∀ϕ, ∀t, ∀x, |= ϕ t/x → ∃xϕ ∀x /∈ Lib(ψ), (|= ϕ → ψ) ⇒ (|= ∃xϕ

∀ϕ, ∀t, ∀x, |= ϕ t/x → ∃xϕ ∀x /∈ Lib(ψ), (|= ϕ → ψ) ⇒ (|= ∃xϕ

T récursive := {#ϕ|ϕ ∈ T } recursif
Axiomes logiques : tautologies, Ax(=), ∃-ax
T rec. axiomatisable := ∃T0 récursive, T hm(T ) = T hm(T0 )
Règles de déduction : Modus Ponens, ∃-intro
T décidable := T hm(T ) récursive
αV ar(t) = βV ar(t) ⇒ tA [α] = tA [β]
M P Gen, ∀-ax, ∀-intro, Generalisation
∀χ ∈ Enonce, ∀T, ∀ϕ, (T ∪ {χ} `L ϕ ⇔ T `L χ → ϕ)
∀ψ ∈ Enonce, T `L ψ ⇔ T ∪ {¬ψ} contradictoire
∀y ∈
/ V ar(ϕ), (ϕy/x )x/y = ϕ
A
]
∀t, tA
s/x [α] = t [αsA
i [α]/xi
αLib(ϕ) = βLib(ϕ) =⇒ (A |= ϕ[α] ⇔ A |= ϕ[β])
ψ ∈ F orm, c ∈ C, L ∩ C = ∅, (T `L ψ ⇔ T `L∪{c} ψc/x ⇔ T `L∪{c} ψ)
(|= ϕ) := ∀A, ∀α, A |= ϕ[α]
T rec ⇒ Dem(T ) rec
T erm, F orm, Enonce, etc. sont p.r.
Substt , Substf p.r.
xi ∈ V ar , si ∈ T erm, ∀ϕ, A |= ϕs/x [α] ⇔ A |= ϕ[αsA
]
i [α]/xi
∀M une L-structure, LM := L ∪ {cm , m ∈ M }
T rec. axiomatisable ⇔ #T hm(T ) r.e.
Lemme chinois
∃β ∈ F3 sans rec., ∀(c0 , . . . , cn ), ∃a, b, ∀iβ(a, b, i) = ci
T aut p.r.
Définition de la (primitive) récursivité
finiment axiomatisable ⇒ rec. axiomatisable
Travail de codage
ϕp (i, x) partielle récursive
{totale réc.} = hp.r.i◦,µtotal
Définition de la T -calculabilité
f p.r. ⇔ f totale T -calc. en temps p.r.
{part. réc.} = hp.r.i◦,µ
f part. réc. ⇔ f est T -calc.
∀ϕ(x1 , . . . , xn ), |= ϕ ⇔|= ∀x1 . . . xn , ϕ
∀L ⊆ L0 , ∀ϕ ∈ F orm(L), |=L ϕ ⇔|=L0 ϕ
∀c ∈
/ V ar(T ∪ {ϕ(x)}), T cohérente ⇒ T ∪ {∃xϕ → ϕc/x } cohérente
ψ ∈ F orm, L ∩ C = ∅, (T `L ψ ⇔ T `L∪C ψ)
∀x ∈
/ Lib(ψ), (|= ϕ → ψ) ⇒ (|= ∃xϕ → ψ)
∀M une L-structure, M∗ := la LM -structure naturelle
∀ϕ, ∀t, ∀x, |= ϕt/x → ∃xϕ
ϕ tautologie ⇒|= ϕ
M ⊆ N, M 4 N := ∀a ∈ M n , M |= ϕ[a] ⇔ N |= ϕ[a]
AxL p.r.
Élimination de la recurrence
n+m
∀m, n ∈ N, ∃sm
(x, y) = ϕm
n ∈ Fn+1 , ∀i, x, y, ϕi
sm (i,x) (y)
N eg(#ϕ) := #(¬ϕ), 0 sinon
n
∀f ∈ Fp∗ , ∃i ∈ N, f = ϕpi
∀ϕ ∈ Axiomes(=), |= ϕ
(|= ϕ et |= (ϕ → ψ)) =⇒ (|= ψ)
P axiomatisable := ∃T, ∀M, P(M) ⇔ M |= T
P finiment axiomatisable := ∃ϕ, ∀M, P(M) ⇔ M |= ϕ
P finiment axiomatisable ⇔ P, ¬P axiomatisables
T consistance ⇔ T coherente
T |= ϕ ⇔ T `L ϕ
M ≡ N := T h(M) = T h(N)
(M, N |= T ⇒ M ≡ N) ⇒ T complète
∃R0 ≡ R, R0 non archimédien
∆(M) := {ϕ(cm1 , . . . , cmn )|ϕ sans quanteur ∧ M |= ϕ[cm1 , . . . , cmn ]}
T consistante ⇔ T finiment consistante
(∀ϕ s.q., ∀x, ∃ψ s.q., ∃xϕ ∼T ψ) =⇒ T admet E.Q.
∀N, (∃A ⊇ M, N ' A) ⇔ (∃N∗ |= ∆(M), N = N∗L )
T admet E.Q., N ⊆ M |= T ⇒ N 4 M
∀N, (∃A < M, N ' A) ⇔ (∃N∗ |= D(M), N = N∗L )
∀ϕ(x1 , . . . , xn ), (∃ψ(x) sans quanteur ∼T ϕ) ⇔ (∀M, N |= T, ∀A ⊆ M, N, ∀a ∈ An , M |= ϕ[a] ⇔ N |= ϕ[a])
∀M, N |= T, ∀A ⊆ M, N, ∀ϕ(x0 , . . . , xn ) s.q., (∀a ∈ An , ∃b0 ∈ M, M |= ϕ[b0 , a] ⇒ ∃c0 ∈ N, N |= ϕ[c0 , a]) ⇒ T admet E.Q.
T admet E.Q., M, N |= T, (∃A ⊆ M, N) ⇒ M ≡ N
D(M) := T h(M∗ ) = {ϕ(cm1 , . . . , cmn )|M |= ϕ[cm1 , . . . , cmn ]}
Faits algébriques divers
#M > ℵ0 ⇒ ∀κ > sup(#M, #L), ∃N < M, #N = κ
∀M ⊆ N, (∀a ∈ M n , (∃b0 ∈ N, N |= ϕ[b0 , a]) ⇔ (∃a0 ∈ M, M |= ϕ[a0 , a])) =⇒ M 4 N
#M > #L, A ⊆ M ⇒ ∃M0 4 M, A ⊆ M0 , #M0 = sup(#A, #L)
M1 ≡ M2 ⇔ ∃N1 ' M1 , N2 ' M2 , ∃P < Ni
∃M |= T, #M > ℵ0 ⇒ ∀κ > #L, ∃N |= T, #N = κ
∃R0 4 R, R0 pas complet
Dem p.r.
subst(#ϕ, n) := #ϕ(n)
∀f récursive totale, ∃ϕ ∈ Σ1 , ϕ représente f
PT ∈ Σ1 représente Dem(T )
G ∈ Σ1 représente subst
ν ∈ Σ1 représente N eg
Axiomes de Peano/Peano faible
M |= P0 ⇒ {nM } segment initial de M, isomorphe à N
P0 très faible
{#ϕ| ` ϕ} r.e.
Σ1 ⇔ Σ1 strict
∀ϕ ∈ Σ1 , N |= ϕ ⇒ P0 ` ϕ
T ⊇ P consistante et récursive ⇒ T ∪ {Coh(T )} ` ∆T
ϕ ∈ Σ1 ⇒ ϕs/x ∈ Σ1
Coh(T ) := ¬∃yPT (#(¬0 = 0), y)
hT (x) := ∃yPT (x, y)
Hϕ (x) := ∃z(G(x, x, z) ∧ ϕ(z)), i.e. ϕ(subst(x, x))
∆T := ∆hT
CAC admet EQ
T ⊇ P0 une Lar -théorie consistante et récursive =⇒ T 0 ∆T
T ⊇ P consistante et récursive ⇒ T 0 Coh(T )
∀M |= P0 , #T h(M) non définissable dans M
@SN (x), ∀ϕ, (N |= ϕ ⇔ N |= SN (#ϕ)
T h(N ) n’est pas décidable
∀ϕ(v), P0 ` (ϕ(#∆ϕ ) ↔ ¬∆ϕ )
X rec. ⇔ X, N \X r.e.
T rec. axiomatisable et complète ⇒ T décidable
R
hR
T (x) := ∃yPT (x, y)
n := #(¬Hϕ ), ∆ϕ := ¬Hϕ (n)
N |= Coh(T ) ⇔ T consistante
PTR (x, y) := PT (x, y) ∧ ¬∃z 6 y∃u(PT (u, z) ∧ ν(x, u))
m
∀m ∈ N∗ , ∀α ∈ F1 , ∃i ∈ N, ϕm
i = ϕα(i)
T h(R) décidable
∆R
T := ∆hR
T
T décidable ⇒ T ∪ {ϕ0 , . . . , ϕn−1 } décidable
R
T ⊇ P0 une Lar -théorie consistante et récursive =⇒ T 0 ∆R
T , T 0 ¬∆T
T ⊇ P0 une Lar -théorie consistante =⇒ T n’est pas décidable
Pour L = Lar ou Lens , {#ϕ|ϕ universellement valide} pas recursif
CAC décidable
{i ∈ N|ϕ1i totale} n’est pas récursif
T ⊇ P0 une Lar -théorie consistante et récursive =⇒ T n’est pas complète
La fonction d’Ackermann est récursive
) , X = im(f ) ⇔ ∃f ∈ Fn∗ , X = dom(f ) ⇔ ∃Y p.r., X = π(Y )
∀R ⊆ Nn r.e., ∃e ∈ N, R = {x|(e, x) ∈ dom(ϕn )}
dom(λx.ϕ1 (x, x)) n’est pas récursif
∀p ∈ P ∪ {0}, CACp complète
∀p ∈ P ∪ {0}, CACp décidable
(∅/∗) n
X r.e. ⇔ X = ∅ ∨ ∃f ∈ (F1
Principe de Lefschetz
dom(ϕ1 ) n’est pas récursif
∀∅ ( X ( F1∗ , {i ∈ N|ϕ1i ∈ X} n’est pas récursif
∀f ∈ F1∗ , {i ∈ N|ϕ1i = f } n’est pas récursif
∃X r.e. pas rec.
{(i, j) ∈ N|ϕ1i = ϕ1j } n’est pas récursif
dom(λx.ϕ1 (x, 0)) n’est pas récursif
Le problème de l’arrêt est indécidable.