MPSI, colle 26 : Formules de Taylor.

MPSI, colle 26 : Formules de Taylor.
15 mai 2007
Exercice 1
1. Rappeler le développement limité de sin(x) en 0 à l’ordre 2n + 1.
2. Calculer
sh x − 2sh (2x) + sh (3x)
√
.
x→0 ln(1 + x + 2x2 ) + 1 − 2x − 1 − x2
lim
Exercice 2
1. Rappeler le développement limité de ln(1 + x) en 0 à l’ordre n.
2. Calculer
√
√
1+x− 1−x
−1
x
lim
.
x2
x→0
Exercice 3
1. Soit α ∈ R. Rappeler le développement limité de (1 + x)α en 0 à l’ordre
n.
2. Calculer
lim
x→0
1
1
− 2
2
sin x x
.
Exercice 4
1. Rappeler le développement limité de
2. Calculer
1
1+x
en 0 à l’ordre n.
1
(1 + x) x − e
lim
.
x→0
x
Exercice 5
√
Etudier les variation de la fonction f définie par f (x) = x2 + x + 1, et
construire sa courbe représentative en étudiant particulièrement l’existence
d’asymptotes et la postition de la courbe par rapport à ces asymptotes.
Exercice 6
p
Etudier les variation de la fonction f définie par f (x) = 3 x2 (x − 2), et
construire sa courbe représentative en étudiant particulièrement l’existence
1
d’asymptotes et la postition de la courbe par rapport à ces asymptotes.
Exercice 7
2 +1 1
e x , et construire
Etudier les variation de la fonction f définie par f (x) = xx−1
sa courbe représentative en étudiant particulièrement l’existence d’asymptotes et la postition de la courbe par rapport à ces asymptotes.
Exercice 8
1
Etudier les variation de la fonction f définie par f (x) = (x + 2)e x , et
construire sa courbe représentative en étudiant particulièrement l’existence
d’asymptotes et la postition de la courbe par rapport à ces asymptotes.
Exercice 9 Soit f une fonction de classe C 2 sur un intervelle I contenant
0. Déterminer la limite :
lim
f 0 (x) −
f (x)−f (0)
x
x
x→0
.
Exercice 10 Soient f une fonction de classe C 2 sur un intervelle I et a
un point de I. Déterminer la limite :
lim
h→0
f (a + h) + f (a − h) − 2f (a)
.
h2
Exercice 11 Soient f la fonction définie par f (x) = ln(x2 + 2x + 2) et
Cf sa courbe représentative. A l’aide d’un développement limité, déterminer
la tangente à Cf en 0 et étudier sa position par rapport à Cf .
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