Etude de la nature d`une série

Étude de la nature d’une série
On cherche à étudier la série de terme général un , c’est-à-dire, étant donnée une suite (un )n∈N , est-ce que la
suite des sommes partielles (Sn )n∈N converge ? Avec,
∀n ∈ N,
Sn =
n
X
uk
k=0
Étape 1
Est-ce que lim un = 0 ? Sinon, il y a divergence grossière de la série.
n→+∞
Étape 2
Peut-on étudier directement (Sn )n∈N ?
Exemple :
1
Soit un = n+1
− n1 . Alors :
Sn =
X
1
− 1 ⇒ lim Sn = −1 et la série
un converge
n→+∞
n+1
n≥0
Étape 3
La série est-elle à termes positifs ?
a) Séries de références :
• Séries géométriques :
X
an converge si et seulement si |a| < 1. On sait aussi que
+∞
X
an =
n=0
n∈N
• Séries de Riemann :
X 1
converge si, et seulement si, α > 1
nα
n∈N
• Séries de Bertrand :

 α > 1 et β ∈ R
OU
converge
si,
et
seulement
si,
β
α

α = 1 et β > 1
n∈N n [ln(n)]
X
1
1
1−a
b) Majoration de un :
Soit C ∈ R∗ , si 0 ≤ un ≤ Cvn , alors
 X
X

v
converge
⇒
un converge
n



 n∈N
n∈N
X
X



u
diverge
⇒
vn diverge

n

n∈N
n∈N
Exemple :
e−1/n
n2 .
Soit un =
Alors :
∀n ∈ N
Or
0 ≤ un ≤
1
n2
X 1
P
converge (c’est une série de Riemann). Donc, par comparaison,
un converge.
2
n
n∈N
c) Relations de comparaison :
Si un ≥ 0 et vn ≥ 0 avec, un =
o
n→+∞
(vn ) ou un =
O
n→+∞
(vn ) , alors
 X
X

vn converge ⇒
un converge



 n∈N
n∈N
X
X



un diverge ⇒
vn diverge


n∈N
n∈N
Exemple :
1
Soit un = ln(n)
, n ≥ 2. Alors :
∗
∀n ∈ N \ {1}
Or
1
un ≥ 0 et = o
n n→+∞
1
ln(n)
X 1
X1
diverge (c’est la série harmonique) et donc,
diverge.
n
ln(n)
n∈N
n∈N
d) Trouver un équivalent :
Si un ≤ 0, vn ≤ 0 et un
∼
n→+∞
vn , alors les séries
X
n∈N
un et
X
vn sont de même nature.
n∈N
Exemple :
Soit un =
n2
.
(n3 +n2 +1)3
Alors :
un
Or,
∼
n→+∞
1
n4
X 1
X
converge (c’est une série de Riemann) et donc, par comparaison,
un converge.
4
n
n∈N
n∈N
Remarque : lorsque la série n’est pas à terme général positif, on peut s’intéresser à sa convergence absolue
(qui implique sa convergence) en appliquant ces résultats à | un |.
Etape 4
Lorsque le signe du terme général de la série est quelconque, on peut chercher un développement limité de
un lorsque n tend vers +∞.
On utilise le plus souvent cette méthode lorsque un est sous la forme d’une somme de suites (elle marchera à
chaque fois mais sera aussi souvent la méthode la plus ”lourde”).

X

un = DV + CV + o (CV) ⇒
un diverge


n→+∞


n∈N
Alors :
X



u
=
CV
+
o
(CV)
⇒
un converge

n

n→+∞
Cette méthode marche aussi avec
O
n→+∞
n∈N
(CV )
Étape 5
Peut-on utiliser des critères ?
a) Règle du nα un :
Soit
P
un une série de terme général de signe quelconque.
X
• S’il existe α > 1 tel que lim nα un = L 6= 0, alors
un converge absolument.
n→+∞
n∈N
• S’il existe α ≤ 1 tel que lim nα un = L 6= 0, alors
n→+∞
X
un diverge.
n∈N
• S’il existe α > 1 tel que lim nα un = 0, alors
n→+∞
X
un converge absolument.
n∈N
• S’il existe α ≤ 1 tel que lim nα un = +∞, alors
n→+∞
X
un diverge.
n∈N
b) Critère de d’Alembert :
Soit un une série de terme général strictement positif. Alors :
X
un+1
= L > 1 alors
un diverge.
Si lim
n→+∞ un
n∈N
Si
X
un+1
= L < 1 alors
un converge.
n→+∞ un
lim
n∈N
Si
lim
n→+∞
un+1
= 1 alors on ne peut rien en déduire.
un
Lorsque la série n’est pas à terme général positif, on utilise que :
Si
X
|un+1 |
= L < 1 alors
un converge absolument.
n→+∞ |un |
lim
n∈N
Sinon, on peut juste dire que
X
n∈N
un ne converge pas absolument.
c) Critère de Cauchy :
X
Soit
un une série de terme général positif et L vérifiant :
n∈N
1
lim (un ) n = L
n→+∞

X

un diverge.
L
>
1
⇒




n∈N




X
Alors :
L
<
1
⇒
un converge.



n∈N






L = 1 alors on ne peut rien en déduire.
Si (un )n est de signe quelconque, alors :
1
lim (|un |) n = L < 1 ⇒
n→+∞
Sinon, on peut juste dire que
X
X
un converge absolument
n∈N
un ne converge pas absolument.
n∈N
Étape 6
A-t-on une série alternée ?
Soit (un )n une suite telle que un = (−1)n vn avec vn ≥ 0 vérifiant :


 (vn )n∈N est décroissante


Alors
X
lim un = 0
n→+∞
un converge.
n∈N
Remarques :
•
+∞
X
uk est du signe de u0 et,
k=0
+∞ X un ≤ |u0 | .
n=0
• Plus généralement,
+∞
X
uk est du signe de un et,
k=n
+∞ X uk ≤ |un | .
k=n
Étape 7
Peut-on comparer
X
un à une intégrale ?
n∈N
Si pour tout n ∈ N, on a un = f (n) avec f une fonction décroissante et positive sur R+ , alors :
X
+∞
Z
un converge ⇔
f (x)dx converge
0
n∈N
Étape 8
Peut-on utiliser la transformation d’Abel ?
On l’utilise quand on veut étudier des séries de terme général de la forme an bn .
Explications :
Soient (an )n et (bn )n deux suites. On veut étudier la nature de la série
X
an bn . On pose pour cela,
n∈N
SN =
N
X
an bn
et
Bm =
n=0
m
X
bk .
k=0
On a alors,
SN = aN BN −
N
−1
X
Bn (an+1 − an )
n=0
Règle :

(an )n converge vers 0,







(Bn )n est bornée,
Si :

 X



(an+1 − an ) converge absolument,


n∈N
alors
X
n∈N
an bn converge.