque g est choisi de façon aléatoire s'équidistribuent dans Λ. Nous montrons dans [29] le théorème d'équidistribution suivant : Pour
toute mesure de probabilité µ sur G avec un moment exponentiel, il existe un courant
Tbif sur Λ, tel que pour tout α ∈ C, et pour µN -presque tout g, on a
1
[Λg ...g ,α ] →n→∞ Tbif .
2n n 1
(17)
Travaux
19
Ici, [Λ0 ] désigne le courant d'intégration sur une sous-variété Λ0 de codimension 1, et
la convergence ayant lieu dans la convergence faible. De plus, le courant Tbif a pour
support le lieu de birfurcation.
Le courant de bifurcation Tbif est en fait donné par une formule très simple, qui fait
intervenir la fonction exposant de Lyapunov sur la variété des caractères. L'exposant
de Lyapunov d'une représentation ρ (vis à vis de la mesure µ) comme étant le nombre
χ = χ(ρ, µ) tel que pour µN -presque tout (gn )n ∈ GN , on a
1
log ||ρ(gn . . . g1 )||.
n→∞ n
χ = lim
(18)
Cet exposant varie de façon localement höldérienne avec la représentation ρ et de façon
pluri-sous-harmonique. Nous montrons que l'exposant de Lyapunov est un potentiel
pour le courant de bifurcation.
On peut spécier ces résultats dans le cas où G est le groupe fondamental d'une
surface de Riemann compacte S de genre ≥ 2. Le théorème (17) ainsi que notre formule
(14) a dans ce cas des applications à l'étude de l'espace des modules des structures projectives complexes sans points de branchement sur la courbe S , que nous noterons
P. Cet espace est biholomorphe à un espace ane complexe de dimension 3g − 3, ce qui
peut se démontrer en utilisant l'équation schwarzienne. Rappelons que Bers a construit
un plongement holomorphe de l'espace de Teichmüller Tg dans P dont l'image est notée
B et appelée la tranche de Bers. C'est un ouvert borné de P ' C3g−3 dont la géométrie
est encore relativement mystérieuse, notamment relativement à sa géométrie fractale.
Notons que dans [87], McMullen développe une analogie entre la tranche de Bers et
l'ensemble de Mandelbrot pour les applications quadratiques. Nous avons trouvé un
certain nombre d'applications qui conrment cette analogie. Elles reposent toutes sur
le fait que l'intérieur du lieu où l'exposant de Lyapunov atteint sa valeur minimale est
l'intérieur de l'ensemble de Mandelbrot dans le cas des applications quadratiques, et
l'intérieur de la tranche de Bers dans le cas des structures projectives complexes sur S .
La première est une preuve alternative du théorème suivant de Shiga, voir [106] :
la tranche de Bers et son adhérence sont polynomialement convexes dans P. Nous
obtenons également un résultat de nature topologique, qui se déduit lui aussi de la
formule 14. Rappelons le théorème de McMullen, voir [88], selon lequel l'ensemble des
structures projectives appartenant au bord de la tranche de Bers qui admettent 3g − 3
courbes fermées simples disjointes d'holonomie parabolique est dense dans ∂B . Le résultat suivant permet de montrer que si l'on va un peu au delà de B , on peut spécier
les 3g − 3 courbes d'holonomie parabolique quitte à commettre une erreur arbitrairement faible. Si γ fermée de S , on note Λγ ⊂ P l'ensemble des structures projectives sur
S dont l'holonomie de γ est parabolique ou l'identité, et on munit P d'une métrique
hermitienne quelconque. Nous montrons que pour tout ε > 0, il existe 3g − 3 géodésiques fermées γ1 , . . . , γ3g−3 sur S , telle que le ε-voisinage de Λγ1 ∩ . . . ∩ Λγ3g−3 contient
∂B . La démonstration de ce résultat repose sur les propriétés du courant de bifurcation. Il est à moduler avec le fait que les courbes paraboliques que l'on construit n'ont
aucune raison d'être fermées simples. A ce propos, rappelons la question du folklore
suivante : est ce que toute représentation instable d'un groupe de surface compacte
dans PSL(2, C) peut être perturbée en une représentation qui admet une courbe fer-
Travaux
20
mée simple parabolique ? Il est bien connu qu'une réponse positive à cette question a
des conséquences intéressantes concernant la dynamique du groupe modulaire sur l'ensemble des représentations (irréductibles) instables modulo conjugaison. Notamment
elle devrait impliquer l'ergodicité par rapport à la mesure de Lebesgue, en utilisant la
technique de Goldman [59].
5
Dynamique unidimensionnelle
Une question qui est récurrente dans mes recherches est celle de comprendre dans
quelles situations un système dynamique peut développer des ensembles limites de type
fractal, et dans ce cas, de décrire la géométrie de l'ensemble limite en question, par
exemple, déterminer leur dimension de Hausdor, et s'ils sont de mesure de Lebesgue
nulle. Il s'avère que de tels ensembles limites ne peuvent apparaître que dans des
situations très particulières. Je présente dans cette partie un certain nombre de résultats
allant dans cette direction. Le dernier paragraphe est un peu diérent et traite des
groupes ordonnables, c'est à dire des groupes qui se plonge dans Homeo+ (R). Il illustre
bien le lien entre les propriétés algébriques des groupes et les propriétés dynamiques
de leurs actions.
5.1 Groupes de diéomorphismes du cercle
Je décris dans cette partie un ensemble de travaux [34, 35, 36], obtenus pour la
plupart en collaboration avec Victor Kleptsyn et Andrés Navas, qui ont contribué à la
résolution de ce problème dans le cas des groupes de diéomorphismes du cercle.
Le premier résultat illustrant ce phénomène est un célèbre théorème de Denjoy qui
remonte à 1932 : un diéomorphisme de classe C 2 du cercle dans lui-même de nombre
de rotation irrationnel a toutes ses orbites denses. En d'autres termes, il n'y a pas
d'ensembles limites stricts. Dans ce théorème, la question de la régularité du diéomorphisme est essentielle : Hermann a construit des exemples de diéomorphisme de
nombre de rotation irrationnel et de régularité C 1+α pour un nombre α < 1 arbitrairement proche de 1. En collaboration avec Victor Kleptsyn et Andrés Navas, nous nous
sommes intéressé à l'étude des actions par diéomorphismes sur le cercle du groupe
abébien libre Zd . Nous nous sommes aperçu que dans ce contexte, la régularité optimale
pour l'apparition d'un ensemble limite non trivial dépend de la structure algébrique
du groupe considéré, c'est à dire ici du rang du groupe abélien : Soit d ≥ 2 un entier
et α > 1/d un nombre. Alors toute action de Zd sur le cercle de vecteur de rotation
complètement irrationnel et de classe C 1+α a toutes ses orbites denses. A contrario, si
α < 1/d, il existe des actions de Zd sur le cercle de vecteur de rotation complètement
irrationnels, et qui ont des ensembles invariants homéomorphes à l'ensemble de Cantor. Le principe de démonstration de ce résultat repose sur des méthodes probabilistes,
inspirées de mon travail en collaboration avec Victor Kleptsyn sur l'unicité des mesures
harmoniques décrit à la partie 3.1.
Si l'on cherche à comprendre les groupes de diéomorphismes analytiques du cercle,
on est obligé de restreindre très fortement la structure algébrique du groupe considéré
Travaux
21
pour espérer obtenir des ensembles limites non triviaux. Ghys a en eet démontré que
si un groupe de diéomorphismes analytiques du cercle de type ni admet un minimal exceptionnel, alors il est virtuellement un groupe non abélien libre. 9 Nous avons
démontré qu'on peut en fait comprendre l'action du groupe à conjugaison topologique
près : si un groupe de type ni agit sur le cercle et préserve un minimal exceptionnel,
alors l'action est markovienne. Cette propriété nous a permis de résoudre un conjecture
de Ghys, Hector et Sullivan datant des années 80 sur le sujet, qui est l'analogue de la
conjecture d'Ahlfors en théorie des groupes kleiniens : les minimaux exceptionnels des
groupes de diéomorphismes analytiques de type nis sont de mesure nulle.
Les méthodes que l'on a développées pour résoudre ce problème permettre de comprendre également les actions des groupes de diéomorphismes analytiques du cercle
qui sont minimales : nous montrons que Si G est un groupe non abélien libre agissant
dèlement sur le cercle, et dont toutes les orbites sont denses, alors l'action est ergodique. Je pense que l'on peut s'aranchir de l'hypothèse sur la structure algébrique
du groupe G.
5.2 Le dictionnaire de Sullivan
Dans cette partie, je présente des travaux faisant partie d'un projet ayant pour
but de comprendre la dynamique des pseudo-groupes de transformations holomorphes
agissant sur une variété complexe. Étant donnée une variété complexe X , un pseudogroupe de transformations holomorphes est un ensemble de biholomorphismes entre
ouverts de S , qui contient l'identité et qui est stable par les opérations suivantes :
composition, passage à l'inverse, restriction, concaténation.
Une famille importante d'exemples sont les pseudo-groupes d'holonomie des feuilletages holomorphes singuliers sur les variétés algébriques complexes. Ces derniers contiennent toute l'information dynamique du feuilletage. Par exemple, la minimalité/ergodicité du feuilletage (le fait que toutes les feuilles soient denses, ou que le feuilletage
soit ergodique) se traduit par la minimalité/ergodicité du pseudo-groupe. De même,
les ensembles limites du feuilletage ont la structure locale du produit d'un disque par
l'ensemble limite du pseudo-groupe d'holonomie.
D'autres exemples sont les correspondances algébriques ; en particulier, les fractions
rationnelles agissant sur la sphère de Riemann, ou les groupes kleiniens. L'étude de ces
derniers a connu un développement spectaculaire ces quarante dernières années. Mais
les correspondances algébriques en général restent assez méconnues. Citons les travaux [14] très intéressants de Bullett et Penrose, qui ont construit des correspondances
algébriques en accouplant des groupes kleiniens avec des applications rationnelles. En
dimension supérieure, le domaine est très largement ouvert.
Je commence par me restreindre au cas de la dimension 1. Je pense vraisemblable
que l'on puisse classier les pseudo-groupes de transformations holomorphes sur les
surfaces de Riemann qui produisent des ensembles limites de type fractal, et en fait
9. Un minimal exceptionnel est un Cantor invariant par le groupe et dans lequel toutes les orbites
sont denses. Il a des propriétés analogues à l'ensemble limite en théorie des groupes Kleiniens.
22
Travaux
dès qu'ils ne sont pas analytiques. La dénition d'ensemble limite est à préciser, je
prendrai comme dénition celle d'un ensemble fermé invariant dans lequel toutes les
orbites sont denses. Un tel ensemble est appelé un ensemble minimal. Par exemple, dans
le cas du pseudo-groupe constitué des branches d'une application rationnelle, il existe
un unique ensemble minimal : l'ensemble de Julia. Dans celui d'un groupe kleinien non
élémentaire, il est aussi unique et coïncide avec l'ensemble limite du groupe au sens
classique. J'ai décrit dans le paragraphe précédent un ensemble de travaux obtenus en
collaboration avec Victor Kleptsyn et Andrés Navas sur la description de ces ensembles
dans le cas des groupes de diéomorphismes analytiques du cercle.
Il est bien possible que, quitte à ajouter certaines hypothèses, notamment la génération compacte d'Haeiger que je ne vais pas détailler ici (voir [64]), les minimaux des
pseudo-groupes de biholomorphismes sur les surfaces de Riemann soient conjugués
analytiquement à l'ensemble limite d'un groupe kleinien ou à l'ensemble de Julia d'une
application à allure polynomiale généralisée, c'est à dire d'une application holomorphe
propre f : U ⊂ V → V , où U est un ouvert relativement compact de V . Par exemple,
je conjecture que c'est le cas si Λ est un ensemble minimal sur lequel le pseudo-groupe
agit de façon hyperbolique, c'est à dire que pour tout point de Λ il existe un élément du
pseudo-groupe ayant une dérivée de module strictement supérieure à 1. J'appelle un tel
ensemble un ensemble conformément auto-similaire. Je conjecture que : un ensemble
conformément auto-similaire contenu dans une surface de Riemann est (localement)
analytiquement conjugué à l'ensemble limite d'un groupe kleinien ou bien à l'ensemble
de Julia d'une application à allure polynomiale généralisée.
J'ai démontré une version faible de cet énoncé de rigidité diérentiable, que je
suis en train de rédiger : ou bien le pseudo-groupe est analytiquement conjugué à un
groupe kleinien, ou bien les orbites sont quasi-isométriques à des arbres. De plus, si
les orbites sont vraiment des arbres, alors je sais montrer eectivement que le pseudogroupe est celui d'une application d'allure polynomiale généralisée, néanmoins je ne
sais pas montrer que les orbites sont quasi-isométriques à des arbres implique le
pseudo-groupe est conjugué au pseudo-groupe d'une application à allure polynomiale
généralisée .
Je fais remarquer que la condition d'hyperbolicité est conjecturée être générique
dans l'espace des paramètres d'applications rationnelles, et qu'elle est eectivement
générique dans les espaces à paramètre de groupes kleiniens. C'est donc une hypothèse
raisonnable à eectuer en premier lieu, pour aborder un problème d'une si grande
généralité. Il s'agit néanmoins d'une hypothèse très forte, et comprendre ce qui se
passe dans le cas non hyperbolique est un dé intéressant à attaquer en second lieu.
5.3 Groupes ordonnables et actions presque-périodiques sur la
droite réelle
Un groupe est dit ordonnable à gauche s'il possède un ordre total qui est invariant
par multiplication à gauche. La théorie des groupes ordonnables a vu le jour dans les
travaux de Dedekind, Hölder et Hilbert, mais gurait déjà en ligrane dans les premiers
travaux de Poincaré sur la dynamique des homéomorphismes agissant sur le cercle. Les
Travaux
23
exemples classiques de groupes ordonnables sont les groupes nilpotents sans torsion,
les groupes non abéliens libres etc... Plus récemment, cette théorie a retrouvé un regain
d'intérêt avec la découverte de nouveaux groupes ordonnables d'origine géométrique.
Je renvoie à notre livre [39] pour un panorama sur ces questions.
Trouver des obstructions pour qu'un groupe soit ordonnable est un problème dicile, la seule contrainte tout à fait générale connue à ce jour étant l'existence de torsion.
Ce problème doit certainement être spécié à certaines classes de groupes. Par exemple,
une conjecture de Boyer-Gordon-Watson prédisent que l'ordonnabilité du groupe fondamental d'une variété compacte de dimension trois est reliée à l'existence de structures géométriques/topologiques particulières sur la variété, l'existence d'un feuilletage
tendu qui est R-revêtu, ou à la propriété d'être un L-espace. Deux autres conjectures
m'ont particulièrement intéressé. D'abord, une conjecture de Witte :les réseaux dans
les groupes de Lie semi-simples de rang supérieur à 2 ne sont jamais ordonnable. Witte
a vérié cette conjecture dés que le Q-rang de la variété symétrique est supérieur à 2,
par une méthode astucieuse qui ne se généralise pas au cas général. La conjecture de
Witte fait partie d'un programme plus général, imaginé par Zimmer, pour montrer que
les réseaux dans les groupes de Lie simple de grand rang ne peuvent pas agir sur des
variétés de petite dimension. En eet, on peut montrer qu'un groupe dénombrable est
ordonnable si et seulement s'il se plonge dans le groupe Homeo+ (R), le groupe des homéomorphismes croissants de R. Une autre conjecture, formulée par Linnell, constitue
une adaptation de l'alternative de Tits aux groupes ordonnables : elle stipule qu'un
groupe ordonnable de type ni admet un premier nombre de Betti non nul, ou bien il
contient un groupe non abélien libre.
J'ai introduit une notion [27] qui me parait intéressante pour approcher ces deux
conjectures, celle d'action presque-périodique d'un groupe sur la droite réelle. Il s'agit
des actions ρ : G → Homeo+ (R) qui, après conjugaison par les translations, restent
dans un compact de l'espace de toutes les actions, pour la topologie compacte ouverte,
c'est à dire que l'ensemble des actions τt ◦ ρ ◦ τt−1 pour t ∈ R avec τt (s) = s + t,
est relativement compact. De façon équivalente, une action ρ : G → Homeo+ (R) est
presque-périodique s'il est possible de constuire un ot Φ : R × X → X agissant
librement sur un espace compact, et une action ρ̂ : G × X → X sur cet espace qui
préserve individuellement chaque orbite du ot, et telle que l'action ρ est conjuguée
par une translation à la restriction de ρ̂ à une certaine Φ-orbite, c'est à dire qu'il existe
x0 ∈ X tel que pour tout g ∈ G et tout t ∈ R,
ρ̂(g)(Φt x0 ) = Φρ(g)(t) (x0 ).
(19)
Il est facile de construire des actions presque-périodiques à partir d'une action sur
la droite, par exemple en la conjuguant de façon à ce qu'elle tende vers l'action identité
à l'inni. Il est donc important d'imposer certaines propriétés supplémentaires, par
exemple celle de n'avoir pas de point presque xe. De façon équivalente, cela revient à
dire que l'action de G sur l'espace compact X n'a pas de point xe. Le résultat principal
de ma note est le suivant : tout groupe ordonnable dénombrable admet une action
presque-périodique sur R sans point presque-xe. Autrement dit, il admet une action
sans point xe sur un espace compact muni d'un ot, et préserve individuellement
Travaux
24
chaque orbite du ot. En prenant une orbite récurrente par le ot, on peut penser
à l'action de G sur X comme à une presque action de G sur un cercle. Cette idée
heuristique est très intéressante, car on sait montrer les deux conjectures sus-citées dans
le cas des groupes qui admettent des actions sur le cercle sans orbite nie. D'ailleurs,
comme application de cette méthode, j'ai pu donner une démonstration alternative très
simple d'un cas particulier de la conjecture de Linnell, démontré par Witte : un groupe
ordonnable, moyennable et de type ni admet un premier nombre de Betti non nul.
Il s'avère qu'il existe un moyen très naturel, quoique assez élaboré, pour construire
des actions presque-périodiques sur la droite réelle. Il s'agit d'un travail en collaboration
avec Victor Kleptsyn, Andrés Navas, et Kamlesh Parwani [37]. La méthode consiste à
employer une marche aléatoire sur le groupe G, dénie par une probabilité µ symétrique
et à support ni. En démontrant des propriétés de récurrence pour le processus de
Markov induit sur la droite, nous avons montré que toute action sans orbite discrète
sur la droite réelle est semi-conjuguée à une action harmonique au sens suivant
Z
ρ(g)(x)dµ(g) = x pour tout x ∈ R.
(20)
De plus, la conjugaison est unique modulo post-composition par un élément du groupe
ane. Les actions harmoniques sont très intéressantes, notamment parce qu'elles sont
presque périodiques. Je pense qu'elles pourraient être très utiles pour montrer la conjecture sur la non ordonnabilité des réseaux des groupes de Lie de rang ≥ 2.
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CNRS UMR 8553
DMA, Ecole normale supérieure
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75005 Paris
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