CCP 2006
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CCP 2006
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés CCP 2006 Exercice 1 CCP MP [ 02540 ] [correction] I) Dans un repère orthonormé (O;~i, j), on considère la courbe d’équation x2 + 2x + 4y 2 − 8y + 1 = 0 0 (E) : (x + 1)y − (3x + 4)y + 3y = (3x + 2)e II) Soient u, v deux endomorphismes d’un espace vectoriel. a) Si λ 6= 0 est valeur propre de u ◦ v, montrer qu’il l’est aussi de v ◦ u. b) Soit P ∈ E = R [X], Z x 0 u(P ) = P et v(P ) = P (t) dt 0 a) Précisez la nature de cette courbe. b) Tracez cette courbe. c) Calculez la pente de la tangente en chacun des points d’intersection de la courbe et de l’axe (O; ~j). II) On veut résoudre 00 1 3x Si ∆ est l’opérateur de dérivation et Q(X) = X − 3, on a Q(∆)(y) = y 0 − 3y. Montrer l’existence d’un polynôme P de la forme a(x)X + b(x) tel que (E) devienne (P (∆) ◦ Q(∆)) (y) = (3x + 2)e3x . Résoudre l’équation à l’aide du changement de variable z = Q(∆)(y). Trouver ker u ◦ v et ker v ◦ u . c) Montrer que la propriété précédente reste valable pour λ = 0 si E est de dimension finie. Exercice 4 CCP MP [ 02543 ] [correction] I) Expliquer brièvement pourquoi t com(A)A = det(A)In . On suppose que A admet n valeurs propres distinctes ; que vaut det(A) ? Que représente un vecteur propre de A pour t com(A) ? On suppose de plus que A n’est pas inversible. Déterminer dim ker t comA. Prouver que t comA n’admet que deux valeurs propres, les expliciter. II) Décomposer en éléments simples f (x) = Exercice 2 CCP MP [ 02541 ] [correction] I) Calculer An , pour n ∈ N et 1 −2 A= 1 4 Montrer que f est développable en série entière au voisinage de l’origine. Rayon de convergence ? DL à l’ordre 3 de f ? Exercice 5 CCP MP II) Déterminer le domaine de définition de arcsin x f (x) = √ 1 − x2 −1 −x2 + x + 2 [ 02544 ] [correction] I) Soit (an )n∈N une suite complexe telle que la suite |an+1 | |an | admet une limite n∈N Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre satisfaite par f ; en déduire le développement en série entière de f puis le rayon de convergence d’icelui. finie. P P a) Démontrez que les séries entières an xn et nan xn−1 ont le même rayon de convergence. On le note R. +∞ P b) Démontrez que la fonction x 7→ an xn est dérivable sur l’intervalle ]−R, R[. Exercice 3 CCP MP I) On considère II) On note E l’espace vectoriel R2 [X] et e = (e1 , e2 , e3 ) la base duale de la base canonique de E. On note v et w les éléments de E ? définis par Z 1 v(P ) = P (1) et w(P ) = P (t)dt [ 02542 ] [correction] x2 y 2 si (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0 f (x, y) = 2 x + y2 Montrer que f est continue et différentiable sur R2 . n=0 0 a) Montrer que e0 = (e1 , v, w) est une base de E ? . b) Donner la matrice de passage de e à e0 . c) Donner la base antéduale de e0 . Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés Exercice 6 CCP MP [ 02545 ] [correction] I) a) On considère deux suites réelles (un ) et (vn ) telles que un ∼ vn . Démontrez que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang. b) Déterminer le signe au voisinage de l’infini de 1 1 − tan un = sh n n II) Allure de la courbe d’équation cartésienne y 2 − (3x2 + 2x + 1) = 0 2 Exercice 8 CCP MP [ 02547 ] [correction] I) Soit f la fonction 2π-périodique sur R définie ainsi : f (x) = x sur ]−π, π[ et f (−π) = 0 a) La série de Fourier de f converge-t-elle vers f (x) en tout x de R ? b) Déterminer la série de Fourier de f . II) Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n > 1. Montrer que f ∈ L(E) de rang 1 n’est pas forcément un projecteur. Montrer que f ∈ L(E) de rang 1 et de trace 1 est un projecteur. Trouver une base de L(E) constituée de projecteurs. Lieu des points M d’affixe z tels que les points d’affixes z, z 2 et z 5 soit alignés ? Exercice 7 CCP MP Soit la matrice Exercice 9 CCP MP [ 02548 ] [correction] I) a) Démontrez que siA et B sont deux matrices carrées d’ordre alors AB et BA ont même trace. b) Déduisez-en qu’en dimension finie toutes les matrices d’un même endomorphisme ont même trace. c) Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, Ak et B k ont même trace. II) Extremum locaux et globaux de f (x, y) = y(x2 + (ln y)2 ) sur R × ]0, +∞[. [correction] 0 a c M = b 0 c b −a 0 [ 02546 ] où a, b, c sont des réels. a) M est-elle diagonalisable dans M3 (R) ? b) M est-elle diagonalisable dans M3 (C) ? II) Soit C(R) le quart de disque x > 0, y > 0, x2 + y 2 6 R2 , R > 0. Montrer que !2 Z R −t2 e dt 0 est compris entre ZZ e−x 2 −y 2 ZZ dx dy et √ C(R) C(R 2) Calculer ZZ 2 e−x −y 2 dx dy C(R) En déduire la valeur de Z 0 +∞ 2 e−t dt e−x 2 −y 2 dx dy Exercice 10 CCP MP [ 02549 ] [correction] I) Soit E l’ensemble des matrices de M2 (R) de la forme a b M (a, b) = −b a où a et b sont des nombres réels a) Démontrez que E est un sous-espace vectoriel et un sous anneau de M2 (R). Quelle est sa dimension ? b) On pose ϕ(a + ib) = M (a, b). Démontrez que ϕ est un isomorphisme d’espaces vectoriels de C sur E, C étant considérés comme un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Est-ce un isomorphisme d’anneaux ? II) Pour a > 0 et b > 0, domaine de définition, continuité et dérivabilité de Z +∞ −at e − e−bt F (x) = cos(xt) dt t 0 Calcul de F à l’aide des symboles usuels. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Exercice 11 CCP MP [ 02550 ] [correction] I) a) Démontrez que dans un espace vectoriel normé complet, toute série absolument convergente est convergente. b) Donner un exemple d’espace normé complet. II) Décrire, dans le plan complexe, le lieu des nombres complexes u = 1 + z + z2 Enoncés 3 On dit qu’une application f : E → E est antisymétrique si ∀x, y ∈ E, (x | f (y)) = −(f (x) | y) a) Montrer qu’une application antisymétrique de E est linéaire. Que dire de sa matrice dans la base canonique de E ? b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est un sous-espace vectoriel de L(E) et donner sa dimension. où z décrit le cercle unité. Exercice 12 CCP MP [ 02551 ] [correction] Soit h une fonction continue et positive de [a, b] dans R. a) Démontrez que : Z b h(x) dx = 0 ⇒ h = 0 a b) Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continue de [a, b] dans R. On pose pour tout f et tout g de E Z b (f | g) = f (x)g(x) dx a Démontrez que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E. c) Majorez Z 1 √ −x xe dx 0 en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz. II) Calculer Z 1 an = tn (1 − t)n dt 0 Exercice 14 CCP MP [ 02553 ] [correction] I) Soit (Pn )n∈N? la suite de polynômes définie par P1 = X − 2 et ∀n ∈ N? , Pn+1 = Pn2 − 2. Calculer le coefficient de X 2 dans Pn . II) Etudier la convergence de la série de Fourier de f : R → R la fonction 2π-périodique définie sur ]−π, π[ par f (t) = t et telle que f (−π) = 0. Déterminer cette série de Fourier. Exercice 15 CCP MP I) Calculer [ 02554 ] [correction] ZZ D 1 dxdy x2 + y 2 + 1 où D est le disque unité du plan. II) Soit u un automorphisme orthogonal de E euclidien et v = u − Id. a) Montrer que ker v = (Imv)⊥ . b) Soit n−1 1X k un = u n k=0 pour n ∈ N? . P Calculer le rayon de convergence de la série entière an xn . Calculer la somme de cette série entière sur l’intervalle ouvert de convergence. Montrer que (un (x)) converge, pour tout vecteur x, vers le projeté orthogonal de x sur ker v. Exercice 13 CCP MP [ 02552 ] [correction] I) N.B. : les deux questions sont indépendantes. x a) La fonction x 7→ xln 2 +1 est-elle intégrable sur ]0, +∞[ ? Exercice 16 CCP MP [ 02555 ] [correction] P P I) a) Démontrez que si |an | ∼ |bn | alors les séries entières an z n et bn z n ont le même rayon de convergence. b) Trouvez le rayon de convergence de la série entière −x b) La fonction x 7→ √ex−1 est-elle intégrable sur ]1, +∞[ ? II) On note E l’espace vectoriel Rn , n > 2, muni de sa structure euclidienne canonique. Le produit scalaire est noté ( | ). X in n2 n z (n2 + 1) Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés II) On considère l’espace vectoriel Rn muni de son produit scalaire usuel noté h. | .i. Soit f un endomorphisme symétrique de Rn dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. a) Montrer que ∀x ∈ Rn \ {0} , hf (x) | xi > 0 b) Soit u un vecteur de Rn et g : Rn → R l’application définie par g(x) = 1 hf (x) | xi − hu | xi 2 Montrer que g admet des dérivées partielles selon tout vecteur de Rn et les expliciter. c) Montrer que g admet un unique point critique noté z. d) Montrer que g admet un minimum global en z. 4 a) Démontrez que F est un sous-espace vectoriel de M2 (R). b) Déterminez une base orthonormée de F ⊥ . d) Déterminez le projeté orthogonal de 1 1 J= 1 1 sur F ⊥ . II) Domaine de définition de Z B(x, y) = 1 x−1 u y−1 (1 − u) Z +∞ ux−1 e−u du du et de Γ(x) = 0 0 Montrer que Z ∀x ∈ ]0, +∞[ , Γ(x) = 2 +∞ 2 u2x−1 e−u du 0 Exercice 17 CCP MP [ 02556 ] [correction] I) a) Démontrez que siA et B sont deux matrices carrées d’ordre alors AB et BA ont même trace. b) Déduisez-en qu’en dimension finie toutes les matrices d’un même endomorphisme ont même trace. c) Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, Ak et B k ont même trace. II) Pour x > 0, on pose Z 1 ln t F (x) = dt t +x 0 Ecrire Γ(x)Γ(y) sous forme d’une intégrale double. A l’aide des coordonnées polaires, montrer que B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) Montrer que ∀x ∈ R?+ , Γ(x + 1) = xΓ(x) et en déduire B(m, n) pour m, n ∈ N? . Montrer que F est de classe C 1 sur ]0, +∞[. Calculer F 0 (x) et en déduire l’expression de G(x) = F (x) + F (1/x) Soit θ ∈ R. Calculer Z 0 1 t−1 ln t dt t + 1 t2 + 2tch(θ) + 1 Exercice 18 CCP MP [ 02557 ] [correction] I) On définit dans M2 (R) × M2 (R) l’application ϕ(A, A0 ) = tr(t AA0 ) On note a b 2 F= /(a, b) ∈ R −b a On admet que ϕ est un produit scalaire sur M2 (R). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections Corrections 5 Par produit de fonctions développables en série entière sur ]−1, 1[, f l’est aussi. Puisque f est impaire, le développement en série entière de f est de la forme Exercice 1 : [énoncé] I) a) On a f (x) = x2 + 2x + 4y 2 − 8y + 1 = 0 ⇔ (y − 1)2 (x + 1)2 + =1 2 2 12 La courbe est une ellipse de centre Ω(−1, 1) déterminée par a = 2, b = 1. b) Un joli dessin. c) Un paramétrage de l’ellipse est ( x = −1 + 2 cos t avec t ∈ [−π, π] y = 1 + sin t La courbe intercepte l’axe des y pour les paramètres t = ±π/3 et la pente de la tangente en ce point est y 0 (t) 1 m= 0 =± √ x (t) 2 3 On peut aussi déterminer l’équation de la tangente puis sa pente par dédoublement mais cette méthode est sensiblement moins efficace. II) P = (x + 1)X − 1 convient. an x2n+1 n=0 On a (1 − x2 )f 0 (x) − xf (x) = +∞ X (2n + 1)an x2n − n=0 +∞ X (2n + 1)an x2n+2 − n=0 +∞ X an x2n+2 n=0 puis (1 − x2 )f 0 (x) − xf (x) = a0 + +∞ X ((2n + 3)an+1 − (2n + 2)an )x2n+2 n=0 La relation (1 − x2 )f 0 (x) − xf (x) = 1 donne alors a0 = 1 et ∀n ∈ N, an+1 = d’où (E) ⇔ (x + 1)z 0 − z = (3x + 2)e3x Après résolution avec recollement la solution générale de cette dernière équation est z(x) = λ(x + 1) + e3x . +∞ X an = On observe (E) ⇔ y 0 − 3y = λ(x + 1) + e3x 2n + 2 an 2n + 3 22n (n!)2 (2n + 1)! an+1 4(n + 1)2 = an 6= 0 et →1 an (2n + 3)(2n + 2) donc R = 1. La solution générale est y(x) = λ0 (3x + 4) + µe3x + xe3x Exercice 3 : [énoncé] I) En passant en polaires f (x, y) = r2 cos2 θ sin2 θ −−−−−−−→ 0 = f (0, 0) donc f (x,y)→(0,0) Exercice 2 : [énoncé] I) (X − 2)(X − 3) annule A. Par division euclidienne X n = (X − 2)(X − 3)Q(X) + R(X) avec R(X) = λ(X − 2) + µ où µ = 2n et λ = 3n − 2n . On a donc An = (3n − 2n )(A − 2I2 ) + 2n I2 . II) f est définie sur ]−1, 1[ et f est solution de l’équation différentielle (1 − x2 )y 0 − xy = 1 est continue en (0, 0). Par opérations, f est aussi continue sur R2 \ {(0, 0)} et donc f est continue sur R2 . Par opérations, f est aussi de classe C 1 sur R2 \ {(0, 0)}. ∂f De plus lim 1t (f (t, 0) − f (0, 0)) = 0 donc ∂f ∂x (0, 0) existe et ∂x (0, 0) = 0. t→0 En passant en polaires, on vérifie la continuité de ∂f ∂x en (0, 0). L’étude de ∂f est identique, on peut donc affirmer que f est de classe C 1 sur R2 et ∂y donc différentiable. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections II) a) Il existe x 6= 0, vérifiant u(v(x)) = λx et alors (v ◦ u)(v(x)) = λv(x). Or v(x) 6= 0 car u(v(x)) 6= 0et u(0) = 0 donc λ est valeur propre de v ◦ u. b) u ◦ v(P ) = P et v ◦ u(P ) = P − P (0) donc ker(u ◦ v) = {0} et ker(v ◦ u) = R0 [X]. En substance, la propriété précédente ne vaut pas pour λ = 0 en dimension quelconque. c) Cependant, en dimension finie, si 0 est valeur propre de u ◦ v alors det(u ◦ v) = 0 et donc det(v ◦ u) = 0 d’où 0 valeur propre de v ◦ u. Exercice 4 : [énoncé] I) Les coefficients de t com(A).A s’interprètent comme des développements de déterminants selon une colonne. . . Si A admet n valeurs propres distinctes, det A est le produit de ces valeurs propres. Si X 6= 0 vérifie AX = λX alors λt com(A)X = (det A)X. Ainsi quand λ 6= 0, X est vecteur propre de t com(A) associé à la valeur propre det A λ . Si A n’est pas inversible alors det A = 0donc t com(A)A = 0 puis ImA ⊂ ker t comA. Ainsi dim ker t com(A) > n − 1. De plus comA 6= 0 car rgA = n − 1 (car les valeurs propres de A sont simples, en particulier 0). Par suite dim ker t com(A) = n − 1 Sous réserve que n > 2, 0 est valeur propre de t comA et puisque dim ker t com(A) = n − 1, il ne reste de place que pour une seule autre valeur propre. Soit X ∈ ker A\ {0},. On a t com(A + tIn )(A + tIn )X = det(A + tIn )X n) Pour t 6= 0, on a t com(A + tIn )X = det(A+tI X. t + t Quand t → 0 , par continuité com(A + tIn )X → t com(A)X. n) → µ avec µ le produit En calculant le déterminant par diagonalisation, det(A+tI t des valeurs propres non nulles de A. Par unicité de la limite, on obtient t com(A)X = µX. Au final, t comA admet 2 valeurs propres : 0 et µ. −1/3 1/3 1 II) f (x) = −x2−1 +x+2 = (x+1)(x−2) = x+1 + x−2 . f est la somme de deux fonctions développables en série entière sur ]−1, 1[, elle l’est donc aussi. +∞ +∞ P P xn On a pour x ∈ ]−1, 1[, f (x) = − 13 (−1)n xn − 61 2n . n=0 6 Exercice 5 : [énoncé] I) a) Pour x 6= 0, posons un = an xn et vn = nan xn−1 En notant ` la limite de la suite de terme général |an+1 |/|an |, on obtient un+1 → ` |x| et vn+1 → ` |x| vn un P On que le rayon de convergence des deux séries entières an xn et P en déduit n−1 nan x vaut R = 1/` (avec R = +∞ dans le cas ` = 0) b) Puisqu’une série entière de rayon de convergence R > 0 converge uniformément sur tout segment inclus dans ]−R, R[, on peut affirmer que la fonction +∞ P x 7→ an xn est de classe C 1 sur ]−R, R[ car c’est la somme d’une série de n=0 fonctions de classe C 1 convergeant simplement sur ]−R, R[ et dont la série des dérivées converge uniformément sur tout segment inclus dans ]−R, R[. II) a et b) Pour P = a + bX + cX 2 , e1 (P ) = a, e2 (P ) = b, e3 (P ) = c, v(P ) = a + b + c et w(P ) = a + 21 b + 31 c. Par suite v = e1 + e2 + e3 et w = e1 + 12 e2 + 31 e3 . La matrice de la famille e0 dans e est 1 1 1 Q = 0 1 1/2 0 1 1/3 Cette dernière est inversible donc e0 est une base et Q est la matrice de passage voulue. c) Pour déterminer la base antéduale (P1 , P2 , P3 ) de e0 il suffit de résoudre les systèmes e1 (P3 ) = 0 e1 (P2 ) = 0 e1 (P1 ) = 1 v(P3 ) = 0 v(P2 ) = 1 et v(P1 ) = 0 , w(P3 ) = 1 w(P1 ) = 0 w(P2 ) = 0 Ceci est facile en raisonnant à coefficients inconnus. Cela revient aussi à calculer l’inverse de la matrice t Q. Il est même possible de faire un lien théorique, mais ce dernier n’est pas au programme. n=0 Le rayon de convergence du développement en série entière vérifie alors R > 1 et puisque f tend vers l’infini en −1, on a R = 1. Les trois premiers termes du développement en série entière donne la partie régulière du développement de Taylor de f et donc permet de former un développement limité à l’ordre 3 en 0. Exercice 6 : [énoncé] I) a) Puisque un ∼ vn on peut écrire un = vn + o(vn ) Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 7 |o(vn )| 6 1 |vn | 2 ZZ et donc un est du signe de vn . b) Quand n → +∞, sh √ 2 est positive et C(R) ⊂ [0, R] ⊂ C(R 2) donc !2 Z Z Z R −x2 −y 2 −x2 −y 2 −t2 dx dy e dx dy 6 e dt 6 √ e Or (x, y) 7→ e−x A partir d’un certain rang C(R) 1 1 1 = + 3 +o n n 6n 1 n3 et tan 1 1 1 = + 3 +o n n 3n 1 n3 2 −y 2 En passant en coordonnées polaires ZZ Z −x2 −y 2 e dx dy = C(R) donc 1 un ∼ − 3 6n et un est négatif pour n assez grand. II) (x + 31 )2 y2 y 2 − (3x2 + 2x + 1) = 0 ⇔ − =1 2/3 2/9 −t e 0 dt Z = R −x2 e 0 Z dx R −y 2 e 0 ZZ e−x dy = [0,R] 2 2 +∞ −t2 e Si ba + bc > ca alors A est diagonalisable dans Mn (R) car possède trois valeurs propres distinctes. Elle est a fortiori diagonalisable dans Mn (C). Si ba + bc = ca alors 0 est seule valeur propre et donc A est diagonalisable si, et seulement si, a = b = c = 0. Si ba + bc < ca alors 0 est seule valeur propre réelle et donc A n’est pas diagonalisable dans Mn (R). En revanche A est diagonalisable dans Mn (C) (trois valeurs propres distinctes). II) On a !2 2 re−r dr dθ = 0 0 χA = −X(X 2 + ca − ba − bc) 2 R Z 0 Z Exercice 7 : [énoncé] I) Par Sarrus R π/2 2 π 1 − e−R 4 La convergence de l’intégrale de Gauss est immédiate et en passant à la limite l’encadrement précédent, on obtient La courbe considérée est une hyperbole de centre Ω(−1/3, 0) et d’axe focal vertical. z = 0 et z = 1 sont évidemment solutions du problème d’alignement. 5 −z Pour z 6= 0, 1, les points considérés sont alignés si, et seulement si, zz2 −z ∈ R i.e. z 3 + z 2 + z + 1 ∈ R. En écrivant z = x + iy avec x, y ∈ R, on parvient à l’équation y 3 = (3x2 + 2x + 1)y. Finalement les points recherchés sont ceux formant l’hyperbole précédemment présentées accompagnés de la droite réelle. Z C(R 2) 0 −y 2 dx dy 2 π dt = 4 puis Z +∞ √ −t2 e dt = 0 car R +∞ 0 −t2 e π 2 dt > 0. Exercice 8 : [énoncé] I) a) La fonction f est de classe C 1 par morceaux et régularisée donc par le théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge simplement vers f . b) La fonction f est impaire donc an = 0 et Z 2 2 π t sin(nt) dt = (−1)n+1 bn = π 0 n La série de Fourier de f est X n>1 (−1)n+1 2 sin(nt) n II) Soit (e1 , . . . , en ) une base de E avec e1 , . . . , en−1 ∈ ker f . La matrice de f dans cette base est de la forme 0 ··· 0 λ1 .. .. .. . . . A= . . .. λ .. n−1 0 ··· 0 λn Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections avec λn = trf . On observe alors que A2 = λn A. Ainsi si trf = 1 alors A2 = A donc f 2 = f puis f est un projecteur. Par l’isomorphisme de représentation matricielle dans une base donnée de E, on peut retraduire le problème matriciellement. En considérant les éléments Ei,i et Ei,i + Ei,j pour 1 6 i 6= j 6 n on forme une base de Mn (R) telle que souhaitée. Exercice 9 : [énoncé] I) a) A = (ai,j ), B = (bi,j ), AB = (ci,j ) et BA = (di,j ) avec 8 De plus E est aussi un sous-anneau en vérifiant l’appartenance de I2 la stabilité par différence et produit (car J 2 = −I2 ) b) ϕ est évidemment linéaire et bijective, c’est un isomorphisme d’espaces vectoriels. C’est aussi un isomorphisme d’anneau car ϕ(1) = I2 et ϕ(zz 0 ) = ϕ(z)ϕ(z 0 ) (après calculs). II) La fonction e−at − e−bt ϕ : t 7→ t est intégrable sur ]0, +∞[ car prolongeable par continuité en 0 et vérifie t2 ϕ(t) −−−−→ 0. Par domination, on en déduit que F est définie sur R. t→+∞ ci,j = n X ai,k bk,j et di,j = k=1 donc tr(AB) = n n X X n X bi,k ak,j k=1 ai,k bk,i et tr(BA) = n n X X bi,k ak,i i=1 k=1 i=1 k=1 En réorganisant les deux sommes, on obtient tr(AB) = tr(BA). b) Si B = P −1 AP alors trB = tr P −1 (AP ) = tr (AP )P −1 = trA Posons f (x, t) = ϕ(t) cos(xt). ∂f −at f admet une dérivée partielle ∂f − e−bt ) sin(xt). ∂x et ∂x (x, t) = −(e ∂f ∂f x 7→ ∂x (x, t) est continue sur R, t 7→ ∂x (x, t) est continue par morceaux sur ]0, +∞[ et ∂f (x, t) 6 e−at + e−bt = ψ(t) ∂x avec ψ intégrable sur ]0, +∞[. On en déduit que F est une fonction de classe C 1 et Z +∞ F 0 (x) = −(e−at − e−bt ) sin(xt) dt 0 Ainsi si les matrices A et B sont semblables, alors elles ont même trace. Les matrices d’un même endomorphisme étant semblables entres elles, on peut conclure. c) Ak et B k représentent le même endomorphisme donc ces matrices sont semblables et ont même trace. II) Points critiques (0, 1) et (0, e−2 ). En (0, 1) : f (0, 1) = 0 et ∀x ∈ R, ∀y > 0, f (x, y) > 0 C’est un minimum global. En (0, e−2 ) : rt − s2 = −4 < 0 Ce n’est pas un extremum local. Or Z +∞ e−at sin(xt) dt = Im 0 +∞ e(−a+ix)t dt 0 = x a2 + x2 donc 1 b2 + x2 ln + C te 2 a2 + x2 Montrons que quand x → +∞, F (x) −−−−−→ 0. F (x) = x→+∞ Par intégration par parties, +∞ Z sin xt 1 +∞ 0 − ϕ (t) sin(xt) dt F (x) = ϕ(t) x x 0 0 donc |F (x)| 6 Exercice 10 : [énoncé] I) a) On observe que E = Vect(I2 , J) avec I2 = M (1, 0) et J = M (0, 1). Les matrices I2 et J étant indépendantes, E est un sous-espace vectoriel de dimension 2. Z On en déduit C te 1 x Z +∞ 0 |ϕ0 (t)| dt −−−−−→ 0 x→+∞ = 0 puis F (x) = 1 b2 + x 2 ln 2 a2 + x2 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections Exercice P 11 : [énoncé] un une série absolument convergente de l’espace normé et (Sn ) la I) a) Soit suite de ses sommesP partielles. La série numérique kun k converge, notons (Tn ) la suite de ses sommes partielles. On a n n X X kuk k uk et Tn = Sn = 9 Puisque aan+1 → 14 on a R = 4. n Pour |x| < 4, par convergence normale Z 1 Z 1 dt dt = f (x) = 2 − xt + 1 1 − t(1 − t)x xt 0 0 Si x ∈ ]0, 4[, f (x) = p k=0 k=0 donc kSn+p − Sn k 6 |Tn+p − Tn | r 4 x(4 − x) arctan x 4−x Si x ∈ ]−2, 0[, r x f (x) = p argth x − 4 x(x − 4) 4 Puisque la suite (Tn ) converge, elle vérifie le critère de Cauchy et donc ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, ∀p ∈ N, |Tn+p − Tn | 6 ε Si x = 0, f (x) = 1. et alors ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, ∀p ∈ N, kSn+p − Sn k 6 ε La suite (Sn ) est donc de Cauchy et l’espace normé étant supposé complet, celle-ci converge. b) N’importe quel R-espace vectoriel ou C-espace vectoriel de dimension finie est complet. II) On écrit z = eiθ avec θ ∈ R. iθ 2 u = 1 + z + z = e (e −iθ iθ + 1 + e ) = (2 cos θ + 1)e iθ La courbe décrite est celle d’équation polaire r = 1 + 2 cos θ qu’il est facile d’étudier. Exercice 12 : [énoncé] I) a) Soit H une primitive de la fonction h, celle-ci existe car h est continue. Puisque la fonction h est positive, la primitive H est croissante. Si l’intégrale de h sur [a, b] est nulle alors H(a) = H(b) et la croissance de H entraîne sa constance. On en déduit que la fonction dérivée h est nulle. b) On vérifier que l’on a bien défini une forme bilinéaire symétrique définie positive. c) On a s s √ Z 1 Z 1 Z 1 √ −x 1 − e−2 −2x xe dx 6 x dx e dx = 2 0 0 0 II) Par intégration par parties successives Z 1 an = tn (1 − t)n dt = 0 (n!)2 (2n + 1)! Exercice 13 : [énoncé] x I) a) f : x 7→ xln 2 +1 est définie et continue par morceaux sur ]0, +∞[. √ 3/2 Les propriétés x f (x) −−−−−→ 0 et xf (x) −−−→ 0 assurent l’intégrabilité de f . x→+∞ b) g : x 7→ −x √e x−1 x→0 est définie continue par morceaux sur ]1, +∞[. −1 √e x−1 x→1 Les propriétés x2 f (x) −−−−−→ 0 et g(x) ∼ x→+∞ assurent l’intégrabilité de g. II) a) Pour tout vecteur x de E, (x | f (λy + µz)) = −(f (x) | λy + µz) = −λ(f (x) | y) − µ(f (x) | z). Ainsi (x | f (λy + µz)) = (x | λf (y) + µf (z)). Or ceci valant pour tout x, on peut affirmer la linéarité de f . Notons A = (ai,j ) la matrice de f dans la base canonique (e1 , . . . , en ) de Rn . On a ai,j = (ei | f (ej )) car la base canonique est orthonormée. L’antisymétrie de f donne alors ai,j = −aj,i . b) Les endomorphismes antisymétriques sont par représentation matricielle en correspondance avec les matrices antisymétriques. Par cet isomorphisme, les endomorphismes antisymétriques forment un sous-espace vectoriel de dimension n(n−1) . 2 Exercice 14 : [énoncé] I) Notons an , bn et cn les coefficients de 1, X et X 2 dans Pn . Puisque P1 = X − 2, on a a1 = −2, b1 = 1 et c1 = 0. Puisque Pn+1 = Pn2 − 2, on a an+1 = a2n − 2, bn+1 = 2an bn et cn+1 = b2n + 2an cn . On en déduit a2 = 2, b2 = −4 et c2 = 1 puis pour n > 3 : an = 2, bn = −4n−1 , n−1 cn = 4n−2 + 4n−1 + · · · + 42n−4 = 4n−2 4 3 −1 . Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections II) f est C 1 par morceaux et régularisée donc sa série de Fourier converge vers elle. Rπ n+1 f est impaire, an = 0, bn = π2 0 t sin(nt)dt = (−1)n 2 puis +∞ P (−1)n+1 f (t) = 2 sin(nt). n 10 b) Par opérations, la fonction g est de classe C 1 donc admet des dérivées partielles relatives à n’importe quelle base. Dans la base (e1 , . . . , en ), ses dérivées partielles sont Di g(x) = λi xi − ui n=1 Exercice 15 : [énoncé] R 1 R 2π RR I) En polaire D x2 +y1 2 +1 dxdy = 0 0 rdθdr r 2 +1 = π ln 2. II)a) Soit x ∈ ker v et y = v(a) ∈ Imv. On au(x) = x et y = u(a) − a donc (x | y) = (u(x) | u(a)) − (x | a) = 0 car u conserve le produit scalaire. Ainsi ker v ⊂ (Imv)⊥ puis l’égalité par un argument de dimension. b) Pour x ∈ E, on peut écrire x = a + b avec a ∈ ker v et b ∈ (ker v)⊥ = Imv. On a u(a) = a et donc ∀k ∈ N, uk (a) = a. D’autre part, il existe c tel que b = v(c) = u(c) − c de sorte que uk (b) = uk+1 (c) − uk (c). Par télescopage, un (x) = a + 1 n 1 u (c) − c n n Puisque u conserve la norme : 1 n u (c) = 1 kck → 0 n n et donc un (x) → a en notant u1 , . . . un les composantes de u. c) Il est alors immédiat que g admet un unique point critique qui est z= Tout ceci serait plus simple, en parlant de différentielle plutôt que de dérivées partielles. d) Pour h ∈ E, g(f −1 (u) + h) = II) a) Soit (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de vecteurs propres de f . Pour x = x1 e1 + · · · + xn en on a f (x) = λ1 x1 e1 + · · · + λn xn en avec λi > 0 valeur propre associée au vecteur propre ei . Ainsi, pour x 6= 0, hf (x) | xi = λ1 x21 + · · · + λn x2n > 0 1 (u + f (h) | f −1 (u) + h) − (u | f −1 (u) + h) 2 donc 1 g(f −1 (u) + h) = g(f −1 (u)) + (f (h) | h) > g(f −1 (u)) 2 car (f (h) | f −1 (u)) = (h | u) par adjonction. Exercice 17 : [énoncé] I) a) A = (ai,j ), B = (bi,j ), AB = (ci,j ) et BA = (di,j ) avec ci,j = Exercice 16 : [énoncé]P I) an z n est absolument convergente or |an z n | ∼ |bn z n | donc Pa) Sin |z| < Ra alors bn z est absolument convergente puis |z| 6 Rb . Ainsi Ra 6 Rb puis de même Rb 6 Ra et enfin Ra = Rb . i n n2 b) Puisque (n2 +1)2n ∼ 1 on obtient R = 1. u1 un e1 + · · · + en = f −1 (u) λ1 λn n X k=1 donc tr(AB) = n X n X i=1 k=1 ai,k bk,j et di,j = n X bi,k ak,j k=1 ai,k bk,i et tr(BA) = n X n X bi,k ak,i i=1 k=1 En réorganisant les deux sommes, on obtient tr(AB) = tr(BA). b) Si B = P −1 AP alors trB = tr P −1 (AP ) = tr (AP )P −1 = trA Ainsi si les matrices A et B sont semblables, alors elles ont même trace. Les matrices d’un même endomorphisme étant semblables entres elles, on peut conclure. c) Ak et B k représentent le même endomorphisme donc ces matrices sont semblables et ont même trace. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections ln t . II) Posons f (x, t) = t+x f est définie et continue sur ]0, +∞[√× ]0, 1]. Pour x > 0, f (x, t) ∼ + x1 ln t donc tf (x, t) −−−−→ 0 puis t 7→ f (x, t) est + t→0 avec ϕ intégrable sur ]0, 1]. Par domination sur tout segment, on peut affirmer que F est de classe C 1 et Z 1 ln t 0 F (x) = − dt (t + x)2 0 Par intégration par parties, 1 Z 1 1 1 1 1 1 0 − − − dt F (x) = ln t t+x x 0 t+x x 0 t 1 où la primitive de t 7→ t+x est choisie de sorte de s’annuler en 0 pour que l’intégration par parties présente deux convergences. Ainsi Z 1 dt ln(x + 1) − ln x F 0 (x) = = t(t + x) x 0 Par opérations ln(x + 1) − ln x ln(1 + 1/x) + ln x 1 − = − ln x x x x puis 1 G(x) = G(1) − (ln x)2 2 Or G(1) = 2F (1) avec Z F (1) = 0 Or R1 tk ln(t) dt = 1 ln t dt = t+1 Z +∞ 1X (−1)k tk ln(t) dt 0 k=0 −1 (k+1)2 donc par convergence de la série des intégrales des +∞ P 1 (−1)n π2 π2 valeurs absolues, F (1) = n2 . Sachant n2 = 6 , on obtient F (1) = − 12 0 +∞ P puis G(x) = 21 (ln x)2 − Par décomposition en éléments simples 1 n=1 π2 6 . n=1 1 (t + chθ) t−1 = chθ−1 − chθ−1 (t + 1)(t2 + 2tchθ + 1) t+1 t2 + 2tchθ + 1 t→0 intégrable sur ]0, 1]. Ainsi F est définie sur ]0, +∞[. ∂f ln t f admet une dérivée partielle ∂f ∂x continue avec ∂x (x, t) = − (t+x)2 . Pour a > 0 et x ∈ [a, +∞[, ∂f (x, t) 6 |ln t| = ϕ(t) ∂x a2 G0 (x) = 11 Donc Z 0 1 ln t 1 1 θ2 t−1 θ dt = (F (1) − G(e )) = t + 1 t2 + 2tch(θ) + 1 chθ − 1 2 4(ch(θ) − 1) Exercice 18 : [énoncé] I) a) F = Vect(I, K) avec K = 0 −1 1 0 donc F est un sous-espace vectoriel de M2 (R). b) Puisque dim F = 2, dim F ⊥ = 4 − 2 = 2. Les matrices 1 1 1 0 0 A= √ et B = √ 0 −1 1 2 2 1 0 sont deux éléments unitaires, orthogonaux entre eux et orthogonaux à I et K. On peut alors affirmer que la famille (A, B) est une base de F ⊥ . c) On peut écrire √ J = I + 2B √ et donc le projeté orthogonal de J est 2B. II) u 7→ ux−1 (1 − u)y−1 est définie et continue par morceaux sur ]0, 1[, ux−1 (1 − u)y−1 ∼ + ux−1 et ux−1 (1 − u)y−1 ∼ − (1 − u)u−1 donc la fonction B u→0 u→1 est définie sur R+? × R+? . Il est bien connu que la fonction Γ est définie sur ]0, +∞[. Le changement de variable u = t2 quiR est un C 1 -difféomorphisme de R+? vers 2 +∞ lui-même permet d’obtenir Γ(x) = 2 0 t2x−1 e−t dt. RR 2 2 Γ(x)Γ(y) = 4 R+? ×R+? u2x−1 v 2y−1 e−(u +v ) dudv. Les fonctions engagées étant positives et intégrables, on peut passer en coordonnées polaires : R π/2 R +∞ 2 Γ(x)Γ(y) = 4 0 (cos θ)2x−1 (sin θ)2y−1 0 r2(x+y)−1 e−r drdθ = R π/2 2Γ(x + y) 0 (cos θ)2x−1 (sin θ)2y−1 dθ. Par le C 1 -difféomorphisme u = cos2 θ pour lequel du = 2 cos θ sin θdθ, on obtient B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y) . La relation Γ(x + 1) = xΓ(x) s’obtient par intégration par parties, on en déduit Γ(n) = (n − 1)! et donc B(n, m) = (n−1)!(m−1)! (n+m−1)! . Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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