Modèles hyperélastiques dans Cast3M

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Modèles hyperélastiques dans
Cast3M
Application au Caoutchouc
Théorie et programmation UMAT
Laurent GORNET
Maître de Conférences HDR
École Centrale de Nantes, Institut de recherche en Génie Civil et Mécanique – GeM
UMR CNRS 6183
Plan
• Contexte
• Généralités sur les hyperélastiques
– Néo-hookien, Mooney-Rivlin…
• Développement UMAT
– De la théorie à la programmation
• Exemples de validation
– 2D, 3D, Effet Mullins
• Conclusion
UMR CNRS 6183
Durabilité des structures
Interaction modèle-expérience
Fatigue
Rupture
Caoutchouc : études multi-échelles
Thermique
()
∂T
r − div q = ρ .Cp.
∂t
Structures
UMR CNRS 6183
Plan
• Contexte
• Conclusion
UMR CNRS 6183
Essais sur caoutchoucs
Essais cyclés de traction et de glissement pur
Phénomènes :
Effet Payne
Hystérésis
Effet Mullins
UMR CNRS 6183
Modélisations des caoutchoucs
Approche phénoménologique : 1940 - 1975
•Décrire les courbes expérimentales
2 constantes
• Mooney-Rivlin (1940,48)
W = C1 (I1 − 3) + C2 (I 2 − 3)
3 constantes
• Hart-Smith (1967)
I1 − 3
W = C1 ∫0
• Ogden (1972)
3
I2
exp(C I )dI1 +C2 ln
3
'2
3 1
6 constantes
µi α
W =∑
λ1 + λα2 + λα3 − 3
i =1 α iInstitut de recherche en Génie Civil et Mécanique – GeM
École Centrale de Nantes,
i
i
i
UMR CNRS 6183
Modélisations des caoutchoucs
Approche statistique : 1940, 1990 - ?
• Treloar (1943) , James et Guth (1947)
• Arruda et Boyce (1993)
• modèle tube (1997)
•Marckmann et al. (2002)
échec dans les années 40, retour aujourd’hui
UMR CNRS 6183
Néohookien
Approche statistique (1940)
• Energie de déformation
• Statistique Gaussienne
W = C10 (I1 − 3)
C10 = 0.5 NkT
• N: nombre de chaine moléculaire par unité de
volume
• K: constante de Botzmann
• T: température absolue
UMR CNRS 6183
Mooney Rivlin
Approche phénoménologique (1948)
• Matériau incompressible
• Isotrope dans l’état non déformé
• Comportement linéaire :
– cisaillement simple
• Energie de déformation :
W = C10 (I1 − 3) + C20 (I 2 − 3)
UMR CNRS 6183
L.R.G. TRELOAR
Expériences 1944
• Caoutchouc naturel vulcanisé
– Traction simple
– Traction Equi-Biaxiale
– Glissement pur
• Modèle Néo-hookien
• Paramètres Mooney-Rivlin
– C1 = 0.183 MPa
– C2 = 0.0034 MPa
Ogden (1972)
UMR CNRS 6183
Plan
• Contexte
• Conclusion
UMR CNRS 6183
Code E.F. CAST3M
Atelier logiciel Castem
• Langages développeur : GIBI + ESOPE
– Opérateurs développés en ESOPE
• fortran + Gestion dynamique de la mémoire
• Langage utilisateur : GIBIANE
– Maillages, calculs E.F. , procédures
– Procédures développées en GIBIANE
UMR CNRS 6183
Atelier logiciel Cast3M
calculs sous GIBI
• Procédure GIBIANE!
– Créations de nouveaux développements
– Personnaliser son code E.F.
UMR CNRS 6183
ABAQUS-UMAT
Fortran 77
• SUBROUTINE MOONEY ( STRESS,
STATEV, DDSDDE, SSE, SPD, SCD,RPL,
DDSDDT, DRPLDE, DRPLDT, STRAN,
DSTRAN, TIME, DTIME,TEMP, DTEMP,
PREDEF, DPRED,CMNAME, NDI, NSHR,
NTENS, NSTATV, PROPS,
NPROPS,
COORDS,DROT, PNEWDT,
CELENT,
DFGRD0, DFGRD1,NOEL, NPT, LAYER,
KSPT, KSTEP, KINC )
UMR CNRS 6183
UMAT
implémentation d’un modèle
• Loi de comportement (toto.eso)
– Eso2For : toto.f, toto.o
• Modification de la UMAT (umat.eso)
– Eso2For : umat.f, umat.o
• Fabrication de l’exécutable Cast3M
• L’exemple : test-toto.dgibi
– Solutions analytiques ! ?
UMR CNRS 6183
MODE
LCMAT = MOTS 'YOUN' 'NU '
'C10' 'C20' 'DINF' 'ETHA';
LCVAR = MOTS 'D ' ;
MO = MODE SU 'MECANIQUE' 'ELASTIQUE'
'ISOTROPE' 'NON_LINEAIRE'
'UTILISATEUR‘ 'NUME_LOI‘ 9
'C_MATERIAU' LCMAT 'C_VARINTER'
LCVAR ;
UMR CNRS 6183
MATE
MA = MATE MO 'YOUN' YU 'NU ' XNU
'C10' C1 'C20' C2 'DINF' DD 'ETHA' ETH
;
*Initialisation des variables internes
chpD0i = MANU CHML MO 'D ' 0.0
'STRESSES' 'TYPE' 'VARINTER' ;
UMR CNRS 6183
PASAPAS
TAB1 = TABLE;
TAB1.'VARIABLES_INTERNES' = TABLE ;
TAB1.'VARIABLES_INTERNES'. 0 = chpD0i ;
TAB1 . GRANDES_DEFORMATIONS = VRAI ;
TAB1 . MODELE = MO;
TAB1 . CARACTERISTIQUES = MA ;
TAB1 . CHARGEMENT = CH1 ;
TAB1 . TEMPS_CALCULES = PR1;
TAB1 . 'TEMPS_SAUVES‘ = PR2;
PASAPAS TAB1 ;
UMR CNRS 6183
Plan
• Contexte
• Conclusion
UMR CNRS 6183
Traction
F
Solution analytique Mooney-Rivlin
⎡λ
1
2
3
0 ⎤
[F ] = ⎢⎢ 0 1 / λ
0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0
1 / λ ⎥⎦
F
0
⎡λ2
0
0 ⎤
⎥
T⎢
[B ] = F F ⎢ 0 1 / λ 0 ⎥
⎢0
0 1 / λ ⎥⎦
⎣
⎛ ∂W
∂W ⎞
[σ ] = ⎜⎜ + I 1 ⎟⎟[B] − 2 ∂W [B]2 − p[I ]
∂I 2
∂I 2 ⎠
⎝ ∂I 1
⎧ I1 = tr[ B] = λ2 + 2 / λ
⎪
1
1
⎪
2
2
σ11 = σ22= 0
⎨ I 2 = ⋅ (tr[ B]) − tr[ B] = 2 + 2 ⋅ λ
2
λ
⎪
⎪⎩ I 3 = det[ B] = 1
⎡⎛
1⎞
1 ⎞ ⎤
⎛
σ = 2⎢⎜ λ 2 − ⎟C1 + ⎜ λ − 2 ⎟C 2 ⎥
λ⎠
λ ⎠ ⎦
⎝
⎣⎝
{
}
UMR CNRS 6183
Traction
UY
Contrainte plane
Mooney-Rivlin
Contraintes
Qua4
Qua8
Cauchy
Analytique = EF
PK1
PK2
UY
UMR CNRS 6183
Traction
UY
Contrainte plane
Mooney-Rivlin
Contraintes
Qua4
Qua8
Cauchy
Analytique = EF
PK1
PK2
UY
UMR CNRS 6183
Tri3
Sans problème !
UMR CNRS 6183
Tri6
Eléments : 10 * 10
Tri3
Eléments :30 * 30
UMR CNRS 6183
Tri6
Eléments :30 * 30
UMR CNRS 6183
Traction biaxiale
Mooney-Rivlin
UY
Cauchy
Analytique = EF
UX
Qua4
Qua8
UMR CNRS 6183
Traction biaxiale
Mooney-Rivlin
UY
Cauchy
Analytique = EF
UX
Qua4
Qua8
UMR CNRS 6183
Glissement simple
Solution analytique 1/2
F
u
2
γ = u / lo
lo
2
F
⎡1 γ 0 ⎤
[ F ] = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎡1 + γ ² γ 0⎤
[B] = F T F = ⎢⎢ γ 1 0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
3
3
1
1
⎧ I1 = tr[ B ] = 3 + γ ²
⎪
1
⎪
2
(
)
I
tr
B
=
⋅
[
]
− tr[ B ]2 = 3 + γ ²
⎨ 2
2
⎪
⎪⎩ I 3 = det[ B ] = 1
{
}
UMR CNRS 6183
Glissement simple
Solution analytique Mooney-Rivlin 2/2
⎛ ∂W
∂W ⎞
∂W
[σ ] = ⎜⎜ + I 1 ⎟⎟[B ] − 2 [B]2 − p[I ]
∂I 2 ⎠
∂I 2
⎝ ∂I 1
σ33 = 0
σ11 = 2 C1 γ²
p = 2.[C1 + (2+ γ²).C2]
σ22 = -2 C1 γ²
σ12 = 2.(C1 + C2 ).γ
UMR CNRS 6183
Un élément linéaire
Solution analytique EF
Qua4
⎡σ
[σ ] = ⎢
⎣
⎤
⎥
−σ ⎦
Traction
Compression
σ = (C1 − C2 )γ ² + (C1 + C2 ) γ γ ² + 4
UMR CNRS 6183
Cisaillement simple
Qua4
Qua8
UMR CNRS 6183
Cauchy Principale
Traction
Compression
UMR CNRS 6183
Von Mises
UMR CNRS 6183
Éprouvette
σy
Contrainte plane
EF
Mooney-Rivlin
Tri6
Analytique
sans gradient
UMR CNRS 6183
Plan
• Contexte
• Conclusion
UMR CNRS 6183
NéoHookien
Quasi incompressible 3D
• Densité d’énergie
C1 = 1 MPa, D=10-4
1
2
W = C10 (I1 − 3) + ( J − 1)
D
• Fonction de pénalisation (Simo 1988)
• Cas général
W = W (I1 , I 2 ) + U ( J )
UMR CNRS 6183
Fonctions de pénalisation
La bibliographie
UMR CNRS 6183
Essai de Traction
Quasi incompressible 3D
1
2
W = C10 (I1 − 3) + ( J − 1)
D
Cauchy
C1 = 1 MPa, D=10-4
Analytique = EF
PK1
PK2
CUB8
UY
UMR CNRS 6183
Néohookien
Quasi incompressible
CUB8
1
2
W = C10 (I1 − 3) + ( J − 1)
D
UMR CNRS 6183
Essai de Traction
Néohookien
1
2
W = C10 (I1 − 3) + ( J − 1)
D
CU20
EF # Analytique
C1 = 1 MPa, D=10-2
UMR CNRS 6183
Essai de Traction
Néohookien
CUB8
UMR CNRS 6183
Néohookien
Analytique = EF
Cauchy
PK1
PK2
CUB8
UMR CNRS 6183
Convergence des simulations
Néohookien
Analytique
CU20
Analytique = EF
D=10-4
UMR CNRS 6183
Plan
• Contexte
• Conclusion
UMR CNRS 6183
Modèle avec effet Mullins
Mécanique de l’endommagement
Thèse G. Chagnon 2003, JMPS 2004
Densité d’énergie hyperélastique : W0
avec accommodation : (1-D)W0
∂W0
σ = − pI + (1 − D)2B
∂B
Critère prenant en compte toutes les directions de l’espace
I1 = λ12 + λ22 + λ23
α = I1 3 − 1
Forme de l'endommagement
D = D α = D I1max
Mesures
I1 = tr (B )
() ( )
UMR CNRS 6183
Simulation avec effet Mullins
Mécanique de l’endommagement
⎡
⎛ α ⎞⎤
D = D∞ ⎢1 − exp⎜⎜ − ⎟⎟⎥
⎢⎣
⎝ η ⎠⎥⎦
Forme de la loi choisie
Traction
Cisaillement
Choix d’une forme
W0 = C10 (I1 − 3) + C20 (I1 − 3) + C30 (I1 − 3)
2
3
Modèle hyperélastique - Yeoh
UMR CNRS 6183
Mooney Rivlin et Mullins
Analytique sans Mullins
W = C10 (I1 − 3) + C20 (I 2 − 3)
Cauchy
Avec effet Mullins
σ = − pI + (1 − D)2B
∂W0
∂B
⎡
⎛ α ⎞⎤
D = D∞ ⎢1 − exp⎜⎜ − ⎟⎟⎥
⎢⎣
⎝ η ⎠⎥⎦
UMR CNRS 6183
Effet Mullins
UMR CNRS 6183
Comparaisons
Mullins
Traction
Compression
UMR CNRS 6183
Conclusion
• Simulations des essais
– Traction, Cisaillement, Biaxiale…
• Tridimensionnel, Quasi incompressible
• Convergence c’est pas simple !
• Quand :
– Opérateur tangent dans UMAT
– Les USER ELEMENTS
• Merci : Olivier Fandeur (CEA)
UMR CNRS 6183

Modèles hyperélastiques dans Cast3M

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