MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE

Transcription

Université Paris I Panthéon Sorbonne
Centre d’histoire sociale du XXe siècle, UMR CNRS 8058
9, rue Malher 75181 PARIS Cedex 04
MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
A LA DÉMOGRAPHIE
Cours & Exercices
Pierre V. Tournier
Janvier 2011
Docteur en démographie
Directeur de recherche au CNRS
Hdr Université Paris I
[email protected]
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3
Né en 1950, Pierre V. Tournier est maître es sciences mathématiques (Université Paris VI
Pierre et Marie Curie) et docteur en démographie (Université Paris 1 Panthéon Sorbonne) ;
spécialiste de démographie pénale, habilité à diriger des recherches (hdr, Paris 1), directeur de
recherches au CNRS affecté au Centre d’histoire sociale du XXe siècle (Paris 1), depuis 2003.
Il a été chargé d’enseignement en mathématiques appliquées à l’Institut de démographie de
Paris 1 (IDUP) de 1977 à 2011. Fondateur de la revue Champ Pénal / Penal Fiel et de
Pénombre ; ancien président de l’Association française de criminologie (AFC). Il est président
fondateur du think tank DES Maintenant en Europe. Derniers ouvrages parus : Loi pénitentiaire
: contexte et enjeux (L’Harmattan, 2008), La Babel criminologique. Formation et recherche
sur le phénomène criminel : sortir de l’exception française ? (Dir., L’Harmattan, 2009). A
paraître : Dictionnaire de démographie pénale. Des outils pour arpenter le champ pénal
(L’Harmattan, 2010).
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5
PARTIE A.
Langage ensembliste, suites numériques, fonctions numériques,
fonctions exponentielles et logarithmiques, applications à la démographie,
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7
Sommaire
Cahier n°1. Ensembles et fonctions…………………………………………….
9
Cahier n°2. Suites numériques…………………………………………………
13
Cahier n°3. Fonctions numériques élémentaires……………………………...
19
1. f(x) = a . x + b
2
2. f(x) = a. x + b. x + c
3. f(x) = a / x
4. f(x) = (ax + b) / (cx + d)
19
22
23
23
Révisions Cahiers 1, 2 et 3
25
Cahier n°4. Fonctions numériques : étude générale…………………………
27
1. Limites
2. Dérivées
3. Applications
27
31
32
Cahier n°5. Fonctions exponentielles et logarithmes………………………..
37
1. Fonctions exponentielles
2. Fonctions logarithmes
3. Applications
37
39
42
Cahier n°6. Révisions de la partie A
45
Références bibliographiques
Bachelard (G), La formation de l’esprit scientifique, Vrin, 1970.
Baruck (S), Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Editions du Seuil, 1992.
Baruck (S), L’âge du capitaine, de l’erreur en mathématiques, Editions du Seuil, 1985.
Duchêne (J) et Vilquin (E), Mathématiques pour démographes, rappels théoriques exercices résolus, Université catholique de Louvain, Institut de démographie, académia
25/115 Grand’Rue, 1348 Louvain-la-Neuve, Belgique.
8
9
Cahiers de Mathématiques - n°1
Pierre V. Tournier
ENSEMBLES & FONCTIONS
1. Ensembles et sous-ensembles
On prendra pour exemple l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à six faces. E
est l’ensemble des résultats possibles (univers des possibles)
* Définition d’un ensemble en extension : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
* Appartenance : 2 ∈ E
* Définition en compréhension et propriété caractéristique : E = {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 6 }
E = {x ∈ N / 0 < x ≤ 6 }
* Quantificateur universel : ∀ x ∈ E
x>0
* Quantificateur existentiel : ∃ x∈ E / x > 1
* Egalité de deux ensembles : E = F signifie que E et F ont les mêmes éléments
{1, 2, 3, 4, 5, 6} = {2, 3, 4, 1, 5, 6}
* Sous-ensemble et inclusion : { 1, 3, 5 } ⊂ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } , { 1, 3, 5 } est un sousensemble de E, une partie de E.
A ⊂ B signifie :
∀ x ∈ A,
x ∈ B.
* Un singleton est un ensemble à un élément ; exemple : {3}. 3 ∈ E et {3} ⊂ E.
* Une paire est un ensemble à deux éléments : les paires {1, 3} et {3,1} sont égales.
* Ensemble des parties d’un ensemble, PF ensemble de toutes les parties de F.
Exemple : F = {1, 2, 3, 4}
PF = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}, {1,
3, 4}, {1, 2, 4}, {1,2, 3}, {1, 2, 3, 4}}.
∅ est la partie vide, F = {1, 2, 3, 4} est la partie pleine de F.
∅ est le complémentaire de F dans F.
10
* Ensemble complémentaire : Soit A ⊂ E et B ⊂ E, B est le complémentaire de A dans
E signifie : B = {x ∈ E / x n’appartient pas à A}.
* Un couple est un ensemble ordonné de deux éléments : (1,5) ≠ (5, 1).
* Couple réciproque : (a, b) a pour couple réciproque (b, a)
* Produit de deux ensembles : Soit A ⊂ E et B ⊂ E, A x B = { (a,b) / a ∈A et b ∈B}
Exemple : A = {1, 2} et B {2, 3, 4}, alors
A x B = {(1, 2), (1, 3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)}
* Vocabulaire des probabilités : univers des possibles, événement, événement
élémentaire, événement contraire.
-
2. N, Z, Q, R*, R , R+, rappel de quelques propriétés
Intervalles dans R :
a ∈ R, b ∈ R, a < b
[a ; b] ={ x ∈ R / a ≤ x ≤ b }
]a ; b[ = { x ∈ R / a < x < b }
[a ; b[ = { x ∈ R / a ≤ x < b }
[a ; + ∞ [ = { x ∈ R / x ≥ a }
]a ; + ∞ [ = { x ∈ R / x > a }
]-∞;a]={x∈R/x ≤a}
]-∞;a[={x∈R/x <a}
Puissances entières
a ∈ R, n ∈N, n >1
n
a = a.a... a (produit de n termes égaux à a)
1
a =a
0
a =1
*
a ∈ R , p ∈N
-p
p
a = 1/ a
a ∈ R, b∈ R, n ∈N, p ∈N
(ab)n = an bn
an ap = an +p
n
n n
(a/b) = a /b (b ≠ 0)
an /ap = an -p (a ≠ 0)
(an )p = an. p
2
2
(a + b) = a + 2ab + b
2
2
2
(a - b) = a - 2ab + b
2
2
(a + b) (a - b) = a - b
2
11
Racines carrées
+
1/2
a∈R α=a
+
2
⇔ α ∈ R avec α = a
Valeur absolue
si x > 0 alors | x | = x
si x < 0 alors | x | = - x
|x| =0⇔x=0
∀ x ∈ R, | x | ≥ 0
3. Opérations sur les ensembles
Intersection (A ∩ B), réunion (A ∪ B), différence (A - B)
4. Partition d’un ensemble
Définition : Soit un ensemble E, on appelle partition de E, tout ensemble F constitué de
parties Ai de E vérifiant les trois conditions suivantes :
1° Les Ai sont non vides
2° La réunion des Ai est égale à E
3° Les Ai sont deux à deux disjoints.
5. Fonction
On introduira la notion de fonction à partir de l’exemple de la codification d’un
questionnaire (A est une population, B est l’ensemble des codes relatifs à une question).
Définition : A et B, deux ensembles. On appelle fonction de A vers B un moyen
permettant d’associer à tout élément de A un élément au plus de B
f:A→B
x → y = f(x)
Ensemble de définition : Df = { x ∈ A / ∃ y ∈ B avec y = f(x)}
Application de A dans B : Df = A
Application de A dans B surjective : tout élément de B a au moins un antécédent dans A.
Application de A dans B injective : tout élément de B a au plus un antécédent dans A.
Bijection de A dans B: application surjective et injective.
Exemple d’une bijection : dans une enquête, définition d’un identifiant.
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Graphe d’une fonction de A dans B : G = { (x, y) ∈ AxB / y = f(x)}.
Bijection réciproque: soit f une bijection de A dans B. On appelle bijection réciproque
-1
de f (notée f ) la bijection d’ensemble de départ B, d’ensemble d’arrivée A dont le
graphe est constitué des couples réciproques du graphe de f.
Composée de deux fonctions (gof) :
f:A→B
x → y = f(x)
g:B→ C
y → z = g(y)
gof : A → C
x → z = g(y) = g[f(x)] = gof(x)
Exercices
Exercice 1.
Expliciter la définition des ensembles suivants (sous-ensembles de R) :
[ 0 ; 1] , ] 0 ; 1 [ , ] 0 ; 1] , [0 ; 1[ , ] - ∞ ; 0 [, [0 ; + ∞[.
Exercice 2.
Déterminer A, sous-ensemble de R défini par :
A = [0 ; 3 ] ∩ [1 ; 2 [
A = [ 0 ; 3 [ ∩ ]1 ; 4 [
A = ] 0 ; 2 [ ∪ [1 ; 2]
A = CR [0 ; 1]
A = [1 ; 3 ] - { 2}
Exercice 3.
E = {a, b, c, d}. Définir en extension l'ensemble des parties de E. Définir une partition
de E.
Exercice 4.
A = {a, b, c, d } B = {1, 2, 3, 4}
a. Définir une fonction de A dans B qui ne soit pas une application ; préciser son
ensemble de définition et son graphe.
b. Définir une application de A dans B non injective.
c. Définir une application de A dans B non surjective. Est-elle injective ?
-1
d. Définir une bijection f de A sur B et sa bijection réciproque f . Donner le graphe de f
-1
et celui de f .
Exercice 5.
A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, C = {x, y, z}. Définir une bijection f de A sur B, une
bijection g de B sur C. Donner le graphe de gof.
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Pierre V. Tournier
SUITES NUMERIQUES
1. Définition : une suite numérique est une fonction de N dans R
u: N→R
n → u(n) ; on note aussi u(n) = un terme de rang n de la suite
2. Suite arithmétique
Définition : ∀ n ∈ N, u (n + 1) = u(n) + a, a raison de la suite.
u(n) suite arithmétique ⇔ u (n + 1) - u(n) = a ⇔ ∆ u = cste
Propriété : ∀ n ∈ N, u(n) = u(0) + a . n
3. Suite géométrique
Définition : ∀ n ∈ N, u(n + 1) = a. u(n), a raison de la suite.
n
Propriété : ∀ n ∈ N, u(n) = u(0) a
4. Suite croissante, suite décroissante
u croissante au sens large ⇔ ∀ n ∈ N, u (n + 1) ≥ u(n)
u décroissante au sens large ⇔ ∀ n∈ N, u (n + 1) ≤ u(n)
Exemple : étude des variations des suites arithmétiques.
5. Variations des suites géométriques
n
u(n) = u(0) a
n+1
u(n + 1) - u(n) = u(0) a
n
- u(0) a
n
= u(0) a (a - 1)
n
le signe de u(n + 1) - u(n) dépend du signe des trois facteurs u(0), a et (a - 1).
Voir tableau infra
14
1er cas u(0) = 0
2e cas u(0) > 0
3e cas
u(0) < 0
∀ n ∈ N u(n) = 0
a<0
a=0
0<a<1
a=1
a>1
a<0
a=0
0<a<1
a=1
a>1
u suite constante
Changement de signe
suite constante à partir de n = 1
u décroissante
suite constante
u croissante
changement de signe
suite constante à partir de n = 1
u croissante
suite constante
u décroissante
n
Exemple 1. : u(0) = 1, a = 2, u(n) = 2 , suite croissante
n
Exemple 2. : u(0) = 1, a = 1/2, u(n) = 1/2 , suite décroissante
6. Limite d’une suite
Lim u(n) = λ
n→+∞
+*
signifie ∀ε ∈ R , ∃ p∈ N : ∀ n ∈ N, n > p ⇒ u(n) -λ  < ε
+*
Lim u(n) = + ∞ signifie ∀ε ∈ R , ∃ p∈ N : ∀ n ∈ N , n > p ⇒ u(n) > ε
n→+∞
+*
Lim u(n) = - ∞ signifie ∀ε ∈ R , ∃ p∈ N : ∀ n ∈ N , n > p ⇒ u(n) < - ε
n→+∞
Exemples : u (n) = 2 + 1 / (n +1) ; u (n) = 2 n + 1 ; u (n) = - 2.n +1
7. Propriété des suites géométriques
u suite géométrique : ∀n∈ N, ∀p∈ N u(n) . u(p) = u(0) . u(n + p)
n
Définition : si u (0) = 1, u est appelée « suite exponentielle », u(n) = a
Théorème : les suites exponentielles sont les seules suites vérifiant u (n).u (p) = u (n + p)
8. Propriété des suites exponentielles
cas des suites géométriques avec u(0) > 0
* sens de variation : a > 1, u est croissante
a = 1, u est constante
0 < a < 1, u est décroissante
a = 0, u est constante
a < 0, u est ni croissante, ni décroissante.
15
si a > 0, u est monotone (croissante ou décroissante au sens large)
* limite des suites exponentielles
a>1
0<a<1
-1<a<0
a<-1
lim u(n) = + ∞
n→+∞
lim u(n) = 0
n→+∞
lim u(n) = 0
n→+∞
u diverge
exemple : u(n) = 2
n
exemple : u(n) = 1/2
n
n
exemple : u(n) = (-1/2)
n
exemple : u(n) = (- 2)
9. Raisonnement par récurrence
Définition : P propriété qui dépend de n, n ∈ N ; on dit que P est récurrente ssi
P vraie pour n ⇒ P vraie pour n + 1
Raisonnement par récurrence : montrer que P est vrai ∀ n ∈ N
étape 1. montrer que P est vraie pour n = 1
étape 2. montrer que P est une propriété récurrente : on fait l’hypothèse que P est vrai
pour n et l’on montre qu’alors P est vraie pour n + 1.
étape 3. conclusion, ∀ n ∈ N, P est vraie.
Exercices
Exercice 6.
Le rapport de masculinité de la population carcérale métropolitaine était de 39,8 au 1er
janvier 1976. Entre le 1er janvier 1976 et le 1er janvier 1980, on a observé une
augmentation de 55 % de l'effectif des femmes détenues et conjointement une
augmentation de 20,1 % de l'effectif des hommes détenus.
a. Calculer le rapport de masculinité de cette population au 1er janvier 1980.
b. En déduire le taux de féminité à cette même date.
Exercice 7.
La densité médicale du département de l'Oise était de 55,7 p.100 000 au 1er janvier
1962 (nombre de médecins libéraux rapporté au nombre d'habitants). Entre le 1er
janvier 1962 et le 1er janvier 1968, on a observé une augmentation de 12,4 % de
l'effectif de la population de ce département et conjointement une augmentation de
34,0 % du nombre des médecins libéraux. Calculer la valeur de l'indice proposé au 1er
janvier 1968.
16
Exercice 8.
e
On admet que le nombre d'enfants qu'une femme met au monde entre son n et son
e
(n+1) anniversaire peut être approché par l'expression :
2
u(n) = k.(n + 0,5 - a).(a + 32,5 - n)
où k est une constante et a l'âge minimum à l'accouchement. Comparer le nombre
moyen d'enfants que met au monde une femme entre 40 et 41 ans à celui qu'elle met au
monde entre 20 et 21 ans si a = 15.
Exercice 9.
Le quotient de mortalité entre les âges a et a + 1 est donné par : qa = da / Sa
tandis que le taux annuel de mortalité entre les mêmes âges est donné par :
ma = da / [Sa - da / 2].
a. Exprimer ma en fonction de qa.
b. Exprimer qa en fonction de ma.
c. Calculer qa et ma dans le cas particulier où da = 1 249 décès et Sa = 112 281
survivants.
Exercice 10.
***
On suppose qu’une population varie à accroissement absolu annuel constant :
P(t + 1) - P(t) = a
Calculer P(t) en fonction de P(0) et de a.
Exercice 11.
***
On suppose qu’une population varie à taux d’accroissement relatif annuel constant :
[P(t + 1) - P(t)] / P(t) = k
Calculer P(t) en fonction de P(0) et de k.
Exercice 12.
***
Les taux bruts de natalité et de mortalité d'une population fermée sont respectivement
égaux à 32,17 p.1 000 et 18,03 p.1 000. Calculer le nombre d'individus que comptera
cette population le 31 décembre sachant qu'elle comptait 1 842 200 habitants le 1er
janvier de l'année considérée.
Exercice 13. C
Soit u(n) une suite arithmétique de raison a.
i=n
On note S(n) = u(0) + u(1) + ... + u(n) = ∑ u(i)
i=0
Montrer que S(n) = (n + 1) u(0) + a . n (n + 1) / 2
17
Exercice 14 C
***
L'évolution mensuelle du nombre de personnes détenues, à un instant donné, dans les
prisons françaises, peut être décrite par le modèle suivant :
i=t
i=t
P(t) = P(0) + ∑ E(i) - ∑ S(i)
i=1
(équation « flux-stock »)
i =1
P(0) = nombre de détenus présents à la date initiale (t = 0)
P(t) = nombre de détenus présents à la date t, c'est-à-dire à la fin du mois n° t
E(i) = nombre d'incarcérations pendant le mois n° i
S(i) = nombre de libérations pendant le mois n° i.
On suppose que E et S varient linéairement en fonction du temps, c'est-à-dire:
E(t) = ae .t + be et S(t) = as .t + bs
2
Montrer que P peut alors être décrite par la relation : P(t) = A. t + B.t + C.
Calculer A, B et C en fonction des paramètres du modèle.
Publication de ce théorème : Tournier (P.V.), « Suites numériques, application à la
démographie carcérale », Chantiers de pédagogie mathématique, Association des
professeurs de mathématiques de l’enseignement public (APMEP) Ile-de-France, 1998,
n°99, p.15.
Corrections
13.
S(n) = u0 + [u0 + a] + [u0 + 2.a] + [u0 + 3.a] + … [u0 + (n-1)a] + [u0 + n.a]
S(n) = [u0 + n.a] + [u0 + (n-1)a] + … + [u0 + 3.a] + [u0 + 2.a] … [u0 + a]
En faisant la somme de ces deux lignes, on obtient :
2. S(n) = [2. u0 + n.a] + [2. u0 + n.a] + … + [2. u0 + n.a] + [2. u0 + n.a]
Somme de n +1 termes tous égaux à [2. u0 + n.a]
2. S(n) = (n+1) . [2. u0+ n.a]
d’où S(n) = ½. (n+1) . [2. u0 + n.a]
S(n) = (n + 1). u0 + 1/2 n.(n+1).a
Cas particulier
u(n) = n est la suite arithmétique de raison 1, avec u(0) = 0
S(n) = 1 + 2 +3 + … + (n-1) + n = ½. n. (n+1)
18
14.
i=t
i=t
P(t) = P(0) + ∑ E(i) - ∑ S(i)
i=1
i =1
i=t
i=t
P(t) = P(0) + ∑ (ae .i + be) - ∑ (as .i + bs )
i=1
i =1
i=t
P(t) = P(0) + ∑ (ae .i + be - as .i - bs )
i=1
i=t
i=t
P(t) = P(0) + ∑ (ae - as.) i + ∑ (be - bs)
i=1
i =1
i=t
P(t) = P(0) + (ae - as.) ∑ i + (be - bs). t
i=1
i=t
∑ i = 1 + 2 + 3 +4 +... t = t.(t + 1) /2 (exercice 13 avec u(n) = n, a = 1 et u(0) = 0).
i=1
P(t) = P(0) + (ae - as.) t.(t + 1) /2 + (be - bs).t
P(t) = A. t2 + B.t + C.
avec : A = (ae - as.) /2, B = (ae - as.) /2 + (be - bs) et C = P(0)
19
Pierre V. Tournier
FONCTIONS NUMERIQUES ELEMENTAIRES
1. Fonctions f(x) = a . x + b
1. fonction numérique de variable réelle x
Définition : une fonction numérique de variable réelle est une fonction de R dans R.
f:R→R
x→ y = f(x)
Exemples : f(x) = 2.x +1 ; f(x) = - 2.x, f(x) = - 3.
2. Fonction continue sur un intervalle
Définition empirique : f définie sur [a ; b], f est continue sur [a ; b] si elle « passe » de
f(a) à f(b) en prenant toutes les valeurs intermédiaires.
3. Fonction croissante, fonction décroissante
f croissante sur [a ; b] ⇔ ∀x1∈ [a ; b], ∀x2 ∈ [a ; b], x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
f décroissante sur [a ; b] ⇔ ∀x1∈ [a ; b], ∀x2 ∈ [a ; b], x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)
4. Taux d’accroissement et sens de variation d’une fonction
x1∈ [a ; b], x2∈ [a ; b], x2 ≠ x1, T = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1)
Attention : soit P(t) une population variant en fonction du temps ; ne pas confondre
T = [P(t2) - P(t1)] / (t2 - t1) avec T = [P(t2) - P(t1)] / P(t1)
si T ≥ 0 sur [a ; b], f est croissante (au sens large) sur [a ; b].
si T ≤ 0 sur [a ; b], f est décroissante (au sens large) sur [a ; b].
Pour de ne pas confondre avec les « taux démographiques » (par rapport à la valeur
initial ou autre), on parlera ici de « taux mathématique » de le fonction P(t)
Exemple : étude des variations des fonctions f(x) = a.x +b
20
5. Maximum et minimum absolus, maximum et minimum relatifs
f définie sur Df , xo∈ Df
f admet un maximum absolu en xo si et seulement si ∀x∈Df -{ xo}, f(x) < f (xo). La
valeur du maximum est f (xo).
f admet un minimum absolu en xo si et seulement si ∀x∈Df -{ xo}, f(x) > f (xo). La
valeur du minimum est f (xo).
f admet un maximum relatif en xo si et seulement s’il existe un intervalle ] xo - α ; xo +
α[ ⊂ Df tel que : ∀ x ∈] xo - α ; xo + α[ - { xo}, f(x) < f (xo). La valeur du maximum
relatif est f (xo).
b. f admet un minimum relatif en xo si et seulement s’il existe un intervalle ] xo - α ; xo
+ α[ ⊂ Df tel que : ∀ x ∈] xo - α ; xo + α[ - { xo}, f(x) > f (xo). La valeur du minimum
relatif est f (xo).
6. Interpolation, extrapolation linéaire
P fonction de t avec ∆P /∆t = cste
[P(t) - P(t1)] / (t - t1) = [P(t2) - P(t1)] / (t2 - t1)
P(t) = P(t1) + (t - t1) . [P(t2) - P(t1)] / (t2 - t1)
7. Parité d’une fonction
Soit f une fonction définie de R.
* f est une fonction paire si et seulement si ∀ x ∈ R on a f(-x) = f(x).
Dans ce cas, la courbe représentative de f dans un repère orthogonal est symétrique par
rapport à l’axe des y (symétrie dite axiale).
* f est une fonction impaire si et seulement si ∀ x ∈ R on a f(-x) = - f(x).
Dans ce cas, la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’origine du
repère (symétrie dite centrale).
Exemples
f(x) = 2. x est impaire ; f(x) = x2 / | x | est paire, f(x) = 2.x + 1 est ni paire, ni impaire.
21
Exercices
Exercice 15.
Représenter graphiquement la fonction définie ainsi :
Si t ≥ 1 et x < t alors P(t) = t.
Si t ≥ 2 et t ≤ 5, alors P(t) = - t + 6
La fonction est-elle continue sur [1 ; 5]
Exercice 16.
Représenter graphiquement la fonction définie ainsi :
Si t ≥ 1 et t < 3 alors P(t) = t.
Si t ≥ 3 et t ≤ 5, alors P(t) = - t + 6
La fonction est-elle continue sur [1 ; 5]
Exercice 17.
***
Montrer que si une population varie linéairement en fonction du temps entre deux dates
t1 et t2 , la population en milieu de période est égale à la moyenne arithmétique des
effectifs en début et en fin de période.
Exercice 18.
Représenter la fonction P(t) = | t | / t dans un repère orthonormé.
Exercice 19.
Représenter la fonction P(t) = t2 / | t | dans un repère orthonormé.
Exercice 20.
2
Représenter la fonction P(t) = | t - 1 | / (t + 1) dans un repère orthonormé.
Exercice 21.
***
La population pénale métropolitaine s'élevait à 29 482 détenus au 1er janvier 1976 et à
33 315 détenus au 1er janvier 1979. Donner une évaluation de la population pénale au
1er janvier 1980 à l'aide d'une extrapolation linéaire.
22
Exercice 22.
A l'aide des données statistiques présentées infra, évaluer la densité médicale du
département du Finistère au 1er janvier 1974 (nombre de médecins libéraux pour
100 000 habitants).
Nombre de médecins libéraux
Nombre d’habitants (recensements)
Densité pour 100 000
1.1.1962
463
749 558
61,8
1.1.1968
578
768 929
75,2
1.1.1974
654
?
?
2. Fonctions f(x) = a. x2 + b. x + c
1. Opérations sur les fonctions et théorèmes sur les fonctions continues
f +g, f x g, f / g.
2. Equation du second degré
a. x2 + b. x + c = 0 avec a ≠ 0
2
∆ = b - 4ac
si ∆ < 0 l’équation n’a pas de solution dans R.
si ∆ = 0 l’équation admet une solution : x = - b/2a
1/2
1/2
si ∆ > 0 l’équation admet deux solutions x = (- b - ∆ ) / 2a et x = (- b + ∆ ) / 2a
3. Théorème du signe du trinôme
T(x) = a. x2 + b. x + c = 0 avec a ≠ 0
2
∆ = b - 4ac
Cas 1. Si ∆ < 0 : ∀ x ∈ R, T(x) est du signe de a
Cas 2. Si ∆ = 0 : ∀ x ∈ R, T(x) est du signe de a ; T(x) s’annule pour x = - b/2a
1/2
1/2
Cas 3. Si ∆ > 0 : T(x) s’annule pour x1 = (- b - ∆ ) / 2a et x2 = (- b + ∆ ) / 2a
si x ∈] - ∞ ; x1[ ∪ ] x2 ; + ∞ [ alors T(x) est du signe de a.
si x ∈] x1 ; x2 [ alors T(x) est du signe de - a.
Exercices
Exercice 23.
3
Représenter la fonction P(t) = t / | t | dans un repère orthonormé.
23
Exercice 24.
2
Etudier les variatons de la fonction P(t) = t + t + 1
Exercice 25. C
***
2
Soit la fonction f(x) = x - 2.m1.x + m2 de variable réelle x (m1 et m2 sont des
paramètres). Etudier les variations de cette fonction en calculant son taux
d'accroissement sur les intervalles ] - ∞ ; m1 [ et ] m1 ; + ∞ [. Si l'on considère une
série statistique de moyenne m1 et de moment non centré d'ordre 2 m2, f(x) représente la
distance entre les valeurs observées et un nombre fixe x. Que peut-on conclure de
l'étude précédente à propos de la moyenne m1 de la série ?
3. Fonctions f(x) = a / x
Exercices
Exercice 26.
***
Soit la fonction f(x) = 1/x . Etudier les variations de f. Dans une population stationnaire
sans migration (table de mortalité identique pour toutes les générations, naissances
annuelles constantes), l'espérance de vie à la naissance e0 est liée au taux de mortalité m
(rapport des décès d'une année à la population durant cette année) par la relation f.
Représenter graphiquement e0 en fonction de m. Calculer e0 pour m = 32 p.1 000.
Autre façon de dire les choses : Dans une population stationnaire, l’effectif de la
population P, à un instant donné, est le produit du nombre d’entrées de l’année (E), par
la durée moyenne de séjour dans la population (d, exprimée en années).
P=Exd
4. Fonctions f(x) = (a.x + b) / (c.x + d)
Exercices
Exercice 27.
***
Etudier les variations de la fonction f(x) = x / (1 - x)
☛ Cette fonction intervient dans la construction des tables de mortalité de Brass
(méthode des logits)
24
Corrections
25.
soit une série statistique : {x1, x2,...,xi, ...,xn}
pour x ∈ R, la distance d(x) de x à la série est définie par :
i=n
i=n
i=n
2
2
d(x) = 1/n. ∑ (xi - x) = x - 2/n. ∑ xi . x + 1/n. ∑ xi = x - 2.m1.x + m2
2
2
i=1
i=1
i=n
i=1
i=n
avec m1 = 1/n ∑ xi et m2 = 1/n ∑ xi
i=1
2
i=1
2
f(x) = x - 2.m1.x + m2
2
2
T = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1) = [(x2 - 2.m1. x2 + m2 ) - (x1 - 2.m1. x1 + m2 )] / (x2 - x1)
2
2
T = [(x2 - x1 ) - 2.m1 (x2 - x1)] / (x2 - x1) = (x2 + x1 ) - 2.m1
I = ] - ∞ ; m1 [, J = ] m1 ; + ∞ [.
signe de T sur I :
x1 ∈ I, x2 ∈ I, x1 < m1 et x2 < m1 ⇒ x1 + x2 < 2 m1 ⇒ x1 + x2 - 2 m1 < 0 ⇒ T < 0
signe de T sur J :
x1 ∈ I, x2 ∈ I, x1 > m1 et x2 > m1 ⇒ x1 + x2 > 2 m1 ⇒ x1 + x2 - 2 m1 > 0 ⇒ T > 0
X
T
F
-∞
+∞
m1
↓
+
m2 – m1
2
↑
La distance est minimale pour m1 (moyenne). La moyenne est la valeur la plus proche de
la série statistique au sens de la distance définie supra.
25
RÉVISIONS CONCERNANT LES CAHIERS n°1, n°2 et n°3
Résumé sur les taux d’accroissement
Soit l’intervalle de temps [t1 ; t2]
Ta = P(t2) – P(t1) = accroissement absolu sur l’intervalle
Tb = [P(t2) – P(t1) / P(t1) : taux d’accroissement relatif calculé par rapport à la
population initiale.
Tc = [P(t2) – P(t1)] / ½ [P(t2) + P(t1)]: taux d’accroissement relatif calculé par rapport à
la population moyenne.
Td = [P(t2) – P(t1)] / P[1/2 (t1 + t2] taux d’accroissement relatif calculé par rapport à la
population en milieu de période.
* Remarque : lors que P(t) = a.t + b, les taux Tc et Td sont égaux.
Taux mathématique sur l’intervalle [t1 ; t2]
Te = [P(t2) - P(t1)] / (t2 - t1).
Soit l’intervalle [t, t+1], t exprimé en années :
Ta = P(t+1) – P(t) = accroissement absolu annuel
Tb = [P(t+1) – P(t)] / P(t) : taux d’accroissement relatif annuel calculé par rapport à la
population initiale.
Tc = [P(t+1) – P(t)] / ½ [P(t) + P(t+1)] : taux d’accroissement relatif annuel calculé par
rapport à la population moyenne.
Td = [P(t+1) – P(t)] / P [(t + 0,5] : taux d’accroissement relatif annuel calculé par
rapport à la population en milieu de période.
* Remarque : lors que P(t) = a.t + b, les taux Tc et Td sont égaux.
26
Exercices
Exercice 28.
***
Soit une population variant en fonction du temps t (t > 0) de la façon suivante
P(t) = a.t + P(0) avec a nombre réel quelconque.
1. Calculer le taux d’accroissement (mathématique) de la fonction P.
2. Que peut-on en conclure sur l’évolution de la population ?
3. Calculer le taux d’accroissement relatif annuel de P(t) par rapport à la population
initiale.
moyenne.
5. Calculer le taux d’accroissement relatif annuel de P(t) par rapport à la population en
milieu de période. Commenter.
Exercice 29.
***
Soit une population variant en fonction du temps t (t > 0) de la façon suivante
P(t) = a.t2 + P(0) avec a nombre réel quelconque.
1. Calculer le taux d’accroissement (mathématique) de la fonction P.
2. Que peut-on en conclure sur l’évolution de la population ?
initiale.
moyenne.
5. Calculer le taux d’accroissement relatif annuel de P(t) par rapport à la population en
milieu de période. Commenter.
27
Pierre V. Tournier
FONCTIONS NUMÉRIQUES : ÉTUDE GÉNÉRALE
1. Limites
1. Définition
f définie sur I = ] xo - h ; xo + h [ - { xo}, h > 0
lim f(x) = λ
x → xo
signifie : ∀ε > 0 ∃ r > 0, x ∈ I , x - xo < r ⇒ f(x) -λ  < ε
2
Exemple : f(x) = (x – 1) / (x -1)
2. Limite et continuité
f continue en xo ⇔ lim f(x) = f(xo)
x → xo
2
Exemples : f(x) = 2.x +1 ; f(x) = (2.x +1 ) / (x + 1)
3. Limite à gauche, limite à droite
limite à gauche : lim f(x) = λ
x → xo
signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , xo - r < x < xo ⇒ f(x) -λ  < ε
limite à droite : lim f(x) = λ
+
x → xo
signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , xo < x < xo + r ⇒ f(x) -λ  < ε
Exemple : Soit la fonction définie de la façon suivante
Si x < - 1 ou x > - 1 alors f(x) = x ; si - 1 < x < +1 alors f(x) = - x.
Détermination des limites quand x tend 1 ou – 1.
28
4. Opérations sur les limites
Théorème 1. : lim f(x) = α, lim g(x) = β alors lim f+g (x) = α + β
x → xo
x → xo
x → xo
Théorème 2. : lim f(x) = α, lim g(x) = β alors lim f.g (x) = α . β
x → xo
x → xo
x → xo
Théorème 3. : lim f(x) = α, a ∈ R,
x → xo
alors lim a.f.(x) = a.α
x → xo
Théorème 4. : lim f(x) = α, lim g(x) = β avec β ≠ 0
x → xo
x → xo
alors lim f/g (x) = α / β
x → xo
5. Extensions de la notion de limite
lim f(x) = + ∞
x → xo
signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x - xo < r ⇒ f(x) > ε
lim f(x) = - ∞
x → xo
signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x - xo < r ⇒ f(x) < - ε
lim f(x) = λ
x→+∞
signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x > r ⇒ f(x) -λ  < ε
lim f(x) = λ
x→-∞
signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x < - r ⇒ f(x) -λ  < ε
lim f(x) = + ∞
x →- ∞
signifie : ∀ε > 0 , ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x < - r ⇒ f(x) > ε
lim f(x) = - ∞
x→+∞
signifie : ∀ε > 0 , ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x > r ⇒ f(x) < - ε
6. Extensions des théorèmes
Théorème 1. : si lim f(x) = + ∞, lim g(x) = + ∞ alors lim f+g(x) = + ∞
x → xo
x → xo
x → xo
+
même résultats si x → xo , x → xo , x → + ∞, x → - ∞
formulation simplifiée : (+ ∞) + (+ ∞) = (+ ∞)
(- ∞) + (- ∞) = (- ∞)
a ∈ R, a + (+ ∞) = (+ ∞)
a ∈ R, a + (- ∞) = (- ∞)
29
Théorème 2.
(+ ∞) . (+ ∞) = (+ ∞)
(- ∞) . (- ∞) = (+ ∞)
(- ∞) . (+ ∞) = (- ∞)
a > 0, a . (+ ∞) = (+ ∞)
a > 0, a . (- ∞) = (- ∞)
a < 0, a . (+ ∞) = (- ∞)
a < 0, a . (- ∞) = (+ ∞),
Théorème 3.
+
1/(+ ∞) = 0
1/(- ∞) = 0
+
1/0 = (+ ∞)
1/0 = (- ∞)
30
7. Interprétation géométrique
a ∈ R, b ∈ R
Lim f(x) = + ∞ ( ou - ∞)
x→a
+
(ou x → a , a )
2° Lim f(x) = b
x→+∞
(ou x → - ∞ )
3° Lim f(x) = b
x→a
+
(ou x → a , a )
4° Lim f(x) = + ∞ ( ou - ∞)
x→+∞
(ou x → - ∞ )
4.1 Lim f(x) / x = 0
x→+∞
(ou x → - ∞ )
4.2 Lim f(x) / x = + ∞ ( ou - ∞)
x→+∞
(ou x → - ∞ )
4.3 Lim f(x) / x = a (a ≠ 0)
x→+∞
(ou x → - ∞ )
1°
Asymptote d’équation x = a
Asymptote d’équation y = b
point limite P (a, b)
pas de conclusion immédiate
branche parabolique de direction Ox
branche parabolique de direction Oy
Asymptote d’équation y = a.x + b
si lim [f(x) - a.x] = b
x→+∞
(ou x → - ∞ )
Exercices
Exercice 30.
Calculer les limites de la fonction P aux bornes de son ensemble de définition :
2
P(t) = t + t + 1.
Exercice 31.
Calculer les limites de la fonction fa aux bornes de son ensemble de définition :
fa (x) = a / x. Que peut-on en conclure pour la représentation graphique ?
Exercice 32.
Calculer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition :
f (x) = x / (1 - x) . Que peut-on en conclure pour la représentation graphique ?
31
2. Dérivées
1. Fonction dérivable en xo, dérivée
Définition : soit un point xo d’un intervalle ]a ; b[ de R et une fonction f définie sur
]a ; b[, xo + h étant un autre point de ]a ; b[, on considère la fonction de h :
T(h) = [f(xo + h) - f(xo)] / h encore appelée « taux d’accroissement ».
Si T admet une limite quand h tend vers 0, cette limite porte le nom de dérivée de f en
xo ; f(x) est dérivable en xo. On note :
lim T(h) = f ’(xo) = Dxf(xo) = df/dxo
h→ 0
Théorème : toute fonction dérivable en xo est continue en xo. La réciproque est fausse
(exemple f(x) = | x |)
2. Dérivées des fonctions usuelles
f(x) = a
f(x) = a.x
2
f(x) = a.x
f(x) = a/x
xo ∈ R, f ’(xo) = 0
xo ∈ R, f ’(xo) = a
xo ∈ R, f ’(xo) = 2a. xo
*
2
xo ∈ R , f ‘(xo) = - a/ xo
3. Dérivée à gauche, dérivée à droite
f dérivable à droite en xo : lim [f(xo+ h) - f(xo)] / h = α
+
h→ 0
f dérivable à gauche en xo : lim [f(xo+ h) - f(xo)] / h = β
h→ 0
f dérivable en xo : fd’(xo) = fg’(xo) = f ’(xo)
Exemple : f(x) = | x - 1|.
4. Fonction dérivée
f dérivable sur ]a ; b[ : ∀x ∈ ]a ; b[, f est dérivable en x.
f ’: ]a ; b[ → R
x → f ‘(x)
fd’(xo) = α
fg’(xo) = β
32
5. Opérations sur les fonctions dérivées
f(x) = u(x) + v(x)
f(x) = u(x).v(x)
f(x) = λ. u(x) avec λ.∈ R
f(x) = u(x) / v((x)
f(x) = 1/u(x)
f(x) = u(x)n
f ‘(x) = u’(x) + v’(x)
f ‘(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)
f ’(x) = λ. u’(x)
2
f ‘(x) = [u’(x).v(x) - u(x).v’(x)] / v(x)
2
f ’(x) = - u’(x) / u(x)
n-1
f(x) = n u’(x). u(x)
6. Interprétation géométrique de la dérivée
Si une fonction est dérivable au point x0, sa courbe admet une droite tangente en ce
point et cette droite fait avec l’axe des x un angle µ tel que tg µ = f ‘(x0).
Cas particulier : si la dérivée est nulle, la tangente est parallèle à l’axe des x.
Exercices
Exercice 33.
Soit la fonction f(x) = x + | x - 1|. Montrer que f n'est pas dérivable au point x0 = 1.
Exercice 34.
Calculer les fonctions dérivées suivantes (on indiquera, dans chaque cas, le domaine de
dérivabilité de la fonction) :
3
f(x) = 1/3. x - 4.x + 1
2
f(x) = (3.x - 1) + 1 / (x - 3)
f(x) = (1 + 2.x) / (1 - 2.x)
3. Applications
1. Théorème sur le sens de variation d’une fonction
a. Si une fonction est dérivable sur l’intervalle ]a ; b[ et si sa dérivée est positive ou
nulle sur cet intervalle (sans être nulle en tous les points d’un intervalle ouvert de ]a ;
b[), alors f est strictement croissante sur ]a ; b[.
b. Si une fonction est dérivable sur ]a ; b[ et si sa dérivée est négative ou nulle sur cet
intervalle (sans être nulle en tous les points d’un intervalle ouvert de ]a ; b[), alors f est
strictement décroissante sur ]a ; b[.
c. Si une fonction est dérivable sur ]a ; b[ et si sa dérivée est nulle en tous points de
]a ; b[, alors f est constante sur ]a ; b[.
33
2. Extremum d’une fonction
Théorème 1. : si f est dérivable sur un intervalle centré en xo et si f présente un
extremum relatif en xo, on a f ’(xo) = 0.
Théorème 2. : si f est dérivable sur un intervalle centré en xo et si la dérivée de f
s’annule en xo en changeant de signe, f admet un extremum relatif en xo.
3. Point d’inflexion
La courbe représentative de f admet un point d’inflexion en xo si et seulement s’il existe
un intervalle ] xo - α ; xo + α[ sur lequel f est dérivable deux fois et si f ’’(x) s’annule en
xo avec changement de signe.
3
4
Exemple et contre exemple : f(x) = x admet un point d‘inflexion, f(x) = x n’admet pas
point d‘inflexion alors que f ‘’(x) s’annule pour x = 0
4. Plan d’étude d’une fonction
1. Ensemble de définition
2. Continuité
3. Parité, ensemble d’étude (s’il y a lieu).
4. Limites aux bornes de l’ensemble de définition (ou de l’ensemble d’étude)
5. Interprétation géométrique des limites
6. Sens de variation (à l’aide de la dérivée)
7. Tableau de variation
8. Allure de la courbe
9. Points particuliers (entre autres points d’inflexion s’il y a lieu).
Exercices
Exercice 35.
On suppose que la probabilité de se marier à l'âge x, notée p(x) peut être assimilée à la
-4
2
fonction suivante : p(x) = 10 . (- 2.x + 120.x - 1 350)
Calculer les valeurs de x pour lesquelles p s'annule. Représenter la fonction p.
Exercice 36.C
2
Etudier la fonction f(x) = k.(x -a).(b - x) où k, a et b sont trois constantes telles que k >
0 et a < b.
34
Exercice 37.
3
Etudier la fonction f(x) = 1/3. x - 4.x + 1. On déterminera, en particulier, les
coordonnées du point d'inflexion. Représenter graphiquement cette fonction dans un
repère. Construire la tangente à la courbe représentative de f au point d'inflexion.
Exercice 38.C
4
Etudier la fonction f(x) = 1/4.x - 1/2.x2. Représenter graphiquement la fonction f.
Admet-elle un point d'inflexion ? Construire la tangente à la courbe de f au point
correspondant à x = 2.
Exercice 39.
Etude de la famille de fonction fa (x) = (1 + a.x) / a.x
Exercice 40. C
Etude de la famille de fonction fa (x) = ax / (1 - a.x)
Exercice 41. C
On considère la fonction f, de variable réelle x définie de la façon suivante :
si x ∈ ] - ∞ ; 1 [ alors f(x) = 0
2
si x ∈ [1 ; + ∞ [ alors f(x) = 1 - 1/x .
Représenter graphiquement f dans un repère cartésien. On précisera en particulier
l'allure de la courbe au voisinage de x = 1.
☛ La fonction f est la fonction cumulative d'une variable statistique dite de Pareto de
paramètre 2 et 1.
Exercice 42. C
***
Soit la famille de fonction ga (z) = 2.a.z / (2 + a.z) de variable z, paramétrée par a (à
chaque valeur de a correspond une fonction ga de variable z).
1. Représenter graphiquement la fonction correspondant à a = 0. Etudier la fonction
correspondant à a = 1. Représenter g1. On considère la fonction h définie par h(z) =
g1(z) - z. Calculer h(z) ; calculer la limite de h qand z tend vers zéro. Déduire de ce
résultat une valeur approchée de g1(z) quand z est voisin de zéro. Etudier les fonctions
ga pour a ≠ 0.
2. Dans une population stationnaire, le quotient de mortalité correspondant à un
intervalle d'âge donné [x ; x + a] est lié au taux de mortalité correspondant au même
intervalle par la fonction ga .Ainsi q (m) = 2.a.m / (2 + a.m), le taux est noté m, le
quotient q et l'amplitude de l'intervalle a.
35
Si a = 1, quel résultat pratique peut-on déduire de l'étude de la fonction h de la question
1?
Calculer q correspondant à l'intervalle [15 ; 20] si l'on sait que le taux sur cet intervalle
est m = 1,07 p.1000
Exercice 43.
1/2
Etude de la fonction f(x) = (| x |) .
Corrections
36.
2
f(x) = k.(x -a).(b - x)
2
f ’(x) = k.[(b - x) + (x -a) 2.(-1) (b - x)] = k.(b - x) (b - x + 2a - 2x)
f ‘(x) = k. (b - x) (b + 2a - 3x)
k>0
a < b ⇒ 2a < 2b ⇒ 2a + b < 3b ⇒ (2a + b)/3 < b
-∞
X
b–x
b + 2a –
3x
f ’(x)
f(x)
+
+
(2a + b )/3

0
+
↑
-∞
0

+
-
b
0

↓
0
0
+∞
+
+∞
38.
4
f(x) = 1/4.x - 1/2.x2.
fonction paire I = [ 0 ; + ∞ [ + symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
3
f ’(x) = x - x = x (x + 1) (x -1)
X
X
x+1
x–1
f ’(x)
f(x)
0
0
+
+
↓
0
0
2
1


0
0
-1/4
1/2
+∞
+
+
+
+
↑
1/2
+∞
f ’’(x) = 3x - 1 = (3 x - 1) (3 x + 1)
1/2
1/2
f ‘’ s’annule pour x = 1/3 et x = - 1/3 en changeant de signe : 2 points d’inflexion.
40.
fa (x) = ax / (1 - a.x)
1. ∀x ∈ R, fo(x) = 0 ; la représentation graphique de fo est l’axe des x.
36
2. a ≠ 0, D = ] - ∞ ; 1/a [ ∪ ] 1/a ; + ∞ [
2
f ‘(x) = a / (1 - ax)
X
fa’ (x)
a<0
1/a

- ∞
↓
+∞

-∞
X
- ∞
+∞
-1
fa (x)
a>0
↓
fa (x)
-1
1/a
+

+∞
↑ 
-1
+∞
+
-1
-∞
↑
41.
si x ∈ ] - ∞ ; 1 [ alors f(x) = 0
2
si x ∈ [1 ; + ∞ [ alors f(x) = 1 - 1/x .
D=R
3
∀x ∈ ]1 ; + ∞ [, f ‘(x) = 2/x
2
Dérivée à droite au point xo = 1 : T(h) = [f(1+h) - f(1)] / h = (2 +h) / (1 + h)
lim T(h) = 2
h→ 0+
x
f ’(x)
f(x)
+∞
1
2
0
+
↑
1
42.
ga (z) = 2.a.z / (2 + a.z)
2
1. h(z) = g1(z) - z. = - z / (2 + z)
lim h(z) = 0
h→ 0
Si z est voisin de 0, g1(z) est pratiquement identique à z.
fonctions ga pour a ≠ 0.
T = 4a / (2 + az1)(2 + az2)
X
fa’ (x)
- ∞
2
fa (x)
a<0
-2/a
- 
+∞
↓

↓
-∞
+∞
X
- ∞
fa (x)
2
2
a>0
-2/a
+

+∞
↑

+∞
+
2
-∞
↑
2. Si a = 1 et m est petit (voisin de 0), alors q et m sont pratiquement égaux ; on peut
alors confondre taux et quotient .
37
Pierre V. Tournier
FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
1. Fonctions exponentielles
1. Définition
n
fa(n) = a , si a > 0, fa est une suite monotone sur N.
Pour a > 0, on peut prolonger cette fonction sur R de façon unique telle que l’on ait :
fa(x + y) = fa(x) . fa(y)
fa(0) = 1
On appelle cette fonction « fonction exponentielle de base a ». Elle est continue,
dérivable sur R.
∀ x ∈ R, fa(x) > 0
fa est une bijection de R dans ] 0 ; + ∞ [
x
notation : ∀ x ∈ R, fa(x) = a
x
y
x+y
a .a =a
x
x
x
(ab) = a . b
x y
xy
(a ) = a
2. Variations des fonctions exponentielles de base a (a >0)
x
a>1
: fa croissante sur R (exemple : f(x) = 2 )
x
0 < a < 1 : fa décroissante sur R (exemple f(x) = (1/2) )
a=1
: fa constante sur R
3. Limites
a > 1 : lim fa (x) = + ∞
x→ + ∞
0 < a < 1 : lim fa (x) = 0
x→ + ∞
lim fa (x) = 0
x→ - ∞
+
+
lim fa (x) = + ∞
x→ - ∞
38
4. Variations
a>1
0<a<1
- ∞
x
↑
fa (x)
0
+∞
+∞
+
- ∞
+∞
X
fa (x)
+∞
↓
0
Exemple : f(x) = 2
x
x
exemple : f(x) = (1/2)
5. Fonction exponentielle népérienne (de base e)
Théorème 1 : fa fonction exponentielle de base a, fa’(x) = fa(x) . fa’(0).
Théorème 2 : il existe une fonction fa unique telle que fa’(0) = 1; on la note exp (x).
Propriétés : exp x est définie sur R
exp (x + y) = exp x . exp y
exp x > 0
exp 0 = 1
(exp x)’ = exp x
x
Notation : exp (1) = e ; exp x = e ( e ≅ 2,718 donc e >1)
x
lim e = + ∞
x→ + ∞
x
x
lim e /x = + ∞ lim e = 0+
x→ + ∞
x→ - ∞
Dérivée de exp u(x) : [ exp u(x) ]’ = u’(x) . exp u(x)
Exercices
Exercice 44.
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
2
f(x) = (2.x + 3.x). exp x
2x
f(x) = x. e - 1
2x - 1
f(x) = x + e
Exercice 45.
x
Représenter graphiquement la fonction f(x) = 2.e - 1
Exercice 46.
x
Représenter graphiquement la fonction f(x) = 1 - e
+
39
Exercice 47.
***
2
f(x) = k. exp { - 0,5 [ (x - m)/s ] }, avec s > 0 et k > 0
Montrer que f admet un maximum absolu dont on déterminera la valeur en fonction de
k.
☛ la fonction f est la densité d'une variable statistique normale.
Exercice 48. C
***
2
Etude de f(x) = k exp (- 0,5 x ), k est un réel strictement positif. Représenter f (on
prendra 3 cm comme unité de longueur sur l'axe des x et 20 cm sur l'axe des y).
☛ la fonction f est la densité d'une variable statistique normale réduite.
Exercice 49. C
Etude de la fonction f(x) = 0,5 exp ( - | x | ). Représenter la fonction f (unité de longueur
sur les deux axes : 5 cm). Calculer les valeurs de f pour x = 0,5, 1 et 2.
-h
On admettra le résultat suivant : lim (e - 1)/h = - 1.
+
h→ 0
☛ la fonction f est la densité d'une variable aléatoire suivant la 1ère loi de Laplace.
Exercice 50. C
***
Etude de la fonction P(t) = k / [ 1 + exp (a - r.t) ]. On suppose que k, a et r sont des
constantes strictement positives.
Application numérique : on prendra k = 5, a = 3 et r = 2. Calculer P(t) pour t = - 1, 0, 1,
2 et 3. Représenter la fonction P dans un repère cartésien (unité de longueur sur chacun
des axes : 2 cm).
☛ la fonction P définit, en démographie mathématique, la « population logistique ».
Exercice 51.
Etude de la fonction f(x) = exp [ x / 1 + x ]. Représenter f : calculer en particulier les
valeurs de f pour x = - 6, - 2, - 1/2, 0, 1 et 4. Démontrer que la courbe de f admet un
point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées. Donner l'équation de la tangente
en ce point.
Exercice 52.
x
x
x
x
Etude de la fonction f(x) = [ e - e- ] / [ e + e- ]. On pourra montrer que f est une
fonction impaire. On déterminera, en particulier, les coordonnées du point d'inflexion.
Représenter graphiquement cette fonction dans un repère. Construire la tangente à la
courbe représentative de f au point d'inflexion.
40
2. Fonctions logarithmes
1. Définition
On appelle fonction logarithme de base e, la bijection réciproque de la fonction
exponentielle de base e (logarithme népérien).
x
y=e
⇔ x = Ln y
Ln x est définie sur ] 0, + ∞ [.
2. Propriétés
Ln 1 = 0, Ln e = 1
Ln x.y = Ln x + Ln y (x > 0, y > 0)
Ln x/y = Ln x - Ln y (x > 0, y > 0)
n
Ln x = n . Ln x (x > 0)
3. continuité, dérivabilité
Ln continue, dérivable sur ] 0, + ∞ [, (Ln x)’ = 1/x, [Ln u(x)]’ = u’(x) / u(x)
4. Limites
lim Ln x = + ∞
x→ + ∞
lim (Ln x) /x = 0
x→ + ∞
lim Ln x = - ∞
x→ 0+
5. Variations
Ln est une fonction strictement croissante sur ] 0, + ∞ [.
de plus 0 < x < 1 ⇒ Ln x < 0 et x > 1 ⇒ Ln x > 0
6. Logarithme de base a
a > 0, a ≠ 1 loga x = Ln x / Ln a
x
loga est la bijection réciproque de a .
41
Exercices
Exercice 53. C
***
Etude de la fonction f(x) = 0,5 . Ln [x / 1 - x]. f(x) est appelé le logit de x. Cette fonction
intervient dans la construction des tables de mortalité de Brass.
Montrer que la courbe de f admet un point d'inflexion I que l'on déterminera. Donner
l'équation de la tangente à la courbe au point I. Calculer logit (1/4) et logit (3/4).
Représenter graphiquement f (unité de longueur sur les deux axes : 5 cm).
Soit a ∈ [1/4 ; 3/4] ; déterminer une valeur approchée de logit (a). Appliquer cette
méthode pour a = 0,35.
Exercice 54.
Etude la fonction f(x) = Ln [ 2x / 2 + x ]. Représenter f : on calculera en particulier f(1),
f(2) et f(-3). Construire les tangentes aux points correspondant à x = 2 et x = - 3.
Exercice 55.
***
1. Soit la famille de fonctions fa (x) = a / Ln(1 + x)
Etudier les fonctions fa. Représenter la fonction f1. Pour cela calculer les valeurs
particulières correspondant à x = - 3/4, - 1/2, 1 et 3. Construire la tangente à la courbe
de f1 au point x = 1. Vérifier que la courbe admet un point d'inflexion I avec xI = e-2 - 1.
Calculer l'ordonnée de I et la pente de la tangente en ce point à la courbe (e2 = 7,4).
2. Soit P(t) une population variant à taux d'accroissement annuel constant. Démontrer la
t
relation suivante : P(t) = P(0) (1+r) où P(0) représente l'effectif de la population au
début de la période de référence, P(t) l'effectif après t années et r le taux d'accroissement
annuel (t entier). Montrer que le délai requis pour un doublement de la population noté d
est lié au taux d'accroissement annuel r par la relation suivante :
d(r) = Ln 2 / Ln (1 + r), r strictement positif
En admettant que Ln (1 + r) est approximativement égal à r lorsque r est petit devant 1,
calculer d(0,01), d(0,02), d(0,03) et d(0,04).
Exercice 56.
***
Déterminer le temps de doublement d'une population dont l'accroissement relatif annuel
est supposé constant et égal à 1 %. On donne Ln 2 = 0,693 et Ln 1,01 = 0,00995.
42
3. Applications
Exercices
Exercice 57.
***
La population pénale métropolitaine s'élevait à 26 032 détenus au 1er janvier 1975 et à
33 315 détenus au 1er janvier 1979. Donner une évalution prévisionnelle de la
population pénale au 1er janvier 1980 à l'aide d'une extrapolation linéaire.
Calculer le taux d'accroissement annuel moyen de cette population pour la période
« 1.1.75 - 1.1.79 ». En déduire une seconde évaluation de la population au 1er janvier
1980 en supposant qu'elle varie à taux d'accroissement annuel constant.
En conservant cette hypothèse, déterminer la date à partir de laquelle cette population
dépasserait 40 000 unités.
Exercice 58. C
***
Montrer que l'évolution en fonction du temps d'une population variant à taux
d'accroissement relatif annuel constant peut être décrite par la relation P(t) = A.exp B.t.
On précisera la signification des paramètres A et B.
Exercice 59. C
***
Soit la famille de fonction fa (x) = exp [ - x + (a-1). Ln x ], avec a > 0.
1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions fa.
2. Etude de la fonction f1. Calculer f1(x) pour x = 1/2, 1 et 2. Déterminer la limite de
’
f1 (x) quand x tend vers 0+. Construire la courbe de f1 (unités : 5 cm).
3. Etude des fonctions fa avec 0 < a < 1. Calculer les limites de ces fonctions aux bornes
de l'ensemble de définition. Montrer que ces fonctions sont strictement décroissantes.
4. Etude des fonctions fa avec a > 1. Montrer que fa admet un maximum que l'on
déterminera.
☛ les fonctions fa permettent de définir les fonctions eulériennes de seconde espèce
utilisées en statistique.
Corrections
48.
2
f(x) = k exp (- 0,5 x ).
Df = R, f paire : étude sur I = [0 ; + ∞ [ + symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
2
f ‘(x) = k (-x). exp (- 0,5 x ) : sur Df f ‘(x) < 0, donc f décroissante.
2
f ’’(x) = - k (1 - x)(1 + x) exp (- 0,5 x )
sur [0 ; + ∞ [ , f ’’(x) = 0 pour x = 1 avec changement de signe en 1.
Point d’inflexion I, xI = 1, yI = k exp(- 0,5) = 0,24, f ‘(xI) = - k exp(- 0,5) = - 0,24.
43
X
f ’(x)
f(x)
0
0
k
+∞
↓
0
+
49.
f(x) = 0,5 exp ( - | x | ).
Df = R, f paire : étude sur I = [0 ; + ∞ [ + symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
sur I, f(x) = 0,5 exp (- x)
si x ∈ ] 0 ; + ∞ [ f ‘(x) = - 0,5 exp (- x), f ‘(x) < 0, f décroissante
f(0) = 0,5
dérivabilité de f en xo= 0
-|h|
T(h) = [f(h) - f(0)] / h = 0,5.(e - 1)/h
lim T(h) = - 0,5
+
h→ 0
f ‘d(0) = - 0,5
50.
P(t) = k / [ 1 + exp (a - r.t) ]. k, a et r sont des constantes strictement positives.
D=R
2
P ‘(t) = k.r exp (a - r.t) / [1 + exp(a-r.t)] , P ‘(t) > 0.
2
4
P’’(t) = - kr .exp (a - r.t) [1 + exp(a - r.t)][1 - exp(a - r.t)] / [1 + exp(a - r.t)]
P’’(t) = 0 ⇔ exp(a - r.t) = 1 ⇔ exp(a - r.t) = exp 0 ⇔ a - r.t = 0 ⇔ t = a/r
P’’(t) s’annule pour t = a/r avec changement de signe.
Point d’inflexion I : xI = a/r, yI = k/2, f ‘(xI) = k.r/4
53.
f(x) = 0,5 . Ln [x / 1 - x].
Df = {x ∈ R / x/(1-x) > 0 } = ] 0 ;1 [
2
f ‘(x) = 0,5. [1/(1 - x) ].[ (1 - x)/x] , f ’(x) > 0
2 2
f ’’(x) = 0,5. (-1 + 2x)/(x - x )
f ’’(x) s’annule pour x = 0,5 en changeant de signe.
Point d’inflexion I : xI = 0,5, yI = 0, f ‘(xI) = 2
Equation de la tangente au point d’inflexion : y = 2x - 1
X
f ’(x)
f(x)
0

- ∞
+
↑
Soit a ∈ [1/4 ; 3/4] ; valeur approchée de logit (a) : logit (a) = 2a - 1.
1

+ ∞ 
44
58.
P(t) = A.exp B.t
t
P(t) = P(0)(1 + a)
t
y = (1 + a)
t
Ln y = Ln (1 + a)
Ln y = t.Ln (1 + a)
exp [Ln y] = exp [t.Ln (1 + a)]
y = exp [t.Ln (1 + a)]
P(t) = P(0) exp [t.Ln (1 + a)] = A.exp B.t
avec A = P(0) et B = Ln (1 + a)
59.
fa (x) = exp [ - x + (a-1). Ln x ], avec a > 0.
1. Dfa = ] 0 ; + ∞ [
2. f1(x) = exp (-x)
3. et 4.
f ’a (x) = [- 1 + (a-1) / x] .exp [ - x + (a-1). Ln x ],
f ’a (x) = 0 ⇔ - 1 + (a-1) / x = 0 ⇔ - x + (a-1) = 0 ⇔ x = a - 1
1er cas : 0 < a < 1
a - 1∉ Dfa, donc f ’a (x) < 0
2e cas : a > 1
a - 1 ∈ Dfa , donc f ’a (x) = 0 pour x = a - 1.
0<a<1
X
fa’ (x)
fa (x)
0

+∞
a>1
+∞
-
↓
X
fa’ (x)
fa (x)
0
+
0

+
↑
a-1
0
ym
+∞
-
↓
45
Cahiers de Mathématiques n°6
Pierre V. Tournier
RÉVISIONS DE LA PARTIE A
Exercice 60. C
***
Expliciter les différentes étapes que permettent de passer de la notion de suite
x
x
géométrique aux fonctions fa(x) = a , (avec a > 0), puis f(x) = e et enfin f(x) = Ln x.
Exercice 61. C
***
Dans le désordre…
Soit P une population variant en fonction du temps t ( t ≥ 0). Classer ces différents
modèles d’évolution où a, b, k, r, A et B représentent des constantes. On indiquera,
dans chaque cas, le sens de ces paramètres.
Modèle 1. [P(t2) – P(t1)] /[ t2 – t1] = a
Modèle 2. P(t) = a.t + b
Modèle 3. ∆ P / ∆ t = a
2
Modèle 4. P(t) = a.t + b.t + P(0)
Modèle 5. P(t) = a.t + P(0)
t
Modèle 6. P(t) = P(0) (1 + k)
Modèle 7. P(t+1) = P(t) + a
Modèle 8. P(t+1) – P(t) = a
t
Modèle 9. P(t) = P(0).a
Modèle 10. [P(t+1) – P(t)] / P(t) = k
Modèle 11. P(t+1) = a P(t)
46
Modèle 12. P(t) = A. exp (B.t)
Modèle 13. P(t) = k / [ 1 + exp (a - r.t) ]. Avec k, a et r strictement positifs
Modèle 14. P(t) = 1 / (t +a), avec a > 0
Corrections
60.
Expliciter les différentes étapes que permettent de passer de la notion de suite
x
x
géométrique aux fonctions fa(x) = a , (avec a > 0), puis f(x) = e et enfin f(x) = Ln x.
Etape 1. - Suites numériques
u: N→R
n → u(n) ; on note aussi u(n) = un terme de rang n de la suite
Etape 2.- Suites géométriques
∀ n ∈ N, u(n + 1) = a. u(n), a raison de la suite.
n
Propriété : ∀ n ∈ N, u(n) = u(0) a
Si u(0) > 0 et a > 1, u(n) est strictement croissante
Si u(0) > 0 et 0 < a < 1, u(n) est strictement décroissante
u suite géométrique : ∀n∈ N, ∀p∈ N u(n) . u(p) = u(0) . u(n + p)
Etape 3. - Suites exponentielles
Soit u une suite géométrique. Si u (0) = 1, u est appelée « suite exponentielle »,
n
u(n) = a
les suites exponentielles sont les seules suites vérifiant u (n).u (p) = u (n + p)
n
si a > 1, u(n) est strictement croissant ; exemple : u(n) = 2
n
si 0 < a < 1, u(n) est strictement décroissante ; exemple u(n) = 1/2
Etape 4. - Fonction exponentielle (de base a > 0 )
n
fa(n) = a , si a> 0, fa est une suite monotone sur N.
Pour a > 0, on peut prolonger cette fonction sur R de façon unique telle que l’on ait :
fa(x + y) = fa(x) . fa(y) ; fa(0) = 1
On appelle cette fonction « fonction exponentielle de base a ». Elle est continue,
dérivable sur R.
∀ x ∈ R, fa(x) > 0 ; fa est une bijection de R dans ] 0 ; + ∞ [
x
notation : ∀ x ∈ R, fa(x) = a
47
Etape 5. – Fonction népérienne (de base e)
fa fonction exponentielle de base a, fa’(x) = fa(x) . fa’(0).
x
Il existe une fonction fa unique telle que fa’(0) = 1; on la note exp (x) ou e
e est un nombre positif (valeur approchée : 2,7)
Etape 6. - Fonction logarithme de base e
La fonction logarithme de base e est la bijection réciproque de la fonction exponentielle
de base e (logarithme népérien).
x
y=e
⇔ x = Ln y
61.
Modèle linéaire
Modèle 1. [P(t2) – P(t1)] / [t2 – t1] = a ; a accroissement absolu annuel, coefficient
directeur de la droite représentative de P(t).
Modèle 2. P(t) = a.t + b ; a accroissement absolu annuel, coefficient directeur de la
droite ; b population initiale (pour t = 0), b = P(0).
Modèle 3. ∆P / ∆t = a ; a accroissement absolu annuel, coefficient directeur de la droite.
Modèle 5. P(t) = a.t + P(0) ; P(0) population initiale (pour t = 0),a accroissement
absolu annuel, coefficient directeur de la droite.
Modèle 7. P(t+1) = P(t) + a ; a raison de la suite arithmétique, accroissement absolu
annuel.
Modèle 8. P(t+1) – P(t) = a ; a raison de la suite arithmétique, accroissement absolu
annuel.
Modèle exponentiel
t
Modèle 6. P(t) = P(0) (1 + k) ; P(0) population initiale (pour t = 0), k accroissement
relatif annuel calculé par rapport à la population en début d’intervalle (voir modèle 10.)
t
Modèle 9. P(t) = P(0).a ; P(0) population initiale (pour t = 0), a raison de la suite
géométrique (voir modèle 11).
Modèle 10. [P(t+1) – P(t)] / P(t) = k ; k accroissement relatif annuel calculé par rapport
à la population en début d’intervalle [P(t)].
48
Modèle 11. P(t+1) = a P(t), a raison de la suite géométrique
Modèle 12. P(t) = A. exp (B.t) ; A = P(0), population initiale (t = 0) et B = Ln (1 + k),
avec k accroissement relatif annuel calculé par rapport à la population en début
d’intervalle (voir modèle 10.)
NB. Relation entre k accroissement relatif annuel calculé par rapport à la population en
début d’intervalle (voir modèle 10.) et a raison de la suite géométrique (voir modèle
11.) : a = 1 + k
Autres modèles
2
Modèle 4. P(t) = a.t + b.t + P(0) ; voir exercice n°14.
Modèle 13. P(t) = k / [1 + exp (a - r.t) ] ; k représente la palier que P(t) ne peut pas
dépasser (asymptote y = k), et a/r est l’abscisse du point d‘inflexion.
Modèle 14. P (t) = 1 / (t +a) ;
a = 1 / P(0).
49
Ensembles et fonctions
Exercice 62.
Expliciter le sens de la proposition suivante : ∀ x ∈ E / ∃ y ∈E, y > x.
Cette proposition est-elle vraie ?
Exercice 63.
Soit E = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}. Donner une définition en compréhension de E. Soit A =
{1, 3, 6}. Définir B complémentaire de A dans E. Soit A = {1, 3, 6} et C = {7, 8, 9}.
Calculer A ∩ C.
Exercice 64.
Soit E un ensemble et P = {A1, A2, A3}, ensemble de trois parties de E. Indiquer une
condition pour que P ne soit pas une partition de E.
Exercice 65.
Soit f une fonction numérique de variable réelle. A quelle condition f est-elle une
application ?
Exercice 66.
Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F. A quelle condition f est-elle
une injection de E dans F ?
Exercice 67.
S oit A = {1, 2, 3} et B = {1, 2}. Soit f la fonction de A dans B, définie par son
graphe F = {(1, 2), (2, 1), (3, 1).} f est-elle une surjection ?
Soit H le graphe d’une fonction h, de A dans B, avec H = {(1, 1), (2,1), (3, 2)}. h
est-elle surjective ?
Soit K le graphe d’une fonction k, de A dans B, avec K = {(1,2)} k est-elle
injective ?
Suites numériques
50
Exercice 68.
Que peut-on dire de la suite u (n) = 1/ n ?
Exercice 69.
Quelle est la limite de la suite u (n) = n / (n+1) quand n → + ∞ ?
Exercice 70.
Soit P (t) une population pour laquelle la quantité [P (t+1) – P (t)] / P (t) est constante
et égale à λ, sur une période donnée, la variable t étant exprimée en années. Que peuton dire de l’évolution de P ? Que peut-on dire de λ ?
Exercice 71.
On suppose qu’une population varie à accroissement absolu annuel constant de 1000
habitants. Soit P(0) = 10 000, population prise comme valeur initiale. Calculer l’effectif
de la population au bout de 10 ans noté P(10).
Fonctions numériques élémentaires
Exercice 72.
Calculer le taux d’accroissement mathématique de la fonction f(x) = 1 / x.
Exercice 73.
Soit f(x) = 1/x + 1/(2x - 1). Donner l’ensemble de définition de f.
Exercice 74.
La fonction f(x) = x2 + x + 1 est-elle paire ?
Exercice 75.
La fonction f(x) = x2 est-elle croissante sur R ?
51
Fonctions numériques : étude générale
Exercice 76.
Que signifie l’écriture suivante fa (x) = ax2 + 1/a ?
Exercice 77.
Montrer, à partir de la définition de la dérivabilité, que la fonction f(x) = x2 est dérivable
sur son ensemble de définition.
Exercice 78.
Soit la fonction f(x) = (2x – 1) / (- x + 2). Calculer les limites de f aux bornes de son
ensemble de définition et interpréter géométriquement les résultats.
Exercice 79.
Soir la famille de fonction f’(x) = k (x - a) (b – x)2 de variable x, paramétrée par k, a et
b, avec k> 0 et a < b. Soit C la courbe représentative de f dans un repère. Montrer que
C coupe l’axe des x en deux points M et N dont on déterminera les coordonnées.
Exercice 80.
Montrer que la fonction f(x) =│x - 1│ n’est pas dérivable sur l’ensemble des réels.
Exercice 81.
Montrer, par le calcul, que f (x) = x4 + x + 1 n’admet pas de point d’inflexion (on
rappellera comment, géométriquement, se présente un point d’inflexion).
Exercice 82.
Calculer la fonction dérivée de la fonction f (x) = (1 + 3x) / (1 - x).
Exercice 83.
Calculer la fonction dérivée de f(x) = (-5x +1) 4 - 1 / (4x +1) + 3 x5
Donner le domaine de dérivabilité.
52
Exercice 84.
Montrer que la fonction f(x) = 3 x2 - x + 1 admet un minimum absolu dont on
précisera la valeur.
Exercice 85.
Montrer, par le calcul, que la courbe représentative de la fonction f(x) = x4 n’admet pas
de point d’inflexion.
Fonctions exponentielles et logarithmes
Exercice 86.
A quelle condition la suite exponentielle u(n) = an est-elle strictement croissante ?
Exercice 87.
Comment définit-on la fonction exponentielle népérienne (de base e) ?
Exercice 88.
Quel est l’ensemble de définition de la fonction 1 /( ex – 1) ?
Exercice 89.
Calculer les limites de la fonction f (x) = exp [ - x / 1 - x ] aux bornes de son ensemble
de définition. Donner une interprétation géométrique des résultats.
Exercice 90.
Etudier les variations de la fonction f (x) = Ln [x / 1-x].
Exercice 91.
Soit la fonction f(x) = k exp (- 0,5 x2). Calculer les limites de f aux bornes de son
ensemble de définition et interpréter les résultats.
53
Exercice 92.
Montrer que la fonction f(x) = 0,5 .Log [x / (1 - x)] est croissante sur son ensemble de
définition.
54
55
PARTIE B.
Calcul différentiel, calcul intégral et algèbre linéaire (espaces vectoriels,
applications linéaires, matrices)
56
57
Sommaire
Cahier n°1. Compléments de calcul différentiel……………………………...
59
1. Rappels………………………………………………………………………...
2. Développement d’une fonction en série……………………............................
59
61
Cahier n°2. Eléments de calcul intégral……………………...........................
66
1. Primitives d’une fonction……………………………………………………...
2. Notion d’intégrale……………………………………………………………..
3. Extensions de la notion d’intégrale simple……………………………………
66
70
81
Cahier n°3. Les espaces vectoriels…………………………………………….
85
1. Définitions……………………………………………………………………..
2. Combinaisons linéaires et sous-espaces vectoriels…………............................
3. Applications linéaires et équations linéaires……………..................................
85
87
92
Cahier n°4. Eléments de calcul matriciel……………………. ……………….
99
1. Définitions……………………………………………………………………..
2. Opérations sur les matrices………………………………….............................
3. Matrice d’une application linéaire……………………………………………..
4. Changement de base et matrice de passage……………………………………
5. Résolution des systèmes d’équations linéaires ………………………………..
6. Diagonalisation ………………………………………………………………..
99
100
105
106
108
108
Révisions Cahiers n°3 et n°4……………………………………………………
113
Cahier n°5. Sujets de partiels…………..……………………. ……………….
120
Référence bibliographique
Les exercices n°18, n°24-27 sont empruntés à : Duchêne (J) et Vilquin (E),
Mathématiques pour démographes, rappels théoriques - exercices résolus, Université
catholique de Louvain, Institut de démographie, académia 25/115 Grand’Rue, 1348
Louvain-la-Neuve, Belgique.
58
59
Pierre V. Tournier
COMPLÉMENTS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL
1. Rappels
1. Fonction dérivable en xo, fonction dérivée
Définition : soit un point xo d’un intervalle ]a ; b[ de R et une fonction f définie sur
]a ; b[, xo + h étant un autre point de ]a ; b[, on considère la fonction de h :
T(h) = [f(xo + h) - f(xo)] / h encore appelée « taux d’accroissement » de la fonction f.
Si T admet une limite quand h tend vers 0, cette limite porte le nom de dérivée de f en
xo ; f(x) est dérivable en xo. On note :
lim T(h) = f ’(xo)
h→ 0
2. Fonction dérivée
f dérivable sur ]a ; b[
<= > ∀x ∈ ]a ; b[, f est dérivable en x.
f ’: ]a ; b[ → R
x → f ‘(x)
3. Fonctions dérivées des fonctions usuelles
f(x) = a
f(x) = a.x
2
f(x) = a.x
f(x) = a / x
f(x) = ex
f(x) = Ln x
x ∈ R, f ’(x) = 0
x ∈ R, f ’(x) = a
x ∈ R, f ’(x) = 2 a x
*
x ∈ R , f ‘(x) = - a / x
x ∈ R, f ’(x) = ex
x ∈ R+*, f ’(x) = 1/x
2
60
4. Opérations sur les fonctions dérivées
f(x) = u(x) + v(x)
f(x) = u(x).v(x)
f(x) = λ. u(x) avec λ∈ R
f(x) = u(x) / v((x)
f(x) = 1/u(x)
f(x) = u(x)n
f(x) = goh(x)
f ‘(x) = u’(x) + v’(x)
f ‘(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)
f ’(x) = λ. u’(x)
2
f ‘(x) = [u’(x).v(x) – u(x).v’(x)] / v(x)
2
f ’(x) = - u’(x) / u(x)
n-1
f ’(x) = n u’(x). u(x)
f ’(x) = g’[h(x)] . h’(x)
Voir exercices n°1 et n°2
5. Dérivée d’une fonction polynomiale
Une fonction polynomiale de degré n ( n ∈ N) est définie pour tout x ∈ R par :
f(x) = an.xn + an-1. xn-1 + ... + a1.x + ao
Les ai sont des constantes réelles et an ≠ 0
i=n
f(x) = ∑ ai.xi . La dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées ,
i=0
i=n
f ‘(x) = ∑ ( ai.xi ) = ∑ i. ( ai.xi - 1 )
i=0
f ‘(x) = n .an .xn-1 + (n – 1) an-1. xn-2. + ... + a1
6. Différentielle d’une fonction dérivable
Autre formulation de la dérivabilité : considérons deux réels x et x +∆ x, aussi proche
que l’on veut l’un de l’autre, la dérivée de f(x) au point x peut être définie comme la
limite du rapport
[ f (x + ∆ x) – f(x) ] / ∆ x quand ∆ x tend vers 0.
On appelle différentielle d’une fonction dérivable f(x) le produit de sa dérivée f ‘(x) par
un accroissement aussi petit que l’on veut de la variable, ∆ x.
Notation provisoire de la différentielle de f : df(x) = f ‘(x). ∆ x.
Cas particulier : f(x) = x, alors f ‘(x) = 1. df(x) = dx = ∆ x.
df(x) = f ’(x) . dx
ou encore f ‘(x) = df(x) / dx.
La dérivée d’une fonction par rapport à une variable est donc le rapport de la
différentielle de cette fonction à la différentielle de la variable.
61
2. Développement d’une fonction en série
Dans certaines situations, il peut être utile de substituer à une fonction non polynomiale
une fonction polynomiale qui n’en diffère que par une marge d’erreur d’approximation
aussi petite que l’on veut.
Soit f(x) une fonction dérivable
Par définition, f’’(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h
h→0
Si h est petit, on peut écrire : f ’(x) ≈ [f(x + h) - f(x)] / h
Ou bien : f (x+h) ≈ f(x) + h . f ’(x).
Pour x = 0, f (h) ≈ f(0) + h . f ’(0).
Développement en série de Taylor
Si f(x) est dérivable n fois, on obtient le développement en série de Taylor d’ordre n :
quand h tend vers 0 :
f (x+h) ≈ f(x) + h. f ‘(x) + [ h2 /2! ] f ”(x) + ... + [ hn /n! ] f (n) (x)
ou h ! = h . (h-1).(h-2) .... 3.2.1. et f (n) (x) est la dérivée d’ordre n de f(x).
Développement en série de Mac-Laurin
Dans le cas particulier où x = 0, on obtient le développement en série de Mac-Laurin
d’ordre n, quand h tend vers 0.
f (h) ≈ f(0) + h. f ‘(0) + [ h2 /2! ] f ”(0) + ... + [ hn /n! ] f (n) (0).
Exemples : voir exercices n°3 et suivants
Exercices
Exercice 1. C
Calculer la fonction dérivée de la fonction suivante à l’aide du théorème sur la dérivée
de la composée de deux fonctions.
f(x) = exp u(x)
où u est une fonction dérivable quelconque.
Exemple : f(x) = exp [x2 + 1]
62
Exercice 2. C
Calculer la fonction dérivée de la fonction suivante à l’aide du théorème sur la dérivée
de la composée de deux fonctions.
f(x) = Ln u(x)
où u est une fonction dérivable quelconque.
Exemple : f(x) = Ln [x2 +1]
Exercice 3. C
1. Calculer le développement en série de f(x) = (1+x)4 d’ordre r = 1, quand x est proche
de 0.
de 0.
de 0. Commenter.
4. Développement en série de (1 + x)n d’ordre r avec r < n, quand x est proche de 0.
Exercice 4. C
Développement en série de f(x) = (1 – x)n d’ordre r, avec r < n, avec x est proche de 0.
Exercice 5. C
Développement en série de f(x) = 1 / (1 + x) d’ordre n, avec x est proche de 0.
Exercice 6. C
Quelle erreur relative commet-on en prenant comme approximation de 1 / (1 +x),
1–x?
Exercice 7. C
Développement en série de ex d’ordre n, avec x est proche de 0.
Corrections
1.
f(x) = exp u(x)
x → u(x) → exp u(x)
Notons g(x) = exp x , f = gou, f(x) = gou (x) = g [u(x)]
63
D’après le théorème sur la dérivée de la composée de deux fonctions on a :
f ‘(x) = g’[u(x)] . u’(x)
g’(x) = exp x, g’[u(x)] = exp u(x).
Donc f ’(x) = exp u(x) . u’(x).
Exemple : si f (x) = exp [x2 + 1]
alors f ‘(x) = exp [x2 + 1] . 2x
2.
f (x) = Ln u(x)
x → u(x) → Ln u(x)
Notons g(x) = Ln x , f = gou, f(x) = gou (x) = g [u(x)]
D’après le théorème sur la dérivée de la composée de deux fonctions on a :
f ‘(x) = g’[u(x)] . u’(x)
g’(x) = 1/ x, g’[u(x)] = 1/ u(x)
Donc f ’(x) = [1 / u(x) ] . u’(x). = u’(x) / u(x)
Exemple : si f(x) = Ln [x2 + 1]
alors f ‘(x) = 2x / (x2 + 1)
3.
Développement en série de (1 + x)n
Soit f (x) = (1 + x)n
Développement en série de Mac-Laurin : (en remplançant h par x, x petit).
f (x) ≈ f(0) + x. f ‘(0) + [ x2/2! ] f ”(0) + ... + [ xr /r! ] f (r) (0).
f(0) = 1
f ‘(x) = n (1 + x)n-1 et f ’ (0) = n
f “(x) = n (n - 1) (1 + x)n - 2 et
f ’’ (0) = n ( n – 1).
f ’’’ (x) = n (n – 1) (n – 2) (1 + x)n –3 et f ’’’ (0) = n (n – 1) (n – 2)
…
f (r) (x) = n (n – 1) (n – 2)... (n – r+1) (1 + x)n –r
f (r) (0) = n. (n – 1) (n – r +1) = n! / (n – r) !
et f (r) (0) = n (n – 1) (n – r +1)
64
d’où
f(x) = 1 + n.x + [n.(n -1)/ 2! ] x2 + [ n(n -1) (n -2) / 3! ] x3 + …
+ [ n! / [(n – r) ! r !] . xr
4.
Développement en série de (1 – x)n
Soit f(x) = (1 - x)n
f (x) ≈ f(0) + x. f ‘(0) + [ x2/2! ] f ”(0) + ... + [ xr / r! ] f (r) (0)
f(0) = 1
f ‘(x) = - n . (1 - x)n -1 et f ‘ (0) = - n
f “(x) = n. (n - 1). (1 - x)n - 2 et
f ’’ (0) = n ( n – 1).
f ’’’ (x) = - n. (n – 1) (n – 2) (1 - x)n –3 et f ’’’ (0) = - n. (n – 1) (n – 2)
…
f (r) (x) = (-1)r n. (n – 1) (n – 2)... (n – r+1) (1 - x)n –r
et f (r) (0) = (-1)r n. (n – 1) (n – r +1)
f (r) (0) = (-1)r n (n – 1) (n – r +1) =(-1)r . n! / (n – r) !
f(x) = 1 - n. x. + [ n ( n – 1) /2! ] x2 - [ n(n -1) (n -2) /3 ! ] x3 ...
+ [ (-1)r n! / (n – r) ! ] xr / r!
5.
Développement en série de 1 / [1 + x]
Soit f(x) = 1 / [1 + x]
f (x) ≈ f(0) + x. f ‘(0) + [ x2 /2! ] f ”(0) + ... + [ xn /n! ] f (n) (0)
f(0) = 1
f (x) = [1 + x] – 1
f ‘(x) = - 1. [1 + x] – 2 ;
f “(x) = (-1) (-2) [1 + x] – 3 ;
f ‘(0) = -1
f ‘’(0) = (-1). (-2)
65
f ’’’ (x) = (-1) (-2) (-3) [1 + x] – 4 ;
…
f ‘’’(0) = (-1) (-2) (-3)
f (n) (x) = (-1) (-2) … (- n) [1 + x] – n - 1 f (n) (0) = (-1) (-2) … (- n)
f (x) ≈ 1 + x. (-1) + [(-1).(-2) /2! ] x2 + ... + [(-1) (-2) … (- n) / n! ] xn
or (-1) (-2) … (- n) = (-1) (-1) ... (-1) ( 1 x 2 x 3 x ...x n) = (-1)n . n !
f (x) ≈ 1 - x + x2 - x3... + (-1)n xn
6.
Erreur absolue 1 / (1 +x) – (1 – x ) = x2 / (1 + x)
Erreur relative : [ x2 / (1 + x) ] / [ 1 / (1 + x) ] = x2
7.
Développement en série de ex
Soit f(x) = ex
f (x) ≈ f(0) + x. f ‘(0) + x2 /2! f ”(0) + ... + xn /n! f (n) (0).
f(0) = 1
f ‘(x) = ex , f’(0) = 1
f “(x) = ex , f’’(0) = 1
f (3) (x) = ex , f (3) (0) = 1
…
f (n) (x) = ex , f (n) (0) = 1
f(x) ≈ 1 + x. + x2 /2! + ... + xn /n!
Exemple :
exp (0,001) ≈ exp (10-3) ≈ 1 + 10-3 + 10-6 /2 ≈ 1 + 0,001 + 0,0000005 ≈ 1,0010005
66
Pierre V. Tournier
ÉLEMENTS DE CALCUL INTÉGRAL
1. Primitives d’une fonction
1. Définition : Si, sur un intervalle [a ; b], une fonction numérique F admet pour
fonction dérivée la fonction f, alors F est appelée primitive de f sur l’intervalle [a ; b].
F primitive de f sur [a ; b]
signifie : ∀ x ∈ [a ; b]
F ‘(x) = f (x).
Exemple : F(x) = x3 admet pour fonction dérivée sur R f(x) = 3 x2
f (x) = 3 x2 admet pour primitive sur R la fonction : F(x) = x3 .
2. Théorème : Si une fonction f admet une fonction primitive F sur un intervalle [a ; b],
elle en admet une infinité ; l’ensemble des primitives est l’ensemble des fonctions
G = F + k, en désignant par k une fonction constante arbitraire.
Exemple : L’ensemble des primitives de la fonction f(x) = 3x2 est l’ensemble des
fonctions F(x) = x3 + k.
3. Propriété : Dans l’ensemble des primitives de f, il existe une seule primitive qui au
point xo, prenne une valeur donnée b.
Exemple : Soit f(x) = 3x2. Détermination de la primitive de f qui vaut 1 pour xo = 2.
Ensemble des primitives F(x) = x3 + k.
F(2) = 1 <=> 23 + k = 1
<=> k = 1 – 8 <=> k = – 7
Primitive cherchée : F(x) = x3 - 7.
4. Propriétés de la formation des primitives
Si les fonctions f et g admettent respectivement pour primitives sur un intervalle [a ; b],
les fonctions F et G, alors la fonction f + g admet, sur l’intervalle [a ; b], pour
fonction primitive F + G.
67
Si la fonctions f admet pour primitive sur un intervalle [a ; b], la fonction F et si λ est
une constante arbitraire, alors la fonction λ.f admet, sur l’intervalle [a ; b], la fonction
λ F pour primitive.
En conséquence, si les fonctions f et g admettent respectivement pour primitives sur un
intervalle [a ; b], les fonctions F et G, si λ et µ sont des constantes arbitraires, alors la
fonction λ.f + µ.g admet, sur l’intervalle [a ; b], pour primitive la fonction λ.F + µ.G.
5. Primitives usuelles
f (x) = 0,
D = R , fonctions primitives : F(x) = k (constante)
f (x) = a,
D = R , fonctions primitives : F(x) = a x + k
f (x) = xn,
n ∈ N, D = R , fonctions primitives : F(x) = [1/(1+n) ] xn+1 + k
En effet F’ (x) = [1/(1+n) ] [xn+1] ‘ =
f (x) = 1 / x2,
f (x) = xr,
[1/(1+n) ] (n + 1) . xn = xn = f(x)
D = R*, fonctions primitives : F(x) = [ -1/x] + k
D = ] 0 ; + ∞ [ , r ∈ Q - {-1} fonctions primitives :
F(x) = [1/(r + 1)] xr +1 + k
Exercices
Exercice 8. C
Calculer l’ensemble des primitives de la fonction f (x) = 5 x2 - 2 x + ½
Exercice 9. C
Calculer la primitive de f(x) = x2 + 1 / x2 qui s’annule pour xo = 1
Exercice 10. C
Calculer les primitives de la fonction f(x) = (2 x +1) (x2 + x + 1)3
Rappel sur les fonctions dérivées : [u(x)n] ‘ = n. u’(x) u(x)n - 1
Exercice 11. C
Calculer les primitives de ex pour x ∈R et de 1/x pour x ∈ ]0 ; + ∞ [
68
Exercice 12. C
Calculer les primitives de f(x) = (2x + 1) . exp (x2 + x + 1)
Exercice 13. C
Calculer les primitives de f(x) = (2 x + 1) / (x2 + x + 1)
Exercice 14. C
Soit la fonction polynomiale de degré n ( n ∈ N) définie pour tout x ∈ R par :
f(x) = an.xn + an-1. xn-1 + ... + a1.x + ao
i=n
f(x) = ∑ ai.xi
i=0
Calculer l’ensemble des primitives de f.
Corrections
8.
Calculer l’ensemble des primitives de la fonction f x) = 5 x2 - 2 x + ½
Primitives de x2 : 1/3 x3 + k
Primitives de x : 1/2 x2 + k
Primitives de 1/2 : 1/2 x + k
Primitives de f(x)
F(x) = 5 [1/3 x3 ] - 2 [1/2 x2 ] + 1/2 x + k
F(x) = 5 /3 x3 - x2 + 1/2 x + k
9.
Calculer la primitive de f(x) = x2 + 1 / x2 qui s’annule pour xo = 1
Primitives de x2 : 1/3 x3 + k
Primitives de 1/ x2 : [ -1/x] + k
Primitives de f(x) : F(x) = 1/3 x3 + [ -1/x] + k
69
F(1) = 0
1/3 – 1 + k = 0 <=> k = 2/3
La primitive recherchée est
F(x) = 1/3 x3 + [ -1/x] + 2/3
10.
Calculer les primitives de la fonction f(x) = (2 x +1) (x2 + x + 1)3
Rappel sur les fonctions dérivées : [u(x)n] ‘ = n. u’(x) u(x)n - 1
Soit u(x) = x2 + x + 1, u’(x) = 2 x + 1
f(x) = u’(x) . [u(x)]3
F(x) = ¼ . [u(x)] 4 = ¼ . (x2 + x + 1)4
11.
Calculer les primitives de ex pour x ∈R et de 1/x pour x ∈ ]0 ; + ∞ [
f (x) = ex ; F(x) = ex + k
f (x) = 1 / x ; F(x) = Ln x + k
12.
Calculer les primitives de f(x) = (2x + 1) . exp (x2 + x + 1)
Rappel sur les fonctions dérivées : [exp u(x)]’ = u’(x) . [exp u(x)]
F(x) = exp (x2 + x + 1) + k
13.
Calculer les primitives de f(x) = (2 x + 1) / (x2 + x + 1)
Rappel sur les fonctions dérivées : [Ln u(x)]’ = u’(x) / u(x)
F(x) = Ln (x2 +x + 1)
Vérifions que cette fonction est définie sur R.
Soit l’équation x2 +x + 1 = 0
∆= b2 – 4 a.c = 1 – 4 = - 3. donc ∆ < 0 donc le trinôme x2 + x + 1 ne s’annule pas ; il
est toujours du signe de a, donc positif.
70
14.
Soit la fonction polynomiale de degré n ( n ∈ N) définie pour tout x ∈ R par :
f(x) = an.xn + an-1. xn-1 + ... + a1.x + ao
i=n
f(x) = ∑ ai.xi
i=0
Calculer l’ensemble des primitives de f.
F(x) = [1/(n+1)] an.xn+1 + 1/n an-1. xn + ... + ½ a1.x2 + ao. x + k
i =n
F(x) = ∑ [1/ (i+1)] ai.xi +1 + k
i=0
2. Notion d’intégrale
1. Interprétation géométrique de la primitive et notion d’intégrale
Soi a un réel positif.
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b], positive et croissante sur cet
intervalle. Soit C sa représentation graphique dans un repère cartésien orthogonal.
Soit x ∈ [a ; b]
Appelons S(x) l’aire comprise entre l’axe des x, la courbe C, et les droites
perpendiculaires à l’axe des x aux points A (a, 0) et X (x, 0).
Donnons à x un accroissement ∆ x positif. Soit ∆ S(x) l’accroissement correspondant
de S(x).
∆ S(x) est compris entre l’aire de deux rectangles : f(x) . ∆ x pour le plus petit, et
f( x +∆ x) . ∆ x
f(x) . ∆ x < ∆ S(x) < f( x +∆ x). ∆ x
f(x) < ∆ S(x) / ∆ x < f( x +∆ x)
Quand ∆ x tend vers 0, ∆ S(x) / ∆ x tend vers d S(x) / dx et f (x +∆ x) tend vers
f(x).
71
A la limite on a d S(x) / dx = f(x) ou encore S’(x) = f(x). Donc S(x) est une primitive
de f(x).
Définition : On appelle intégrale de f sur l’intervalle [a ; b], la mesure de l’aire
comprise entre l’axe des x, la courbe C représentative de la fonction f et les droites
perpendiculaires à l’axe des x respectivement aux points A (a,0) et B (b,0).
b
Elle se note I = ∫ f (t). dt
a
Cette notation se lit « intégrale de f entre a et b » ou « somme de a à b de f(t).dt ».
Calculer I c’est faire l’intégration de la fonction f sur l’intervalle [a ; b],
Soit F une primitive quelconque de f. S(x) étant aussi une primitive de f on a :
S(x) = F(x) + ko (ko est une constant particulière)
et en remplaçant x par a, on
S(a) = F(a) + k soit 0 = F(a) + ko
d’où ko = - F(a)
S (x) = F(x) - F(a)
d’où en remplaçant x pour b
S (b) = F(b) - F(a)
b
b
S(b) = ∫ f(t). dt = [ F(x)] = F(b) - F(a)
a
a
Cette relation fondamentale montre que le calcul d’une intégrale (simple) revient donc à
un calcul de primitive.
2. Propriété des intégrales
b
c
b
∫ f(t). dt = ∫ f(t). dt + ∫ f(t). dt
a
a
c
a
b
b
a
∫ f(t). dt = - ∫ f(t). dt
b
b
b
∫ [ f(t) + g(t) ] dt = ∫ f(t). dt + ∫ g(t). dt
a
a
a
72
b
b
∫ k. f(t). dt = k ∫ f(t). dt
a
k constante.
a
Exemples : voir exercices n° 15 et suivants.
3. Intégration par changement de variable
Cette méthode est utilisée quand on peut mettre la fonction que l’on cherche à intégrer
f(x), sous la forme g [u(x)]. u ‘(x). où g(u) est une fonction facilement intégrable.
I = ∫ f(t). dt = ∫ g [u(t)] u ‘(t). dt = ∫ g(u). du
Puisque du = u’(x) dx
Exemple : intégration de la fonction f (x) = 1 / (2x +1)2
entre 0 et 1
Posons u (x) = 2x + 1, u (0) = 1 et u (1) = 3
u ‘(x) = 2 , du = u’(x). dx = 2 dx
donc dt = ½ du
1
1
u(1)
0
0
u(0)
3
I = ∫ f(t). dt = ∫ 1 / (2t +1)2 dt. = ∫ [1/u2] 1/2 .du = ½ ∫ [1/u2] .du
1
I = ½ { [ - 1/u] 3 - [ - 1/u] 1} = ½ [ - 1/3 – (-1)] = 1/3
Autre façon de présenter les choses
I = ∫ f(t). dt = ∫ 1 / (2t +1)2 dt. = ∫ [1/u2] 1/2 .du = ½ ∫ [1/u2] .du = ½ [-1/u]
I = 1/2 [- 1 /(2x +1)] 1 - 1/2 [- 1 /(2x +1)] 0 = - 1/6 + ½ = 1/3
4. Intégration par parties
Rappel sur les fonctions dérivées
Soit f(x) = u (x). v (x) ; f ‘(x) = u’ (x). v (x) + u (x). v’ (x) .
[u(x).v(x)]’ = u’ (x). v (x) + u (x). v’ (x)
u (x). v’ (x) = [u(x).v(x)]’ - u’ (x). v (x)
∫ u (x). v’ (x) dx = ∫ [u(x).v(x)]’ dx - ∫ u’ (x). v (x) dx
∫ u (x). v’ (x) dx = ∫ [u(x).v(x)]’ dx - ∫ u’ (x). v (x) dx
73
∫ u (x). v’ (x) dx = [u(x).v(x)] - ∫ u’ (x). v (x) dx
Condition nécessaire pour pouvoir utiliser cette méthode : on a à intégrer un produit de
deux fonctions dont l’une a une primitive facile à calculer.
Exemple :
I = ∫ [Ln x] / x2 dx .
avec x > 0.
I = ∫ u (x). v’ (x) . dx = u (x) v (x) - ∫ u’ (x). v (x) dx
Avec u (x) = Ln x
et v’ (x) = 1/ x2
u’(x) = 1/x et v(x) = - 1/ x
I = u (x) v (x) - ∫ u’ (x). v (x) dx = - [Ln x ] / x - ∫ (1/x). ( - x) dx =
=
- [Ln x ] / x + ∫ (1/x2 dx = - [Ln x ] / x - 1/x + k
Exercices
Exercice 15. C
Représenter graphiquement la fonction f(x) = x2 - 2 x + 3
1
Calculer I = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt
0
2
Calculer J = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt
1
Interpréter géométriquement ces résultats.
Exercice 16. C
1. Représenter graphiquement la fonction f(x) = ex
0
2. Calculer I = ∫ et.dt
-2
1
3. Calculer J = ∫ et. dt
0
4. Interpréter géométriquement ces résultats.
74
5. Calculer l’aire K comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, la droite
d’équation y = 1, l’axe des y et la droite x = 1.
Exercice 17. C
1. Représenter graphiquement la fonction f(x) = Ln x
e
2. Calculer I = ∫ Ln t.dt
1
3. Interpréter géométriquement ces résultats.
4. Calculer l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction Ln x, la
droite d’équation y = 1 et la droite d’équation x = 1. Rapprocher ce résultat de ceux
obtenus dans l’exercice n°16.
Exercice 18. C
b
Calculer I = ∫ ( t – a) (b – t)2 dt
a
Exercice 19. C
b
Calculer I = ∫ ( exp ( - p.t + q) dt
a
Exercice 20. C
x
x
x
x
f(x) = [ e - e- ] / [e + e- ].
1. Représenter la fonction f dans un repère orthogonal.
a
t
t
t
t
2. Calculer I = ∫ [ e - e- ] / [e + e- ]. dt , avec a strictement positif.
0
3. Donner une interprétation géométrique de I.
4. Calculer l’aire S(a) comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, l’axe
des y la droite d’équation y = 1 et la droite parallèle à l’axe des y et passant par le
point A (a, 0).
5. Calculer la limite de S(a) quand a tend vers + ∞
75
Exercice 21. C
On considère la fonction f, de variable réelle x, définie de la façon suivante :
si x ∈ ] - ∞ ; 1 [ alors f(x) = 0
2
si x ∈ [1 ; + ∞ [ alors f(x) = 1 - 1/x .
1. Représenter graphiquement f dans un repère cartésien.
2. Calculer l’intégrale I de f entre -1 et + 2.
3. Soit x, un nombre supérieur à 1. Calculer l’intégrale J de f entre 1 et x.
4. Interpréter géométriquement le résultat.
5. Calculer l’aire S(x) comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, l’axe
des x, la droite d’équation y = 1 et l’axe des y.
6. Calculer la limite de S(x) quand x tend vers + ∞.
Exercice 22. C
Soit la famille de fonction fa (x) = (1 + a.x) / a.x, on suppose a ≠ 0.
Calculer l’intégrale de fa entre x = 1 et x = 2 .
Exercice 23. C
Soit de la famille de fonction fa (x) = ax / (1 - a.x) , on suppose a ≠ 0.
Montre que l’on peut trouver λ réel tel que fa (x) = -1 + λ / (1 – ax)
Quelles sont les primitives de fa ?
Exercice 24.
Si, dans une population, l’effectif d’âge x est donné par l’expression N(x) = 10 000 – x2,
calculer l’âge moyen de cette population, c’est-à-dire
_
100
100
2
x = [ ∫ (10 000 - x ] x.dx / [ ∫(10 000 - x2] .dx ]
0
0
Réponse : 37,5 ans.
Exercice 25.
Dans un pays où la fécondité est élevée, la variation du taux de fécondité en fonction de
l’âge de la femme peut être approchée par la fonction f(x) = k (x – α) (β – x)2
76
x appartenant à l’intervalle [α ; β]. Estimer les paramètres k, α et β sur la base du
nombre moyen d’enfants par femme (7,06), de l’âge moyen à la maternité (31,33 ans) et
de la variance de l’âge à la maternité (52,76).
Réponse : α = 16,80 ans, β = 53,12 ans, k = 4,87 .10-5
f(x) = 4,87 .10-5 (x –16,80) (53,12 – x)2
Corrections
15.
Représenter graphiquement la fonction f(t) = t2 - 2 t + 3
f ’(t) = 2 t – 2 = 2 ( t – 1)
f ’(t) = 0 <= > 2 ( t – 1) = 0 <= > t = 1
X
F ’(x)
F(x)
-∞
↓
+∞
1
0
2
+∞
+
↑
+∞
1
I = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt
0
2
J = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt
1
f(t) = t2 - 2 t + 3
F(t) = 1/3 t3 - t2 + 3 t + k
1
I = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt = F(1) - F(0) = 1/3 – 1 + 3 + k - k = 7/3
0
2
J = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt = F(2) – F(1) = 1/3 . 8 – 4 + 6 + k– (1/3 – 1 + 3 + k) = 7/3
1
I=J.
77
16.
f(x) = ex
0
I = ∫ et.dt
-2
Primitives de f(x) : F(x) = ex + k.
= e0 - e-2 ≈ 0,8647
1
J = ∫ et. dt = e1 - e0 = e – 1 ≈ 1,7183
0
I représente l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction ex, l’axe des
x , la droite x = - 2 et l’axe des y.
J représente l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction ex, l’axe des
x , l’axe des y et la droite x = 1.
Calcul de l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction ex, la droite y
= 1, l’axe des y et la droite x = 1.
S = J – 1 ≈ 1,7183 – 1 = 0,7183.
17.
Primitives de la fonction f(x) = Ln x
(x > 0)
Application de l’intégration par parties
K = ∫ u (x). v’ (x) . dx = u (x) v (x) - ∫ u’ (x). v (x) dx
u(x) = Ln x et v ‘(x) = 1
u’(x) = 1/x et v(x) = x
K = x. Ln x - ∫ 1. dx = x . Ln x - x
e
I = ∫ Ln t.dt = e . Ln e – e - ( 1 . Ln 1 – 1) = 1
1
I représente l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction Ln x, l’axe
des x et la droite parallèle à l’axe des y et passant par le point A (e,0).
Aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction Ln x, la droite d’équation
y = 1 et la droite d’équation x = 1.
S = (e – 1) – (1) = e – 2 = 0,7183 .
78
18.
b
I = ∫ ( t – a) (b – t)2 dt
a
Intégration par partie
I = ∫ u (t). v’ (t) . dt = u (t) v (t) - ∫ u’ (t). v (t) dt
u (t) = t – a et v ‘(t) = (b – t)2
u ‘ (t) = 1 et v (t) = - 1/3 (b – t)3
I = u (t) v (t) - ∫ u’ (t). v (t) dt = (t - a) (-1/3) (b – t)3 -∫ 1. (-1/3) (b – t)3 dt
I = (-1/3) (t - a) (b – t)3 + 1/3 ∫ (b – t)3 dt
I = (-1/3) (t - a) (b – t)3 - 1/3 . 1/4 (b – t)4
I = (-1/3) (t - a) (b – t)3 - 1/12 (b – t)4
Intégrale entre a et b :
[(-1/3) (b-a) (b – b)3 - 1/12 (b – b)4 ] - [(-1/3) (a-a) (b – a)3 - 1/12 (b – a)4 ] =
1/12 (b – a)4 .
19.
b
I = ∫ ( exp ( - p.t + q) dt
a
f(x) = exp ( - p.x + q) ; primitives : F(x) = -1/p . exp ( - p.x + q)
I = F(b) – F(a) = [-1/p . exp ( - p.b + q)] - [ -1/p . exp ( - p.a + q) ]
I = 1/p [exp (- p.a + q) - exp ( - p.b + q)]
20.
x
t
t
t
t
Calcul de I = ∫ [ e - e- ] / [e + e- ]. dt.
0
t
Soit u(t) = e + e- t
du = ( et - e- t). dt
I = ∫ 1/u .du
I = Ln [u (t)] = Ln (et + e- t ) à prendre entre 0 et x.
79
I = Ln (ex + e- x ) - Ln (e0 + e- 0 ) = Ln (ex + e- x ) - Ln 2.
Calcul de l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, l’axe des y
la droite d’équation y = 1 et la droite parallèle à l’axe des y et passant par le point A
(x, 0).
S (x) = x - [Ln (ex + e- x ) - Ln 2]
Calcul de la limite de S(x) quand x tend vers + ∞
Ln (ex + e- x ) = Ln ex ( 1 + 1/e2x) = Ln ex + Ln ( 1 + 1/e2x) = x + Ln ( 1 + 1/e2x)
S(x) = x - x - Ln ( 1 + 1/e2x) + Ln 2 = - Ln ( 1 + 1/e2x) + Ln 2
Lim S(x)
x→+ ∞
= Lim - Ln ( 1 + 1/e2x) + Ln 2 = Ln 2
x→+ ∞
21.
1. Représenter la fonction f définie par
si x ∈ ] - ∞ ; 1 [ alors f(x) = 0
2
si x ∈ [1 ; + ∞ [ alors f(x) = 1 -1/x .
2. Calcul de l’intégrale de f entre x = -1 et x = + 2.
2
2
I = ∫ f(t).dt = ∫ f(t).dt + ∫ f(t).dt = ∫ [1 - 1/t .] dt = ∫ 1 dt + ∫ [ - 1/t .] dt
I = t + 1/t à prendre entre 1 et 2.
I = [2 + 1/2] - [1 + 1/1] = 1/2
3. Soit x un nombre supérieur à 1. Calcul de l’intégrale J de f entre 1 et x.
x
x
2
I = ∫ f(t).dt = ∫ [1 - 1/t .] dt = [x + 1/x] - [1 + 1/1] = x + 1/x - 2.
1
1
5. Calcul de l’aire S comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, l’axe
des x, la droite d’équation y = 1 et la droite parallèle à l’axe des y et passant par le
point A (x, 0).
S = (x – 1) - [ x + 1/x - 2] = x - 1 - x - 1/x + 2 = - 1/x + 1
Lim S(x)
x→+ ∞
= Lim ( - 1/x + 1 ) = 1
x→+ ∞
80
22.
Soit la famille de fonction fa (x) = (1 + a.x) / a.x on a supposé que a ≠ 0.
Ensemble de définition de f : R – {0} .
Calcul de l’intégrale I de fa entre x = 1 et x = 2
Pour x ≠ 0, on a fa (x) = 1 + 1/ a.x
I = ∫ [1 + 1/ a.t ] dt = ∫ 1. dt + ∫ [1/ a.t ] . dt = t + (1/a) Ln.t à prendre entre 1 et 2
I = [ 2 + (1/a) Ln.2] - [ 1 + (1/a) Ln.1 ] = 1 + (1/a) Ln.2
23.
Soit de la famille de fonction fa (x) = ax / (1 - a.x) ; on a supposé que a ≠ 0.
Ensemble de définition de f : R – {1 /a} .
fa (x) = -1 + λ / (1 – ax) = (- 1 + a.x + λ) / (1 – ax)
ax = - 1 + a.x + λ et ce pour tout x appartenant à l’ensemble de définition de fa
d’où λ = 1
fa (x) = -1 + 1 / (1 – ax)
Primitives de fa (x) : Fa (x) = - x - 1/a Ln (1 – ax) + k
Pour que cette primitive existe,il faut : 1 – a.x > 0
1er cas a > 0 . Alors, 1 – a.x > 0 <=> x < 1 / a
2ème cas : a < 0. Alors, 1 – a.x > 0 <=> x > 1 / a
81
3. Extensions de la notion d’intégrale simple
1. Intégrale d’une fonction dans un intervalle dont une borne est infinie.
x
Définition : f étant une fonction continue sur [a ; + ∞ [, si g(x) = ∫ f(t) dt admet une
a
+∞
limite finie I quand x tend vers + ∞, on dit que ∫ f(t) dt est convergente.
a
+∞
Si g(x) n’admet pas de limite finie, on dit que l’intégrale ∫ f(t) dt est divergente.
a
Exemple 1 : f(x) = x -2
F(x) = - 1 / x
+∞
Nature de l’intégrale ∫ f(t) dt ?
a
(avec a > 0)
x
I (x) = ∫ f(t) dt = F(x) – F(a) = [-1/ x ] - [-1 / a ] = - 1/x + 1 / a.
a
Lim I (x) = 1 / a . L ’intégrale est donc convergente.
x→+∞
Exemple 2 : f(x) = 1 / x
F (x) = Ln x
I(x) = F(x) – F(a) = Ln x – Ln a
Lim I (x) = + ∞ . L ’intégrale est donc divergente.
x→+∞
Exercices
Exercice 26.
La probabilité de migrer à une distance r peut être approchée par une fonction de type
a
Parero p (r) = k .1/ r
Calculer la probabilité de migrer à une distance supérieur à ro :
+∞
P (ro) = ∫ p(r). dr
ro
On supposera que ro > 0, a > 1 et k > 0.
82
Exercice 27.
La probabilité de migrer à une distance r peut être approchée par une fonction de type
Parero p (r) = k .exp (- a.r).
Calculer la probabilité de migrer à une distance supérieur à ro :
+∞
P (ro) = ∫ p(r). dr
ro
On supposera que a > 0, ro > 0 et k > 0.
Exercice 28.
Soit la fonction f(x) = x. Ln x
1.- Montrer que la fonction f admet un minimum absolu que l’on déterminera.
2. - Calculer la limite de f quand x tend vers + ∞. Monter que la courbe représentative
de f admet alors une branche parabolique de direction Oy.
3. - Calculer la limite de f quand x tend vers O+. Pour lever l’indétermination, on
effectuera le changement de variable X = 1/ x. On montrera alors que la courbe
représentative de f admet l’origine du repère comme point limite.
4. - Calculer la limite de f ’(x) quand x tend vers O+. Que peut-on en déduire sur l’allure
de la courbe au voisinage de 0 ?
5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe avec l’axe des x.
6. Représenter f dans un repère orthonormé.
7. Calculer l’intégrale I (a) = ∫ f(t). dt à prendre entre 1 et a, a étant un nombre réel
strictement supérieur à 1 (on utilisera une intégration par partie). Donner une
interprétation graphique du résultat.
+ ∞.
8. L’intégrale J = ∫ f(t) t .dt est-elle convergente ?
1
9. Calculer l’intégrale K = ∫ f(t) t . dt
à prendre entre
1/e et 1. Donner une
10. Calculer l’intégrale H (a) = ∫ f(t) t . dt à prendre entre a et 1/e, a étant un nombre
compris strictement entre 0 et 1/e. Donner une interprétation graphique du résultat.
11. Calculer la limite de la fonction H(a) quand a tend vers O+. Donner une
83
Exercice 29.
Soit la fonction f(x) = [Ln x ] / x .
1. Montrer que la courbe représentative de f admet deux asymptotes dont on déterminera
les équations.
2.- Montrer que la fonction f admet un maximum absolu que l’on déterminera.
3. - Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe représentative de f
avec l’axe des x.
4. Représenter f dans un repère orthogonal en prenant 1 cm comme unité sur l’axe des x
et 3 cm comme unité sur l’axe des y.
5. Déterminer les coordonnées du point d’inflexion I. Calculer la pente de la droite
tangente à la courbe de f en ce point.
6. Calculer l’intégrale I = ∫ f(t) t . dt à prendre entre 1 et e (on utilisera une intégration
par partie). Donner une interprétation graphique du résultat.
7. Calculer la surface délimitée par la courbe de f, les droites d’équation x = 1 et x = e et
la droite d’équation y = 1/e.
8. Soit a un nombre réel strictement supérieur à e. Calculer l’intégrale I (a) = ∫ f(t) t . dt
à prendre entre e et a. Donner une interprétation graphique du résultat.
+ ∞.
9. L’intégrale J = ∫ f(t).dt est-elle convergente ?
e
Exercice 30.
Soit la fonction f(x) = x2. Ln x
1. - Calculer la limite de f quand x tend vers + ∞. Monter que la courbe représentative
de f admet alors une branche parabolique de direction Oy.
2. - Calculer la limite de f quand x tend vers O+. Pour lever l’indétermination, on
effectuera le changement de variable X = 1/ x. On montrera alors que la courbe
représentative de f admet l’origine du repère comme point limite.
3.- Montrer que la fonction f admet un minimum absolu que l’on déterminera.
4. - Calculer la limite de f ’(x) quand x tend vers O+. Que peut-on en déduire sur l’allure
de la courbe au voisinage de 0 ?
84
5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe avec l’axe des x.
6. Déterminer les coordonnées du point d’inflexion I. Calculer la pente de la droite
tangente à la courbe de f en ce point.
7. Représenter f dans un repère orthonormé.
8. Calculer l’intégrale I (a) = ∫ f(t). dt à prendre entre 1 et a, a étant un nombre réel
strictement supérieur à 1 (on utilisera une intégration par partie). Donner une
+ ∞.
9. L’intégrale J = ∫ f(t) .dt est-elle convergente ?
1
85
Pierre V. Tournier
LES ESPACES VECTORIELS
1. Définitions
1. Loi interne
Soit un ensemble E. On appelle loi interne (notée +) sur E toute application de E x E
dans E.
ExE → E
(u, v) → u + v
On dit que E, muni de la loi interne +, possède une structure de groupe si la loi +
possède les propriétés suivantes :
La loi est associative : (u + v) + w = u + (v + w)
∀ u, v, w ∈ E.
La loi admet un élément neutre e : u + e = e + u = u
∀ u ∈ E.
Tout élément u admet un symétrique u’ : u + u’ = u’ + u = e
Commutativité
La loi interne sur E est commutative si et seulement si :
u+v=v+u
∀ u, v ∈ E.
Si (E, +) est un groupe et si la loi interne + est commutative, (E, +) est dit groupe
commutatif.
2. Loi externe
Soit un ensemble E. On appelle loi externe sur E (notée .), une application de R x E
dans E (R étant l’ensemble des nombres réels).
RxE→E
(λ, u) → λ .u
Une loi externe est associative <= > ∀ λ∈ R, ∀ µ∈ R, ∀ u∈ E
λ .(µ.u) = (λ.µ) .u
Une loi externe est distributive par rapport à l’addition des nombres réels
86
∀ λ∈ R, ∀ µ ∈ R, ∀ u ∈ E
(λ + µ). u = λ.u + µ. u
Une loi externe est distributive par rapport à la loi interne + sur E <=>
∀ λ∈ R, ∀ u, v ∈ E
λ .(u + v) = λ.u + λ.v
3. Espace vectoriel
E, ensemble muni d’une loi interne (+) et d’une loi externe (.) est un espace vectoriel si
et seulement si (E, +) est un groupe commutatif et si la loi externe est associative,
distributive par rapport à l’addition des réels et distributive par rapport à la loi interne.
Les éléments u, v, w, … de E sont appelés les vecteurs de E, les réels λ, µ, … sont
appelés scalaires.
L’élément neutre e sera noté 0 ; le symétrique de u sera noté (- u).
Théorème :
∀ λ∈ R, ∀ u ∈ E : λ.u = 0 <= > λ = 0 ou u = 0
4. Exemples d’espaces vectoriels
Exemple 1 : Ensemble des « vecteurs » du plan.
Exemple 2 : Soit F la famille de fonctions numériques de variable réelle x, paramétrée
par a et b, f(x) = a.x + b.
* L’addition de deux fonctions est une loi interne dans F
Rappel : [f + g] (x) = f(x) + g(x) .
* (F, +) est un groupe commutatif.
* (F, +, .) est un espace vectoriel sur R.
Rappel : ∀ λ ∈ R, (λ.f) (x) = λ. f (x)
Exemple 3 : (R x R, +, . ) est un espace vectoriel sur R.
Définition de + : (a, b) + (a’, b’) = (a + a’, b + b’)
Définition de . : ∀ λ ∈ R λ. (a, b) = (λ.a, λ.b)
Exemple 4 : L’ensemble des réels R est un espace vectoriel sur lui-même.
87
2. Combinaisons linéaires et sous-espaces vectoriels
1. Combinaison linéaire
Définition : soit (u1, u2, … un) une famille de n vecteurs d’un espace vectoriel E sur R ;
on dit qu’un vecteur x est une combinaison linéaire de u1, u2, … un s’il existe au moins
une famille (λ1, λ2, …, λn) de nombres réels tels que x = λ1.u1 + λ2.u2 + … + λn.un.
Le nombre λi est le coefficient de ui . dans la combinaison linéaire x.
Exemple : dans l’espace vectoriel R x R, le vecteur = (2, - 4) est une combinaison
linaire des vecteurs (1,1) et (0,1). En effet :
(2, - 4) = 2 (1, 1) - 6 (0, 1).
(2, - 4) = 2 (1, 0) - 6 (0, 1/3) – 2 (0, 1) + 0 (5, - 8).
2. Sous-espace vectoriel
Définition : Soit F une partie d’un espace vectoriel E sur R. On dit que F est une partie
stable de E pour la loi externe si et seulement si
∀ λ ∈ R,
∀ u ∈ F,
λ. u ∈ F
On dit que que F est stable par combinaison linéaire si et seulement si
∀ λ∈ R, ∀ µ∈ R, ∀ u ∈ F, ∀ v ∈ F,
λ. u + µ. v ∈ F.
Théorème et définition : toute partie non vide F d’un espace vectoriel E sur R, stable
par combinaison linéaire est un espace vectoriel sur R ; on dit que F est un sous-espace
vectoriel de l’espace vectoriel E.
Exemple 1 : dans l’espace vectoriel R x R, la partie F constituée des couples (x, 0)
est un sous-espace vectoriel de R x R.
Exemple 2 : Dans l’espace vectoriel des fonctions numériques de variable réelle x,
paramétrée par a et b, et définies par f(x) = a.x + b, la partie constituée des fonctions
f(x) = a.x est un sous-espace vectoriel sur R.
Théorème et définition : Soit deux vecteurs fixes a et b d’un espace vectoriel E.
L’ensemble F des combinaisons linéaires à coefficient réels de a et b est un sous-espace
vectoriel de E. On dit que F est le sous-espace engendré par (a, b). (a,b) est une famille
génératrice de F .
F = { x ∈E / ∃ λ ∈ R, ∃ µ ∈ R avec x = λ. a + µ. b} .
88
3. Base d’un espace vectoriel
On dit qu’une famille (e1, e2, …en) d’éléments d’un espace vectoriel E sur R est une
base de E si et seulement si pour tout vecteur u de E, il existe un n-uplet unique
(α 1, α 2, …, α n) de nombre réels tels que u = α 1 .e1 + α 2 . e2 + … + α n .en .
α i est appelée la coordonnée de u relative au vecteur ei dans la base (e1, e2, …en).
Exemple : Soit E l’espace vectoriel des fonctions numériques de variable réelle x,
paramétrée par a et b et définie par f(x) = a.x + b.
Les fonctions g(x) = x et h(x) = 1 constituent une base de E.
Soit f(x) = a.x + b :
f(x) = a g(x) + b h(x) f = a.g + b. h
Les coordonnées de f dans la base (g, h) sont a et b.
Théorème et définition : Si un espace vectoriel E sur R a une base ayant n éléments,
alors toute base de E a n éléments. L’entier n, nombre commun des éléments de toutes
les bases est appelé dimension de E.
Exemple : dim R x R = 2, dim R x R x R = 3.
4. Dépendance et indépendance linéaires
Définition : On dit qu’une famille (u1, u2, … un) de vecteurs d’un espace vectoriel E sur
R est une famille de vecteurs linéairement indépendants ou encore une famille libre si
et seulement si quels que soient les réels λ1, λ2, …, λn
λ1 u1 + λ2 u2 + … + λn un = 0 => λ1 = λ2 = … = λn = 0
Définition : On dit qu’une famille (u1, u2, … un) de vecteurs d’un espace vectoriel E sur
R et une famille de vecteurs linéairement dépendants ou encore une famille liée si et
seulement si il existe des nombres réels λ1, λ2, …, λn non tous nuls tels que
λ1 u1 + λ2 u2 + … + λn un = 0
Théorème : Une famille de vecteurs de E est liée si et seulement si un des vecteurs de la
famille est combinaison linéaire des autres.
Théorème : Toute famille (e1, e2, …en) d’éléments d’un espace vectoriel E sur R est
une base de E si et seulement si elle est à la fois génératrice de E et libre.
Théorème : Etant donné un espace vectoriel E sur R de dimension n, toute famille libre
de n éléments de E est une base de E.
89
Exercices
Exercice 31.
Soit E = R x R x R
Montrer que (1,0, 0), (0,1,0) et (0, 0,1) constituent une base de R x R x R.
Exercice 32. C
Soit E un espace vectoriel de dimension 2 soit (a,b) une base de E.
Soit deux vecteurs u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b
On appelle déterminant du couple de vecteurs (u, u’) de E dans la base (a,b), le nombre
λ. µ’ - µ λ’ .
Montrer que les vecteurs u et u’ sont linéairement dépendants si et seulement
λ. µ’ - µ λ’ = 0
les vecteurs u et u’ sont linéairement indépendants
Corrections
32.
1ère partie de la démonstration. - Hypothèse : u et u’ sont linéairement dépendants
Montrons qu’alors on a λ. µ’ - µ λ’ = 0
Si u et u’ sont linéairement dépendants, l’un des deux vecteurs est combinaison linéaire
de l’autre.
u = k. u’ (1)
or u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b
L’égalité (1) peut s’écrire : λ . a + µ . b = k (λ’. a + µ’.b)
ou λ . a + µ . b - k (λ’. a + µ’.b) = 0
λ . a + µ .b - k λ’.a - k µ’.b = 0
λ . a - k λ’.a + µ .b - k µ’.b = 0
(λ - k λ’) a + (µ - k µ’) b = 0 (2)
90
Comme (a, b) est une base, c’est un système libre
Donc l’équation (2) implique que λ - k λ’ = 0 et µ - k µ’ = 0
1er cas : supposons λ’ ≠ 0 et µ’ ≠ 0
On a alors k = λ / λ’ et k = µ / µ’
Soit λ / λ’ = µ / µ’ ou encore λ. µ’ = µ λ’ ou
λ. µ’ - µ λ’ = 0
Ce qu’il fallait démonter.
2ème cas : supposons λ’ = 0 et µ’ ≠ 0
L’équation (2) implique toujours que λ - k λ’ = 0 et µ - k µ’ = 0
Ce qui donne ici : λ = 0 et µ - k µ’ = 0
et λ. µ’ - µ λ’ = 0
3ème cas : supposons λ’ ≠ 0 et µ’ = 0
L’équation (2) implique toujours que λ - k λ’ = 0 et µ - k µ’ = 0
Ce qui donne ici : λ - k λ’ = 0 et µ = 0
et λ. µ’ - µ λ’ = 0
Dans tous les cas, on a λ. µ’ - µ λ’ = 0
2ème partie de la démonstration - Hypothèse : λ µ’ - µ λ’ = 0
Montrons qu’alors u et u’ sont linéairement dépendants.
λ. µ’ - µ λ’ = 0
1er cas µ’ ≠ 0
λ. = (µ / µ’) . λ’
or u = λ . a + µ . b
donc u = (µ / µ’) . λ’ . a + µ . b
u = µ [ (λ’ / µ’) a + b ]
91
Par ailleurs u’ = λ’.a + µ’.b = µ’ [(λ’ / µ’) .a + b]
Donc u = (µ / µ’) . u’
u et u’ sont liés.
2ème cas µ’ = 0
L’hypothèse initiale devient : µ λ’ = 0
On a donc µ = 0 ou λ’ = 0.
Si µ = 0 et λ’ ≠ 0.
u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b implique : u = λ. a et u’ = λ’. a et donc
u’ = (λ/ λ’). u , u et u’ sont liés.
Si λ’ = 0 et µ ≠ 0
u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b implique u = λ . a + µ . b et u’ = 0
u et u’ = 0 sont liés
Si λ’ = 0 et µ = 0
u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b implique u = λ . a et u’ = 0
u et u’ = 0 sont liés
Dans tous les cas, u et u ‘ sont liés.
92
3. Applications linéaires et équations linéaires
1. Définition : Etant donnés deux espaces vectoriels E et E’ sur R, on appelle
application linéaire de l’espace vectoriel E vers l’espace vectoriel E’ toute application f
de E vers E’ telle que l’on ait :
∀ u ∈ E, ∀ v ∈ E, f (u + v) = f (u) + f (v)
∀ λ ∈ R, ∀ u ∈ E f (λ . u) = λ . f( u)
Exemple : E un espace vectoriel sur R et k ∈ R ; l’application f de E dans E définie
par f(u) = k . u ∀ u∈ E, est une application linéaire (homothétie vectorielle).
Théorème : Pour définir une application linéaire f de E dans E’, deux espaces vectoriels
sur R, il suffit de connaître les valeurs de f pour les éléments d’une base de E.
Soit une base de E : (e1, e2, …en)
Soit u = x 1 .e1 + x 2 . e2
+…+xn
.en. On a f (u) = x 1 f(e1) + x 2 f(e2)
+…+xn
f(en ).
Cas particulier : E’ = E
f(e1) = a 11 .e1 + a 12 . e2
f(e2) = a 21 .e1 + a 22 . e2
+ … + a 1n
+ … + a 2n
.en
.en
………………………………………………………..
f(en ) = a n1 .e1 + a n2 . e2
+ … + a nn
.en
f(u) = x 1 [a 11. e1 + a 12 . e2 + … + a 1n .en]
+ x n [a n1 .e1 + a n2 . e2 + … + a nn .en]
+x2
[a 21 .e1 + a 22 . e2
+ … + a 2n
.en ] + …
f(u) = (a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x 1) e1 +( a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n) e2
(a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n) en +
f(u) = y 1.e1 + y 2 . e2
+…+yn
+ …. +
.en. avec
y 1 = a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x 1
y 2 = a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n
…
y n = a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n
2. Propriétés des applications
Théorème : l’application composée de deux applications linéaires est une application
linéaire.
93
Théorème : pour toute application linéaire f de E dans E’, f(0) = 0 et ∀ u ∈ E , f (- u)
= - f(u).
En effet f(u + 0) = f(u) et f(u + 0) = f(u) + f(0) ; donc f(u) = f(u) + f(0) ; donc f(0) = 0.
f(- u) = f [(-1). u] = (-1) . f(u) = - f(u).
Définition : on appelle image d’une application linéaire de E dans E’, l’ensemble des
éléments u’ de E’, espace vectoriel d’arrivée de f, tel qu’il existe u appartenant à E
vérifiant f(u) = u’. On note l’image de f Im f .
Définition : on appelle noyau d’une application linéaire de E dans E’, l’ensemble des
éléments de E, espace vectoriel de départ de f, dont l’image est O, l’élément neutre de
l’espace vectoriel d’arrivée de f. Le noyau de f est noté Ker f.
Théorème : pour toute application linéaire de E vers E’, Im f est un sous-espace
vectoriel de E’, espace vectoriel d’arrivée de f et Ker f est un sous-espace vectoriel de E
espace vectoriel de départ de f.
Théorème : Soit f une application linéaire de E vers E’. f est surjective si et seulement
si Im f = E’. f est injective si et seulement si Ker f = 0.
Théorème et définition : La bijection réciproque f -1 de toute application linéaire
bijective f de E sur E’ est une application linéaire bijective de E’ sur E. Dans cette
situation, on dit que f est un isomorphisme de l’espace vectoriel E sur l’espace vectoriel
E’. On dit aussi que E et E’ sont isomorphes.
3. Notion d’équation linéaire
Définition : Soit f une application linéaire de E vers E’ espaces vectoriels sur R. et k un
vecteur de E’. On dit que f(u) = k est l’équation linéaire associée à l’application
linéaire f.
Résoudre l’équation f (u) = k, c’est trouver l’ensemble S des vecteurs de E vérifiant
f (u) = k (1)
Supposons E’ = E Soit une base de E : (e1, e2, …en)
En reprenant les notations de la page 31 :
f(e1) = a 11 .e1 + a 12 . e2 + … + a 1n .en
f(e2) = a 21 .e1 + a 22 . e2 + … + a 2n .en
..…………………………………..
f(en ) = a n1 .e1 + a n2 . e2 + … + a nn .en
Soit k = k 1.e1 + k 2 . e2
+…+kn
Résoudre l’équation f(u) = k
.en.
94
C’est trouver x 1, x 2,
inconnues)
…+
x n vérifiant le système d’équations suivant (n équations à n
a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x n = k 1
a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n = k 2
……………………………………
a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n = k 3
Si k = 0, l’équation f(u) = 0 est appelée équation linéaire homogène associée à
l’équation (1). L’ensemble des solutions de cette équation est le noyau de f.
Théorème : si uo est une solution particulière de l’équation linéaire f(u) = k, toute
solution de cette équation est de la forme u = uo + v, où v est un élément quelconque du
noyau de f.
95
Exercices
Exercice 33. C
Soit la fonction f de R x R dans R définie par f (a,b) = a + b.
1°/ Montre que f est une application linéaire
2°/ Déterminer les sous-espaces vectoriels Im f et Ker f.
3°/ Donner une base de Im f et une base de Ker f.
Exercice 34. C
Soit la fonction f de R x R dans R x R, définie par f (a,b) = (a + b, - a +2.b)
1°/ Montre que f est une application linéaire.
2°/ Déterminer les sous-espaces Im f et Ker f.
Exercice 35. C
Soit la fonction f de R x R x R dans R définie par f [(a, b, c)] = ∫ (a.x2 + bx + c) dx,
l’intégrale étant à prendre entre 0 et 1.
1°/ Montre que f est une application linéaire.
2°/ Déterminer les sous-espaces Im f et Ker f.
Exercice 36.
Soit E l’espace vectoriel sur R des fonctions numériques de variable réelle x,
paramétrée par a et b, f(x) = a.x + b.
Soit g l’application de E dans R x R définie par g (f) = (a, b). (avec f (x) = a.x + b)
A l’aide de l’application g, montrer que les espaces E et R x R sont isomorphes.
96
Corrections
33.
1°/ Il faut montrer que
∀ u ∈ R x R, ∀ v ∈ R x R, f (u + v) = f (u) + f (v)
∀ λ ∈ R, ∀ u ∈ R x R f (λ u) = λ f( u)
f [(a, b) + (a’, b’) ] = f [ (a + a’, b + b’) = a + a’ + b + b’
f [(a, b)] + f [(a’, b’)] = a + b + a’ + b’.
f [λ (a, b) ] = f [(λ a, λ b)] = λa + λb
λ f [(a, b) ] = λ ( a + b) = λ a + λ b
Donc f est une application linéaire.
2°/ Détermination de l’image de f.
Soit k∈ R, existe-t-il (a, b) ∈ R x R avec f[(a,b)] = k ?
C’est-à-dire a + b = k
b choisi arbitrairement, et a = k – b, donc Im f = R.
3°/ Détermination du noyau de f.
(a, b) ∈R x R avec f [(a, b)] = 0 ; c’est-à-dire a + b = 0 a = - b
Ker f = { (a,b) ∈R x R / a = - b) } = [( a, - a) / a ∈ R}
4°/ Base de Im f = R
Le vecteur 1 constitue est une base de R / pour tout u ∈ R u = u . 1
Base de Ker f [(a, - a) / a ∈ R}
Le vecteur (1, - 1) constitue une base de Ker f :
(a, - a) = a (1, -1).
34.
Soit la fonction f de R x R dans R x R, définie par f (a, b) = (a + b, - a + 2.b)
1°/ f est une application linéaire
97
f [(a, b) + (a’, b’) ] = f [ (a + a’, b + b’) = [ (a + a’) + (b + b’) , - (a + a’) + 2 (b + b’)]
f [(a, b)] + f[(a’, b’)] = (a + b, - a + 2 b) + (a’ + b’, - a’ + 2 b’) =
(a + b + a’ + b’, - a + 2 b- a’ + 2 b’) = [(a + a’) + (b + b’), - ( a + a’) + 2 (b + b’)]
f [λ (a, b) ] = f [(λ a, λ b)] = (λ a + λ b, - λ a + 2 λ b)
λ f [(a, b) ] = λ (a + b, - a + 2 b) = (λ a + λ b, - λ a + 2 λ b)
Donc f est une application linéaire.
2°/ Sous-espaces Im f et Ker f.
3°/ Base de Im f et base de Ker f.
Détermination de l’image de f
Soit (p, q) ∈ R x R, existe-t-il (a, b) ∈ R x R avec f [(a, b)] = (p, q) ?
(a + b, - a + 2 b) = (p, q) <= > a + b = p et - a + 2 b = q
3 b = p + q d’où b = (p + q ) / 3
a = p – b = p - (p + q ) / 3 = (2p - q) / 3
Donc Im f = R x R
Détermination du noyau de f
f [(a, b)] = (0, 0)
(a + b, - a + 2.b) = (0, 0) <= > a + b = 0 et - a +2 b = 0
D’après le calcul précédant :
a = 0 et b = 0
Donc Ker f = (0, 0)
35.
Soit la fonction f de R x R x R dans R définie par f [(a, b, c)] = ∫ (a x2 + b x + c) dx,
l’intégrale étant à prendre entre 0 et 1.
1°/ Montrons que f est une application linéaire
f (u + v) = f (u) + f (v) et f (λ u) = λ f( u) [à vérifier]
2°/ Détermination des sous-espaces Im f et Ker f.
Im f ?
soit k ∈ R existe-t- il (a, b, c,) tels que f (a,b,c) = k
∫ (a x2 + b x + c) dx = k
98
[1/3 a x3 + ½ b x2 + c x ] x = 1 - [1/3 a x3 + ½ b x2 + c x ] x = 0 = k
1/3 a + ½ b + c = k
a et b arbitraires, et c = k - 1/3 a - ½ b.
Donc Im f = R
Ker f ?
f [(a, b, c)] = 0
∫ (a x2 + b x + c) dx = 0
a et b arbitraires, et c = - 1/3 a - ½ b.
1/3 a + ½ b + c = 0
Ker f = { (a, b, - 1/3 a - ½ b) / a ∈ R et b ∈ R }
3°/ Base de Im f : le réel 1.
Base de Ker f
(a, b, - 1/3 a - ½ b) = a (1, 0, -1/3) + b (0, 1, -1/2)
Et (1, 0, -1/3) et (0, 1, -1/2) sont des éléments de Ker f car ils vérifient
la relation : 1/3 a + ½ b + c = 0
Donc S = {(1, 0, -1/3), (0, 1, -1/2)} est un système générateur de Ker f.
Est-ce un système libre ?
Hypothèse : λ (1, 0, -1/3) + µ (0, 1, -1/2) = (0, 0, 0)
(λ, µ, -1/3 λ -1/2µ) = (0, 0, 0) donc λ = 0 et µ = 0, S est un système libre.
C’est donc un système générateur de Ker f libre. C’est une base de Ker f .
99
Pierre V. Tournier
ÉLÉMENTS DE CALCUL MATRICIEL
1. Définitions
1. Notation
On appelle matrice de n lignes et p colonnes un tableau de nombres disposés de la façon
suivante :
x11
x12
x13 …
x 1p
x21
x22
x23 …
x 2p
.……………………………….
xn1
xn2
xn3
… x np
Cette matrice est dite d’ordre n x p
x i j est l’élément de la ligne i et de la colonne j
La matrice peut être notée : [ x i j ], avec i = 1 à n et j = 1 à p.
2. Matrices particulières
* Une matrice dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice zéro.
* Si n = 1, la matrice est dite matrice ligne.
* Si p = 1, la matrice est dite matrice colonne.
* Si n = p, la matrice est dite matrice carrée d’ordre n. Dans une matrice carrée, les
éléments x i i constituent la diagonale principale.
* Si ∀ i ∈ { 1, 2, …, n} et ∀ j ∈ { 1, 2, …, n}
symétrique.
x ij
=
x
ji ,
la matrice carrée est dite
* Si ∀ i ∈ { 1, 2, …, n} et ∀ j ∈ { 1, 2, …, n} , x i j = 0 si i ≠ j, la matrice carrée est
dite diagonale.
* Une matrice diagonale dont tous les éléments non nuls sont égaux à un même nombre
λ, est dite matrice scalaire.
100
* La matrice scalaire dont tous les éléments sont égaux à 1 est dite matrice identité
d’ordre n. Elle est notée I ou In.
* Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les éléments qui se trouvent
au dessous (triangulaire supérieure) ou au dessus (triangulaire inférieure) de la diagonale
principale sont nuls.
* On appelle sous-matrice d’une matrice donnée, une matrice obtenue en supprimant
une ou plusieurs lignes et/ou une ou plusieurs colonnes de la matrice initiale.
2. Opérations sur les matrices
1. Espace vectoriel des matrices d’ordre n x p.
* Addition de deux matrices (loi interne) :
[ a i j ] et [ bi j ] avec i = 1 à n et j = 1 à p.
[ a i j ] + [ bi j ] = [ a i j + bi j ]
* Produit d’une matrice par un scalaire λ (loi externe)
[ a i j ] avec i = 1 à n et j = 1 à p., λ est un nombre réel.
λ . [ a ij ] = [ λ . a ij ].
Théorème : L’ensemble des matrices d’ordre n x p, muni de l’addition de deux matrices
et du produit d’une matrice par un scalaire est un espace vectoriel sur R.
2. Produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne de même ordre
Soit une matrice ligne U = [x1
x2
x3 …
x n]
Soit une matrice colonne V =
y1
y2
y3
…
yn
Le produit U.V est défini par U.V = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + … + xn yn
Le produit de ces deux matrices est un scalaire. On parle de produit scalaire.
101
3. Produit de deux matrices
Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la première
est égal au nombre de lignes de la seconde ; le résultat est une matrice qui a autant de
lignes que la première et autant de colonne que la seconde.
Soit U une matrice d’ordre n x k et V une matrice d’ordre k x p. Le produit W = U . V
est la matrice d’ordre n x p dont l’élément z i j est le produit scalaire de la ie ligne de U
et de la je colonne de V.
Soient les matrices U = [ x i j ], avec i = 1 à n et j = 1 à k.
et V = [ y i j ], avec i = 1 à k et j = 1 à p.
W = U . V = [z i j ] = [x i j ] . [ y i j ]
et z i j
=
x i1 . y1j
+
x i2 . y2j
avec i = 1 à n et j = 1 à p.
+… +
x ik . ykj
Propriétés
* Soit U une matrice d’ordre n x k, v et w des matrices d’ordre k x p
U ( V + W) = U.V + U.W
* Soit U et V des matrices d’ordre n x k et W une matrice d’ordre k x p
(U + V) . W = U.W + V.W
* U . 0 = 0. U = 0
*U.I= I.U=U
Attention
* En général U. V ≠ V. U
* U . V = 0 n’implique pas nécessairement U = 0 ou V = 0
* U . V = U . W n’implique pas nécessairement V = W
4. Transposée d’une matrice
On appelle transposée d’une matrice carrée U = [a i j] d’ordre n, la matrice carrée
V = [bi j ] d’ordre n définie par bi j = a j i
On note V = Ut
102
Propriétés
Une matrice symétrique est identique à sa transposée.
(U t) t = U
(U + V) t =Ut + V t
(U .V) t = V t. U t
5. Déterminant et inverse d’une matrice
* A toute matrice carrée U, on peut associer un scalaire appelé déterminant de U, noté
dét (U) et calculé comme suit pour les matrices d’ordre 2
x11
x21
x12
x22
dét (U) = x11. x22 - x12 x21
* Soit U une matrice carrée d’ordre 3
x11 x12
x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
A chaque élément de U on peut associé son mineur , c’est-à-dire le déterminant de la
sous-matrice obtenue en supprimant la ligne et la colonne où se trouve l’élément
considéré.
Exemple : Mineur de x11 = x22. x33 - x23 x32. Mineur de x21 = x12. x33 - x13 x32
Mineur de x31 = x12. x23 - x13 x22.
Le cofacteur de l’élément xij noté aij est égal à (-1)i+j Aij, où Aij est le mineur de xij.
Exemple : a11 = x22. x33 - x23 x32 , a21 = - (x12. x33 - x13 x32) , a31 = x12. x23 - x13 x22 .
Le déterminant d’une matrice carré d’ordre quelconque est égal à la somme des produits
des éléments d’une ligne (ou d’une colonne) par leurs cofacteurs.
x11 x12 x13
U = x21 x22 x23
x31 x32 x33
dét (U) = x11 .( x22. x33 - x23 x32 ) - x21 (x12. x33 - x13 x32 ) + x31 (x12. x23 - x13 x22)
103
Définitions : On appelle matrice singulière une matrice dont le déterminant est nul. On
appelle matrice régulière, une matrice dont le déterminant est différent de 0.
Propriétés des déterminants
1. Une matrice et sa transposée ont le même déterminant.
2. Un déterminant change de signe si on permute deux lignes (ou deux colonnes).
3. Un déterminant est nul s’il contient deux lignes (ou deux colonnes) identiques.
4. Pour multiplier (ou diviser) un déterminant par un nombre, on multiplie (ou on divise
les éléments d’une seule ligne ou d‘une seule colonne par ce nombre.
5. Un déterminant est nul si deux lignes (ou deux colonnes) sont proportionnelles.
6. Le déterminant du produit de deux matrices carrées de même ordre est égal au
produite de leurs déterminants.
Inverse d’une matrice
Soit U une matrice carrée non singulière (dét U ≠ 0) On appelle inverse de la matrice
U, la matrice U-1 telle que U . U-1 = U-1 .U = I.
Méthode de calcul de la matrice inverse :
1/ Calcul du déterminant de U
2/ Calcul de la matrice adjointe de U, notée adj (U), obtenue en transposant U et en
remplaçant dans Ut chaque élément par son cofacteur.
3/ U-1 = adj (U) / det U.
Exercices
Exercice 37.
Soit (E, +, .) l’espace vectoriel des matrices d’ordre 2 x 3. Déterminer une base de cet
espace. En déduire la dimension de E.
Exercice 38.
Soit (E, +, .) l’espace vectoriel des matrices d’ordre n x p. Les ensembles suivants
sont-ils des sous-espaces vectoriels de E ?
104
Ensemble des matrices lignes d’ordre p : ensemble des matrices colonnes d’ordre n ;
ensemble des matrices carrées d’ordre n ; ensemble des matrices carrées symétriques d’ordre n ; ensemble des matrices carrées diagonales d’ordre n ; l’ensemble des
matrices scalaires d’ordre n ; l’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre
n; l’ensemble des matrices triangulaires inférieures d’ordre n.
Exercice 39. C
Calculer la matrice inverse de U
+ 2 -3
-1
U= -1 +4 +2
+2
-1 +5
Corrections
39.
Calculer la matrice inverse de U
+ 2 -3
-1
U= -1 +4 +2
+2
-1 +5
Det U = 2 [ 4 x 5 – 2 x (-1)] - (-1) [ (-3) x 5 – (-1) (-1)] + 2 [ (-3) (2) – (-1) (4) ]
Det U = 44 - 16 - 4 = 24.
+ 2
U = -3
-1
t
22
Adj U = 9
-7
-1
U
-1
+4
+2
+2
-1
+5
16 - 2
12 - 3
-4
5
22/24 16/24 - 2/24
= 9/24 12/24 - 3/24
-7/24 - 4/24 5/24
U . U-1 = ?
22/24 16/24 - 2/24
9/24 12/24 -3/24
-7/24 - 4/24 5/24
+2
-1
+2
-3
+4
-1
-1
+2
+5
1
0
0
Vérification : U . U-1 = I
0
1
0
0
0
1
105
3. Matrice d’une application linéaire
1. Représentation d’un vecteur par une matrice
Soit E un espace vectoriel sur R, de dimension n et soit une base de E : (e1, e2, …en)
Soit u un vecteur de E, u = x 1.e1 + x 2.e2
+…+xn
.en
Au vecteur u on peut associer la matrice X à une colonne formée par les coordonnées
de u dans la base (e1, e2, …en), mais aussi la matrice transposée Xt à une ligne.
x1
X = x2
X t = [x 1 x 2 …. x n ]
.
xn
2. Représentation d’un système de vecteurs par une matrice
Soit un système de vecteurs de E
S = { u1, u2 … , up }
On peut associer à S la matrice A d’ordre n x p en mettant dans la i-ième colonne les
coordonnées du vecteur ui dans la base (e1, e2, …en)
u1= x 11. e1 + x 21 . e2
u2= x 12.e1 + x 22 . e2
+ … + x n1
+ … + x n2
.en
.en
………………………………………
up= x 1p.e1 + x 2p . e2
+ … + x np
.en
La matrice A se présente ainsi
e1
e2
en
u1,
u2 … up
x11 x12 … x1p
x21 x22 … x2p
…………………..
xn1 xn2 … xnp
2. Représentation d’une application linéaire par une matrice
Soit f une application linéaire d’un espace vectoriel E de dimension n, sur R, dans luimême. Soit (e1, e2, …en), une base de E.
Reprenons les calculs de la page 31.
Soit u = x 1 .e1 + x 2 . e2
f(e1) = a 11 .e1 + a 12 . e2
f(e2) = a 21 .e1 + a 22 . e2
+…+xn
.en. On a f (u) = x 1 f(e1) + x 2 f(e2)
+ … + a 1n
.en
a
+ … + 2n .en
………………………………………………………..
f(en ) = a n1 .e1 + a n2 . e2
+ … + a nn
.en
+…+xn
f(en ).
106
f(u) = x 1 [a 11. e1 + a 12 . e2 + … + a 1n .en]
+ x n [a n1 .e1 + a n2 . e2 + … + a nn .en]
+x2
[a 21 .e1 + a 22 . e2
+ … + a 2n
.en ] + …
f(u) = (a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x 1) e1 +( a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n) e2
(a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n) en +
f(u) = y 1.e1 + y 2 . e2
+…+yn
+ …. +
.en. avec
y 1 = a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x n
y 2 = a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n
…
y n = a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n
On peut écrire ces équations sous forme matricielle de la façon suivante :
y1
a 11 a 21 … a n1
y 2 = a 12 a 22 … a n2 .
…
yn
a 1n a 2n … a nn
x1
x2
xn
ou encore Y = A. X
X est le vecteur colonne constitué des coordonnées de u dans la base (e1, e2, …en).
Y est le vecteur colonne constitué des coordonnées de f(u) dans la base (e1, e2, …en).
Quant à la matrice carrée A d’ordre n : la colonne i est constituée des cordonnées du
vecteur f(ei ) dans la base (e1, e2, …en).
Définition : A est dite matrice associée à l’application linaire f quand on choisit (e1, e2,
…en), comme base de E.
4. Changement de bases et matrice de passage
Soit E un espace vectoriel sur R, de dimension n et soit deux bases de E : e = (e1, e2,
…en) et e’ = (e’1,e’2, …e’n)
Avec :
e’1 = a 11. e1 + a 21 . e2 + … + a n1 . en
e’2 = a 12.e1 + a 22 . e2 + … + a n2 . en
……………………………….....
e’n = a 1n.e1 + a 2n . e2 + … + a nn . en
107
Soit P la matrice suivante
a 11 a 12 … a 1n
a 21 a 22 … a 2n
…………………
a n1 a n2 … a nn
Soit u un vecteur de E de coordonnées (x 1, x 2,
(x’ 1, x’ 2, … x’ n) dans la base (e’1, e’2, …e’n).
u = x 1.e1 + x 2 . e2
+…+xn
u = x’ 1.e’1 + x’ 2 . e’2
+…+
…
x n) dans la base (e1, e2, …en) et
.en
x’ n .e’n
x1
X = x2
...
xn
x’ 1
X’ = x’ 2
...
x’ n
Résultat admis : X = P. X’
Ou encore P - 1 . X = P - 1 P. X’
D’où X’ = P- 1 . X
Définition : X’ fournit les nouvelles coordonnées de u en fonction des anciennes. P est
dite matrice de passage de l’ancienne base e vers la nouvelle e’.
5. Résolution des systèmes d’équations linéaires
1. Système de trois équations non homogènes à trois inconnues
a11 x + a12 y + a13 z = b1
a21 x + a22 y + a23 z = b2
a31 x + a32 y + a33 z = b3
Ecriture matricielle :
a11 + a12 + a13
x
b1
a21 + a22 + a23 . y = b2
z
b3
a31 + a32 + a33
(1)
(1)
(1)
108
ou A . T = B
Soit les déterminants suivants :
D = det
a11 + a12 + a13
a21 + a22 + a23
a31 + a32 + a33
Dx = det
b1 + a12 + a13
b2 + a22 + a23
b3 + a32 + a33
Dy = det
a11 + b1 + a13
a21 + b2 + a23
a31 + b3 + a33
Dz = det
a11 + a12 + b1
a21 + a22 + b2
a31 + a32 + b3
Si D ≠ 0, x = Dx / D, y = Dy / D et z = Dz / D
6. Diagonalisation
Nous nous limiterons au cas suivant : diagonalisation d’une application linéaire f d’un
espace vectoriel de dimension n dans lui même qui admet n valeurs propres deux à deux
distinctes (ou diagonanisation de la matrice A associée à f dans une base de E donnée).
Position du problème : Soit (E +, .) un espace vectoriel sur R de dimension n, soit f
une application linéaire de E sur lui-même. Soit A la matrice carrée n x n associée à f
dans la base (e1, e2, …, en).
On dit f (ou A) est diagonalisable si f (ou A) peut être représentée dans une base
convenablement choisie par une matrice diagonale (B).
Définition : on appelle vecteur propre de f (ou de A) tout vecteur V ≠ 0 tel que
A. V = λ. V, λ étant un nombre réel. On dit que λ est la valeur propre correspondante.
Condition nécessaire et suffisante de diagonalisation : f application linéaire de E sur
lui-même (ou A la matrice associée dans une base donnée) est diagonalisable si et
seulement s’il existe une base de vecteurs propres. Les valeurs propres de f (ou de A)
sont les éléments diagonaux de la matrice B recherchée.
109
Méthode de diagonalisation
1ère étape. Détermination des valeurs propres
A. V = λ.V = > A . V = λ. I.V = > A . V - λ. I.V = 0
On a, nécessairement, det (A - λ. I). = 0
= > (A - λ. I). V = 0
car V ≠ 0.
Donc la matrice A - λ. I est une matrice singulière.
Définition : L’équation det (A - λ. I) = 0 est appelée équation caractéristique. Ses
racines sont les valeurs propres λ1 , λ2 , …, λn .
La matrice recherchée B est constituée des valeurs propres.
2ème étape . Détermination des vecteurs propres
Les vecteurs propres s’obtiennent en remplaçant λ par chacune de ses valeurs ( λ1 , λ2 ,
…, λn ) .dans la relation (A - λ. I). V = 0.
(V1, V2, …, Vn) la base constituée par les vecteur propres.
3ème étape . Calcul de P et P-1
Soit P est la matrice, régulière, de passage de (e1, e2, …, en). à la base (V1, V2, …, Vn)
P-1 = adj (P) / det P.
On a B = P-1 . A . P
B est la matrice associée à f dans la base (V1, V2, …, Vn)
Exercices
Exercice 40.
Soit (E, + , . ) un espace vectoriel sur R de dimension 3 et une application linéaire f de
E sur lui-même (endomorphisme)
Soit (e1, e2, e3) une base de E.
A u = x1.e1 + x2. e2 + x3.e3 f associe f(u) = y1.e1 + y2. e2 + y3.e3
avec les relations :
y1= 5 x1 + x2 - x3.
y2 = 2 x1 + 4 x2 - 2 x3
110
y3 = x1 - x2 + 3 x3
Soit A la matrice qui représente f dans la base (e1, e2, e3)
5
1 -1
A= 2
4 -2
1 -1 3
5
2
1
1 -1
4 -2
-1 3
x1
. x2
x3
y1
= y2
y3
Ou encore A . X = Y
Diagonaliser la matrice A. En déduire An
Corrections
40.
det (A - λ. I) = 0
det (A - λ. I). = det
5- λ
2
1
1
-1
4-λ -2
-1 3-λ
det (A - λ. I) = (5 - λ) [ ( 4 – λ) (3 – λ) – (-2) [ (-1)] - 2 [(1) (3 – λ) – (-1)(-1)]
+ 1 [(1(-2) – (-1) (4 – λ)
det (A - λ. I) = (5 - λ) (12 - 3 λ - 4 λ + λ2 - 2) – 2 ( 3 – λ – 1) + ( -2 + 4 - λ =
(5 – λ) (λ2 - 7 λ + 10) - 4 + 2 λ + 2 - λ = (5 – λ) (λ2 - 7 λ + 10) - 2 + λ =
5 λ2 - 35 λ + 50 – λ3 + 7 λ2 - 10 λ - 2 + λ = – λ3 + 12 λ 2 - 44 λ + 48
det (A - λ. I) = 0 < = > – λ3 + 12 λ 2 - 44 λ + 48 = 0
λ1 = 2, λ2 = 4 et λ3 = 6
Les vecteurs propres s’obtiennent en remplaçant λ par chacune de ses valeurs dans la
relation A. V = λ. V ou (A - λ. I). V = 0 .
Soit x1, x2, x3. les coordonnées de V dans la base (e1, e2, e3).
(5 - λ). x1 + x2 - x3 = 0
2 x1 + (4 – λ). x2 - 2 x3 = 0
x1 - x2 + (3 – λ). x3 = 0
111
pour λ1 = 2 , cela donne
3 x1 + x2 - x3 = 0
2 x1 + 2x2 - 2 x3 = 0
x1 - x2 + x3 = 0
4 x1 = 0
x1 = 0
x2 - x3 = 0
2x2 - 2 x3 = 0
- x2 + x3 = 0
On peut prendre x2 = 1 et x3 = 1
Soit V1 (0, 1, 1)
pour λ2 = 4 , on peut prendre V2 (1, 0, 1)
pour λ3 = 6, on peut prendre V3 (1, 1, 0)
Considérons la nouvelle base constituée de V1 (0, 1, 1) , V2 (1, 0, 1) et V3 (1, 1, 0)
Soit P la matrice de passage de (e1, e2, e3) à (V1,V2,V3).
011
P= 101
110
-½ ½ ½
P = ½ -½ ½
½ ½ -½
-1
0 4 6
AP = 2 0 6
2 4 0
2 0 0
B = P-1 AP = 0 4 0
0 0 6
Par rapport à la base (V1 V2 V3), l’application linéaire f est définie par
y’1= 2 x’1 , y’2 = 4 x’2 , y’3 = 6 x’3
En déduire An
B = P-1 A P
112
P B = P. P-1 A P
P B P-1 = P P-1 A P P-1
P B P-1 = I A I = A
A = P B P -1
An = (P B P -1)n =( P B P -1) (P B P -1) (P B P -1) … (P B P -1) (P B P -1) (P B P -1)
Produit de n termes égaux à P B P -1
An = P B (P -1 P) B (P -1 P) B (P -1 … P) B (P -1) P) B (P -1P) B P -1 =
A n = P Bn P -1
B étant diagonale, Bn est facile à calculer :
Bn
2n 0 , 0
= 0 4n 0
0 0 6n
113
Révision en algèbre linéaire (cahiers n°3 et n°4)
Exercice n°41
1. Montrer que R x R x R muni des opérations suivantes est un espace vectoriel sur R :
(a, b, c ) ∈R x R x R, (a’, b’, c’ ) ∈ R x R x R , ∀ λ ∈ R
Définition de + : (a, b, c ) + (a’, b’, c’) = (a + a’, b + b’, c +c’)
Définition de . : ∀ λ ∈ R λ. (a, b, c) = (λ a, λ b, λ c).
2. Montrer que le système e = {(1, 0,0), (0,1,0) ,(0,0 1)} constitue une base de R x R x
R
3. Montrer que F = {(a, b, c) ∈ R x R x R / a + b + c = 0} est un sous-espace vectoriel
de R x R x R.
4. Montrer que le système {(1, 0, -1) , ( 0, 1, -1) } constitue une base de F.
5. Montrer que {(1, 0, - 1), (0, 1, - 1) (1, 0, - 1)} est un système dépendant.
6. Soit f l’application de R x R x R dans R définie par :
f {(a, b, c)} = a + b + c . Montrer que f est une application linéaire de R x R x R sur R
(forme linéaire).
7. Calculer Im f, donner une base de Im f, f est-elle surjective ?
8. Calculer Ker f, donner une base de Ker f, f est-elle injective ?
9. Déterminer la matrice associée à f, en choisissant e comme de base de R x R x R et 1
comme base de R.
10. Soit g une application linéaire de l’espace vectoriel R x R x R, dans lui-même
dont la matrice A, est définie par
114
0
a a2
1/a 0 a
1/a2 1/a 0
en choisissant comme base de R x R x R e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,(0, 0, 1) } .
Déterminer le noyau et l’image de g. Que peut-on en conclure pour g ? Déterminer les
valeurs propres de A.
Correction °41
n°1. R x R x R est un espace vectoriel sur R :
(a, b, c ) ∈R x R x R, (a’, b’, c’ ) ∈ R x R x R , λ ∈ R
(a, b, c ) + (a’, b’, c’) = (a + a’, b + b’, c +c’)
λ (a, b, c) = (λ a, λ b, λ c).
Exemple de démonstration : commutativité de la loi interne + dans R x R x R
(a’, b’, c’) + (a, b, c ) = (a’ + a, b’+ b, c’ + c) = ( a + a’, b + b’, c + c’) =
(a, b, c ) + (a’, b’, c’)
La commutativité de la loi + dans R x R x R est une conséquence directe de la
commutativité de l’addition dans R.
L’élément neutre pour la loi interne + est le vecteur (0, 0, 0).
L’élément symétrique de (a, b, c) est (- a, - b, - c).
n°2. Le système e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,(0, 0, 1)} constitue une base de R x R x R.
On va montrer que e est générateur et libre (théorème de la page 29).
(a, b, c) ∈ R x R x R
(a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1)
Ainsi tout vecteur de R x R x R s’obtient comme combinaison linéaire des vecteurs du
système e. Donc e est générateur.
Montrons que c’est un système libre :
Hypothèse : α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
115
Donc (α, β, γ) = (0, 0, 0) donc α =β = γ = 0.
e est un système générateur et libre, c’est donc une base de R x R x R
n°3. F = {( a, b, c) ∈R x R x R / a + b + c = 0} est un sous-espace vectoriel de R x R x
R.
Montrons que F est stable par combinaison linéaire.
(a, b, c ) ∈F donc, par définition de F : a + b + c = 0
(a’, b’, c’) ∈F donc a’ + b’ + c’ = 0
λ ∈ R λ’ ∈ R
λ (a, b, c ) + λ’ (a’, b’, c’) est-il un élément de F ?
λ (a, b, c ) + λ’ (a’, b’, c’) = (λ a, λ b, λ c ) + (λ’a’, λ’ b’, λ’c’) =
(λ a + λ’a’, λ b + λ’ b’, λ c + λ’c’).
Ajoutons les composantes de ce vecteur
(λ a + λ’a’) + (λ b + λ’ b’) + (λ c + λ’c’) = λ ( a +b + c) + λ’ ( a’ +b‘+ c’) = 0
Donc F est stable par combinaison linéaire.
Donc F est un sous-espace vectoriel de R x R x R
n°4. Le système {(1, 0, -1), ( 0, 1, -1) } constitue une base de F.
u = (1, 0, -1) et v (0, 1, -1) sont bien des vecteurs de F ( 1 – 1 = 0)
Montrons que (u, v) est un système générateur de F
(a, b, c) ∈ F, donc a + b + c = 0 et c = - (a +b)
Le vecteur peut s’écrire [a, b, - (a+b)]
[a, b, - (a + b) ] = a (1, 0, -1) + b ( 0, 1, -1) = a. u + b. v
(u, v) est un système générateur de F.
Montrons que (u, v) est un système libre.
Hypothèse : α u + β v = (0, 0, 0)
116
u = (1, 0, -1) et v (0, 1, -1)
α (1, 0, -1) + β ( 0, 1, -1) = (0, 0, 0)
(α, 0, - α) + (0, β, - β) = (0, 0, 0)
[α, β, - (α + β)] = (0, 0, 0)
α =0,β=0
Donc le système (u, v) est libre.
n°5. Montrons que { (1, 0, - 1), (0, 1, - 1) (1, 0, - 1)} est un système dépendant.
Hypothèse : α (1, 0, -1) + β (0, 1, -1) + γ (1, 0, - 1) = (0, 0, 0)
α (1, 0, -1) + β (0, 1, -1) + γ (1, 0, - 1) = (0, 0, 0)
(α, 0, - α) + (0, β, - β) + (γ, 0, - γ) = (0, 0, 0)
(α + γ, β, - α - β- γ) = (0, 0, 0)
α + γ = 0 , β = 0 et - α - β- γ = 0.
α+γ =0, β=0
On peut donc trouver α, β ,γ non tous nuls
Le système est dépendant.
n°6. Montrons que f est une application linéaire
f {(a, b, c)} = a + b + c .
(a, b, c ) ∈R x R x R, (a’, b’, c’ ) ∈ R x R x R , λ ∈ R
f [(a, b, c ) + (a’, b’, c’) ] = f (a + a’, b + b’, c + c’) = (a + a’) + (b + b’) + (c + c’) =
(a + a’ + b + b’ + c + c’ = (a + b + c) + (a’+ b’+ c’) = f [(a, b, c )] + f [(a’, b’, c’ )].
f [λ (a, b, c)] = f [λ a, b λ, c λ)] = λ a + λb + λc = λ (a + b + c) = λ f [ (a, b, c)]
Donc f est une application linéaire de R x R x R dans R.
117
n°7. Calcul de Im f
Im f = { k ∈R / ∃ (a, b, c) avec f {(a, b, c) = k }
Soit k un réel donné.
On cherche (a, b, c) de telle sorte que
f {(a, b, c) } = k ou encore a + b + c = k.
On peut choisir b et c quelconques et a = k – b – c.
Donc Im f = R. on peut prendre comme base de R { 1}.
f est une surjection de R x R x R sur R.
n°8. Calcul de Ker f
Ker f = { u ∈ R x R x R / f (u) = 0 }
u = (a, b, c)
u ∈ Ker f < => a + b + c = 0
Ker f = F (voir question n° 3).
u = (1, 0, -1) et v ( 0, 1, -1) constituent une base de F
Ker f ≠ {(0,0,0 )} . f n’est donc pas injective.
n°9. Matrice associée à f , en choisissant e comme de base de E et 1 comme base de R.
Base de R x R x R e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,(0, 0, 1) }
Base de R = {1}
Dans le cours concernant la représentation d’une application linéaire par une matrice
(page 42), on s’est limité au cas des applications d’un espace vectoriel vers lui-même.
Mais ces considérations peuvent se généraliser au cas d’une application d’un espace
vectoriel E vers un espace vectoriel E’.
u = (a, b, c)
f (u) = a + b + c
Soit A la matrice recherchée.
118
On a Y = A. X
X est le vecteur colonne constitué des coordonnées de u dans la base e = { (1, 0, 0),
(0, 1, 0) , (0, 0, 1) }
Y est le vecteur colonne constitué des coordonnées de f(u) dans la base {1}.
Quant à la matrice carrée A d’ordre 3 : la colonne 1 est constituée des cordonnées du
vecteur f (1, 0, 0) dans la base {1} etc.
a
[ a + b + c ] = [1, 1, 1 ] . b
c
n°10. Soit g une application linéaire de l’espace vectoriel R x R x R, dans lui-même
dont la matrice A, définie par
0
a a2
1/a 0 a
1/a2 1/a 0
en choisissant comme base de R x R x R e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,(0, 0, 1) } .
u ∈ R x R x R, g(u) ∈ R x R x R
On a Y = A. X
X est le vecteur colonne constitué des coordonnées de u dans la base e = { (1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1)
Y est le vecteur colonne constitué des coordonnées de f(u) dans la base e.
Quant à la matrice carrée A d’ordre 3 : la colonne 1 est constituée des cordonnées du
vecteur g (1, 0, 0) dans la base {1} etc.
g ( 1, 0, 0) = 0 x (1, 0, 0) + 1/a (0, 1, 0) + 1/a2 (0, 0, 1)
etc…
Pour déterminer les valeurs propres de A, résolvons l’équation caractéristique
det (A - λ. I) = 0
-λ a
a2
det 1/a - λ
a
1/a2 1/a - λ
=0
- λ (λ2– 1) - 1/a [ - a λ - a ) + 1/ a2 [a2 + λ a2 ] = 0
119
- λ3 + λ + λ + 1
+1+ λ =0
- λ 3 + 3 λ + 2 = 0 (1)
Il s’agit d’une équation du troisième degré.
λ1 = - 1 est une solution « évidente ».
On peut mettre λ + 1 en facteur dans le membre de gauche de l’équation (1)
(λ + 1) (a λ 2 + b λ + c) = a λ 3 + b λ2 + c λ + a λ 2 + b λ + c =
a λ 3 + (a + b). λ 2 + (b +c) λ + c
a = -1
a+b=0
b+ c= 3
c=2
a = - 1 , b = 1 et c = 2
L’équation (1) devient :
( λ + 1 ) (- λ 2 + λ + 2) = 0
- λ2+ λ + 2 + 0
∆= 1+8=9
λ = (- 1 + 3 ) / - 2 = - 1
ou
λ = (- 1 - 3 ) / - 2 = + 2
Les vecteurs propres sont donc λ1 = - 1, λ2 = 2
120
Pierre V. Tournier
RÉVISIONS DE LA 2ème PARTIE
Fonctions numériques
Exercice 42.
Calculer la limite de la fonction f(x) = exp [x / (2 + x)] quand x → + ∞.
Exercice 43.
Donner l’ensemble de définition de la fonction f(x) = Ln [x / (1 – x)]
Exercice 44.
2
Etudier les variations de la fonction f(x) = exp [- x ].
Exercice 45.
Soit une population variant en fonction du temps de la façon suivante :
P(t) = P(0) (1 + k)t . Calculer la période de doublement de cette population.
Calcul différentiel
Exercice 46.
Que signifie « f n’est pas dérivable en xo » ?
Exercice 47.
Calculer la dérivée de f(x) = 1 / Ln x en appliquant le théorème suivant :
121
si f(x) = goh(x), alors f ’(x) = g’[h(x)] . h’(x)
On précisera ce que l’on prend pour h et ce que l’on prend pour g.
Exercice 48.
Soit la fonction f(x) = 1 / (3 x + 1) 2 = (3 x + 1) - 2
Indiquer le domaine de dérivabilité de f. Calculer la fonction dérivée de f de trois
manières différentes, en utilisant successivement les théorèmes suivants :
2
f(x) = 1/u(x)
f ’(x) = - u’(x) / u(x)
f(x) = v(x)n
f ’(x) = n v’(x). v(x)
f(x) = goh(x)
f ’(x) = g’[h(x)] . h’(x)
n-1
On précisera bien le choix que l’on fait de u(x), v(x), h(x) et g(x).
Exercice 49.
Soit la fonction f(x) = ex . Représenter f dans un repère othonormé (e1 ≈ 2,7) et
construire la droite tangente au point x = 0. Calculer le développement de Mac-Laurin
de f(x) d’ordre 1, quand x tend vers 0. Donner une interprétation géométrique de ce
résultat. Calculer le développement de Mac-Laurin de f(x) d’ordre 3, quand x tend vers
0.
Exercice 50.
Soit P(z) un polynôme de degré p et Q(z) un polynôme de degré q
(p et q sont des entiers naturels vérifiant p > q, z une variable réelle).
P(z) = ao + a1.z + a2.z2 + a3.z3 + … + ap-1.zp-1 + ap.zp
Q(z) = bo + b1.z + b2.z2 + b3.z3 + … + bq-1.zq-1 + bq.zq
Quel est le degré du polynôme P(z) + Q(z) et celui du polynôme P(z) x Q(z) ? Quelle
est la limite de la fonction f(z) = P(z) / Q(z) quand z tend vers + ∞ ? Calculer la dérivée
de P(z), puis l’écrire en utilisant le signe ∑. Donner l’ensemble des primitives de P(z)
en utilisant le signe ∑ .
Exercice 51.
122
Calculer la primitive de la fonction f(x) = (- x + 1) (- x2 + 2x – 1)3
qui s’annule pour x = 0.
Rappel sur les fonctions dérivées [u(x)n]’ = n. u’(x) . u(x)n-1
Exercice 52.
Calculer l’ensemble des primitives de la fonction f(x) = - x / ( x2 + 1).
Exercice 53.
En utilisant la méthode d’intégration par parties, calculer l’intégrale suivante :
I = ∫ Ln t . dt à prendre entre 1 et e.
Exercice 54.
Soit l’intégrale I = ∫ et . dt à prendre entre - 1 et + 1. Calculer cette intégrale et
montrer précisément, sur un graphique, ce qu’elle représente.
Exercice 55.
Soit la fonction f(x) = 1/ x2.
Soit I (x) =∫ f(t) . dt à prendre entre 1 et x (x strictement supérieur à 1). Montrer que I
est une intégrale convergente quand x tend vers + ∞.
Primites et intégrales
Exercice 56.
Soit une fonction f définie sur un intervalle [a ; b], F1 et F2 deux primitives de f sur cet
intervalle. Que peut-on dire de la fonction H(x) = F1 (x) - F2 (x).
Exercice 57.
Soit la famille de fonctions paramétrée par a et b réels :
fa,b (x) = ex + a / x + b (2x + 1) / (x2 + x + 1)
123
Donner l’ensemble de définition de fa,b . Calculer l’ensemble des primitives de fa,b.
Calculer la primitive de fa,b (x) qui s’annule pour x = 1.
Si a = 0 et b = 0, f(x) = ex. .Soit C la courbe représentative de f dans un repère
orthonormé. Calculer l’aire qui est comprise entre la droite d’équation y = e, l’axe des y
et la courbe C.
Exercice 58.
Soit la fonction f(x) = 2x +1. Soit D la droite représentative de la fonction f dans un
repère orthonormé. Construire D.
Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b.
Calculer l’intégrale I = ∫ f(t). dt
à prendre entre les bornes a et b. Commenter.
Espaces vectoriels
Exercice 59.
Montrer que R (ensemble des réels), muni de l’addition dans l’ensemble des réels est un
groupe commutatif.
Exercice 60.
Soit E = {(x, y) ∈ R2 / x + y = 1}. On définit la loi + de la façon suivante :
(x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’). La loi + est-elle une loi interne dans E?
Exercice 61.
Soit E = R3 (ou encore R x R x R). On définit la loi + de la façon suivante :
(x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, 0)
La loi + est-elle une loi interne dans R3 ?
Exercice 62.
Soit E l’ensemble des fonctions numériques de variable réelle définies sur R* par
f(x) = a + b/x, avec a ≠ 0 et b ≠ 0
On définit la loi + de la façon habituelle : soit f et g deux fonctions de E,
(f + g) (x) = f(x) + g(x). + est-elle une loi interne dans E ?
Exercice 63.
124
Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les deux vecteurs u et v, avec u = (1, 1) et
v = (1,0). Montrer que S = {u, v} est un système générateur de R2.
Exercice 64.
Soit E l’espace vectoriel des fonctions numériques de variable réelle définies sur R
par f(x) = a.x + b avec a et b réels.
Soit F la partie de E constituée des fonctions de E où a = 0. Montrer que F est un sousespace vectoriel de E (on montrera que F est stable par combinaison linaire).
Exercice 65.
Soit E l’espace vectoriel des fonctions numériques de variable réelle définies sur R
par f(x) = a.x + b avec a et b réels. Soit les deux vecteurs g et h de E définis par g(x)
= 2.x et h(x) = - x. Montrer que S = {g, h} n’est pas un système générateur de E.
Exercice 66.
Donner un exemple d’espace vectoriel et de sous-espace vectoriel associé (différents de
ceux introduits dans les autres exercices).
Exercice 67.
Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les deux vecteurs u et v, avec u = (1,1) et
v = (1,0). S = {u, v} est-il un système lié de R2 ?
Exercice 68.
Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les deux vecteurs u et v, avec u = (1,0) et
v = (1/4, 0). S = {u, v} est-il un système libre de R2 ?
Exercice 69.
Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les trois vecteurs u, v et w avec u = (1, 0),
v = (0, 1) et w = (1, 1). S = {u, v, w} est-il une base de R2 ?
Exercice 70.
125
Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les deux vecteurs u et v, avec u = (Ln 2, 0) et v =
(0, Ln 2). S = {u, v} est-il une base de R2 ?
Exercice 71.
Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère la fonction de E vers F
définie de la façon suivante : Pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x2 + y2.
Soit λ un réel. Calculer λ . f [(x, y)] et f [λ . (x, y)] . En déduire que f n’est pas une
application linéaire de E sur F.
Exercice 72.
Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère la fonction f de E vers
F définie de la façon suivante : Pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x + y
Montrer que f est une application linéaire de E sur F.
Exercice 73.
Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère l’application linéaire f
de E vers F définie de la façon suivante :
Pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x + y. Donner une base de Im f (image de f).
Exercice 74.
Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère l’application linéaire f
de E vers F définie de la façon suivante :
Pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x + y Donner une base de Ker f (noyau de f).
Exercice 75.
Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère la fonction de E dans F
définie de la façon suivante : pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x /y. Calculer f(1, - 3). f
est-elle une application linéaire ?
Exercice 76.
Soit l’espace vectoriel E = R2 et F l’espace vectoriel constitué des fonctions
numériques de variable réelle x, paramétrée par a et b et définies par f(x) = a.x + b.
Soit g l’application de E dans F qui au couple (a, b) associe la fonction f définie par
f(x) = ax + b. Calculer g (1, -3). Montrer que g est une application linéaire de E dans F.
126
Eléments de calcul matriciel
Exercice 77.
Produit de matrices. Soit U et V deux matrices carrées d’ordre 3. Montrer que les
produits U.V et V.U ne sont pas nécessairement égaux. Pour ce faire, on utilisera, les
deux matrices particulières suivantes :
-3
U= 2
-1
2
-1
0
1
0
1
et
V=
-2
3
1 -4
1 -1
0
-1
2
Exercice 78.
Transposition d’une matrice. Soit A et B deux matrices carrées d’ordre 2 quelconques.
Montrer que
(A.B)t = Bt.At
Exercice 79.
Déterminant. Soit I la matrice identité d’ordre 3. Calculer le déterminant de I.
Exercice 80.
Soit A une matrices carrée d’ordre 2. A quelle condition A est-elle une matrice
singulière ?
Exercice 81.
Montrer que la matrice W carrée d’ordre 3 est régulière.
-1
1 -2
W= 1 -3
1
-2
4
3
Exercice 82.
127
Soit E l’espace vectoriel constitué des matrices carrées d’ordre 2. Soit la fonction f de E
dans R qui à une matrice de E associe son déterminant.
Soit A = - 1 - 2
3 -6
Calculer f(A).
f est-elle une application linéaire ?
Exercice 83.
Soit E l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3. Soit F l’ensemble des matrices
scalaires d’ordre 3. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E et que
dim F = 1.
Exercice 84.
Calculer la matrice adjointe de
0
1
1 -2
-1 3
-2
1
-1
Exercice 85.
Calculer la matrice inverse de
1
1
2 -2
-1
3
- 1
1
-2
Exercice 86.
Soit f l’application de R2 dans R2 qui a tout couple (x, y) associe le couple (x + y, 0).
On admettra que f est une application linéaire et que S = { (1,0), (0,1)} est une base de
R2.. Déterminer la matrice A associée à l’application f quand on choisit S comme base
de R2.
Exercice 87.
Soit le système de 3 équations à trois inconnues suivant :
- x+2y–z = 1
+ x – y + 2.z = - 3
-2x+y–3z= -1
128
Ecrire ce système sous forme matricielle. Puis calculer les déterminants D, Dx, Dy et Dz.
On rappelle que si D ≠ 0, les solutions du système sont x = Dx / D, y = Dy / D et
z = Dz / D.
Exercice 88.
On considère l’espace vectoriel R x R x R et la base canonique B
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0,1)}
Soit le système de vecteur B’ = {(1/2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, -1)}. Montre que B’ est
aussi une base de R3.
Donner la matrice de passage P de la base B vers la base B’.
Exercice 89
Soit E, l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré au plus égal à n. Montrer
que le système suivant est une base de E.
S = {Po, P1, P2, …, Pn}, avec Po (x) = 1, P1 (x) = x , P2, (x) = x 2 , …, Pn (x) = xn
Soit f la fonction de E dans E qui à un élement P de E associe sa fonction dérivée P’.
F(P) = P’
Montrer que f est une application linéaire. Déterminer le noyau Ker f et l’image de f, Im
f. Donner une base de Ker f et de Im f.
Donner la matrice A de f relative à la base S.

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