fe - fonction caracteristique de la loi de cauchy

FE 1
FE - FONCTION CARACTERISTIQUE
DE LA LOI DE CAUCHY
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Cauchy de fonction de densité
1
1
.
π x2 + 1
ϕ(x) =
Si ω est un nombre réel, on a
E(eiωX ) = e−|ω| .
On a, en séparant partie réelle et partie imaginaire,
iωX
E(e
1
)=
π
Z∞
1
eiωx
dx =
2
x +1
π
−∞
Z∞
i
cos(ωx)
dx +
2
x +1
π
Z∞
cos(ωx)
dx .
x2 + 1
−∞
Z∞
−∞
sin(ωx)
dx ,
x2 + 1
et, en raison de la parité des fonctions,
iωX
E(e
2
)=
π
0
Soit θ un nombre réel strictement positif. Introduisons la fonction fθ définie par
2
fθ (ω) =
π
Zθ
cos(ωx)
dx .
x2 + 1
0
Cette fonction est définie sur R+ et est deux fois dérivable. On peut dériver sous le signe d’intégration
et l’on obtient
fθ′ (ω)
2
=−
π
Zθ
x sin(ωx)
dx et
x2 + 1
fθ′′ (ω)
2
=−
π
0
avec
2
fθ (0) =
π
Zθ
x2 cos(ωx)
dx ,
x2 + 1
0
Zθ
x2
2 arctan θ
1
dx =
+1
π
et fθ′ (0) = 0 .
0
On constate que
fθ′′ (ω)
2
− fθ (ω) = −
π
Zθ
0
cos(ωx) dx = −
2 sin(ωθ)
.
π
ω
FE 2
La fonction fθ est donc solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2. On résout cette équation.
L’équation homogène a pour solutions
y(ω) = A ch ω + B sh ω .
Faisons varier les constantes en cherchant fθ sous la forme
fθ (ω) = A(ω) ch ω + B(ω) sh ω .
On obtient
fθ′ (ω) = A′ (ω) ch ω + B ′ (ω) sh ω + A(ω) sh ω + B(ω) ch ω ,
et en imposant la condition
A′ (ω) ch ω + B ′ (ω) sh(ω) = 0
il reste
fθ′ (ω) = A(ω) sh ω + B(ω) ch ω ,
d’où
fθ′′ (ω) = A′ (ω) sh ω + B ′ (ω) ch ω + A(ω) ch ω + B(ω) sh ω ,
et
fθ′′ (ω) − fθ (ω) = A′ (ω) sh ω + B ′ (ω) ch ω .
Les fonctions A′ et B ′ sont donc solutions du système linéaire
 ′
A (ω) ch ω + B ′ (ω) sh ω =


0

 A′ (ω) sh ω + B ′ (ω) ch ω = − 2 sin(ωθ)
π
ω
et l’on trouve
A′ (ω) =
d’où
2
A(ω) =
π
Zω
2 sin(ωθ)
sh ω
π
ω
et B ′ (ω) = −
2 sin(ωθ)
ch ω ,
π
ω
sin(uθ)
2
sh u du + a et B(ω) = −
u
π
0
,
Zω
sin(uθ)
ch u du + b ,
u
0
ce qui donne
fθ (ω) =

2 
ch ω
π
Zω
sin(uθ)
sh u du − sh ω
u
Zω
0
0
En utilisant les conditions initiales
fθ (0) = a =
2 arctan θ
π
et

sin(uθ)
ch u du + a ch ω + b sh ω .
u
fθ′ (0) = b = 0 ,
on obtient finalement
fθ (ω) =

2
2 arctan θ
ch ω + ch ω
π
π
Zω
0
sin(uθ)
sh u du − sh ω
u
Zω
0

sin(uθ)
ch u du .
u
FE 3
En effectuant le changement de variable v = uθ dans les intégrales, on trouve


Zωθ
Zωθ
2
v
sin v
v
sin v
2 arctan θ
ch ω + ch ω
sh dv − sh ω
ch dv  .
fθ (ω) =
π
π
v
θ
v
θ
0
0
Si l’on fait tendre θ vers +∞, en supposant que l’on peut passer à la limite dans les deux dernières
intégrales, on obtient
Z∞
2
sin v
iωx
E(e ) = ch ω − sh ω
dv ,
π
v
0
et, puisque,
Z∞
π
sin v
dv = ,
v
2
0
on trouve donc, pour tout ω positif,
E(eiωx ) = ch ω − sh ω = e−ω ,
et, en raison de la parité de la fonction, pour tout ω réel,
E(eiωx ) = e−|ω| .
Il reste à justifier les passages à la limite précédants. Pour cela on démontre le lemme suivant.
Soit f une fonction définie sur R+ telle qu’il existe g de classe C1 sur R+ et λ réel pour lesquels,
f (x) = λx + x2 g(x) .
Alors, pour tout ω > 0,
lim
θ→∞
Zωθ
sin v
f (v/θ) dv = 0 .
v
0
Le nombre ω étant fixé, posons, si θ est positif,
F (θ) =
Zωθ
sin v
f (v/θ) dv .
v
0
On a
λ
F (θ) =
θ
Zωθ
0
1
sin v dv + 2
θ
Zωθ
0
sin v (vg(v/θ)) dv .
FE 4
Puis, en intégrant par parties,
F (θ) =
Zωθ
λ
θ
0
=


iωθ Zωθ
1 h
v ′
− v cos v g(v/θ)
+ cos v g(v/θ) + g (v/θ) dv 
sin v dv + 2
θ
θ
0
0
λ
ω
1
(1 − cos(ωθ)) − cos(ωθ) g(ω) + 2
θ
θ
θ
Zωθ
1
cos v g(v/θ) dv + 3
θ
0
Zωθ
v cos v g ′ (v/θ) dv .
0
Alors en majorant les cosinus par 1 et, puisque, lorsque v décrit [ 0, ωθ ] , on a
|g(v/θ)| ≤
et |g′ (v/θ)| ≤
sup |g(t)|
t∈ [ 0, ω ]
sup |g′ (t)| ,
t∈ [ 0, ω ]
cela permet d’obtenir
|F (θ)| ≤
2|λ| + ω|g(ω)| + ω
sup
|g(t)| + ω
2
t∈ [ 0, ω ]
sup
′
!
|g (t)|
t∈ [ 0, ω ]
1
.
θ
Il en résulte bien que F (θ) tend vers 0 lorsque θ tend vers l’infini.
On peut appliquer ce lemme lorsque
∞
X
x2n−1
f (x) = sh x = x + x
(2n + 1)!
2
ou f (x) = ch x − 1 = x
n=1
et donc
lim
θ→∞
Zωθ
Z∞
sin v
sh(v/θ) dv = 0 et
v
lim
θ→∞
0
tend vers l’infini, d’où
Zωθ
sin v
ch(v/θ) dv =
v
0
R∞ sin v
0
Zωθ
(2n)!
,
sin v
(ch(v/θ) − 1) dv = 0 .
v
0
sin v
dv −
v
Et puisque l’intégrale
∞
X
x2n−2
n=1
0
Alors
2
v
Z∞
sin v
dv −
v
Zωθ
sin v
(ch(v/θ) − 1) dv .
v
0
ωθ
dv converge, on obtient que la différence précédente tend vers 0 quand θ
lim
θ→∞
Zωθ
0
ce qui termine la démonstration.
sin v
ch(v/θ) dv =
v
Z∞
0
sin v
dv ,
v