Exercices 1. Étudier les suites suivantes: ∑ n cos n2 + k2 , ∑ 4k + 2

Exercices
1. Étudier les suites suivantes:
n
n−1
n2
X
X
X
n cos nk
n2
4k + 2
,
,
n2 + k 2
4n2 + 4k 2 + 4k + 1
(k − 1)2 + (k − 1)n2 + n4
k=1
k=1
k=0
n
n
n
X
X
X k2
k
1
,
,
.
2
2
2
2
n +k
n +k
n2 + k 2
k=1
k=1
k=1
2. Soit f une fonction intégrable sur [a, b].
a) Donner un exemple de fonction f non nulle telle que
b) Montrer que si f est continue et f ≥ 0, alors
Z b
f (x)dx = 0 =⇒ f = 0.
Z
b
f (x)dx = 0.
a
a
Z
3. a) Donner un exemple de fonction f telle que
0.
b) Montrer que si lim f (t) = l 6= 0, alors
Z
∞
f (t)dt converge et lim f (t) 6=
t→∞
0
∞
f (t)dt diverge.
Z ∞
f (t)dt converge,
c) Montrer que, si f est uniformement continue sur ]0, ∞[ et
t→∞
0
0
alors lim f (t) = 0
t→∞
4. Étudier la convergence des intégrales suivantes:
Z 2
Z ∞
Z ∞
t + 2t3
sin (αt)
−t sin t
√
dt,
dt,
dt,
e
2
4
1
+
t
1 + t2
t −1
1
0
0
Z ∞
Z ∞
Z 1
sin (log y)dy,
(sin x)ex dx,
tα log tdt,
Z
Z
π/2
0
1
0
0
∞
2
1
dx,
x+1
√
tan xdx,
Z
∞
2
1
dx,
1−x
π/4
1
dx,
tan x(1 − tan x)
0
Z 1
Z π
1
1
√
dt,
sin dx,
3
x
0
sin2 t
0
Z
Z
∞
2
Z
∞
e−x
√ dx
x
0
∞
−∞
ln |x − 1|
√
dx
x4 + 1
1
1
{
+
}dx,
x+1 1−x
Z
Z
Z
∞
1
arctan x
dx,
x2
∞
−∞
1
p
|x3
+ 1|
dx,
5. Étudier la convergence (simple, uniforme) des suites de fonctions:
fn : [0, 1] → R,
fn : [0, 1] → R,
fn : [0, 1] → R,
nx
1 + nx
x
fn (x) =
1 + nx
nx
fn (x) =
1 + n 2 x4
fn (x) =
1
Z
∞
−∞
(x2
x
dx
+ 1)(x2 + 2)
2
fn : [0, 1] → R,
fn : IR → R,
fn (x) =
n(x + x3 )e−x
1 + nx
r
2
fn (x) = sin (nx)e−nx +
1−
fn : [0, π/2] → R, fn (x) = n(cos x)n sin x
nx
fn : IR → R, fn (x) = cos
1+n
x2
1 + n2
6. Étudier les séries de fonctions (convergence simple, uniforme, normale, ...):
∞
X
n=1
∞
X
nα (1
x
,
+ nx2 )
α>0
¶
µ
∞
X
d sin(n2 x)
sin(n2 x)
,
n2
dx
n2
n=1
n=1
∞
∞
X xn
X x2n
,
n!
1 + x2n
n=1
n=1
√
∞
X
nx + 3 −nx
sin(
)e
,x ≥ 1
2
+
log nx
n=1
∞
X
fn (x) converge uniformément sur I, alors fn (x) converge
7. Montrer que si
n=1
uniformément vers 0 sur I.
8. Étudier la série de fonctions
X e−nx
, où x ≥ 0. On appelle f (x) la somme
n2 + 1
n≥1
de cette série. Montrer que f est continue sur [0, ∞[ et dérivable sur ]0, ∞[. Calculer la dérivée de f pour x > 0.
9. Etudier la convergence normale des séries
X sin nx
· kn ,
n
n≥1
X
n≥1
cos nx · k n ,
où k ∈]0, 1[. Calculer leur sommes.
10. Trouver le rayon de convergence des séries entières suivantes (P et Q sont
deux polynômes, Q(n) et Q(ln n) sont 6= 0, α ∈ R). Étudier ensuite ces séries
(convergence simple et uniforme, continuité et dérivabilité de la somme, ...):
X
X
X
X zn
,
a)
nxn ,
(ln n)xn ,
(n!)xn ,
nα
n≥1
n≥1
n≥1
n≥1
X P (n)
X P (n)
X P (n)
X P (n)
b)
xn ,
xn ,
xn ,
xn
n
Q(n)
Q(ln n)
e
n!
n≥1
n≥1
n≥1
n≥1
X
X (−1)n
1 n
(sin )x ,
c)
· xn ,
n
ln n
n≥1
n≥1
3
d)
X
sin
n≥1
1
· x3n ,
n
X
n≥1
(−1)n
ln n
· x2n+1 ,
n
X
2n z 2n ,
n≥1
X bn z 5n
(où bn →
n!
n≥1
b ∈ R).
11. Développer en série entière (dans un intervalle centré en zéro à déterminer)
les fonctions suivantes:
1
1
1
,
f (x) =
,
,
f (x) =
a) f (x) =
2
ax + b
1−x
(1 − x)2
p
1
b) f (x) =
,
f (x) = 1 + x2 ,
f (x) = ln(1 + x),
(1 − x)p
p
c) f (x) = arctan x,
f (x) = arcsin x,
f (x) = ln(x + 1 + x2 ),
d) f (x) = sin x,
f (x) = cos x,
f (x) = sin2 x,
e) f (x) = sinh(z),
f (x) = cosh(z), p
2
f) f (x) = (arcsin x) ,
f (x) = ln (x + 1 + x2 )]2 .
12. Calculer les sommes des séries suivantes:
X
n≥3
tn
,
n(n − 1)(n − 2)
X sin (nα)
xn ,
n!
n≥1
où α ∈ R, à partir de l’une de leurs dérivées dont la somme est connue.
13. Etudier la convergence uniforme des séries suivantes:
X 1
1
cos(nx)+ 2 sin(nx). Montrer que la somme de cette série est continue
a)
n2
n
n≥0
sur R est dérivable sur R \ πZ. Calculer l’intégrale sur [0, 2π] de cette somme.
X
e−n cos(nx) + e−n sin(nx). Montrer que la somme de cette série est de
b)
n≥0
classe C ∞ sur R.
c)
X
sin(
n≥0
1
1
) cos(nx) + [1 − cos( )] sin(nx). Montrer que la somme de cette
n2
n
série est continue sur R est dérivable sur R \ πZ.
d)
X 1
1
√ cos(nx) + 2 sin(nx). Montrer que la somme de cette série est conn
n
n≥0
tinue sur R \ πZ.
e)
X
cos(nx) +
n≥0
1
sin(nx). Quel est le domaine de définition de la somme de
n2
cette série?
f)
X 1
1 −inx
√ einx + √
e
. Montrer que la somme de cette série est continue sur
3
n
n
n≥0
R \ πZ.
4
g)
X 1
1 −inx
√ einx + √
e
n
n
n2
n≥0
14. Développer en série de Fourier les fonctions suivantes:
a) f : R → R, 2π-périodique définie par f (x) = |x| pour tout x ∈ [−π, π[,
b) f : R → R, 2π-périodique définie par f (x) = cos(αx) pour tout x ∈ [−π, π[,
où α est une constante non entière dans R,
c) f : R → R, 2π-périodique définie par f (x) = x2 pour tout x ∈ [0, 2π[. En
∞
∞
X
X
1
1
et
,
déduire
2
n
n4
n=1
n=1
d) f : R → R, 2π-périodique, paire, définie par f (x) = π − x pour tout x ∈ [0, π].
∞
∞
X
X
1
1
En déduire
,
puis
.
(2k + 1)2
k2
k=0
k=1
15. EtudierZles fonctions suivantes:
1
a) F (x) :=
cos t ln(xt)dt sur l’intervalle ]0, ∞[,
Z0 1
2 1
b) F (x) :=
xt √ dt sur l’intervalle ]1, ∞[,
t
Z 0∞
t2 x 2 n
c) G(x) :=
t dt pour x ∈ R,
e
Z0 ∞
d) Γ(x) :=
e−t tx−1 dt sur l’intervalle ]0, ∞[. Montrer que Γ est continue et
0
dérivable et que Γ(n) = n!
16. EtudierZles2 fonctions suivantes:
x
a) F (x) :=
sin(t + x)dt sur R,
x
Z x2
ln(t2 +x2 ) sin(t+x)dt sur R. Montrer que F est dérivable sur R∗ ,
b) F (x) :=
Zx 1
c) G(x) :=
arctan(ex−t )dt pour x > 0. Calculer explicitement la dérivée
ln x
de G,
d) G(x) :=
Z
x2
tan(x + t)et dt. Déterminer le domaine de définition de G, mon0
trer que G est dérivable sur ce domaine, puis calculer G0 (x).