Scientifique (cours) - Rorthais

Transcription

4e A - programme 2011 – mathématiques – ch.G4 – cahier élève
Page 1 sur 10
Ch.G4 : Cosinus
Activité n°1 page 188
1) Vocabulaire
a) Sur ton cahier, trace une figure analogue à celle
C
ci-contre et repasse en rouge les côtés de l'angle ACB .
B
A
1) Vocabulaire
C
a)
B
A
b) Quelle est la nature du triangle ABC ?
Comment s'appelle le côté [BC] ?
b) Le triangle ABC est rectangle en A .
Le côté [BC]
hypoténuse du triangle ABC.
c) Le côté [AC] est appelé le côté adjacent à l'angle ACB . Nomme le côté adjacent à l'angle ABC .
c)
ABC est [AB] .
2) Côté adjacent
Pour les trois triangles ci-dessous, écris le plus de phrases possibles contenant le mot « hypoténuse » puis fais de
même avec l'expression « côté adjacent ».
M
D
Q
P
S
@options;
@figur e;
T=point(1,1) {noir};
Q=point( 0.93,2.93){noir,
(-0.43,-0.9)};
@options;
@figur e;
O=point( 1,1){noir};
(-0D
.4=
3,poi
-0.9n
)};t( - 1.87,3.47){noir,
A
T
@options;
@figur e;
L=point(1,1) {noir};
=-0poi
nt(-2.3,5.4){noir ,
(-0.4M3,
.9)};
O
L
2) Côté adjacent
[AQ]
AQT.
[MP]
LMP.
[QT]
AQT.
[AT] est le
QAT.
[ML]
LMP.
[PL]
MPL.
angle aigu
Activité n°2 page 188
Les perpendiculaires en A,
B, C et D à la demi-droite
[Ox) coupent la demi-droite
[Oi) respectivement en A',
B', C' et D'.
1
er
y
cas :
D'
2 èm e cas :
C'
B'
A'
B'
C'
D'
y
A'
O
O
A
B C
D
A
B
C
D
x
x
Pour chaque cas :
a) Complète le tableau suivant :
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
OA 
OA' 
OA

OA'
OB 
OB' 
OB

OB'
Page 2 sur 10
OC 
OC' 
OC

OC'
OD 
OD' 
OD

OD'
a) 1er cas :
OA  1,7 cm
OB  2,5 cm
OC  3 cm
OD  3,8 cm
OA'  2cm
OA
 0,85
OA'
OB'  3 cm
OB
 0,83
OB'
OC'  3,6 cm
OC
 0,83
OC'
OD'  4,6 cm
OD
 0,83
OD'
OB  3,1 cm
OC  4,3 cm
OD  5,2 cm
2e cas :
OA  2,3 cm
OA'  2,4 cm
OA
 0,96
OA'
OB'  3,2 cm
OC'  4,4 cm
OD'  5,35 cm
OB
OC
OD
 0,97
 0,98
 0,97
OB'
OC'
OD'
OA OB OC
OD
b) Que dire des rapports
;
;
et
? Ces rapports dépendent-ils des points A, B, C et D choisis sur la
OA' OB' OC' OD'
demi-droite [Ox) ? De quoi dépendent-ils alors ?
OA OB OC OD
b) Dans les deux cas :



.
OA' OB' OC' OD'
Non , ces rapports ne dépendent pas des points A, B, C et D choisis.
Ils dépendent de
xOy .
c) Mesure l'angle xOy puis tape sur ta calculatrice (fais attention qu'elle soit en mode degrés) cos xOy en remplaçant
xOy par la valeur mesurée. Que remarques-tu ?
c) 1er cas : xOy  34° et cos xOy  0,83
2e cas : xOy  14° et cos xOy  0,97
On constate que : cos xOy 
OA OB OC OD



.
OA' OB' OC' OD'
Activité n°4 page 189 Cosinus et calculatrice
1) À partir des mesures
a) Quelle est l'hypoténuse du triangle rectangle GRP ? Quel est le côté
P
adjacent à l'angle PGR ?
b) Exprime le cosinus de l'angle PGR en fonction des longueurs GP et
GR puis calcule-le.
3 cm
c) En utilisant la calculatrice, calcule cos PGR en remplaçant PGR par
sa mesure. Que constates-tu ?
60°
R
G
6 cm
1) A partir des mesures
a)
GRP est [GR] .
PGR est [GP] .
b) cos PGR =
GP
3 1
= = = 0,5 .
GR 6 2
c) cos PGR = cos 60° = 0,5
2) À l'aide de la calculatrice
Complète le tableau suivant à l'aide de la calculatrice. Tu donneras la valeur arrondie du cosinus de l'angle à 0,01
près et la valeur arrondie de l'angle au degré près.
x
cos x
25°
1°
60°
0,78
0,99
45°
0,45
Page 3 sur 10
2)
1
x
25°
1°
39°
8°
60°
63°
45°
cos x
0,91
1
0,78
0,99
0,5
0,45
0,71
DÉFINITIONS
1.1 Vocabulaire
DÉFINITIONS 1
Dans un triangle rectangle,
l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit (c’est le plus long des trois côtés) ;
le côté adjacent à un angle aigu est le côté de cet angle qui n'est pas l'hypoténuse.
Exemple 1 :
Le triangle TUK est rectangle en K.
Quelle est son hypoténuse ? Quel est le côté adjacent à l'angle?
Solution :
Le triangle TUK est rectangle en K.
On fait un schéma à main levée.
U
K
T
Son hypoténuse est donc le côté [TU].
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Le côté adjacent à l'angle TUK est le côté
[UK].
On repère les côtés de l'angle TUK : [UT] et [UK].
Le côté adjacent à l'angle TUK est celui de ses côtés qui
n'est pas l'hypoténuse : c'est donc [UK].
Remarque 1 :
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, c'est-à-dire que la somme de leurs
mesures vaut 90°.
Ainsi, lorsqu'on connaît la mesure d'un des angles aigus d'un triangle rectangle, la mesure de l'autre angle
aigu s'obtient par simple soustraction. Par exemple, dans le triangle TUK ci-dessus, si on sait que l'angle
TUK mesure 28°, alors l'angle UTK mesure 90° – 28°, soit 62°.
1.2 Cosinus d’un angle aigu
ex 1 et 2
DÉFINITION 2
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet
angle par la longueur de l'hypoténuse.
Exemple 2 :
Le triangle TRI est rectangle en R. Écris la formule donnant le cosinus de l'angle TIR.
Solution :
T
Le triangle TRI est rectangle en R.
On fait un schéma.
R
cos TIR =
côté adjacent à TIR
hypoténuse
On écrit la formule.
cos TIR =
RI
TI
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Dans le triangle TRI l'hypoténuse est donc [IT].
I
Le côté adjacent à l'angle TIR est le côté joignant le
sommet de l'angle droit au sommet de l'angle. Le côté
adjacent à l'angle est donc [RI].
Remarque 2 :
Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
Exercice n°1 page 193
ALI est un triangle rectangle en L.
Écris les rapports de longueurs donnant cos IAL et cos AIL .
Page 4 sur 10
A
Dans le triangle ALI rectangle en L :
cos IAL =
AL
IL
et cos AIL=
.
AI
IA
L
I
ZOE est un triangle rectangle en Z. Les rapports suivants sont-ils les cosinus d'un angle aigu de ZOE et si oui lequel :
OZ EO EZ ZO
;
;
et
?
OE EZ EO ZE

OZ côté adjacent à ZOE
=
= cos ZOE .
OE hypoténuse de ZOE

EO est l'hypoténuse du triangle ZOE, donc
O
EO
EZ
pas le cosinus
E
Z
aigu de ZOE.

EZ côté adjacent à OEZ
=
= cos OEZ .
EO hypoténuse de ZOE

La longueur de l'hypoténuse [OE] du triangle ZOE rectangle en Z ne figure pas dans ce quotient.
Donc
ZO
n'est pas le cosinus d'un angle du triangle ZOE.
ZE
Exercice n°1 page 194 Attention au triangle !
a) Dans le triangle rectangle BEU :
 quelle est l'hypoténuse ?
B

quel est le côté adjacent à l'angle BUE ?

quel est le côté adjacent à l'angle EBU ?
L
b) Dans le triangle rectangle BEL :
c) Dans le triangle rectangle BLU :
E

quel est le côté adjacent à l'angle BLE ?

quel est le côté adjacent à l'angle BLU ?

quel est le côté adjacent à l'angle EBL ?

quel est le côté adjacent à l'angle BUL ?
a) Dans le triangle BEU :
b) Dans le triangle BEL :
c) Dans le triangle BLU :

U
[BU] .

le côté adjacent à BUE est [EU] .

le côté adjacent à EBU est [BE] .

[BL] .

le côté adjacent à BLE est [LE] .

le côté adjacent à EBL est [BE] .

[UL] .

le côté adjacent à BLU est [BL] .

le côté adjacent à BUL est [BU] .
Exercice n°2 page 194 Histoire d'angles
a) Dans le triangle ONU :

quel est le côté adjacent à l'angle ONU ?

quel est le côté adjacent à l'angle OUN ?
N
U
b) Écris le cosinus de l'angle ONU et le cosinus de l'angle OUN .
O
a) Dans le triangle ONU :

le côté adjacent à ONU est [ON] .

le côté adjacent OUN est [OU] .
b) cos ONU =
Page 5 sur 10
ON
OU
et cos OUN =
.
UN
UN
Dans chaque cas, écris, si possible, le cosinus de l'angle LAC .
A
L
a)
b)
c)
d)
A
A
L
L
A
C
L
a) cos LAC =
AL
.
AC
b) cos LAC =
AL
.
AC
S
C
C
C
c) LAC est un angle droit, on ne peut pas calculer son cosinus.
d) Le triangle LAC
peut pas calculer le cosinus de LAC.
SEL est un triangle rectangle en S. Écris le cosinus de l'angle SEL.
SE
cos SEL =
EL
Exercice n°5 page 194 Quelle écriture pour quel angle ?
U
a)
De quel angle calcule-t-on le cosinus lorsqu'on écrit :
UI
?
UV
b)
VI
?
VU
I
V
UI
a)
= cos IUV
UV
VI
= cos IVU
VU
b)
A l'aide de ta calculatrice, donne l'arrondi au centième des cosinus suivants :
cos 78°
cos 35°
cos 56°
cos 12°
cos 78°  0,21
cos 35°  0,82
cos 56°  0,56
cos 12°  0,98
A l'aide de ta calculatrice, donne, si possible, l'arrondi à l'unité des angles dont le cosinus vaut :
0,5
0,1
0,78
1,7
0,5 = cos 60°
0,1  cos 84°
0,78  cos 39°
1,7 : impossible
Complète le tableau suivant avec des troncatures au dixième :
72
Angle (en degrés) 26
0,7 0,01
Cosinus de l'angle
Angle (en degrés)
26
45,5
89,4
72
Cosinus de l'angle
0,8
0,7
0,01
0,3
2
Page 6 sur 10
CALCULS D’UNE LONGUEUR
2.1 Calcul de la longueur du côté adjacent
ex 3
Exemple 3 :
On considère un triangle LEA rectangle en E tel que LA = 5 cm et
ELA = 50°.
Calcule la longueur du côté [LE] arrondie au millimètre.
Solution :
50°
5 cm
A
Le triangle LEA est rectangle en E donc :
cos ELA =
L
E
On cite les hypothèses : un triangle rectangle.
On écrit le cosinus d'un angle : la longueur cherchée
doit apparaître dans le rapport.
côté adjacent à ELA
hypoténuse
EL
LA
EL = LA × cos ELA
EL = 5 × cos 50°
cos ELA =
On applique la règle des produits en croix.
On vérifie que la calculatrice est en degrés.
On saisit 5 ×
50.
On donne le résultat arrondi, correctement à partir
de la valeur approchée que donne la calculatrice.
EL ≈ 3,2 cm
Le triangle NIV est rectangle en N, VI = 10 cm et l'angle VIN mesure 12°. Donne la valeur arrondie au dixième de la
longueur NI.
VIN est rectangle en N donc : cos NIV =
soit cos 12° =
IN
IV
V
IN
.
10
10
cm
12°
donc IN = 10 × cos 12° ≈ 9,8 cm .
I
N
Exercice n°9 page 194 Calcul de la longueur du côté adjacent
T
a) Écris le cosinus de l'angle TIO.
b) Déduis-en la longueur TI.
c) Quelle est la mesure de l'angle TOI ?
d) Écris le cosinus de l'angle TOI.
e) Déduis-en la longueur TO.
a) cos TIO =
60°
O
5 cm
I
IT IT
=
IO
5
b)
cos 60° =
TI
5
TI = 5 cos 60° = 2,5 cm .
c) Dans le triangle TIO, on a OTI = 90° et TIO = 60°.
Propriété : dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Donc TOI = 180° – (90° + 60°) = 180° – 150° = 30° .
d) cos TOI =
e)
OT OT
=
OI
5
d), on a cos 30° =
OT
5
OT = 5 cos 30°  4,3 cm .
Page 7 sur 10
Exercice n°10 page 195 Calcul de la longueur du côté adjacent, bis
S
a) Écris le cosinus de l’angle ISX.
b) Déduis-en la longueur SX, au millimètre près.
4,
27°
5
cm
I
X
a) cos ISX =
SX SX
=
.
SI
4,5
b)
cos 27° =
SX
,
4,5
SX = 4,5 cos 27°  4 cm
TER est un triangle rectangle en E tel que TR = 6 cm et TRE = 50°. Donne l'arrondi au centième de ER.
RE
RE
cos TRE =
cos 50° =
et donc RE = 6 cos 50°  3,86 cm .
RT
6
Exercice n°27 page 197 Avec deux triangles, bis
a) Calcule AT. Tu en donneras l'arrondi au millimètre.
b) Déduis-en la mesure de RT arrondie au millimètre.
A
S
m
6 ,5 c
43°
27°
R
T
a) Le triangle TAS est rectangle en T donc :
AT
cos TAS =
AS
AT
cos 43° =
6,5
AT = 6,5  cos 43°
AT  4,8 cm .
b) Le triangle ATR est rectangle en R donc :
RT
cos ATR =
AT
RT
cos 27° 
4,8
RT  4,8  cos 27°
RT  4,3 cm .
2.2 Calcul de la longueur de l’hypoténuse
ex 4
Exemple 4 :
On considère PAT un triangle rectangle en T tel que AT = 7 cm et
PAT = 25°.
Calcule la longueur du côté [PA] arrondie au millimètre.
Solution :
T
7
cm
25°
Le triangle PAT est rectangle en T donc
cos PAT =
côté adjacent à PAT
hypoténuse
AT
PA
AT
PA =
cos PAT
A
On cite les hypothèses : un triangle rectangle.
P
On écrit le cosinus de l'angle connu.
cos PAT =
On applique la règle des produits en croix.
PA =
Page 8 sur 10
On vérifie que la calculatrice est en degrés.
7
cos 25°
On saisit 7 :
25.
On donne la valeur affichée par la calculatrice, en
arrondissant au mm comme le demande l’énoncé.
PA ≈ 7,7 cm
Remarque 3 :

Attention : la calculatrice doit être réglée en degrés !

Il faut penser à vérifier la cohérence du résultat : la longueur de l'hypoténuse doit être supérieure à celles
des autres côtés.
Exercice n°11 page 195 Calcul de l'hypoténuse
D
a) Écris le cosinus de l'angle IDX .
b) Déduis-en l'arrondi au dixième de la longueur DX.
43°
X
3,
5
cm
I
DI
3,5
a) cos IDX =
=
DX DX
b)
cos 43° =
3,5
,
DX
DX =
3,5
 4,8 cm .
cos 43°
Le triangle AUE est rectangle en U : UA = 3 cm et EAU = 19°. Donne la valeur arrondie au dixième de la longueur de
[EA].
EAU est rectangle en U donc : cos EAU =
soit cos 19° =
AE =
AU
AE
E
3
AE
3
≈ 3,2 cm .
cos 19°
19°
3 cm
U
A
69°
U
B
U
2 ,3 cm
56°
S
c)
d)
B
T
cm
B
Y
22°
U
2,
7c
cm
4 ,3
25
4 cm
2,
Dans chaque cas, calcule BU (donne l’arrondi au dixième).
a) Z
b)
B
38°
U
m
S
a) cos
b) cos
c) cos
d) cos
UB
BUZ =
UZ
BS
SBU =
BU
UB
BUY =
UY
BT
TBU =
BU
UB
cos 56° =
et donc BU = 4 cos 56°  2,2 cm .
4
2,3
2,3
cos 69° =
et donc BU =
 6,4 cm .
BU
cos 69°
UB
cos 22° =
et donc BU = 4,3 cos 22°  4 cm .
4,3
2,25
2,25
cos 38° =
et donc BU =
 2,9 cm .
BU
cos 38°
BON est un triangle rectangle en O tel que ON = 4 cm et ONB = 40°. Donne la troncature au centième de BN.
NO
4
4
cos ONB =
cos 40° =
et donc BN =
 5,22 cm .
NB
NB
cos 40°
3 CALCUL DE LA MESURE D’UN ANGLE
EX
5
Exemple 5 :
Soit FUN un triangle rectangle en U tel que NF = 6 cm et UN = 4 cm.
Calcule la mesure de l'angle UNF arrondie au degré. Déduis-en la valeur approchée au degré près
Page 9 sur 10
de la mesure de l'autre angle aigu du triangle.
Solution :
Le triangle FUN est rectangle en
On reporte les hypothèses sur un schéma
à main levée du triangle rectangle
U.
puisque la consigne ne le fournit pas.
U
4
cm
F
6 cm
N
cos UNF =
côté adjacent à UNF
hypoténuse
On écrit le cosinus de l'angle cherché.
UN
NF
4
cos UNF=
6
UNF ≈ 48°
cos UNF =
On remplace les longueurs par leurs valeurs numériques.
On saisit
puis
(4 : 6), et on arrondit à l’unité la
mesure de l’angle affichée par la calculatrice.
Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.
Ainsi UNF + NFU = 90° soit NFU  90° – 48°  42°.
Remarque 4 :

Attention : assure-toi que la calculatrice est bien réglée en degrés !

La touche « cosinus » de la calculatrice donne, en général, des valeurs approchées.

Si l'on a effectué dans un exercice une figure en vraie grandeur alors il faut penser à aller vérifier la
cohérence de ses résultats en effectuant les mesures sur la figure.
Le triangle EXO est rectangle en X : OX = 3 cm et OE = 7 cm. Calcule les valeurs arrondies au degré de la mesure des
angles EOX et XEO.
OX
E
 EXO est rectangle en X donc : cos XOE =
OE
7
cm
3
soit cos XOE = .
7
À l'aide de la calculatrice, on obtient : XOE ≈ 65° .

O
3 cm
X
Par ailleurs, dans le triangle EXO rectangle en X, XOE et XEO sont complémentaires donc :
XEO  90° – 65°  25° .
Exercice n°15 page 195 Quand les côtés de l'angle sont connus
C
a) Écris le cosinus de l'angle CAR.
2,
5
cm
b) Déduis-en la mesure arrondie au degré de l'angle CAR.
A
a) cos CAR =
R
4 ,4 cm
AC 2,5 25
=
=
AR 4,4 44
b) On en déduit : CAR  55° .
8
C
2 ,1 cm
Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angle BAC , si possible (donne l'arrondi à l'unité).
B
6
C
a)
b) A
c) B
cm
9 cm
3,
5
cm
8
2 ,8 cm
C
A
AB 8
=
AC 9
6 ,7 cm
23°
10
C
A
B
a) cos BAC =
d) A
S
B
BAC  27° .
AB 2,1 21 7  3 3
=
=
=
= = 0,6
AC 3,5 35 7  5 5
AB 8
c) cos BAC =
=
= 0,8
BAC  37° .
AC 10
b) cos BAC =
Page 10 sur 10
BAC  53° .
d) BAC = 180 – (90° + 23°) = 180° – 113° = 67° .
Exercice n°18 page 195 Dans le gaz !
G
a) Détermine la valeur de GZA.
b) Donne l'arrondi au dixième de GZ.
A
27°
Z
6 ,6 cm
a) GZA = 180° – (27° + 90°) = 180° – 117° = 63° .
ZG
ZG
b) cos GZA =
cos 63° =
et donc ZG = 6,6 cos 63°  3 cm .
ZA
6,6
Exercice n°19 page 196 Extrait du brevet
a) Paul veut installer chez lui un panier de basket. Il doit le fixer à 3,05 m du sol.
L'échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long.
À quelle distance du pied du mur doit-il placer l'échelle pour que son sommet soit
juste au niveau du panier ? Donner une valeur approchée au cm près.
b) Calculer l'angle formé par l'échelle et le sol. Donner une valeur approchée au degré
près.
a) La situation peut être représentée par la figure ci-contre. On cherche
ME.
S
Le triangle SME est rectangle en M, son hypoténuse est le côté [SE].
:
2
2
2
SE = ME + MS
3,22 = ME2 + 3,052
10,24 = ME2 + 9,3025
ME2 = 10.24 – 9,3025
ME2 = 0,9375 m2.
M
E
ME = 0,9375  0,97 m .
b)
MES.
cos MES =
EM 0,97

ES 3,2
MES  72° .

Scientifique (cours) - Rorthais

Transcription

Documents pareils

le cos vous propose une vente tupperware les cheques sont a l

note nitro circus et keen v - Pagesperso

tarif unique : 3,00

décembre 2001

lit et mixe ocean

formulaire d`abonnement

TI-collège Plus

COMMENT BIEN UTILISER SA CASIO FX

Conseiller(ère) relation Client à DistanCe

Journal - COS de Montreuil