Étude d`une fonction: quelques exemples

Étude d’une fonction: quelques exemples
Gloria FACCANONI
10 décembre 2009
Étude I
Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction
f : R→R
x 7→ f (x) = x + ln(x 2 − 1)
en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition
2. comportement aux extrémités du domaine de définition
3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations
4. convexité, concavité
5. comportement en ±∞ (recherche d’asymptôtes)
6. graphe
1. Domaine de définition : il faut x 2 − 1 > 0 donc
D f =] − ∞; −1[∪]1; +∞[.
2. Comportement aux extrémités du domaine de définition :
µ
¶
ln(x 2 − 1)
lim f (x) = lim x 1 +
= −∞,
x→−∞
x→−∞
x
lim f (x) = −∞
x→−1−
lim f (x) = −∞
x→1+
lim f (x) = +∞
x→+∞
3. Extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations : la dérivée de f est l’application
f 0 : Df → R
p
p
2x
x 2 + 2x − 1 (x + 1 + 2)(x + 1 − 2)
x 7→ f (x) = 1 + 2
=
=
x −1
x2 − 1
x2 − 1
0
Dans D f on a
p
f 0 (x) > 0 ssi x ∈] − ∞; −1 − 2[∪]1; +∞[,
p
f 0 (x) = 0 ssi x = −1 − 2,
p
f 0 (x) < 0 ssi x ∈] − 1 − 2; −1[.
On conclut que
p
– f est strictement croissante sur ] − ∞; −1p
− 2[ et sur ]1; +∞[,
– f est strictement
décroissante sur ] − 1 − 2; −1[,
p
p
p
p
– x = −1 − 2 est un point de maximum local et on a f (−1 − 2) = −1 − 2 + ln(2 + 2 2).
Le tableau des variations est alors le suivant :
x
f 0 (x)
f (x)
p
−1− 2
−∞
+
0
−1
+∞
1
−
+
+∞
p
p
−1− 2+ln(2+2 2)
−∞
−∞
1
−∞
Université du Sud Toulon-Var
Module M131 : fonctions d’une variable réelle
L1PC
4. Convexité, concavité : la dérivée seconde de f est l’application
f 00 : D f → R
x 7→ f 00 (x) =
2(x 2 − 1) − 4x 2
= −1 − 2x 2
(x 2 − 1)2
Dans D f on a f 00 (x) < 0. On conclut que la fonction est concave séparemment sur ] − ∞; −1[ et sur ]1; +∞[.
5. Comportement en ±∞ (recherche d’asymptôtes)
f (x)
ln(x 2 − 1)
= lim 1 +
= 1,
x→±∞ x
x→±∞
x
lim f (x) − x = lim ln(x 2 − 1) = +∞.
lim
x→±∞
x→±∞
Il n’y a pas d’asymptôtes en ±∞.
f possède une branche parabolique dans la direction asymptôtique x en +∞ et en −∞.
6. Graphe
f
y
p
−1 − 2
p
−1 + 2
−1
1
p
p
−1 − 2 + ln(2 + 2 2)
x
Université du Sud Toulon-Var
Module M131 : fonctions d’une variable réelle
L1PC
Étude II
Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction
f : R→R
x 7→ f (x) = 2x +
p
x2 − 1
en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition et régularité
2. comportement aux extrémités du domaine de définition
3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations
4. convexité, concavité
5. comportement en ±∞ (recherche d’asymptôtes)
6. graphe
1. Domaine de définition et régularité : il faut x 2 − 1 ≥ 0 donc
et f ∈ C ∞ (D f ).
D f =] − ∞; −1] ∪ [1; +∞[
2. Comportement aux extrémités du domaine de définition :
p
Ã
lim f (x) = lim x 2 +
x→−∞
x→−∞
!
x2 − 1
= −∞,
x
lim f (x) = f (−1) = −2,
x→−1−
lim f (x) = f (1) = 2,
x→1+
lim f (x) = +∞.
x→+∞
3. Extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations : la dérivée de f est la fonction
f 0 : Df → R
p
1 2x
2 x2 − 1 + x
= p
p
2 x2 − 1
x2 − 1
x 7→ f 0 (x) = 2 +
Dans D f \ {±1} on a
2
f 0 (x) > 0 ssi x ∈] − ∞; − p [∪]1; +∞[,
3
2
0
f (x) = 0 ssi x = − p ,
3
2
0
f (x) < 0 ssi x ∈] − p ; −1[
3
et limx→±1± f 0 (x) = +∞. On conclut que
– f est strictement croissante sur ] − ∞; − p2 [ et sur ]1; +∞[,
3
– f est strictement décroissante sur ] − p2 ; −1[,
3
p
– x = − p2 est un point de minimum local et on a f (− p2 ) = − 3.
3
3
Le tableau des variations est alors le suivant :
x
f 0 (x)
f (x)
− p2
3
−∞
+
0
−
+
+∞
p
− 3
−∞
2
−2
4. Convexité, concavité : la dérivée seconde de f est la fonction
f 00 : D f → R
p
00
x 7→ f (x) =
+∞
1
−1
x2 − 1 − x p
x2 − 1
Dans D f \ {±1} on a f 00 (x) < 0. On conclut que f est concave sur D f .
x
x 2 −1
=
−1
x2 − 1
Université du Sud Toulon-Var
Module M131 : fonctions d’une variable réelle
L1PC
5. Comportement en ±∞ (recherche d’un asymptôte)
– Si x > 0, en calculant le développement asymptotyque à l’ordre 2 en +∞ on a
f (x)
= 2+
x
p
x2 − 1
= 2+
x
r
1−
1
1 1
= 3−
+ o(x −2 ).
2
x
2 x2
On en déduit que la droite d’équation y = 3x est l’asymptôte de f en +∞ (le graphe de f se trouve au dessous de cet
asymptôte).
– Si x < 0, en calculant le développement asymptotyque à l’ordre 2 en −∞ on a
f (x)
= 2+
x
p
x2 − 1
= 2−
x
r
1−
1
1 1
= 1+
+ o(x −2 ).
x2
2 x2
On en déduit que la droite d’équation y = x est l’asymptôte de f en −∞ (le graphe de f se trouve au dessous de cet asymptôte).
6. Graphe
y=
3x
y
− p2
3
y
=
−1
x
p
− 3
1
x
Université du Sud Toulon-Var
Module M131 : fonctions d’une variable réelle
L1PC
Étude III
Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction
f : R→R
x 7→ f (x) =
ln2 x
x2
en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition et régularité
2. comportement aux extrémités du domaine de définition
3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations
4. convexité, concavité
5. comportement en +∞ (recherche d’asymptôtes)
6. graphe
(
1. Domaine de définition et régularité : il faut
x 6= 0
x >0
donc
et f ∈ C ∞ (D f ).
D f =]0; +∞[
2. Comportement aux extrémités du domaine de définition :
lim f (x) = +∞,
x→0+
lim f (x) = 0+ .
x→+∞
3. Extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations : la dérivée de f est la fonction
f 0 : Df → R
x 7→ f 0 (x) = 2
ln x(1 − ln x)
x3
Dans D f on a
f 0 (x) > 0 ssi x ∈]1; e[,
f 0 (x) = 0 ssi x = e,
f 0 (x) < 0 ssi x ∈]0; 1[∪]e; +∞[.
On conclut que
– f est strictement croissante sur ]1; e[[,
– f est strictement décroissante sur ]0; 1[ et sur ]e; +∞[,
– x = 1 est un point de minimum absolu, x = e est un point de maximum local et on a f (1) = 0, f (e) =
Le tableau des variations est alors le suivant :
x
0
f 0 (x)
f (x)
e
1
−
−
+
+∞
e −2
0
0
4. Convexité, concavité : la dérivée seconde de f est la fonction
f 00 : D f → R
x 7→ f 00 (x) = 2
3 ln2 x − 5 ln x + 1
x4
Dans D f on a
f 00 (x) > 0 ssi x ∈]0; e
f 00 (x) = 0 ssi x = e
f 00 (x) < 0 ssi x ∈]e
On conclut que
+∞
p
5− 13
6
p
5± 13
6
,
p
5− 13
6
;e
[∪]e
p
5+ 13
6
p
5+ 13
6
[.
; +∞[,
1
.
e2
Université du Sud Toulon-Var
Module M131 : fonctions d’une variable réelle
p
5− 13
6
– f est convexe sur ]0; e p
– f est concave
sur ]e
p
– x =e
5± 13
6
5− 13
6
;e
[ et
sur ]e
p
5+ 13
6
p
5+ 13
6
L1PC
; +∞[,
[,
sont des flexes.
5. Comportement en +∞ (recherche d’un asymptôte) : y = 0 est asymptôte pour x → +∞.
6. Graphe
y
1
e2
p
1 5− 13
e 6
e
e
p
5+ 13
6
x