Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol

Transcription

Partie III :
Amélioration des performances
des télémètres laser temps de vol
Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol
TABLE DES MATIÈRES
1. INTRODUCTION _______________________________________________________ 80
2. TECHNIQUES NUMERIQUES ____________________________________________ 81
2.1 Conversion analogique numérique ____________________________________________ 81
2.1.1 Echantillonnage __________________________________________________________________ 81
2.1.1.1 Définition ___________________________________________________________________ 81
2.1.1.2 Théorème d’échantillonnage_____________________________________________________ 82
2.1.1.3 Signaux à durée limitée_________________________________________________________ 82
2.1.1.4 Echantillonnage d’une impulsion _________________________________________________ 83
2.1.2 Précision et Quantification__________________________________________________________ 83
2.2 Techniques numériques pour l’estimation du temps de vol ________________________ 84
2.2.1 Régression ______________________________________________________________________ 84
2.2.1.1 Régression linéaire ____________________________________________________________ 84
2.2.1.2 Régression non-linéaire ________________________________________________________ 87
2.2.2 Filtrage adapté, mesure de retard par corrélation ________________________________________ 87
2.2.2.1 Principe_____________________________________________________________________ 88
2.2.2.2 Précision de la mesure, application aux signaux télémétriques___________________________ 89
2.2.3 Filtrage adaptatif, techniques adaptatives ______________________________________________ 90
2.2.3.1 Principe_____________________________________________________________________ 91
2.2.3.2 Application à la mesure d’un retard _______________________________________________ 92
2.3 Techniques numériques adaptées au débruitage des signaux _______________________ 95
2.3.1 Statistiques d’ordre supérieur (SOS) __________________________________________________ 95
2.3.1.1 Définitions __________________________________________________________________ 95
2.3.1.2 Propriétés ___________________________________________________________________ 97
2.3.1.3 Multicorrélation ______________________________________________________________ 97
2.3.1.4 Applications _________________________________________________________________ 97
2.3.1.4.1 Cumulant d’ordre 4________________________________________________________ 97
2.3.1.4.2 Multicorrélation __________________________________________________________ 98
2.3.2 Transformée en ondelettes __________________________________________________________ 99
2.3.2.1 Transformée en ondelettes continues (TOC) ________________________________________ 99
2.3.2.1.1 Définition ______________________________________________________________ 100
2.3.2.1.2 Quelques propriétés ______________________________________________________ 101
2.3.2.1.3 Première approche de la transformation discrète : la transformée dyadique____________ 101
2.3.2.2 Transformée en ondelettes Discrètes (TOD) _______________________________________ 101
2.3.2.3 Applications aux signaux impulsionnels ___________________________________________ 102
2.3.2.3.1 Applications de la TOC____________________________________________________ 102
2.3.2.3.2 Applications de la TOD ___________________________________________________ 105
2.4 Choix des techniques et évaluation ___________________________________________ 109
2.4.1 Techniques numériques pour la mesure précise de distance _______________________________ 110
2.4.1.1 Influence de la largeur de la fenêtre de calcul_______________________________________ 110
78
2.4.1.2 Etude le la variation de l’écart-type en fonction du Rapport signal sur bruit _______________ 112
2.4.1.3 Influence de la fréquence d’échantillonnage, régression non-linéaire_____________________ 113
2.4.2 Techniques numériques adaptées au débruitage des signaux_______________________________ 114
3. TECHNIQUES OPTIQUES ______________________________________________ 115
3.1 Principe de l’amplification optique ___________________________________________ 116
3.2 Principe de l’amplification paramétrique optique (OPA)_________________________ 117
3.3 Amplificateur optique classique _____________________________________________ 118
3.4 Amplification par diode laser _______________________________________________ 119
3.5 Amplification par fibre optique dopée en terres rares____________________________ 119
3.6 Amplificateur paramétrique optique _________________________________________ 120
3.7 Détection directe avec une fibre optique amplificatrice___________________________ 120
3.7.1 Signal reçu _____________________________________________________________________ 121
3.7.2 Sources de bruit _________________________________________________________________ 121
3.7.3 Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit __________________________ 122
3.7.4 Comparaison des performances : application numérique__________________________________ 123
3.7.4.1 Photodiode PIN _____________________________________________________________ 123
3.7.4.2 Photodiode à avalanche _______________________________________________________ 124
3.7.4.3 Fibre optique amplificatrice ____________________________________________________ 125
3.7.4.4 Comparaison________________________________________________________________ 127
4. CONCLUSION _________________________________________________________ 127
79
1. INTRODUCTION
La rapidité des phénomènes en télémétrie laser impulsionnelle (largeur des impulsions de l’ordre de la
ns) a jusqu'alors limité la mesure de temps de vol à un traitement analogique tel que nous l’avons décrit
dans la Partie II. La détection est effectuée par l’interception du signal par un seuil qui déclenche et
stoppe la mesure du temps de vol. La mesure de temps est effectuée par un système de chronométrie.
Le seuil joue donc un double rôle de détection du signal et mesure du temps de vol, il est alors difficile
d’optimiser simultanément les deux performances.
Dans certaines applications lidars les impulsions sont généralement plus longues et les phénomènes à
étudier beaucoup moins rapides. C’est pourquoi depuis quelques années déjà, après échantillonnage
des signaux, certains auteurs utilisent des techniques de traitement du signal numérique comme par
exemple des techniques de déconvolution [LLG93] afin d’étudier la structure spatiale fine de
l’atmosphère. Nous avons assisté depuis à l’apparition de convertisseurs analogiques numériques
atteignants des taux d’échantillonnage de plus en plus élevés, jusqu'à 33 Giga échantillons par seconde
[LLNL98]. La nécessité de telles cadences se trouve dans l’analyse de transitoires extrêmement brefs
comme le test des nouveaux processeurs à plus de 500 MHz voire 1 GHz, l’étude d’impulsions
optiques picoseconde, la fluorescence résolue en temps...
C’est pourquoi, à partir du constat suivant : l’ajout d’informations sur les impulsions détectées en
télémétrie permet d’accroître les performances en terme de précision (Partie II, double seuil) sans
détériorer la portée, et profitant de l’avancée technologique dans le domaine de l’échantillonnage
rapide, nous avons voulu faire bénéficier la mesure de temps de vol en télémétrie laser impulsionnelle
de ce nouvel outil. Nous avons donc recherché dans la littérature les différentes méthodes de traitement
numérique du signal pouvant s’appliquer à :
• la mesure précise d’un retard entre deux signaux de même nature.
• la détection d’un signal fortement bruité.
En général, ces méthodes sont issues des domaines des radars et sonars. Après avoir introduit quelques
éléments de la théorie de la conversion analogique numérique, nous présenterons quelques méthodes de
mesure précise de temps de vol et de détection d’impulsion fortement bruitée. Nous simulerons ensuite
les performances des méthodes retenues en utilisant les caractéristiques de télémètres. Pour finir, nous
mentionnerons d’autres techniques, optiques, citée dans la littérature pour l’amélioration des
performances des télémètres.
80
2. TECHNIQUES NUMERIQUES
2.1 Conversion analogique numérique
Nous supposons que la grandeur à mesurer est une tension. Le convertisseur analogique numérique
(CAN) effectue une conversion de cette tension en signaux numériques. Il existe plusieurs procédés de
conversion analogique numérique : les convertisseurs parallèles (flash), les convertisseurs à
approximation successives, les convertisseurs à comptage d’impulsions [TTL92]... Dans le cas de la
capture de signaux de la durée de la nanoseconde se sont les convertisseurs parallèles qui donnent les
meilleurs résultats : c’est ce type de CAN qui est implanté dans les oscilloscope numériques rapides
actuels.
Un CAN effectue deux principales opérations : l’échantillonnage et la quantification, nous allons
étudier dans ce paragraphe ces deux processus.
2.1.1 Echantillonnage
2.1.1.1 Définition
L’échantillonnage d’un signal sC(t) est l’opération qui transforme ce signal analogique ou à temps
continu en une suite discrète, sD(n), en prélevant une suite de valeurs sD(n) prises à des instants tn :
sD ( n) = sC (tn )
(2.1)
Les instants tn peuvent être choisi de différentes manières et diverses techniques d’échantillonnage ont
été proposées. La technique la plus utilisée, nous nous limiterons à celle ci, est l’échantillonnage
régulier dans lequel les instants tn sont régulièrement répartis dans le temps :
tn = n ⋅ TE
(2.2)
L’échantillonnage régulier est caractérisé par la période d’échantillonnage TE qui est l’écart de temps
séparant deux échantillons. Pour réaliser un échantillonnage régulier, nous devons disposer d’une
« horloge » fixant les instants d’échantillonnage. Dans certaines situations, nous devrons tenir compte
des erreurs introduites par l’horloge. Les instants d ‘échantillonnage sont :
tn = n ⋅ TE + ∆Tn
(2.3)
∆Tn est une variable aléatoire centrée qui décrit les fluctuations de l’horloge.
Dans la suite de ce paragraphe nous allons supposer que, ∆Tn est suffisamment petit devant la période
d’échantillonnage, et que nous avons un échantillonnage régulier parfait.
81
2.1.1.2 Théorème d’échantillonnage
On peut reconstruire un signal à temps continu sC(t) à partir du signal échantillonné sD(t) avec un pas de
TE si :
Le signal à temps continu est à bande passante limitée :
TF  sC ( t ) = SC ( f ) = 0 pour f > f MAX
(2.4)
et si la période d’échantillonnage vérifie :
TE <
1
2 ⋅ f MAX
(2.5)
La condition ci-dessus imposée à la période d’échantillonnage est dénommée condition de Shannon
[CES48]. La formule de reconstruction de Shannon est donnée par :
sC (t ) =
∑
 t − nTE 
sD ( n ) ⋅ sinc π

TE 

+∞
-∞
(2.6)
Cette relation montre comment on peut retrouver toutes les valeurs du signal analogique à partir du
signal échantillonné.
2.1.1.3 Signaux à durée limitée
En télémétrie, les signaux à traiter sont impulsionnels, donc à durée D limitée. Au sens strict du terme
ils sont à bande passante infinie et le théorème d’échantillonnage ne peut pas s’appliquer. C’est aussi le
cas de tous les signaux réels. En pratique, la durée et la bande passante d’un signal sont définies
comme la durée et la bande contenant une fraction de l’énergie du signal. Pour le signal sC(t)
d’énergie :
EsC =
∫
+∞
−∞
2
sC (t ) dt =
∫
+∞
−∞
2
SC ( f ) df
(2.7)
la durée D sera la longueur du support temporel telle que :
2
∫
D
sC (t ) dt = EsC ⋅ (1 − ε D )
(2.8)
et la bande passante B la fréquence telle que :
∫
+B
−B
2
SC ( f ) df = EsC ⋅ (1 − ε B )
(2.9)
La fraction d’énergie résiduelle εD, εB est fixée en fonction de la précision souhaitée du traitement.
Ayant ainsi défini une bande passante pour le signal sC(t), il est possible de lui appliquer le théorème
82
d’échantillonnage. Comme le signal considéré a une durée limitée, le nombre d’échantillons significatif
sera :
M=
D
≥ 2 BD
TE
(2.10)
Le terme 2BD représente le nombre minimum d’échantillons permettant de décrire le signal à la
précision ε.
2.1.1.4 Echantillonnage d’une impulsion
Nous avons effectué ce calcul pour un signal impulsionnel de forme gaussienne. A titre d’exemple,
nous avons choisi εD = εB = 1%. Nous avons obtenu un nombre minimum de deux échantillons : 2BD =
2. La courbe bleue ci-dessous, obtenue avec la formule de reconstruction de Shannon, illustre ce
résultat :
1
amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-15
-10
-5
0
temps
5
10
15
Figure 2-1 : Impulsion et signal reconstruit à partir de deux échantillons
Pour une impulsion, telle que nous l’avons obtenue expérimentalement, de largeur à mi-hauteur 2,5 ns,
la période d’échantillonnage maximale obtenue est d’environ 3 ns, soit une fréquence
d’échantillonnage minimale de 330 Méga échantillons par seconde. Le but de l’échantillonnage, pour
notre application de télémétrie temps de vol, n’est pas de reconstruire une impulsion uniquement en
utilisant un critère sur son énergie, en effet, il faut pouvoir « visualiser » la forme du signal au mieux
pour déterminer précisément la position du maximum de l’impulsion. De façon générale, pour
« visualiser » un signal correctement, J. Max préconise de sur-échantillonner d’un facteur allant de 5 à
10 [JM96]. Dans le cas de l’exemple précédant, la fréquence d’échantillonnage minimale est alors
comprise entre 1,6 et 3,3 Giga échantillons par seconde.
2.1.2 Précision et Quantification
Le signal, après avoir été échantillonné, subit une opération de quantification. Cette opération fait
correspondre à une tension analogique un code numérique. Pour un convertisseur analogique
numérique (CAN) rapide, avec une fréquence d’échantillonnage supérieure à 1 GE/s, la tension est au
83
mieux codée sur n = 8 bits. L’erreur de la conversion, sur une plage de tension Vplage, est alors définie
par l’écart-type :
1  V plage 
σ CAN , q = ⋅  n 
2  2 
(2.11)
Par exemple, pour une plage de tension de 160 mV (celle dont nous disposions en pratique), cet écarttype a pour valeur 312 µV.
En réalité d’autre sources de bruit viennent se superposer [TTL92], l’erreur totale sur la conversion
analogique numérique est alors :
σ CAN ,total =
∑
i
2
σ CAN
,i
(2.12)
On donne parfois, pour un convertisseur, son nombre effectif de bits. Par exemple, nous avons mesuré
l’écart-type du bruit de l’oscilloscope numérique rapide utilisé lors des expérimentations, sa valeur est
d’environ 600 µV, cela correspond à un nombre effectif de bits de 7,05 au lieu des 8 prévus
initialement. A cet écart-type du au CAN, vient bien sur s’ajouter, de la même façon que l’équation cidessus, l’écart-type du au bruit analogique du capteur. Dans le cas de notre télémètre cet écart-type a
été évalué théoriquement et il est trois fois plus important : l’écart-type total reste quasiment inchangé.
2.2 Techniques numériques pour l’estimation du temps de vol
2.2.1 Régression
2.2.1.1 Régression linéaire
La méthode de régression linéaire apparaît souvent dans de nombreuses applications et parfois sous
diverses appellations : approximation au sens des moindres carrés, optimisation linéaire, lissage de
données, ajustement de courbes... L’idée originale est due à Gauss (1794) qui l’utilisa dans des
problèmes de géodésie et d’astronomie, mais c’est Legendre qui publia les premiers résultats sur cette
méthode (1806).
Sous sa forme la plus simple, elle permet de résoudre le problème suivant. Nous disposons d’une série
de N valeurs expérimentales y1..yN d’une grandeur physique y pour N valeurs de son argument x1..xN.
Supposons que notre fonction y = y(x) dépende aussi de k paramètres a1..ak. Dans le cas général, c’est
un problème plus complexe. Ici, nous ferons l’hypothèse supplémentaire que y est une fonction linéaire
de ses paramètres a qui s’écrit :
y = y (a1 ..ak ; x) = ∑ i =1 ai ⋅ f i
k
(2.13)
où les fonction fi sont connues. Il peut s’agir, par exemple de polynômes. Une approche assez générale
pour choisir ou ajuster les paramètres est d’affirmer que les meilleurs paramètres a sont tels qu’ils
minimisent la sommes des carrés :
84
S ( a1 ..ak ) = ∑ i =1[ y ( a1 ..ak ; x) − yi ]
2
N
(2.14)
Les coefficients a sont ensuite déterminés en résolvant un système d’équations linéaires. Nous ne
détaillerons pas dans ce paragraphe les étapes successives permettant d’obtenir les résultats, le lecteur
pourra consulter les références suivantes : [EW99][KP99][WHP92]. Nous nous intéressons directement à
l’application de cette méthode en télémétrie.
Nous avons utilisé, dans la partie précédente, une fonction gaussienne pour décrire l ‘impulsion
détectée par la cellule de réception du télémètre. Après numérisation du signal, nous avons donc à notre
disposition les points expérimentaux, entachés d’erreurs dues au bruit, caractérisant l’impulsion :
0.05
Amplitude HVL
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
20
40
60
80
temps HechL
100
120
Figure 2-2 : Impulsion bruitée
Nous souhaitons alors déterminer la position τ du sommet de chaque impulsion afin d’évaluer le temps
de vol. La fonction modélisant l’impulsion s’écrit :
  t − τ 2 
s(t ) = A ⋅ exp  − 
 
  ω  
(2.15)
En prenant le logarithme népérien de cette fonction nous obtenons un polynôme du second degré en t :
ln [ s(t ) ] = −
t 2 2tτ τ 2
+
−
+ ln [ A]
ω2 ω2 ω2
(2.16)
La méthode de régression linéaire nous permet alors de déterminer les coefficients du polynôme
approximant l’équation précédente à partir du logarithme des valeurs (absolues) expérimentales
numérisées.
85
-4
Amplitude
-6
-8
- 10
- 12
0
20
40
60
80
temps ech
100
120
Figure 2-3 : Logarithme népérien de l’impulsion bruitée
Ecrivons le polynôme dont les coefficients a, b, et c sont recherchés :
ax 2 + bx + c (2.17)
Les paramètres de l’impulsion, par identification, sont alors donnés par :
 A = exp c − b2 

4a 


ω = − 1 a

τ = − b
2a

(2.18)
Nous remarquons, sur la figure 2-4, que seule la partie supérieure de l’impulsion est exploitable. En
effet, le bruit est en quelque sorte amplifié par l’utilisation de la fonction logarithme. La régression
s ‘effectue alors sur une fenêtre localisée autour de la valeur maximale de l’impulsion qui peut être
déterminée au préalable :
-3
Amplitude HVL
- 3.2
- 3.4
- 3.6
- 3.8
-4
-4
-2
0
temps HechL
2
4
Figure 2-4 : Sommet de l’impulsion et courbe (parabole) de régréssion
Il faut également ajouter que cette technique de mesure de temps de vol est particulièrement rapide.
86
2.2.1.2 Régression non-linéaire
La méthode de régression non-linéaire utilise le même principe que la régression linéaire (minimisation
du critère des moindres carrés) mais de façon itérative. Cette fois ci, les paramètres de l’impulsion
gaussienne sont directement déterminés à partir du signal numérique obtenu. L’algorithme de
Levenberg-Marquardt est le plus utilisé, il nécessite les dérivées partielles de la fonction s(t) par rapport
aux différents paramètres afin de contrôler le sens de l’itération. Celle-ci est stoppée lorsque les valeurs
des paramètres convergent vers la précision souhaitée. Cette méthode est décrite plus en détails dans la
référence [WHP92], un algorithme en C est également proposé. La figure 2-5 illustre cette méthode
avec une fonction gaussienne comme modèle. D’autres modèles de fonctions plus complexes peuvent
être utilisés.
0.05
Amplitude HVL
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
20
40
60
80
temps HechL
100
120
Figure 2-5 : Impulsion et courbe de régression (gaussienne)
L’avantage de cette méthode, même si elle peut être légèrement moins rapide, par rapport à une
régression linéaire, est que la fenêtre de calcul est plus importante : la totalité de l’impulsion est prise
en compte et l’estimation de ses paramètres est plus précise.
2.2.2 Filtrage adapté, mesure de retard par corrélation
Le signal qui revient vers un radar, un sonar ou un télémètre, après réflexion sur une cible, est détérioré
par du bruit dont l’analyse a été détaillée dans le cas du télémètre laser. L’effet de ce bruit doit être
minimisé vis à vis du signal utile. Historiquement, dans le domaine des radars, cette fonction est
dévolue au filtre qui est adapté au signal pour en assurer une restitution aussi fidèle que possible. Nous
ne reviendrons pas dans cette partie sur la mise en évidence théorique du filtre adapté dans le cas
général [GP97][JM91], nous nous intéresserons au cas où le bruit en présence est considéré comme
blanc : la réponse impulsionnelle du filtre est alors la copie conjuguée, renversée et retardée du signal
utile. Le récepteur optimal fait alors la corrélation entre le signal observé et la conjuguée d’une copie
du signal émis.
O
87
2.2.2.1 Principe
Considérons deux signaux identiques, dans leur version continue, à un retard près et à un facteur de
proportionnalité 0 < γ < 1 près :
s1(t) et s2 (t ) = γ ⋅ s1 (t − τ 0 ) + b(t )
(2.19)
remarque : Comme nous l’avons vu précédemment, l’amplitude du signal reçu γ peut être sujette à des
variations parasites, autour de sa valeur moyenne, d’une mesure à une autre. Les calculs qui suivent
sont effectués pour une mesure donnée et ne prennent pas en compte, dans un premier temps, les effets
de ces variations. Nous verrons par la suite les éventuels effets du bruit multiplicatif précédemment
introduit.
Nous envisageons ici le cas fréquent où le signal de référence s1(t) n’est pas bruité et est à la disposition
de l’observateur. Le bruit b(t), d’écart type σ, vient perturber l’observation du signal s2(t). Nous
désirons déterminer le retard τ0 entre s1 et s2. Considérons la fonction d’intercorrélation :
Cs2 s1 (τ ) = ∫
+∞
−∞
s2 (t ) ⋅ s1 (t − τ ) ⋅ dt
(2.20)
Après décorrélation des différents signaux nous obtenons :
Cs2 s1 (τ ) = γ ⋅ Cs1s1 (τ − τ 0 )
(2.21)
Cette dernière relation donne le principe de la méthode de mesure de τ0. En effet, l’autocorrélation de
s1(t) donnée par Cs1s1 (τ ) est maximale pour le retard nul soit pour τ = 0, l’intercorrélation Cs2 s1 (τ ) est
donc maximale pour τ = τ0. Le retard est alors donné par la date du maximum de l’intercorrélation du
signal observé et du signal de référence. τ0 est déterminé en résolvant l’équation :
∂Cs2 s1 (τ )
∂τ
=0
(2.22)
Les figures ci-dessous illustrent cette technique dans le cas d’un signal impulsionnel, de profil gaussien,
fortement bruité (σ = 1 mV).
0.006
0.00015
0.000125
Corrélation
Amplitude (V)
0.004
0.002
0
0.0001
0.000075
0.00005
0.000025
0
- 0.002
0
20
40
60
80
100
0
120
20
40
60
80
100
temps (ech)
temps (ech)
Figure 2-6 : impulsion gaussienne bruitée γ = 5 mV
Figure 2-7 : fonction d’intercorrélation estimée
88
120
0.00006
0.002
0.001
Corrélation
Amplitude (V)
0.00005
0
0.00004
0.00003
0.00002
0.00001
- 0.001
0
- 0.002
- 0.00001
0
20
40
60
80
100
0
120
20
40
60
80
100
120
temps (ech)
temps (ech)
Figure 2-8 : impulsion gaussienne bruitée γ = 2,5 mV
Figure 2-9 : fonction d’intercorrélation estimée
note : L’impulsion est de demi largeur à e-1 1 ns, elle est échantillonnée avec un taux de 5 giga
échantillons par seconde sur une fenêtre de 128 points.
2.2.2.2 Précision de la mesure, application aux signaux télémétriques
Il est facile de montrer que pour un bruit additif b(t), non corrélé avec le signal utile, de moyenne nulle,
la mesure du retard τ0 n’est pas biaisé. De plus, l’écart-type sur la mesure du retard est donné par la
formule de Woodward issue de la théorie des radars [GP97] :
1
γ 
σ τ0 =
avec RSB =  
2
2
4π ⋅ < ∆ν s1 > ⋅RSB
σ 
2
(2.23)
où < ∆ν s21 > est l’épanouissement fréquentiel du signal s1 [JM96]. Dans le cas d’un signal impulsionnel
gaussien de la forme :
  t 2 
s1 (t ) = Exp  −   
  ω  
(2.24)
l’épanouissement fréquentiel est donné par :
< ∆ν s21 >=
1
4π ⋅ ω 2
2
(2.25)
Dans ce cas, l’écart-type théorique sur la mesure du retard est simplement donné par :
σ τ0 =
ω
c ω
et σ z =
2 RSB
RSB
(2.26)
remarque : Le rapport signal sur bruit RSB dépend de l’amplitude du signal reçu γ. Si celle ci, pour
une cible donnée, varie autour de sa valeur moyenne d’une faible quantité, les effets seront répercutés
sur RSB et l’écart type sur la mesure de retard sera sur ou sous estimé d’une mesure à l’autre. En
moyenne, sur plusieurs mesures, ces effets s’annulent et la formule ci-dessus reste valable même dans
le cas de variations parasites de l’amplitude.
89
O
20
20
15
15
σ z mm
σ z mm
En comparant cette dernière estimation théorique avec celle calculée dans le cas d’une détection
analogique classique (voir Partie II, paragraphe 4.3), nous remarquons immédiatement que l’erreur
moyenne sur la mesure du temps de vol ne dépend plus d’un seuil (figure 2-10 : courbe noire), elle est
directement proportionnelle à la largeur de l’impulsion et inversement proportionnelle à la racine carrée
du rapport signal sur bruit. Les graphes ci-dessous comparent la variation de l’écart type sur une
mesure de distance dans les cas d’une technique classique de seuillage (courbes de couleur) et du
filtrage adapté (courbe noire). La figure 2-10 montre les variations de σz en fonction de α pour la
technique de seuillage, la ligne noire correspond à l’erreur calculée dans le cas du filtrage adapté. La
figure 2-11 compare les deux techniques en fonction de l’amplitude de l’impulsion, de demi largeur
1 ns à e-1, détectée (σa = 1 mV).
10
10
5
5
3 mm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
A
α
Figure 2-11 : α = 0.3 et σm varie de 0 à 5 mV
Figure 2-10 : A = 50 mV et σm varie de 0 à 5 mV
Reprenons l’exemple cité à la Partie II rappelé sur la figure 2-10 : nous avions obtenu un écart type de
1 cm sur la mesure de distance. Pour les mêmes conditions, l’écart type obtenu dans le cas du filtrage
adapté est d’environ 3 mm.
L’erreur moyenne sur la mesure de distance est ainsi diminuée d’un facteur 3,3 pour un rapport signal
sur bruit identique.
2.2.3 Filtrage adaptatif, techniques adaptatives
Un filtre adaptatif est un filtre numérique qui adapte ses coefficients au cours du temps en fonction de
l’évolution des caractéristiques non stationnaires du signal d’entrée. L’exemple le plus connu est le
filtre à réponse impulsionnelle finie, optimale au sens des moindres carrés : filtre de Widrow [BW75]. Il
existe deux manières d’aborder le filtrage adaptatif : le filtre égaliseur (approche déterministe) et
l’extracteur de signal à partir d’une mesure bruitée (approche stochastique) [YT92]. Nous nous
intéresserons ici à la deuxième approche et en particulier à l’application de cette technique, souvent
utilisée dans le domaine des sonars, à la mesure d’un retard entre deux signaux de même nature.
O
90
2.2.3.1 Principe
Le signal discret s sous forme vectorielle, dégradé par un bruit additif b, x = s + b est appliqué à
l’entrée du filtre à M coefficients. Après filtrage le signal y(n) est obtenu :
y ( n) = f T ⋅ x ( n)
(2.27)
avec :
 xn
 f0 
 

x
f1 

f =
x =  n −1
  et ( n)   

 fM
x

x(n) = s(n) + b(n)
n−M






y(n)
f
(2.28)
-
e(n)
+
s(n)
Figure 2-12 : schéma de principe du filtrage adaptatif
Il s’agit de déterminer la fonction de transfert ou la réponse impulsionnelle, représenté par le vecteur f
de taille M, en minimisant le critère des moindres carrés :
2
J (f ) = E ( s(n) − y(n)) 


2
J (f ) = E ( s (n) − f T x( n) ) 


(2.29)
Afin de minimiser le critère, le gradient de J(f) est calculé :
∇J (f ) = 2 E ( s( n) − f T x( n) ) x(n)
Les coefficients de f sont déterminés en résolvant l’équation :
∇J(f ) = 0
(2.31)
R ⋅ f = Csx
(2.32)
soit en résolvant [YT92] :
91
(2.30)
où R est la matrice de Toepliz* et Csx est la matrice d’intercorrélation entre les signaux s et x.
Finalement, pour disposer des coefficients du filtre adaptatif de réponse impulsionnelle finie f il faut
inverser l’équation ci dessus. Widrow [BW75] propose d’utiliser une méthode itérative de gradient pour
la minimisation du critère de performance J(f). Cela permet de s’affranchir d’un calcul fastidieux
d’inversion et multiplication de matrices. De plus, il introduit un autre critère de performance constitué
de l’erreur quadratique instantanée e(n) afin d’éviter les calculs de R et Csx :
J (f ) = ( s ( n) − f T x( n) ) = e2 ( n)
2
(2.33)
l’algorithme d’autoadaptation s’écrit alors, respectivement sous forme vectorielle et pour la ième
composante de f :
f k +1 = f k − µ ⋅ e( k ) ⋅ x(k )
(2.34)
f i k +1 = f i k − µ ⋅ e( k ) ⋅ x(k − i )
où k est l’indice d’itération et µ est un paramètre fixant le pas d’itération. Si µ est faible la convergence
est lente, si µ est grand il y a un risque de divergence. Il existe en fait une borne supérieur pour le choix
de ce paramètre, en effet, µ doit être inférieur à deux fois l’inverse de la plus grande valeur propre de la
matrice R [YT92].
Pour de plus amples informations sur le filtrage adaptatif en général et sur les techniques
d’optimisation de différents critères le lecteur pourra consulter les ouvrages suivants [SMK93] [FM92].
2.2.3.2 Application à la mesure d’un retard
Le filtrage adaptatif trouve une application toute naturelle dans l’estimation d’un retard. De
nombreuses études sur ce problème sont disponibles dans la littérature, essentiellement dans des
applications de détection acoustique comme les sonars [YTC78][YTC80][FAR81][CYW84]. Contrairement à
la télémétrie laser où le retard mesuré est directement proportionnel à la distance du télémètre à la
cible, les systèmes sonar passifs mesurent un intervalle de temps d’arrivée, entre deux capteurs
géométriquement séparés, d’un signal acoustique provenant de l’objet à détecter. Cette estimation du
retard donne une indication sur l’angle d’arrivée du signal, autrement dit sur la direction de l’objet par
rapport au sonar.
Un modèle mathématique simple, à deux capteurs, pour l’estimation d’un retard peut être exprimé en
supposant que le taux d’échantillonnage soit suffisant pour satisfaire à la condition de Shannon, dans sa
version discrète par :
x( n) = s( n) + b1 (n)
(2.35)
y ( n) = γ ⋅ s( n − τ ) + b2 ( n)
*
[
La matrice d’autocorrélation dite de Toepliz est définie ici par R = E x ⋅ x T
92
]
Le signal x(n) est en fait le signal de référence que l’on désire détecter sur le deuxième capteur et y(n)
est le signal d’observation. b1 et b2 sont les termes de bruits. γ est un facteur d’atténuation. Si le retard
τ est un entier multiple de la période d’échantillonnage, une autre façon d’exprimer y(n) est donnée ciaprès :
y ( n) =
∑
M
i=0
f i ⋅ ( x( n − i) − b1 (n − i ) ) + b2 ( n)
(2.36)
En théorie, le paramètre fi est nul pour tout i différent de τ et est égal à γ pour i égal à τ. En pratique le
retard τ n’a pas de raisons particulières d’être entier, il est noté τ = r + ε où r est entier et 0 ≤ ε < 1 . Il
est alors montré dans [YTC80] :
y ( n) =
∑
+∞
i =−∞
e( n) = b2 ( n) −
f i ⋅ x ( n − i ) + e( n )
∑
(2.37)
+∞
i =−∞
f i ⋅ b1 ( n − i )
où :
f i = γ ⋅ Sinc(i + r + ε )
(2.38)
et e(n) est le terme d’erreur dû aux bruits b1 et b2 que l’on désire minimiser et que l’on peut écrire :
e( n) = y ( n) −
∑
+∞
i =−∞
f i ⋅ x( n − i )
(2.39)
Comme nous l’avons vu précédemment, la détermination des coefficients fi est alors effectuée par la
minimisation du gradient du critère au sens des moindres carrés et l’algorithme récursif suivant est
utilisé :
f i k +1 = f i k − µ ⋅ e(k ) ⋅ x (k − i )
(2.40)
L’estimation du retard est alors donnée par le temps qui maximise la fonction :
h( t ) =
∑
M
i= 0
f i ⋅ Sinc( t − i )
(2.41)
remarque : la taille du filtre M doit être supérieure au retard maximum à estimer. Par exemple, pour
deux signaux d’une largeur de 20 échantillons chacun, espacés de 500 échantillons, le nombre de
coefficients fi doit être supérieur à 500.
Wuu et al. dressent un bilan comparatif intéressant de cette méthode par rapport à la méthode de
corrélation [CYW84]. Dans des cas simples et pratiques de détection, le filtrage adaptatif et la corrélation
sont de performances équivalentes pour la mesure d’un retard. De plus, la variance théorique de
l’estimateur du retard, calculée en général pour le cas idéal où le vecteur observation et le filtre sont de
tailles infinies, n’est pas un index de performance au vues de leurs simulations. Par contre, lorsque la
fonction de transfert du milieu traversé est inconnue, le filtrage adaptatif s’avère plus efficace, la
technique de corrélation introduisant un biais sur la mesure. Cependant, cette méthode est adaptée à la
93
mesure d’un faible retard entre deux signaux et il n’est pas avantageux de la mettre en oeuvre dans le
cas de signaux télémétriques, les retards à mesurer étant, en général, importants par rapport à la taille
des signaux.
Eller et Stearns proposent une estimation adaptative directe du retard entre des signaux échantillonnés
s(n) et s(n - τ) [DME81] dans le but de s’affranchir de la maximisation de la fonction h(t) définie
auparavant. Ils définissent le signal d’erreur :
e( n) = s( n − τ ) − s( n − r ) (2.42)
s(n)
s(n - r)
r
s(n -
-
e(n)
+
τ)
Figure 2-13 : schéma de principe de l’estimation adaptative du retard
Afin d’estimer le retard τ, ils retardent adaptativement le signal de référence s(n), jusqu'à obtenir la
valeur de r qui minimise le critère E[e2(n)] :
e 2 ( n) = s 2 ( n − τ ) − 2 s ( n − r ) s ( n − τ ) + s 2 ( n − r )
E[ e2 ( n)] = 2 ⋅ Css (0) − 2 ⋅ Css (τ − r )
(2.43)
Une méthode de gradient similaire à celle décrite auparavant est utilisée pour l’optimisation. Afin
d’obtenir une résolution inférieure au pas d’échantillonnage, une variable r continue est utilisée dans
l’itération suivante (l’entier le plus proche est noté r) :
rn +1 = rn − µ∇ n
(2.44)
où ∇ n est la dérivée de e(n) par rapport à r . Ils utilisent alors une version simplifiée du gradient ∇ n :
∇ n ≈ − e(n) ⋅ ( s(n − r − 1) − s(n − r + 1))
(2.45)
Cette méthode, dans l’esprit du filtrage adaptatif, permet donc de déterminer directement (sans passer
par la détermination de la position du sommet d’une fonction de corrélation par exemple) la valeur du
retard entre deux signaux. Elle peut être adaptée à nos signaux télémétriques après détection de ceuxci : il est nécessaire de positionner, dans un premier temps approximativement, une impulsion. Dans un
deuxième temps, la méthode proposée ici ajuste finement la valeur du retard estimé au delà du pas
d’échantillonnage. Il est possible de plus d’utiliser les connaissances sur la forme du signal
impulsionnel afin d’établir un gradient plus approprié aux signaux.
O
94
Le filtrage adaptatif est difficilement applicable à notre problème de télémétrie, en effet la taille du
filtre doit être au moins supérieure au retard maximum à mesurer, ce qui induirait un temps de calcul
trop important.Les méthodes adaptatives d’estimation de paramètres peuvent être utilisées dans le but
d’estimer directement le retard entre les deux impulsions après leur détection. Cette technique permet
d’effectuer le calcul au fur et à mesure que les données sont disponibles à la sortie du convertisseur
analogique numérique. Cependant, dans notre cas, il est possible d’enregistrer le signal complet (les
deux impulsions) et d’effectuer à posteriori le traitement : en effet le temps entre deux impulsions
successives émises par le laser est suffisant. Nous n’utiliserons donc pas ces techniques.
2.3 Techniques numériques adaptées au débruitage des signaux
Dans la partie précédente, nous avons décrit quelques méthodes d’estimation précises du retard entre
deux signaux provenant de la même source. Dans cette partie nous allons introduire différentes
techniques de débruitage des signaux afin d’améliorer la détection.
O
2.3.1 Statistiques d’ordre supérieur (SOS)
Le terme de statistique d’ordre supérieur fait référence aux moments et aux cumulants d’ordres
strictement supérieurs à 2. Les SOS permettent de résoudre des problèmes difficiles à résoudre voir
insolubles à l’aide des statistiques classiques (ordre 2), ou peuvent être utiles, en complément, à
l’amélioration des performances de résolution dans certaines applications [JLL97]. Depuis quelques
années ces statistiques ont connu un gain d’intérêt croissant dans le monde du traitement du signal, en
partie grâce à l’évolution croissante de la puissance des outils et machines numériques. En effet
l’inconvénient majeur des SOS est la lourdeur des calculs mis en œuvre. Dans cette partie, après avoir
défini les moments et cumulants pour une variable aléatoire réelle scalaire x, nous allons donner leur
propriétés applicables à la détection de signaux bruités.
O
2.3.1.1 Définitions
Les moments généralisés de x sont définis pour toute application réelle g par :
E[ g(x)] =
+∞
∫ g(u) ⋅ p (u) ⋅ du
−∞
(2.46)
x
où px(u) est la densité de probabilité de x, et où g(u) est en général une fonction polynomiale
conduisant aux moments « classique » de différents ordres, tels que la moyenne ou le moment d’ordre
2. En utilisant des fonctions exponentielles, on associe aux variables aléatoires des fonctions
caractéristiques. La première fonction caractéristique de x est donnée par :
[ ]
Φ x (v ) = E e jvu
95
(2.47)
où j est le nombre complexe imaginaire pur. Lorsque la variable aléatoire x admet une densité de
probabilité px(u), la première fonction caractéristique se formule alors comme la transformée de
Fourier de cette densité :
Fx [v ] =
+∞
∫e
jvu
⋅ px(u) ⋅ du
(2.48)
−∞
La densité de probabilité peut se retrouver à partir de la première fonction caractéristique par
transformée de Fourier inverse. La deuxième fonction caractéristique est définie comme le logarithme
népérien de la première :
Ψx (v ) = ln(Φ x (v ))
(2.49)
Les moments d’ordre r de x sont définis par :
[ ]
mr′ ( x ) = E x r
(2.50)
et les moments centrés par :
[
mr ( x ) = E ( x − m1′ ) r
]
(2.51)
En développant en série l’exponentielle complexe autour de l’origine les moments successifs de x
apparaissent :
 d r Φ x ( v) 

mr′ ( x ) = ( − j ) r 
r
 dv
 v =0
(2.52)
Les dérivées de la seconde fonction caractéristique autour de l’origine définissent les cumulants :
 d r Ψx (v ) 

Cumr ( x ) = ( − j ) r 
r
 dv
 v=0
(2.53)
Dans le cas centré on obtient [JLL97] :
Cum1 ( x ) = 0
Cum2 ( x ) = E[ x 2 ]
Cum3 ( x ) = E[ x 3 ]
(2.54)
Cum4 ( x ) = E[ x 4 ] − 3E [ x 2 ]
2
Dans le cas d’une variable aléatoire centrée seuls les moments d’ordre pairs sont non nuls, de plus tous
leur cumulants d’ordre supérieur à 2 sont nuls. Notons que le cumulant d’ordre 2 représente la variance
de x, ce qui représente la puissance de x. On trouve dans la littérature des grandeurs normalisées des
cumulants d’ordre 3 et 4 dénommées respectivement skewness (facteur d’asymétrie) et kurtosis (facteur
d’aplatissement) définis par :
96
κ 3 = Cum3 ( x / m2 )
κ 4 = Cum4 ( x / m2 )
(2.55)
Un moyen simple d’estimer les cumulants est d’utiliser les formules les reliant aux moments et
d’estimer ces derniers. En général ces estimateurs sont biaisés, toutefois le biais tend vers 0 lorsque le
nombre d’échantillons N tend vers l’infini.
2.3.1.2 Propriétés
Les propriétés des cumulants sont les suivantes :
• multilinéarité et invariance par translation
• nullité dans le cas où les variables sont indépendantes
• additivité
Ainsi, si l’on considère un signal noyé dans un bruit gaussien indépendant du signal, alors les
cumulants d’ordre supérieur à 2 se réduisent au seul cumulant du signal.
2.3.1.3 Multicorrélation
Jusqu'à présent nous avons défini les moments et cumulants d’une variable aléatoire, de la même façon
il est possible de définir la multicorrélation d’ordre supérieur à 2 :
[
C p (τ 1 , ..., τ p −1 ) = Cum x (t ), x (t − τ 1 ),... , x (t − τ p −1 )
]
(2.56)
2.3.1.4 Applications
2.3.1.4.1 Cumulant d’ordre 4
Persson et Sangfelt ont comparé quatre détecteurs utilisant respectivement les moments d’ordre 2, 3 et
4 et le cumulant d’ordre 4. Ils concluent que les estimateurs d’ordre 4 donnent en général de meilleurs
résultats. Amblard et al. ont proposé d’estimer les cumulants sans passer explicitement par
l’intermédiaire des moments, mais en utilisant une version récursive [POA95] :
4
2 2
Cum
4 ( n ) = Cum4 ( n − 1) + µ ( x n − 3 x n x n −1 − Cum4 ( n − 1))
(2.57)
Ils utilisent dans [POA93] cette implantation récursive dans le but de détecter un transitoire noyé dans du
bruit : leur simulation montre que dans le cas d’un rapport signal sur bruit relativement élevé (-1dB : le
signal est visible) qu’un détecteur d’énergie classique parvient à sortir le signal du bruit et que
l’utilisation de cumulants augmente le contraste. Dans le cas d’un rapport signal sur bruit faible (10dB : le signal n’est plus visible) le détecteur d’énergie est complètement inefficace et ne parvient pas
à détecter le transitoire. Dans ce dernier cas, en augmentant la « mémoire » µ de leur estimateur, ce qui
correspondrait à augmenter la taille de la fenêtre glissante de calcul du cumulant, ils parviennent à
dégager le signal. L’utilisation de ces techniques ne demande pas à priori de connaissance sur le signal
à détecter.
97
0.006
0
0.004
- 0.5
Cum 4
Amplitude (V)
A titre d’exemple, nous avons implémenté cet algorithme récursif, avec µ = 0,8 et µ = 0,1, sur un
signal impulsionnel gaussien (§ 2.2.2). Les figures 2-15 et 2-17 montrent clairement la présence de
l’impulsion à la position 50 environ. L’analyse du signal est ici qualitative, c’est l’écart à la gaussianité
qui est mesuré : le cumulant du bruit gaussien tend vers zéro, alors que celui du signal déterministe est
différent de zéro. Le rapport signal sur bruit des signaux obtenus est comparable à celui obtenu par une
corrélation voire meilleur.
0.002
0
- 1
- 1.5
- 0.002
- 2
0
20
40
60
80
100
0
120
20
40
60
100
120
Figure 2-15 : cumulant d’ordre 4, µ = 0,8
0.002
0.002
0.001
0
Cum 4
Amplitude (V)
80
temps (ech)
temps (ech)
0
- 0.002
- 0.001
- 0.004
- 0.002
- 0.006
0
20
40
60
80
100
120
0
20
40
temps (ech)
60
80
100
120
temps (ech)
Figure 2-17 : cumulant d’ordre 4, µ = 0,1
2.3.1.4.2 Multicorrélation
Rappelons qu’un modèle mathématique simple, à deux capteurs, pour l’estimation d’un retard peut être
exprimé, dans sa version discrète par :
x (n) = s(n) + b1 (n)
y (n) = s(n − r ) + b2 (n)
(2.58)
Ce modèle peut également être exprimé à l’aide d’un modèle autorégressif :
y ( n) =
∑ a x ( n − i ) + b( n)
i
i
(2.59)
où b(n) est une combinaison des bruits b1 et b2. En théorie, le paramètre ai est nul pour tout i différent
de r et est égal à un pour i égal à r. Dans le cas où les bruits sont corrélés ou dans le cas où le signal est
corrélé avec le bruit, il devient difficile d’estimer le paramètre r à l’aide de corrélations ou à l’aide du
98
filtrage adaptatif. En effet, des pics non représentatifs du retard peuvent apparaître. Chiang et Nikias
[HHC90] proposent d’utiliser les SOS en multipliant chaque membre de l’équation ci-dessus par x(n+k)
x(n+l) et en en prenant l’espérance. Le modèle devient alors :
CYXX ( k , l ) =
∑a C
i
XXX
(i + k , i + l )
(2.60)
i
où CYXX est une bicorrélation et où CXXX représente le cumulant d’ordre 3 de x. Ainsi, si b1 et b2 sont des
processus gaussien, alors les multicorrélations d’ordre supérieur à 2 seront identiquement nulles.
L’algorithme utilisant le gradient du critère développé par Chiang et Nikias a été modifié par Lin et
Mao dans le cas de signaux impulsionnels [PL93], et peut s’adapter aux problèmes de détection de
signaux radars ou sonars. Leur simulation avec un RSB de -5dB pour B1 et B2 corrélés montre la
supériorité manifeste de cette technique par rapport à une technique classique d’ordre 2. Cette méthode
est utilisable, comme dans le cas du filtrage adaptatif, pour l’estimation d’un retard faible.
O
La multicorrélation, appliquée à la mesure d’un retard faible, est un outil intéressant dans le cas où la
simple corrélation ne suffit plus. Cependant, comme dans le cas du filtrage adaptatif, cette technique
est difficilement applicable à la télémétrie laser. Par contre l’utilisation du cumulant d’ordre 4 peut
s’avérer efficace pour la détection d’un signal quelconque, et en particulier télémétrique, noyé dans du
bruit.
2.3.2 Transformée en ondelettes
La transformée de Fourier propose une analyse globale du signal : aucune notion de localisation
temporelle n’intervient lors de son calcul. Pour remédier à cette lacune, dans le cas de signaux
transitoires (de durée finie) ou dans le cas où la fréquence du signal varie dans le temps par exemple, la
transformée de Fourier à fenêtre glissante dans le temps, plus connu sous le nom de spectrogramme, est
introduite par Denis Gabor afin d’obtenir une représentation temps-fréquence du signal. Cependant
d’après le principe d’incertitude d’Heisenberg, plus la largeur de la fenêtre augmente plus la précision
en fréquence est accrue et moins bonne est la localisation temporelle : les résolutions temporelle et
fréquentielle du spectrogramme varient en sens opposé. Un compromis dans le choix de la largeur de la
fenêtre est nécessaire. En 1985 Morlet et Grossmann [AG85] introduisent la première version de la
transformée en ondelettes : elle permet l’adaptation de la largeur de la fenêtre en fonction des
irrégularités du signal. La transformée en ondelettes discrète, dans le cadre mathématique de l’analyse
multi-résolution, est introduite par Yves Meyer puis Stéphane Mallat à la fin des années 80
[FT98][AG95] .
O
2.3.2.1 Transformée en ondelettes continues (TOC)
Après avoir succinctement défini la transformée en ondelettes continue, nous décrirons les applications
qui en découlent dans le domaine de la localisation de signaux radars.
99
2.3.2.1.1 Définition
L’idée, afin d’analyser un signal x(t) dans les domaines temporel et fréquentiel, est de le décomposer à
l’aide de fonctions concentrées à la fois en temps et en fréquence. La définition de ces fonctions
nécessite l’introduction d'une fonction φ(t) appelée « ondelette mère » telle que :
φ(t)± L2(R)1 et
∫
+∞
−∞
φ (t )dt = 0
(2.61)
Cette condition impose à l’ondelette dite « mère » d’être de moyenne nulle. Ainsi, son amplitude passe
forcément par zéro et présente donc quelques oscillations d’où son nom. La famille d’ondelettes est
alors définie de la façon suivante :
φa ,b (t ) =
t −b
φ

a  a 
1
(2.62)
a et b varient continûment et sont respectivement nommés paramètre d’échelle ou de dilatation et
paramètre de translation. b représente la position de l’ondelette dans le temps, le facteur 1 / a
normalise l’ondelette de telle sorte que son énergie reste constante pour tous les paramètres d’échelle.
Grossmann et Morlet ont montré que dans le cas où φ(t) est à valeurs réelles, cette famille peut être
utilisée de la même façon qu’une base orthonormée. Cela signifie que tout signal x(t) d’énergie finie
peut s’écrire comme une combinaison linéaire d’ondelettes φa,b(t) et que les coefficients de cette
combinaison sont, à un facteur de normalisation près, les produits scalaires :
C ( a, b) = x(t ),φa ,b (t )
(2.63)
La transformée en ondelettes continues est alors définie par :
TOC x (t ) [ a, b] = C ( a, b) =
1
∫
a
+∞
−∞
t −b
x(t )φ 
 dt
 a 
(2.64)
En général, cette transformation est représentée par une image 2D en couleur ou en niveaux de gris. On
notera que la transformée en ondelettes continue convertit une fonction à une variable en une fonction à
deux variables (a et b) : dans le cas où la famille engendrée par l’ondelette n’est pas orthogonale la
représentation d’une fonction par sa TOC est redondante. La transformation inverse n’est donc pas
toujours unique. Si l’ondelette φ(t) satisfait à la condition d’admissibilité :
+∞
Φ (ν )
−∞
ν
CΦ = ∫
2
dν < ∞ (2.65)
où Φ(ν) est la transformée de Fourier de l’ondelette, alors la transformée en ondelettes continue admet
un inverse :
1
L2(R) est l’espace des fonctions continues d’une variable réelle et de carré intégrable.
100
x(t ) =
1
CΦ
∫∫ TOC
∞
x (t )
[a, b] ⋅ φa ,b (t )
dadb
a2
(2.66)
2.3.2.1.2 Quelques propriétés
La transformée en ondelette est un opérateur linéaire, invariant par translation et par dilatation :
TOC x ( t ) + y ( t ) [a , b] = TOC x ( t ) [a , b] + TOC y ( t ) [a , b]
(2.67)
TOCx ( t −τ ) [a , b] = TOCx ( t ) [a , b − τ ]
(2.68)
TOCx (
α ⋅t )
[a , b] = TOCx ( t ) [α ⋅ a , α ⋅ b]
(2.69)
2.3.2.1.3 Première approche de la transformation discrète : la transformée dyadique
Pour des applications d’analyse du signal, on choisit de restreindre les valeurs des paramètres a et b à
une grille discrète. Dans ce cas on fixe un pas de dilatation a0 > 1 et un pas de translation b0 0. La
famille d’ondelettes qui nous intéresse est alors donnée par :
φm , n (t ) = a0 2 φ ( a0− m t − nb0 )
−m
(2.70)
Cela correspond aux choix :
a = a0m , b = nb0a0− m
(2.71)
Dans beaucoup d’applications, il est préférable de réduire au maximum la redondance de cette
représentation. Dans ce cas, on choisit des valeurs de a0 et b0, typiquement : a0 = 2 et b0 = 1 :
φm , n (t ) = 2 2 φ ( 2− m t − n ) (2.72)
−m
La transformée associée est alors nommée transformée dyadique. Pour certains choix de φ, la famille
φm,n constitue une base orthonormale, la transformée en ondelettes inverse s’écrit alors :
x(t ) = ∑∑ cm , nφm ,n
m
(2.73)
n
où les coefficients définis par le produit scalaire :
cm , n = ∫
+∞
−∞
x(t )φm ,n (t )dt
(2.74)
sont les coefficients d’ondelettes.
2.3.2.2 Transformée en ondelettes Discrètes (TOD)
En pratique, le signal continu x(t) n’est pas directement disponible, seule une représentation discrète x
du signal est utilisable, ici sous la forme d’un vecteur de taille 2n, où n est un entier naturel:
101
[
x = x0 , x1 ,..., x2n −1
]
T
(2.75)
La transformée en ondelettes d’un signal discret peut être représenté comme une transformation par une
matrice orthonormale « filtre » C :
c = C⋅x
(2.76)
où c est un vecteur contenant les coefficients cm,n de la transformée en ondelettes. Chaque ligne de la
matrice C représente en fait un vecteur de la base orthonormale d’ondelettes choisi sur l’ensemble des
vecteurs possibles sur cette base. Ces vecteurs, pour une fonction ondelette donnée, sont calculés en
dilatant et translatant l’ondelette « mère » [BV91] [WHP92]. Dans le cas d’une matrice C orthonormale,
le signal x peut simplement être reconstruit en utilisant la transposée de C :
x = CT ⋅ c
(2.77)
Comme pour la transformée rapide de Fourier, il existe un algorithme pour la décomposition et la
reconstruction rapide du signal dans le cas de bases orthonormales d’ondelettes : c’est l’algorithme
pyramidal de Mallat [SM98]. S’il n’est pas aisé de créer ses propres bases d’ondelettes orthonormales,
de nombreuses bases sont disponibles dans la littérature : ondelettes de Harr, bases Splines, ondelettes
à support compact de Daubechies, etc. ... et rendent possible à un « non initié » l’utilisation d’un tel
outil dans diverses applications allant de la chimie analytique [CRM96] au traitement du signal et des
images. Un inconvénient par rapport à la transformée en ondelettes continues est que la propriété
d’invariance en translation n’est, pour ces bases, plus valide. Pour une description plus complète et
rigoureuse de la transformée en ondelette discrète et de l’analyse multi-résolution le lecteur pourra
consulter les références suivantes [SM98] [FT98].
2.3.2.3 Applications aux signaux impulsionnels
2.3.2.3.1 Applications de la TOC
Dai et al. [YD98] proposent d’utiliser la transformée en ondelettes continue pour l’extraction d’un signal
impulsionnel rectangulaire x(t), provenant d’un télémètre laser, noyé dans le bruit :
1, - T ≤ t ≤ + T2
x (t ) =  2
0, ailleurs
(2.78)
Dans le cas du filtrage adapté la réponse impulsionnelle est l’image (dans un miroir) du signal
rectangulaire. Le spectre de l’impulsion rectangulaire est donné par la fonction sinc(ω) où lorsque ω =
0 le spectre est maximum. Dans ce cas le filtre adapté peut être considéré comme un filtre passe bas.
En règle générale le signal est traité sur une durée finie, statistiquement il est possible que la moyenne
du bruit sur la durée d’observation soit différente de zéro. Ainsi, la composante continue du bruit à
l’entrée du filtre sera restituée à sa sortie. Cela a pour effet de réduire le rapport signal sur bruit et par
la même occasion la précision de la mesure. Dans la définition des ondelettes continues nous avons
établi qu’une fonction φ(t) ne possède pas de composante continue : son spectre pour ω = 0 est nul. Si
une telle fonction est choisie comme réponse impulsionnelle d’un filtre, alors la composante continue
102
du bruit sera filtrée et le rapport signal sur bruit meilleur. Dai choisit l’ondelette « chapeau mexicain »
comme réponse impulsionnelle du filtre :
φ (t ) = (1 − t ) ⋅ e
2
−
t2
2
(2.79)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-6
-4
-2
2
4
6
- 0.2
- 0.4
Figure 2-18 : ondelette chapeau mexicain (mexican hat)
qui est en fait la dérivée seconde d’une fonction gaussienne. Le filtrage adapté devient alors la
transformée en ondelettes continues :
TOCx ( t ) [a , b] =
[1 − ( ) ] ⋅ Exp[−
a ∫
1
+ T2
− T2
t −b 2
a
1
2
( t −ab )2 ]dt
(2.80)
Le résultat analytique de cette intégrale s’obtient facilement, reste à donner les paramètres a et b qui le
maximisent :
a = T2
1
et TOCmax=( 2e ) 4 T

b = 0
(2.81)
En utilisant les propriétés de la transformée en ondelettes, lorsque a est fixé à sa valeur optimale pour
un signal rectangulaire de largeur donnée T, la sortie du filtre est à son maximum lorsque le paramètre
b est égal au retard du signal τ. Afin d’évaluer et de comparer les performances d’un filtre adapté
classique et d’un filtre par ondelettes, l’auteur utilise un signal rectangulaire test ajouté à des bruits
d’écart type identiques et de moyennes différentes : si la moyenne du bruit est nulle, le filtre adapté
donne un meilleur résultat, par contre plus la moyenne du bruit augmente, plus les performances du
filtre par ondelettes dépassent celle du filtre adapté. Aucune précision sur la comparaison du rapport
signal sur bruit, dans les deux cas, en fonction de l’écart type d’un bruit centré n’est fournie.
Dans la pratique le signal reçu n’est bien évidemment pas rectangulaire. Ehara et al. [NE95] proposent
d’utiliser une technique similaire dans le cas, plus réaliste, de signaux gaussiens de la forme :
x (t ) = e − t
2
103
(2.82)
La forme de la transformation en ondelettes continues d’une impulsion gaussienne en utilisant
l’ondelette « chapeau mexicain » est illustrée ci-dessous sous la forme d’une image 2D :
50
40
30
b
20
10
0
0
10
20
30
a
40
Figure 2-19 : transformée en ondelettes continues d’une impulsion gaussienne
0.012
0.005
0.01
0.004
Amplitude HVL
TOC Ha,50L
On note, de la même façon que précédemment, que la transformée possède un maximum. Avec la
méthode précédente, la position du signal est déterminée par le paramètre b avec un paramètre a
optimum calculé une fois pour toutes (figure 2-20). Après avoir simulé cette méthode en comparaison
au filtre adapté, ils concluent sur la supériorité de ce dernier pour un signal additionné à un bruit blanc
gaussien centré. Cependant, lorsque le bruit n’est pas centré c’est la transformation en ondelette qui est
la plus performante. La deuxième méthode proposée ici est d’effectuer plusieurs transformations
dyadiques en parallèle avec pour chacune un paramètre a différent autour du paramètre optimum et
d’accumuler les résultats. Leur simulation montre une amélioration significative par rapport à la
première méthode, principalement lorsque le rapport signal sur bruit est faible, au détriment de la
précision sur la localisation du paramètre b, autrement dit au détriment de la précision sur la mesure de
distance. Reprenons l’exemple cité au paragraphe 2.2.2. Nous avons calculé la paramètre a optimum
(environ 8), illustré sur la figure 2-20. L’ondelette adapté utilisée comme filtre est donnée sur la figure
2-21.
0.008
0.006
0.004
0.002
0.003
0.002
0.001
0
- 0.001
0
- 0.002
0
10
20
30
40
50
0
a
104
20
40
60
80
temps HechL
100
120
Figure 2-20 : transformée en ondelettes continues d’une
Figure 2-21 : impulsion gaussienne (points) et ondelette
impulsion gaussienne pour b = 50
adaptée
Après application de la transformée en ondelette continue (échantillonnée en b), le signal obtenu est
donné par les figures 2-23 et 2-25. Par rapport à une simple corrélation, les signaux obtenus présentent
des oscillations parasites dues aux parties négatives de l’ondelette. Dans cet exemple la moyenne du
bruit est nulle, conformément aux résultats de Ehara et al., le rapport signal sur bruit après
transformation est inférieur à celui obtenu avec une simple corrélation.
0.006
0.01
TOC(8,b)
Amplitude (V)
0.004
0.002
0.005
0
0
- 0.005
- 0.002
0
20
40
60
80
100
0
120
20
40
80
100
120
Figure 2-23 : TOC avec l’ondelette adaptée
0.002
0.004
0.001
TOC(8,b)
Amplitude (V)
60
échelle (ech)
temps (ech)
0
0.002
0
- 0.001
- 0.002
- 0.002
0
20
40
60
80
100
0
120
20
40
60
80
100
120
échelle (ech)
temps (ech)
Figure 2-25 : TOC avec l’ondelette adaptée
2.3.2.3.2 Applications de la TOD
Donoho propose une méthode simple de débruitage d’un signal x = s + b, où b est un bruit d’écart-type
σ, en utilisant la transformée en ondelettes discrète :
c = C⋅x
(2.83)
où x peut être reconstruit à l’aide de la transformation inverse :
x = CT ⋅ c = CT ⋅ c s + CT ⋅ cb
(2.84)
Cette méthode consiste, après avoir obtenu les coefficients en ondelettes c, d’appliquer un seuil à ceuxci [DLD95] . Tous les coefficients inférieurs au seuil sont alors considérés comme du bruit, les
105
coefficients supérieurs au seuil sont considérés comme le signal utile. On distingue deux types de
seuillage :
• le seuillage dur (hard-thresholding) qui met à zéro les coefficients en dessous du seuil et ne modifie
pas les autres. Pour un seuil η choisi, les coefficients cm,n du vecteur c obtenu s’écrivent :
cm,n pour cm,n > η

(2.85)
cm,n = 
0 pour cm,n < η
• le seuillage doux (soft-thresholding) conduit à mettre à zéro les valeurs de coefficients qui sont plus
petites que le seuil η et à modifier les coefficients restant de la façon suivante :
cm,n − η ⋅ sign(cm,n ) pour cm,n > η

(2.86)
cm,n = 
0 pour cm,n < η
Le problème est bien entendu le choix de la valeur du seuil, Donoho a proposé une valeur de seuil
globale :
η = σ 2 log n
(2.87)
où σ est l’écart-type des n échantillons du signal. L’idée est de supprimer tous les coefficients en
ondelettes qui sont de valeur inférieure à l’écart-type d’un bruit Gaussien sur une séquence de taille n.
Après avoir éliminé les coefficients dus au bruit, on applique la transformée inverse et on obtient ainsi
une estimation du signal :
s = CT ⋅ c
(2.88)
Mittermayr et al. comparent les performances des techniques de débruitage par seuillage des
coefficients de la transformée en ondelettes discrète avec des techniques plus classiques, comme de
simples filtres numériques passe-bas, sur des impulsions gaussiennes [CRM96]. Les performances sont
comparées en terme de reconstruction optimale, de détection limite (rapport signal sur bruit) ou encore
de préservation de l’énergie du signal. Plusieurs bases d’ondelettes de résolutions différentes sont
testés : Symmlets, Daubechies, Coiflets. Leur investigation montre que les bases Symmlets et
Daubechies limitées à l’ordre 6 sont mieux adaptées lorsque l’impulsion est étroite, alors que pour des
impulsions plus larges se sont les bases Coiflets et Symmlets limitées à l’ordre 8 qui donnent de
meilleurs résultats. En général, le débruitage par ondelettes donne des résultats supérieurs pour des
impulsions étroites d’un rapport signal sur bruit relativement élevé. Dans les autres cas, les
performances sont du même ordre de grandeur, bien que le débruitage par ondelettes améliore
sensiblement plus le rapport signal sur bruit. Cependant, les résultats montrent qu’une forte
augmentation du rapport signal sur bruit implique une distorsion importante de l’impulsion et limite
l’analyse ultérieure à une analyse qualitative. Cette importante distorsion est due à la suppression de
coefficients d’ondelettes du signal sans bruit.
106
Ching et al. se sont penchés sur le problème de l’estimation d’un retard entre deux signaux radars
d’enveloppe, respectivement a(t) et α a(t-τ) et de porteuse de fréquence ω0, chacun dégradés par un
bruit additif gaussien [PCC99]. Leur technique consiste à préfiltrer leurs signaux, en utilisant la
technique de débruitage par ondelettes, et de déterminer la position du maximum de l’estimation de la
fonction de corrélation des signaux ainsi obtenus. Dans un premier temps, ils utilisent le seuillage
global de Donoho, les résultats sur la variance du retard estimé sont en fait moins bons que pour une
simple corrélation, ceci peut s’expliquer par la suppression de certains coefficients de la transformée en
ondelettes relatifs aux signaux et non aux bruits. Le seuillage global étant inefficace, ils proposent un
choix différent du seuil η faisant intervenir le critère de Neyman-Pearson utilisé en détection et une
connaissance préalable de la variance du bruit additionné au signal. Leur simulation à l’aide de signaux
d’enveloppe rectangulaire et de porteuse ω0 montre l’efficacité de cette nouvelle technique par rapport
aux techniques classiques de corrélation dans ce cas.
Nous reprenons l’exemple du paragraphe 2.2.2 où le signal à débruiter est une impulsion gaussienne.
Dans un premier temps nous utilisons la base Symmlets 12. Les figures 2-26 et 2-27 représentent les
coefficients de la transformée en ondelettes discrète d’une impulsion gaussienne sans bruit (points
noirs) et les coefficients représentatifs du signal bruité (en bleu).
0.003
0.002
0.002
Coefficients
Coefficients
0.004
0
- 0.002
- 0.004
0.001
0
- 0.001
- 0.002
- 0.006
- 0.003
0
20
40
60
80
100
120
0
20
40
60
80
100
120
Figure 2-26 : coefficients de la transformée en ondelette
Figure 2-27 : coefficients de la transformée en ondelette
discrète (Symmlets 12) γ = 5 mV
discrète (Symmlets 12) γ = 2,5 mV
Nous appliquons ici la méthode de seuillage dur (hardthreshold), tous les coefficients inférieur à 0,003
(2-26) et 0,001 (2-27) sont mis à zéro. Après transformation inverse, les signaux obtenus sont illustré
sur la figure 2-29. Lorsque l’amplitude de l’impulsion est du même ordre de grandeur que l’écart type
du bruit il est difficile de supprimer uniquement les coefficients de la transformée dus au bruits, cette
méthode ne parvient pas à localiser le signal utile dans ce cas.
107
0.005
0.006
0.004
Amplitude (V)
Amplitude (V)
0.004
0.002
0
0.003
0.002
0.001
0
- 0.002
0
20
40
60
80
100
0
120
20
40
80
100
120
Figure 2-29 : seuillage dur, Symmlets 12
0.002
0.002
0.001
Amplitude (V)
Amplitude (V)
60
temps (ech)
temps (ech)
0
- 0.001
0.001
0
- 0.001
- 0.002
0
20
40
60
80
100
120
0
20
40
temps (ech)
60
80
100
120
temps (ech)
Figure 2-31 : seuillage dur, Symmlets 12
De la même façon, nous utilisons la base d’ondelettes Coiflets 4 pour la transformation en ondelettes
discrète du signal de la figure 2-28 :
0.0075
Coefficients
0.005
0.0025
0
- 0.0025
- 0.005
- 0.0075
0
20
40
60
80
100
120
Figure 2-32 : coefficients de la transformée en ondelette discrète (Coiflets 4)
A titre indicatif nous donnons le signal obtenu avec une impulsion de 5 mV d’amplitude. Nous
appliquons un seuil de 0,002 et obtenons le signal de la figure 2-34, nous remarquons que cette
dernière base d’ondelette choisi semble beaucoup moins adaptée à la détection d’impulsion gaussienne.
108
0.007
0.006
0.006
Amplitude HVL
Amplitude (V)
0.004
0.002
0
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
- 0.002
0
20
40
60
80
100
120
0
temps (ech)
Figure 2-33 : impulsion gaussienne dans le bruit
20
40
60
80
temps HechL
100
120
Figure 2-34 : seuillage dur, Coiflets 4
O
Pour résumer, l’utilisation de la TOC n’apporte pas d’amélioration par rapport au filtrage adapté dans
le cas où le bruit est centré. La technique de débruitage par seuillage des coefficients de la transformée
en ondelettes est de mise en oeuvre simple, cependant le choix des bases orthogonales d’ondelettes est
délicat : l’ondelette doit être adaptée au signal que l’on désire analyser. Dans le cas qui nous intéresse
où le rapport signal sur bruit est très faible, les performances de cette technique semblent limitées.
2.4 Choix des techniques et évaluation
Les principales méthodes de traitement numérique du signal pouvant être appliquées à la mesure
précise du temps de vol et à la détection des signaux télémétriques après conversion analogique digitale
ont été introduites. Le filtrage adapté (corrélation des impulsions) et les méthodes de régression laissent
présager de bien meilleurs résultats par rapport à la méthode analogique classique.
Des techniques plus récentes, comme la transformée en ondelettes discrète par exemple, ont été
succinctement évaluées pour le débruitage des signaux. Dans notre cas relativement simple où le signal
à détecter est une impulsion gaussienne, ces techniques n’apportent peu ou pas d’amélioration majeure
par rapport à la technique classique de filtrage adapté. La technique de cumulant d’ordre 4 (SOS)
donne toutefois des premiers résultats intéressants mais déforme le signal détecté.
Dans ce paragraphe, nous allons simuler les signaux télémétriques numériques par des impulsions
gaussiennes bruitées (bruit gaussien), dans le but d’évaluer les traitements retenus : régressions linéaire
et non-linéaire, filtrage adapté et cumulant d’ordre 4.
Les signaux simulés sont générés par un programme sous Lab Windows™ où il est possible de faire
varier les paramètres suivant :
• amplitude des impulsions
• écart-type du bruit
• fréquence d’échantillonnage
• largeur des impulsions
Ces signaux seront ensuite traités à l’aide des différents algorithmes que nous avons retenus et
implémentés en C :
109
• régression linéaire (polynôme d’ordre 2)
• régression non linéaire (impulsion gaussienne)
• corrélation (avec détermination de son maximum par interpolation)
• cumulant d’ordre 4
• filtrage numérique passe bas
Il est possible dans ces algorithmes de choisir une taille pour la fenêtre de traitement, c’est à dire le
nombre de points utiles au traitement (par exemple le nombre de points autour du sommet de
l’impulsion pour effectuer une régression non-linéaire).
2.4.1 Techniques numériques pour la mesure précise de distance
2.4.1.1 Influence de la largeur de la fenêtre de calcul
Nous nous intéressons ici à la localisation précise des sommets des impulsions START et STOP pour
la mesure de distance. Nous avons simulé des impulsions d’une largeur à mi-hauteur de 2,5 ns et
d’amplitude (pour l’impulsion STOP) égale à 5 mV, 60 mV et 120 mV. L’amplitude de l’impulsion
START est fixée à 120 mV. L’écart-type du bruit choisi est égal à 0,6 mV. Le signal est échantillonné
à une fréquence de 5 GE/s. Ces ordres de grandeur sont ceux obtenus lors de l’utilisation expérimentale
de notre télémètre. La distance simulée est fixée arbitrairement à 10 m1. Nous allons étudier l’influence
de la taille de la fenêtre de traitements, pour les différents traitements envisagés, sur l’écart-type de la
mesure de distance. L’écart-type est évalué sur une base de mesure de distance effectué à partir de 100
signaux. Le tableau ci-dessous résume les caractéristiques des signaux étudiés :
Amplitude START (mV)
120
Amplitude STOP (mV)
5 - 60 -120
Ecart-type du bruit (mV)
0,6
Largeur des impulsions (ns)
2,5
Largeur de la fenêtre (échantillons)
-
Fréquence d’échantillonnage (GE/s)
5
Intervalle entre les impulsions (m)
10
Nombre de signaux par point
100
Les courbes ci-dessous donnent les résultats obtenus pour l’écart-type en mètres :
1
L’intervalle de temps entre les deux impulsions n’influe pas sur l’écart-type de la mesure de distance.
110
écart-type (m)
0.1
0.1
0.05
0.05
5 mV
0.02
0.02
0.01
0.01
0.005
0.005
60 mV
0.002
0.002
0.001
0.001
120 mV
5
10
15
20
25
largeur fenêtre
30
35
40
Figure 2-35 : Régression linéaire, écart-type (m)
0.05
0.05
0.02
0.02
0.01
0.01
0.005
0.005
60 mV
0.002
0.001
0.002
0.001
120 mV
5
10
largeur fenêtre
20
Figure 2-36 : Régression non-linéaire, écart-type (m)
0.01
écart-type (m)
écart-type (m)
5 mV
0.008
0.006
0.004
120 mV
0.002
10
20
30
largeur fenêtre
40
Figure 2-37 : Corrélation, écart-type (m)
111
50
Il apparaît, pour la régression linéaire (figure 2-35), comme nous l’avions prédit précédemment, qu’il
existe un nombre de points optimum pour la fenêtre de traitement : lorsque la fenêtre est étroite la
précision est inférieure et lorsque la fenêtre est large, des points fortement entachés de bruit viennent
perturber la mesure. La fenêtre de taille optimum obtenue dans cette configuration, et quelque soit
l’amplitude de l’impulsion STOP, est de l’ordre d’un quinzaine de points.
Pour la régression non-linéaire, l’augmentation de la taille de la fenêtre réduit l’écart-type sur la mesure
de distance, cependant au delà de 25 points, l’amélioration est infime.
Pour la méthode de corrélation les résultats obtenus sont moins clairs : il apparaît tout de même une
taille de fenêtre optimum entre 20 et 30 points. Il faut noter que, pour cette méthode de traitement,
l’augmentation de la taille de la fenêtre augmente le temps de calcul de façon plus importante que pour
les deux autres méthodes. Le tableaux ci-dessous résume les résultats obtenus sur le nombre de points
optimum pour la fenêtre de traitement :
Méthode :
Régression linéaire
Régression non-linéaire
Corrélation
Points par fenêtre
15
25
30
2.4.1.2 Etude le la variation de l’écart-type en fonction du Rapport signal sur bruit
Avant d’étudier les performances des traitements en matière de précision, nous avons évalué leur
vitesse sur un ordinateur de type PC à 100 Mhz. La mesure de la position du sommet des deux
impulsions est effectuée, en 1 ms avec la technique de régression linéaire, en 10 ms avec la régression
non-linéaire et en 50 ms avec la corrélation.
Nous allons maintenant comparer les performances de ces trois traitements (avec leur fenêtre optimale)
en fonction du rapport signal sur bruit. Les caractéristiques des signaux sont les mêmes que
précédemment, l’amplitude de l’impulsion STOP variant de 2 mV à 120 mV, soit un rapport signal sur
bruit variant de 10 à 46 dB.
120
Amplitude STOP (mV)
2 à 120
0,6
2,5
5
10
100
112
2
5
10
20
100
corrélation
régression linéaire
régression non-linéaire
0.1
écart-type (m)
50
0.05
0.1
0.05
0.01
0.01
0.005
0.005
0.001
0.001
2
5
10
20
amplitude (mV)
50
100
Figure 2-38 : Comparaison des performances des traitements, écart-type (m)
Les méthodes de régression donnent clairement de meilleurs résultats que la méthode de corrélation.
Toutefois, pour une amplitude du signal STOP faible (inférieure à 4 mV) la méthode de régression
linéaire n’est plus aussi performante : l’influence du bruit sur le logarithme des points est trop
importante. C’est pourquoi, nous retenons la méthode de régression non-linéaire pour la mesure précise
de distance : un écart-type sur la mesure de distance de l’ordre de quelques millimètres est envisageable
sur une bonne partie de la dynamique du signal.
Ayant choisi une méthode de mesure, nous allons maintenant étudier l’évolution de ses performances
en fonction des paramètres suivants : fréquence d’échantillonnage et largeur des impulsions détectée.
2.4.1.3 Influence de la fréquence d’échantillonnage, régression non-linéaire
La largeur de l’impulsion est fixée à 2,5 ns. L’amplitude des impulsions START et STOP est fixée à
120 mV. Pour chaque point de la courbe les signaux sont générés avec un fréquence d’échantillonnage
différente allant de 1GE/s à 10 GE/s.
120
Amplitude STOP (mV)
120
0,6
2,5
Largeur de la fenêtre (échantillons)
25
1 à 10
10
100
113
0.0025
écart-type (m)
0.002
0.0015
0.001
0.0005
2
4
6
Fréquence GEs
8
10
Figure 2-39 : Influence de la fréquence d’échantillonnage sur l’écart-type (m) de la mesure de distance
Nous remarquons que l’écart-type sur la mesure de distance diminue avec l’augmentation de la
fréquence d’échantillonnage. Cependant, ci cette diminution est rapide de 1 à 2 GE/s, elle est beaucoup
plus lente ensuite. Avec une fréquence de 2 à 3 GE/s les résultats obtenus sont déjà intéressants :
l’écart-type est inférieur au millimètre.
2.4.2 Techniques numériques adaptées au débruitage des signaux
Comme nous l’avons vu précédemment l’augmentation du rapport signal sur bruit (RSB) permet
d’augmenter la portée du télémètre. La simulation porte donc ici sur l’amélioration du rapport signal
sur bruit, à l’aide des méthodes de corrélation (filtrage adapté) et cumulant d’ordre 4, lorsque le signal
STOP reçu est de faible amplitude. Nous avons également ajouté à ces deux méthodes un simple filtre
numérique passe bas de Butterworth d’ordre 4 de fréquence de coupure égale à 350 MHz (Bande
passante du circuit de réception) qui permet d’éliminer le bruit de quantification haute fréquence. Le
filtrage adaptée utilise le signal START comme signal de référence, le cumulant d’ordre 4 est calculé
sur une fenêtre glissante d’une largeur de 15 points. Les signaux générés possèdent 5000 échantillons,
la mesure de l’écart-type du bruit σ est effectuée entre les échantillons 1000 et 5000, les impulsions
START et STOP sont positionnées avant l’échantillon 1000. L’amplitude du signal STOP A est donnée
après traitement du signal non bruité. Le rapport signal sur bruit est alors calculé de la façon suivante :
 A
RSB = 20 ⋅ log  
σ 
(2.89)
Nous avons également évalué ici la vitesse des traitements : les 5000 points sont traités, en 250 ms
avec le filtrage adapté, 200 ms avec la méthode de cumulant non récursive.
Le tableau ci-dessous donne les caractéristiques des signaux utilisés :
120
Amplitude STOP (mV)
1à6
114
0,6
2,5
5
10
100
60
cumulant
filtre adapté
50
filtre passe bas
RSB dB
40
30
20
10
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
amplitude V
Figure 2-40 : Amélioration du rapport signal sur bruit
Le filtrage adapté et le filtre passe bas améliorent le rapport signal sur bruit d’environ 10 dB sur toute
la gamme d’amplitude étudiée. Ces deux techniques donnent de meilleurs résultats que la technique de
cumulant jusqu'à une amplitude d’un peu moins de 2 mV pour l’impulsion STOP. Au delà de 2 mV
c’est la technique de cumulant d’ordre 4 qui donne de bien meilleurs résultats. Cette dernière technique
déforme par contre l’impulsion et ne permet pas d’obtenir une mesure précise dans le cas où le rapport
signal sur bruit est important. Dans tous les cas, pour un seuil de détection fixé à RSB = 36 (15,5 dB)
les traitements permettent de détecter des impulsions d’amplitude plus faible : la portée est alors
étendue.
3. TECHNIQUES OPTIQUES
Comme nous l’avons vu précédemment, en télémétrie, la détection de très faibles signaux, que ce soit
en détection directe ou cohérente, est d’une importance capitale pour les performances du télémètre.
S’il est possible d’amplifier le signal électrique issu du photorécepteur, il est également possible
d’amplifier optiquement le signal avant la conversion photon-électron réalisée par le détecteur. Nous
allons présenter dans ce paragraphe les solutions de la littérature utilisant l’amplification optique afin
d’augmenter la sensibilité des modules de détection, dans le but d’accroître les performances des
télémètres. Nous comparerons ensuite les performances obtenues avec un amplificateur optique et avec
une photodiode à avalanche.
O
115
3.1 Principe de l’amplification optique
Pour réaliser un amplificateur optique il suffit d’utiliser un matériau de même nature que celui utile à
l’oscillation laser. Contrairement au laser, l’amplificateur optique doit avoir des faces d’entrée et de
sortie les moins réfléchissantes possibles à la longueur d’onde à amplifier pour ne pas amorcer un effet
laser. Tout comme l’oscillateur laser, le milieu amplificateur doit être pompé afin d’assurer une
inversion de population, le gain étant directement proportionnel à cette inversion (voir figure 3-1)
signal
L
Cristal laser
signal amplifié
pompe
Figure 3-1 : représentation schématique de l’amplification optique
Le processus d’amplification est basé sur l’énergie stockée dans le niveau haut de la transition laser
avant l’arrivée du signal d’entrée. Ainsi, lorsque l’impulsion traverse le milieu amplificateur, les
atomes sont excités et libèrent l’énergie stockée par émission stimulée. L’émission spontanée est elle
aussi amplifiée et introduit un bruit supplémentaire au signal qu’il faut considérer. Les équations du
bilan permettent de décrire le processus en supposant que l’on néglige l’effet de la fluorescence et du
pompage lors de la traversée de l’impulsion :
∂N
= −γ Ncσ Φ
∂t
(3.1)
∂Φ
∂Φ
= Ncσ Φ −
c
∂t
∂x
(3.2)
N représente la densité d’inversion de population, Φ la densité de photons, σ est la section efficace
d’émission stimulée du milieu actif, c la vitesse de la lumière dans le vide. x représente l’abscisse dans
le milieu amplificateur et t le temps.
Ce système d’équations différentielles a été résolu pour diverses formes d’impulsions [LMF63]. Dans le
régime de fonctionnement qui nous intéresse (amplification de faibles signaux), nous pouvons établir le
gain en première approximation [WK96][AY89] :
G = exp (α L )
avec :
116
(3.3)
α = Nσ : coefficient d’amplification du matériau dit « gain en petits signaux », σ est la section
efficace d’émission stimulée du milieu laser, L est la longueur du même milieu.
3.2 Principe de l’amplification paramétrique optique (OPA)
Les amplificateurs optiques fonctionnent par l’intermédiaire des transitions entre les niveaux d’énergie
atomique ou moléculaire. Par conséquent la bande du spectre amplificateur est très étroite. Les
amplificateurs paramétriques optiques utilisent les propriétés non linéaires de certains matériaux et
possèdent donc un spectre plus large et peuvent être continûment ajustables sur une importante plage
de longueur d’onde. De ce point de vue , cette propriété rend les OPA supérieurs aux amplificateurs
laser. L’autre avantage prépondérant est l’absence d’émission spontanée parasite lors du processus
d’amplification paramétrique.
Dans un processus paramétrique, une onde électromagnétique de forte puissance (onde de pompe
impulsionnelle1), ayant une pulsation ωp, interagi via la réponse non-linéaire du milieu avec deux ondes
de pulsation inférieures appelées onde signal (fréquence ωs) et onde idler (fréquence ωi).
L
idler
signal
Cristal non-linéaire
signal amplifié
pompe
Laser de pompe
Figure 3-2 :représentation schématique de l’amplification paramétrique optique
Cette interaction produit une amplification aux fréquences ωs et ωi. Le processus paramétrique optique
est un mélange non-linéaire, l’amplification et l’oscillation paramétrique sont toutes deux possibles. Ce
processus se traduit par la disparition d’un photon de pompe lors de sa propagation dans le cristal nonlinéaire et par la production de deux photons aux fréquences ω s et ωi. L’énergie totale des photons est
conservée :
1
Les puissances de pompe utiles à la génération d’effets non-linéaires, plusieurs kW, nécessitent l’utilisation de
laser impulsionnels où la puissance est de cet ordre de grandeur. L’onde de pompe et l’onde signal doivent alors
être envoyées dans le cristal non-linéaire en même temps : le signal est donc en général une impulsion de largeur
égale ou inférieure à l’impulsion de pompe.
117
ω p = ω s + ωi
(3.4)
Pour un ωp donné il existe une infinité de paires ωs et ωi susceptibles de satisfaire l’équation ci-dessus.
La condition dite « d’accord de phase » :
k p = k s + ki
(3.5)
où k est le vecteur d’onde de la radiation du milieu non-linéaire, détermine laquelle des paires ωs et ωi
vont être générées. L’habilité à faire varier la condition d’accord de phase rend possible l’excursion en
longueur d’onde d’un OPA ou d’un oscillateur paramétrique optique (OPO). Les OPO et les lasers
émettent tout deux une lumière cohérente produite dans une cavité résonnante.
Les récentes améliorations des cristaux non-linéaires, spécialement le LN (LiNbO3), le KTP (KTiPO4),
le BBO (BaB2O4), le LBO (LiB3O5) et le KN (KNbO3), permettent d’obtenir des OPA très efficaces.
Pour que le processus d’amplification soit optimisé, les conditions sur les faisceaux de pompe et de
signal suivantes doivent être remplies : bon recouvrement spatial et temporel des deux faisceaux, et
accord de phase. Ces conditions remplies, le gain G en intensité du signal peut s’écrire [JYC96] :
G = 1+
Γ 20
sinh 2 ( Γz )
Γ2
(3.6)
où Γ 0 est le gain constant dépendant du milieu non-linéaire et de la longueur d’onde et Γ 0 s’écrit :
 ∆k 
Γ 2 = Γ 02 − 

 2 
2
(3.7)
où ∆k est l’écart à l’accord de phase et z est la longueur sur laquelle l’interaction se produit.
3.3 Amplificateur optique classique
Généralement l’amplificateur optique à solide est utilisé pour augmenter la puissance d’un faisceau
laser. Les théories sur l’amplification optique sont bien connues [RL93][MA98][IA96][AES86]. Il peut
également utiliser ses propriétés amplificatrices dans le cas de signaux de faible intensité. Cependant,
dans la littérature, peu de systèmes télémétriques utilisent des amplificateurs optiques. La raison
principale semble être la complexité de la mise en œuvre des amplificateurs. En effet, l’énergie
nécessaire pour produire l’inversion de population suffisante est telle que l’alimentation électrique les
diodes lasers de puissance ou les lampes flash de pompe doivent être refroidies par eau. De plus, en
général, un montage optique permettant au signal d’effectuer plusieurs aller-retours dans
l’amplificateur augmente sensiblement l’encombrement du système. Brignon et al. du Laboratoire
Central de Recherches de Thomson-CSF ont tout de même réalisé un amplificateur optique, pompé
longitudinalement par une barrette de diode laser de puissance, dont le matériau actif est le Nd:YAG ou
le Nd:YVO4, relativement compact, la cavité amplificatrice ayant une longueur de 5 mm [AB98]. Le
facteur d’amplification obtenu (equation (3.3))est de 1,6 pour un passage, 24 pour deux passages
(configuration dans laquelle est utilisé l’amplificateur). Les performances de ce dispositif sont toutefois
limitées par l’amplification de l’émission spontanée.
118
Par contre dans le cas des lidars cohérents où la taille du dispositif importe beaucoup moins, plusieurs
références mentionnent l’utilisation d’amplificateur optique. Morley et al. [RJM94] utilisent un
amplificateur multi-passages à CO2 d’une longueur de 70 cm, ils améliorent ainsi leurs mesures d’un
facteur de 12 dB. Rahm et al. intègrent également à leur lidar cohérent un amplificateur optique au CO2
[SR94]. En réalité, l’amplificateur est un laser au CO2 dont les miroirs ont été retirés. La longueur de la
cavité est de 30 cm , le signal y est guidé en sept aller-retours et le gain obtenu approche les 30 dB. Le
rapport signal sur bruit est augmenté d’un facteur 18 pour une cible de type aérosol, d’un facteur 70
pour une cible solide.
3.4 Amplification par diode laser
Alping et al. [AA84] utilisent une diode laser en AlGaAs (double hétérostructure) à commutation de gain
émettrice comme préamplificateur optique. L’impulsion lumineuse réfléchie par un miroir et atténuée
par un jeu de densités et réinjectée dans la diode laser, et est ainsi amplifiée. En effet, les diodes lasers
possèdent un gain important par rapport au lasers solides [ER98] : ici un courant continu maintient la
diode laser à un gain constant (près, mais au-dessous du seuil d’oscillation), un générateur d’impulsion
électriques courtes (300 ps) excite périodiquement (790 kHz) la diode qui émet à son tour un train
d’impulsions larges de 100 ps. Les impulsions réfléchies par le miroir sont redirigées vers la diode
laser qui sert maintenant d’amplificateur. Le gain annoncé expérimentalement est de 17 dB, quant à la
précision elle est de l’ordre du millimètre. Malgré tout aucune mesure n’est démontrée sur cible
naturelle et l’atténuation optique entre le miroir et la diode laser n’est que 20dB, soit une atténuation
d’un facteur 100, la puissance minimum détectable est quant à elle de -23 dBm, soit 5 µW.
3.5 Amplification par fibre optique dopée en terres rares
L’avantage de l’amplification par fibre, par rapport à l’amplification solide, est que la longueur
d’interaction du signal avec le matériau amplificateur peut être beaucoup plus importante et permet
donc d’obtenir des gains supérieurs plus facilement, les alignements sont également moins critiques.
Salisbury et al. comparent théoriquement la sensibilité de télémètres à détection directe et cohérente
utilisant une photodiode PIN, une photodiode à avalanche, un amplificateur à fibre optique [MSS93]. Ils
montrent que l’utilisation d’une fibre amplificatrice améliore la sensibilité dans le cas de la détection
directe mais reste tout de même inférieure en performance devant la détection cohérente. Lors de la
démonstration expérimentale de leur partie théorique [MSS94], où ils utilisent un laser Nd:YAG et une
fibre dopée au Néodyme, Salisbury et al. confirment leurs prévisions : un gain de 25 dB avec la fibre
amplificatrice par rapport à une détection simple utilisant une photodiode PIN. Overbeck propose
d’utiliser une source laser à une longueur d’onde de 1,54 µm (oscillateur paramétrique optique) afin de
bénéficier de la technologie déjà en place des fibres optiques amplificatrices dopées à l’Erbium dédiées
aux télécommunications [JAO95] : un comparatif des méthodes de détection directes avec amplification
par fibre ou par photodiode à avalanche montre finalement que l’amélioration apporté par la fibre est
faible.
119
3.6 Amplificateur paramétrique optique
Les amplificateur paramétriques optiques (OPA) peuvent être utilisés avantageusement par rapport aux
amplificateurs optiques classiques pour l’amplification de faibles signaux, par exemple en imagerie
proche infrarouge [NSP96]. En effet le processus responsable de l’amplification est du à la propriété
non-linéaire du matériau, et non à une inversion de population avec émission spontanée parasite. Le
signal obtenu après amplification est donc beaucoup moins bruité [EG95] : le rapport signal sur bruit de
la mesure est peu dégradé par l’insertion d’un OPA [PRC94]. Cependant, la condition de recouvrement
temporel rend son utilisation en télémétrie difficile voir impossible. En effet, l’arrivée de l’impulsion
de pompe nécessaire à produire le gain doit coïncider avec l’arrivée de l’onde signal dans l’OPA. Pour
qu’une synchronisation des deux signaux soit possible il faudrait en fait déjà connaître la distance à
mesurer.
Cependant l’utilisation d’un oscillateur paramétrique optique (OPO), dans un système télémétrique ou
lidar, permet d’émettre à une longueur d’onde variable. Il a été montré que ces systèmes permettaient
d’effectuer des mesures beaucoup plus précises dans un environnement fortement bruité (lumière
parasite importante) [TPG96]. Un autre avantage : la longueur d’onde peut être choisie telle que le
système fonctionne en sécurité oculaire, ou telle que la transmission atmosphérique soit maximale. En
adaptant le dispositif, il est possible de concevoir un lidar à absorption différentielle : l’utilisation de
plusieurs longueurs d’onde à l’émission permet de lever l’ambiguïté sur le chemin optique mesuré si
l’indice optique du milieu traversé varie (turbulences). Une application supplémentaire est la détection
d’espèces chimiques dans l’atmosphère émises par exemple par les véhicules.
Pasmanik et al. utilisent en plus d’un OPO une cellule à diffusion Raman stimulée afin de convertir la
longueur d’onde comprise entre 1,85 et 2 µm à la sortie de l’OPO vers des longueurs d’onde de l’ordre
de 10 µm [GAP97] . Un tel système peut remplacer, dans les applications de lidar à absorption
différentielle, les lasers à CO2. L’avantage par rapport aux laser à CO2 est la possibilité d’utiliser une
même cellule Raman en réception afin d’amplifier l’onde reçue.
Prasad et al. proposent de remplacer un laser Nd:YAG dans un télémètre par un OPO. Un cristal
unique, le Nd:MgO:LiNbO3, pompé par diode laser, délivre le rayonnement. En fait le laser de pompe
(Nd) et le milieu non-linéaire sont fondus dans la même matrice, il suffit alors de pomper le cristal par
une diode laser pour produire un rayonnement à 1,064 µm qui va à son tour interagir avec le milieu
non-linéaire et délivrer le rayonnement à 1,54 µm. L’impulsion émise a une énergie de 12 mJ avec une
largeur d’impulsion de 10 ns [NSP96].
3.7 Détection directe avec une fibre optique amplificatrice
L’insertion d’une fibre optique amplificatrice en réception est la solution optique la mieux adaptée
pour un télémètre : la mise en œuvre est plus simple que pour un amplificateur solide. Afin de
comparer les performances de l’amplification optique avec les performances des photodétecteurs
décrits dans la Partie II (paragraphes 5.1 et 5.2), dans un premier temps nous écrirons les expressions
des puissances du signal reçu et des différentes sources de bruit, nous en déduirons par la suite
l’expression du rapport signal sur bruit dans le cas où une fibre optique est utilisée comme
120
amplificateur avant la détection par une photodiode PIN. Lors d’une application numérique nous
évaluerons l’amélioration apportée par la fibre amplificatrice.
3.7.1 Signal reçu
La puissance du signal électrique à la sortie du détecteur est donnée par :
Ps = (η B ( B) ⋅ GAO Pr ℜ ) Rc
2
(3.8)
GAO est le gain de l’amplificateur optique. La puissance optique du signal utile incident sur le détecteur
est donnée dans la Partie II.
3.7.2 Sources de bruit
La puissance moyenne de bruit thermique du détecteur est donnée et la puissance moyenne de bruit de
l’amplificateur électronique sont donnés dans la Partie II.
La puissance moyenne de bruit d’obscurité délivrée lorsque aucune énergie n’est incidente sur le
détecteur est donnée par :
Pobs = 2eI obs GAO BRc
(3.9)
De la même façon, la puissance moyenne de bruit quantique est donnée par :
Pq = 2ePr ℜGAO BRc
(3.10)
La puissance moyenne de bruit parasite délivrée par le détecteur lorsque celui ci est illuminé
uniquement par la lumière ambiante due à l’éclairement solaire est donnée par :
Pp = 2ePps ℜGAO BRc
(3.11)
La puissance parasite Pps, est donnée par l’équation (3.14) :
R 
Pps = aEo ⋅ Ta ⋅ Tr = ρ a ⋅ Ta ⋅ Tr Es  d 
 f 
2
Le bruit additionnel ajouté par l’amplificateur optique consiste en trois composantes, il est exprimé
par :
PAO = Pes + Ps.es + Pes .es
(3.12)
Pes = 2eℜγ es Bo BRc
(3.13)
avec :
Pes Représente le bruit quantique du à l’émission spontané produite par l’amplification optique.
γ es = hν FAO GAO est la densité de puissance spectrale de l’émission spontanée amplifiée [JPE90], FAO est
121
la figure du bruit de l’amplificateur optique. La bande passante du filtre optique où ∆λ est la largeur à
mi-hauteur du spectre de transmission du filtre optique autour de la longueur d’onde λ est donnée par :
Bo =
c∆λ
λ2
(3.14)
Ps.es = 2GAO ℜ2 ( Pr + Pps )γ es BRc
(3.15)
représente le signal de bruit de battements entre le signal optique, incident sur l’amplificateur, et
l’émission spontanée.
Pes.es = ℜ2γ es2 Bo BRc
(3.16)
représente le signal de bruit de battements entre l’émission spontanée et elle même.
3.7.3 Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit
Le rapport signal sur bruit de la mesure est donné par :
RSBAO =
Pth + Pamp
Ps
+ Pobs + Pq + Pp + PAO
(ηB ( B) ⋅ GAO Pr ℜ )
2
RSBAO ≈
(3.17)
Rc
2
4kBT + 2ePr ℜGAO BRc + ℜ γ Bo BRc + 2GAO ℜ2 Pr γ es BRc + iamp
BRc
2
2
es
(3.18)
Les termes correspondants au bruit d’obscurité, au bruit quantique de la lumière parasite, et la partie
correspondant aux battements de la lumière parasite et de l’émission spontanée de l’amplificateur, sont
négligeables devant les autres termes du dénominateur de (3.18).
soit :
RSBAO =
α ⋅ Pr2
β ⋅ Pr + χ
(3.19)
avec :
(ηB ( B ) ⋅ G AOℜ )
2
α=
B
, β = 2GAO ℜ2γ es et χ =
4kT
2
+ ℜ 2γ es2 Bo + iamp
Rc
(3.20)
En résolvant l’équation (3.19) pour la puissance reçue Pr on obtient la puissance nécessaire arrivant sur
le photodétecteur pour obtenir un rapport signal sur bruit donné :
Pr,min =
β ⋅ RSBPDA
2α

4αχ
1 + 1 + 2
β ⋅ RSBPDA

122



(3.21)
De la même façon que dans le paragraphe 5.1.3 de la Partie II, il est ainsi possible de déterminer la
portée d’un télémètre temps de vol utilisant une fibre optique amplificatrice.
3.7.4 Comparaison des performances : application numérique
Afin de comparer les performances des trois circuits de réception : photodiode PIN, photodiode à
avalanche et fibre optique amplificatrice, nous allons choisir des détecteurs avec des caractéristiques
équivalentes et calculer la portée dans chacun des trois cas en utilisant les formules précédemment
introduites. Le seuil de détection sera choisi pour un rapport signal sur bruit égal à 36, soit un seuil en
tension positionné à 6 fois l’écart type du bruit de telle façon que le taux de fausse alarme soit égal à 1
pour 109. La simulation se présente sous la forme de tableau, toutes les données relatives au calcul sont
mentionnées, les calculs intermédiaires sont notés en gras, le résultat final de la portée est noté en bleu.
L’utilisation de fibres optiques amplificatrices fonctionnants à une longueur d’onde de 1,55 µm est
courante dans le domaine des télécommunications. Aussi, il est plus aisé de trouver dans le commerce
des fibres à 1,55 µm [IRE] qu’à 1,064 µm (longueur d’onde d’émission des lasers Nd:YAG). C’est
pourquoi, lors de cette application numérique, nous avons choisi de travailler avec de telles fibres et
par conséquent avec une source laser à 1,55 µm, comme par exemple un microlaser Er:verre. Des
fibres optiques amplificatrices à 1,064 µm donneraient bien entendu des résultats équivalents. La
largeur de l’impulsion utilisée est de l’ordre de la nanoseconde, la puissance parasite due à
l’éclairement solaire de la cible dépend de la distance, aussi afin de faciliter les calculs nous
effectuerons ce calcul pour une cible à 100 m du télémètre : la puissance parasite sera surestimée.
3.7.4.1 Photodiode PIN
Source Laser
Longueur d'onde du laser
Puissance crête du laser
Divergence du faisceau laser
Symbole
λ
Pé
α
Valeur
1,55
1
1
Unité
µm
kW
mrad
25
0,9
0,5
20
0,18
km
nm
W/m².nm
Données Télémétriques
Distance de visibilité
Albédo de la cible
Transmission des optiques
Largeur spectrale du filtre de réception
Eclairement solaire
ρ
Te T r
∆λ
Eλ
Récepteur
Sensibilité de détection
Courant d'obscurité
Bande passante du récepteur
Diamètre du détecteur
Aire de l'optique de réception (15 mm de rayon)
Focale de la lentille de réception
Iobs
B
Rd
a
f
0,9
1
200
100
700
100
A/W
nA
MHz
µm
mm²
mm
Amplificateur Electronique
Résistance de contre réaction
Rc
10000
Ω
V
ℜ
123
iamp
ηΒ(B)
6
0,6
pA.Hz-1/2
-
Coefficient d’atténuation Atmosphérique
Coefficient de Mie
βa
0,027
km-1
Puissance Parasite Solaire
(calculée pour une cible à 100 m)
Eclairement solaire autour de λ
Luminance solaire autour de λ
Eclairement sur l'optique de réception
Es
L
Eo
3,6
1,03
Pps
8,1. 10-7
0,283
W/m²
W/m²
W
e
k
T
h
1,60.10-19
1,38.10-23
293
6,63.10-34
C
J/K
K
J/s
Pth/Rc
3,23.10-16
A2
Pamp/Rc
7,20.10-15
A2
Pobs/Rc
Pq /( Rc .Pr )
6,40.10-20
A2
5,76.10-11
A2/W
Pp/Rc
1,63.10-20
A2
Ps /( Rc .Pr2 )
0,2916
A2/W2
36
-
967,33
319
nW
m
Symbole
Valeur
Unité
λ
1,55
µm
Pé
1
kW
a
1
mrad
V
25
km
Albédo de la cible
ρ
0,9
-
Te T r
0,5
-
∆λ
20
nm
Eclairement solaire
Eλ
0,18
W/m².nm
ℜ
0,9
A/W
Courant de bruit
Coefficient d'atténuation
Constantes
Charge de l'électron
Constante de Boltzmann
Température
Constante de Planck
nW
Puissance moyenne de bruit
thermique
amplificateur
obscurité
quantique/Pr
parasite (calculée pour une cible à 100 m)
Puissance du signal
signal/Pr²
Rapport signal sur bruit au seuil de détection
RSBPIN
Puissance optique minimale calculée
Portée
3.7.4.2 Photodiode à avalanche
Source Laser
Récepteur
124
Iobs
100
nA
Gain de détection
M
35
-
FPDA
14,39
-
B
200
MHz
Rd
100
µm
a
700
mm²
f
100
mm
Rc
10000
Ω
iamp
ηΒ(B)
6
pA.Hz-1/2
0,6
-
βa
0,027
km-1
Es
3,6
W/m²
L
1,03
Facteur de bruit du gain
Résistance de charge
Courant de bruit
Coefficient de Mie
W/m²
-7
Eo
8,1.10
W
Pps
0,283
nW
e
1,60.10-19
C
k
1,38.10-23
J/K
T
293
K
h
6,63.10-34
J/s
Pth/Rc
3,23.10-16
A2
Pamp/Rc
7,20.10-15
A2
Pobs/Rc
Pq /( Rc .Pr )
1,13.10-13
A2
1,01.10-6
A2/W
Pp/Rc
2,87.10-16
A2
Ps /( Rc .Pr2 )
357
A2/W2
36
-
172,71
746
nW
m
Valeur
Unité
1,55
µm
Constantes
Température
Constante de Planck
thermique
amplificateur
obscurité
quantique/Pr
Puissance du signal
signal/Pr²
RSBPDA
Portée
3.7.4.3 Fibre optique amplificatrice
Source Laser
Symbole
λ
125
Pé
1
kW
α
1
mrad
V
25
km
Albédo de la cible
ρ
0,9
-
Te T r
0,5
-
∆λ
20
nm
Eclairement solaire
Eλ
0,18
W/m².nm
ℜ
0,9
A/W
Iobs
1
nA
Gain de détection de l'amplification optique
GAO
1000
-
Facteur d’excès de bruit de l'amplification optique
FAO
4,5
-
B
200
MHz
Rd
100
µm
a
700
mm²
f
100
mm
Résistance de charge
Rc
10000
Ω
Courant de bruit
iamp
6
pA.Hz-1/2
ηΒ(B)
0,6
-
βa
0,027
km-1
Es
3,6
W/m²
L
1,03
Récepteur
Coefficient de Mie
Eo
W/m²
-7
W
Pps
8,1.10
0,283
nW
e
k
T
h
1,60.10-19
1,38.10-23
293
6,63.10-34
C
J/K
K
J/s
Pth/Rc
3,23.10-16
A2
Pamp/Rc
7,20.10-15
A2
Pobs/Rc
Pq /( Rc .Pr )
2,88.10-13
A2
0,26.10-3
A2/W
Pp/Rc
7,33.10-14
A2
AO es
Pes/Rc
8,46.10-14
A2
Ps.es/(Pr.Rc)
0,19.10-3
A2/W
AO s.es partie due à Pps (Pr=0)
Ps.es/Rc
5,32.10-14
A2
AO es.es
Pes.es/Rc
1,38.10-10
A2
Constantes
Température
Constante de Planck
thermique
amplificateur
obscurité
quantique/Pr
AO s.es / Pr partie due à Pr (Pps=0)
126
Puissance du signal
Ps /( Rc .Pr2 )
signal/Pr²
291600
A2/W2
36
-
161,40
772
nW
m
RSBAO
Portée
3.7.4.4 Comparaison
Nous avons calculé la portée de télémètres utilisant chacun un mode de détection différent.
L’utilisation de photodiode à avalanche ou de fibre optique amplificatrice améliore la portée de façon
significative par rapport à une photodiode PIN classique. Cependant, comme on peut le constater sur la
figure 3-3, la fibre amplificatrice apporte peu de gain en portée par rapport à une photodiode à
avalanche.
1000
Portée HmL
800
747 m
772 m
600
400
319 m
200
PIN
PDA
Détecteur
AO
Figure 3-3 : comparaison de la portée des différents modes de détection
Le système de détection retenu pour notre prochain télémètre temps de vol sera donc une photodiode à
avalanche : ses performances sont légèrement inférieures à celles d’une fibre, cependant la mise en
œuvre est beaucoup plus simple. En effet, il est nécessaire de pomper la fibre optique en utilisant une
diode laser et d’utiliser des optiques adaptées afin de coupler la totalité de la lumière provenant de la
cible dans la fibre. La photodiode à avalanche requiert quant à elle uniquement une alimentation haute
tension de l’ordre d’une soixantaine de volts. Le matériau utilisé pour des longueurs d’onde de 1,55 et
1,064 µm pour la photodiode est l’InGaAs.
4. CONCLUSION
Nous avons étudié dans cette partie les différentes solutions s’offrant à nous pour l’amélioration des
performances des télémètres temps de vol. L’amélioration apportée par l’amplification optique est
127
faible et ne justifie pas sa mise en place dans le cas de nos télémètres. L’amélioration apportée par la
conversion analogique numérique puis le traitement des signaux télémétriques a été mise en évidence.
Après avoir étudié diverses méthodes de traitement numérique du signal, utilisées pour la plupart avec
d’autres capteurs actifs comme le radar et le sonar, nous avons conservé et approfondi celles s’adaptant
le mieux à la télémétrie laser temps de vol : régression linéaire et non-linéaire, filtrage adapté et
cumulant d’ordre 4. Les améliorations apportées par ces méthodes concernent, pour les deux
premières, la précision, et pour les deux dernières, la portée. Un écart-type sur la mesure de distance de
l’ordre du millimètre est obtenu lors des simulations. Le rapport signal sur bruit est amélioré d’une
dizaine de dB.
Dans la prochaine partie nous évaluerons ces méthodes expérimentalement et nous préciserons la
stratégie à adopter pour intégrer nos algorithmes dans un système télémétrique complet.
128

Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol

Transcription

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