Document 663500

— Semaine K23 —
Programme de khôlles — Lycée César Baggio — Mathématiques Supérieures PTSI2 — 2012/2013
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CHAPITRE XXI
ESPACES VECTORIELS
§1.
S TRUCTURE D ’ ESPACE VECTORIEL
— Les axiomes d’espace vectoriel. Calculs dans un espace vectoriel
— Exemples fondamentaux d’espaces vectoriels Espace vectoriel R ou C, Espace vectoriel Kn , Espace vectoriel
d’applications, Espace vectoriel de suites, Espace vectoriel de matrices,
— Espace vectoriel produit
— Notion de combinaison linéaire
§2.
S OUS - ESPACES VECTORIELS
— Définition, caractérisation. Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
— Intersection de sous-espaces vectoriels. Sous-espace vectoriel engendré par une partie.
— Somme de deux sous-espaces vectoriels
§3.
FAMILLES DE VECTEURS
— Liberté
— Familles génératrices
— Base
§4.
S OMME DIRECTE ET PROJECTIONS
— Somme directe de deux sous-espaces vectoriels, caractérisations.
— Sous-espaces supplémentaires, caractérisations.
— Projection, projecteur.
§5.
E XISTENCE DE BASES — T HÉORÈME DE LA BASE INCOMPLÈTE
— Théorème de la base incomplète. Conséquences.
ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE
§6.
T HÉORIE DE LA DIMENSION
— Dimension d’un espace vectoriel.
— Caractérisation des bases en dimension finie.
— Dimension d’un produit.
§7.
S OUS - ESPACE VECTORIEL ET DIMENSION
— Théorème du sous-espace. Rang d’une famille de vecteurs.
— Applications aux sous-espaces supplémentaires, recollement de bases. Caractérisation des sous-espaces supplémentaires à l’aide de la dimension.
— Formule de Grassmann.
§8.
R EPRÉSENTATION MATRICIELLE D ’ UNE FAMILLE DE VECTEURS
— Définition. Matrice de passage, formule de changement de base.
— Opérations élémentaires, calcul pratique du rang.
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— Semaine K23 —
D ÉMONSTRATIONS EXIGIBLES DES ÉTUDIANTS
— Théorème du sous-espace.
— Formule de changement de base.
On pourra vérifier que les exercices
E8.14, E7.10, E8.17, E8.23, E7.9, E7.4, E8.6, E8.11,
ont été correctement (re)-travaillés.
CHAPITRE XXII
DÉRIVÉES
§1.
D ÉRIVÉES
— Dérivée première. Caractère local.
— Développement limité d’ordre 1. Une application dérivable en un point a est nécessairement continue en ce
point.
— Dérivée à gauche et à droite
— Fonction affine tangente
— Opérations sur les dérivées (somme, produits, quotient).
— Dérivée d’une fonction composée.
— Dérivées d’ordre supérieur. Théorèmes opératoires (somme, produits, quotient, composée). Formule de Liebniz.
— Fonctions de classe C n
— Extrémum local. Condition nécessaire en un point intérieur.
§2.
É TUDE GLOBALE DES FONCTIONS DÉRIVABLES
— Théorème de Rolle
— Théorème des accroissements finis (égalité et inégalité).
— Limite des dérivées, prolongement d’une fonction de classe C 1 .
— Caractérisation de la monotonie
§3.
R ÉCIPROQUE D ’ UNE FONCTION
— Dérivée d’une fonction réciproque (DNE).
— Difféomorphismes
§4.
D ÉRIVÉE USUELLES
D ÉMONSTRATIONS EXIGIBLES DES ÉTUDIANTS
— Dérivabilité et dérivée (en un point) d’un produit de fonctions dérivables.
— Dérivabilité et dérivée (en un point) d’une composée de fonctions dérivables.
— Égalité des accroissements finis.
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