bases moléculaires des pathologies

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Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito
ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos
Para o vestibulaR
6
Como D - (A ) C), então somente o diagrama da alternativa c pode representar tal situação.
2 Observe o diagrama:
A
B
5
14
2
4
3
6
15
C
Portanto:
n((A 0 B) ) C) 5 2 1 4 1 6 5 12
3 c
Observe o diagrama a seguir:
A
8–x–z–t
z
x
t
B
4–x–y–t y 7–y–z–t
C
n(A 0 B 0 C) 5
5 (8 2 x 2 z 2 t) 1 (4 2 x 2 y 2 t) 1 (7 2 y 2 z 2 t) 1
1(x 1 y 1 z 1 t) 5 19 2 x 2 y 2 z 2 2t 5 16 ]
] x 1 y 5 3 2 z 2 2t
} n((A ) B) 0 (B ) C)) 5 x 1 y 5 3 2 z 2 2t
Como x, y, z e t são números naturais, o maior valor que
(A ) B) 0 (B ) C) 5 x 1 y pode assumir é 3.
4 c
Somando os homens e as mulheres, temos 2.000 pessoas; entre elas, 2.000 2 500 5 1.500 tinham o antígeno
A ou o B. Se 1.080 pessoas tinham o antígeno A e 900 o
antígeno B, então 1.980 2 1.500 5 480 pessoas tinham
os antígenos A e B. Como o resultado da pesquisa é proporcional ao número de homens (H) e mulheres (M):
1.200 __
3
3
H
H
 _____ 
 5       ]  __   5 __
      ] H 5  __   M
800
2 M
2
M
Mas H 1 M 5 480; logo:
3
 __   M 1 M 5 480 } M 5 192
2
5
Futebol
Natação
18
21
12
(18 1 12)
60
C
x
25
95 1 x 1 25 5 150
Portanto, 30 pessoas utilizaram os produtos B e C.
7 A partir dos dados do enunciado temos:
242 2 96 5 146 eram não brasileiros
242 2 64 5 178 eram mulheres
242 2 47 5 195 eram não fumantes
a)Se 36 eram brasileiros fumantes e 20 eram homens
brasileiros fumantes, então 36 2 20 5 16 eram mulheres brasileiras fumantes. Se 96 eram brasileiros e
51 eram homens brasileiros, então 96 2 51 5 45 eram
mulheres brasileiras, e se 16 eram mulheres brasileiras
fumantes, então 45 2 16 5 29 eram mulheres brasileiras não fumantes.
b)Se 25 eram homens fumantes e 20 eram homens brasileiros fumantes, então 25 2 20 5 5 eram homens
fumantes não brasileiros.
c)Se 47 eram fumantes e se 36 eram fumantes brasileiros, então 47 2 36 5 11 eram fumantes não
brasileiros, e se 5 eram homens fumantes não brasileiros, então 11 2 5 5 6 eram mulheres fumantes
não brasileiras. Se 64 eram homens e 51 eram homens brasileiros, então 64 2 51 5 13 eram homens
não brasileiros, e se 146 eram não brasileiros, então
146 2 13 5 133 eram mulheres não brasileiras. Se
133 eram mulheres não brasileiras e 6 eram mulheres
fumantes não brasileiras, então 133 2 6 5 127 eram
mulheres não brasileiras não fumantes.
8 A ) B 1 A ) C 5 90 2 28 2 8 5 54
A ) B 1 B ) C 5 84 2 26 2 8 5 50
A ) C 1 B ) C 5 86 2 24 2 8 5 54
A ) B 5 54 2 A ) C(I)
A ) B 5 50 2 B ) C(II)
A ) C 1 B ) C 5 54 (III)
De (I) e (II), tem-se:
54 2 A ) C 5 50 2 B ) C
} B ) C 5 A ) C 2 4 (IV)
Substituindo (IV) em (III), tem-se:
A ) C 1 A ) C 2 4 5 54 ] 2(A ) C) 5 58
} A ) C 5 29
Substituindo (IV) em (III), tem-se:
B ) C 5 A ) C 2 4 ] B ) C 5 29 2 4 5 25
A ) C 5 54 2 A ) C ] A ) B 5 54 2 29 5 25
Portanto, tem-se o diagrama a seguir:
A
28
9
29
Não praticam
futebol ou natação.
a)   ________
 
 
 
5 0,5 5 50%
B
95
9
60
b)  ___     5 0,15 5 15%
24
25
B
26
8
25
a)28 1 26 1 24 5 78
C
b)25 1 29 1 25 1 8 5 87
c)28 1 25 1 29 1 26 1 25 1 24 1 8 5 165
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1 c
9 c
Telespectadores que gostaram das novelas A, B e C:
100
Telespectadores que gostaram apenas das novelas A e B:
350 2 100 5 250
Telespectadores que gostaram apenas das novelas A e C:
400 2 100 5 300
Telespectadores que gostaram apenas das novelas B e C:
300 2 100 5 200
Telespectadores que gostaram apenas da novela A:
1.450 2 (250 + 300 + 100) 5 800
Telespectadores que gostaram apenas da novela B:
1.150 2 (250 + 200 + 100) 5 600
Telespectadores que gostaram apenas da novela C:
900 2 (300 + 200 + 100) 5 300
Total de telespectadores que gostaram de alguma novela:
100 + 250 + 300 + 200 + 800 + 600 + 300 5 2.550
Total de telespectadores que não gostaram de nenhuma
novela:
3.000 2 2.550 5 450
10 d
Pede-se apenas o percentual de homens na turma. Isso
permite considerar um total de 100 alunos. Sendo x o
número de homens, 100 2 x será o número de mulheres.
Como 30% dos homens somados a 10% das mulheres
resultam em 18% do total:
0,3x 1 0,1 ? (100 2 x) 5 0,18 ? (100) ] 0,3x 1 10 2
2 0,1x = 18 ] 0,2x 5 18 2 10 5 8 ] x 5 8 : 0,2 5 40
Ou seja, a porcentagem de homens é 40%.
11 d
(x 1 3)4 (x2 1 5)
> 0 para qualquer x  3.
(3 2 x)6
Portanto, o sinal da expressão depende exclusivamente
de (x 2 3)3.
Como x  3:
(x 2 3)3 , 0 ] x 2 3 , 0 ] x , 3
Então, x está no intervalo ]−∞, 3[.
14 d
Na tabela, há alguns exemplos numéricos, com n e p irracionais; logo, resta avaliar apenas o item V.
n
p
1
 __  
n
1
 __  
p
1 1
 __   1  __  
n p
1
1
      _____
     1 1 d ll
 _______
2   2dll
2  
1 1 d ll
2   2dll
2  
1
2
2
2  
2dll
2   _____
1 1 d ll
 _______
      _____
      _______
 
   
 
 
 
 
2
1 1 d ll
2   2dll
2  
2
1
 __  
2
1
 ___    
d
ll
2  
1
 ___    
d
ll
2  
d
2  
ll
dll
2  
2dll
2  
1
 ___    
d
ll
2  
1
    
 _____
2dll
2  
d
2  
ll
2  
2dll
0
Mas se n e p são irracionais, seus inversos também serão;
1 1
portanto, são também reais e pode-se dizer que  __   e  __  
n p
são números complexos com parte imaginária nula; po1 1
1 1
de-se então escrever  __   5  __   1 0i e  __   5  __   1 0i. Assim:
p p
n n
1
1
1
1
1
1
 __  1  __   5  __   1 0i 1  __   1 0i 5  __   1  __   1 0i
p
n p n
n p
15 a)Pode-se associar a soma dos primeiros números ímpares ao número que representa a área do quadrado cujo lado é igual à posição do último número da
soma. Assim, a soma dos 8 primeiros ímpares é numericamente igual à área do quadrado de lado 8 e,
portanto, igual a 64.
b)Sn 5 n2 5 3.600 ] n 5 dlllll
3.600   
] n 5 60
Observe que o corredor n tem 2n 2 1 bolas (n na respectiva coluna e n 2 1 na linha respectiva). Portanto:
2n 2 1 5 2 3 60 2 1 5 119
16 Soma dos 12 dígitos:
12 b
Sendo x o número de funcionários e y o número de
cestas, tem-se:
I. 10x 5 y 2 36
II. 12x 5 y 1 10
Isolando y em I e substituindo em II:
y 5 10x 1 36 ] 12x 5 10x 1 36 1 10 ]
] 12x 2 10x 5 36 1 10 ] 2x 5 46 ] x 5 23
13 d
x
O menor número da forma   __   ocorrerá quando x for o míy
x 2 1
nimo e y for o máximo, isto é, quando  __   5  __   5  __  .
y 8 4
x
__
O maior número da forma      ocorrerá quando x for o máy
x 15
ximo e y for o mínimo, isto é, quando  __   5  ___  5 5. Logo,
y
3
1
x
__
os números da forma      pertencem ao intervalo  __  , 5  .
y
4
1
1
__
__
Mas     , 5  -     , 5  e a única alternativa que está de
4
9
E  R E  R
acordo é a d.
E  R
7 1 8 1 9 1 0 1 1 1 0 1 X 1 5 1 1 1 2 1 4 1 0 5 37 1 X
Soma dos números de ordem par:
8 1 0 1 0 1 5 1 2 1 0 5 15
Logo, o dobro será igual a 30.
Portanto: N 5 37 1 X 1 30 5 67 1 X
Como d 5 6 % 0, então 67 1 X não é múltiplo de 10, 67 1 X
será dividido por 10 e deixará resto 4, pois d 5 10 2 4 5 6;
logo, N 5 74 5 67 1 X, ou seja, X 5 7.
17 a)71 2 (7 1 1) 5 63
30 2 (3 1 0) 5 27
Como 63 e 27 são múltiplos de 9, a afirmação é verdadeira para os números 71 e 30.
b) z 5 xy 2 (x 1 y) 5 10x 1 y 2 x 2 y 5 9x
Como x é um número inteiro, então 9x é múltiplo de 9.
18 0,2222... 1 0,2333... 5 0,4555...
x 5 0,4555...
10x 5 4,555... ] 100x 2 10x 5 45,555... 2 4,555...
100x 5 45,555...
41
} x 5  ___  
90
19 (12,34)2 5 (12 1 0,34)2 5
1
5 144 1 2 3 12 3 0,34 1 0,342 . 144 1  __   3 12 5 150
2
Agora:
(12,34)3 . 150 3 12,34 . 150 3 12 5 1.800
Portanto, 12,34 é maior que 3d llll
1.800. 
59
1
4
1
    
5 5 1  ___    5 5 1  ___     5  ___  
26 5 1  _________
11 11
11
1
 ___  
2 1  _____
    
4
1
11  __  
3
Portanto, a 1 b 5 59 1 11 5 70.
20 c
racionais não inteiros.
II.Verdadeira, pois 6 2 9 5 3 é um número inteiro.
III.Falsa, pois 5 é um número real e inteiro.
IV.Falsa, pois dll
9  5 3 é um número real e racional.
V.Verdadeira, pois a raiz cúbica de um número negativo
é um número real.
21 b
Observe o conjunto dos quadrados perfeitos:
0² 5 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² 5
5 36, 7² 5 49, 8² 5 64, 9² 5 81, 10² 5 100.
Nota-se que o algarismo das unidades será sempre 0, 1,
4, 5, 6 ou 9. Logo, a única opção válida é 552.049.
De fato, esse número corresponde a 743².
22 d
Se José recebeu R$ 2,45, então Geraldo recebeu
R$ 5,25 2 R$ 2,45 5 R$ 2,80.
Se Luiz deu R$ 5,25 por 5 broas de milho, então cada
broa custou R$ 1,05.
José deu 2 broas de milho e Geraldo 3, pois todos deveriam ficar com 5 broas.
Logo, por justiça, José deveria receber 2 3 R$ 1,05 5
5 R$ 2,10, e Geraldo deveria receber 3 3 R$ 1,05 5 R$ 3,15.
Portanto, Geraldo deveria receber R$ 0,35 a mais.
23 V
Como os relógios A e B não registram os segundos, as
seguintes situações são possíveis:
Situação I: A 2 11h51min59s e B 2 11h53min00s
Situação II: A – 11h51min00s e B – 11h53min59s
No caso da situação I, a defasagem é de 61 segundos e,
no caso da situação II, 179 segundos. Portanto, nenhum
deles está correto.
24 172 5 289 e 182 5 324, logo, 17 , dllll
299  
, 18
# 5 17
} E@ dllll
299   
log5 127 5 k ] 5k 5 127 . 53 5 125 ] 53 , 5k , 54
} E(log5 127) 5 E(k) 5 3
21 , sen 233w , 0 } E(sen 233w) 5 21
7
7
0 ,  __   , 1 } E  __    5 0
8
8
2  , 2 } E@ d ll
2   # 5 1
1 , dll
@  #
4__________________
3 17 1 2 3 3 2 (21)
68 1 6 1 1
y 5     
  
 
 
 
5   __________
 
} y 7 75
1
011
25 b
30 [
5
4 1,2 2 0,5
] 2 √13 5
2 ][
6
10 5 2 3, 7
25 2 12 0,7
][
] 2 √13 5
1,3
30
7
5 13 [ 13 ] 2 √13 5 7 2 √13 ]
5 30 [
] 7 2 4 < 7 2 √13 < 7 2 3 ] 3 < 7 2 √13 < 4
27 a
√3 1 1
[ √2 ] (20,25)22 2 [ 6√3 ]
5
2
5[
5[
6
√3 1 1
√2
] (220,5) 2 (612√3)
5
2
√
√2
] [ 1 ] 2 6(12√3)(√3 1 1) 5
2
2
1
1
1
1
5
5 2 6123 5 2 622 5 2
2
2
2
36
18 2 1 17
5
5
36
36
28 d
O número de crianças vacinadas foi: 98 2 12 5 86.
O número de vacinas dadas foi: 60 1 32 5 92.
Logo, a quantidade de crianças que tomaram as duas
vacinas pode ser encontrada fazendo-se 92 2 86 5 6.
As crianças que não tomaram exatamente duas vacinas,
ou seja, tomaram uma ou nenhuma, totalizam:
98 2 6 5 92.
29 a
I.Verdadeira, pois 0 , b , c.
II.Falsa, pois a , 0 e OaO . ObO.
III.Verdadeira, pois b , 1 e multiplicando a expressão por c,
obtém-se bc , c.
IV.Falsa, pois a , 0 e c . 0; logo: ac , 0 e, portanto, ac , b.
30 d
As condições de existência de log são:
I. 6 2 x . 0 ] x , 6
II. x 2 3 . 0 ] x . 3
III. x 2 3  1 ] x  4
Então, 3 , x , 6 e x  4.
I.Verdadeira, pois os elementos do conjunto B 2 b são
ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos
Para o ENEM
1 c
2 c
3 d
4 e
5 d
6 a
ESTUDANDO Funções: conceitos básicos
Para o vestibular
De acordo com o enunciado e o gráfico, 7% dos 1.500
alunos praticam apenas vôlei.
Calculando esse valor: 1.500 3 0,07 5 105
O valor de x 5 105 pertence ao intervalo
[2100, 200] ∩ [100, 300].
2 a
Como função, a imagem da parcela 2 b ? x 1 c é ]0, 1`[;
então, a imagem de f(x) 5 a 1 2b ? 0 1 c é ]a, 1`[. Mas, de
acordo com o enunciado, ]a, 1`[ 5 ]21, 1`[ ; portanto,
a 5 21.
Substituindo os dados na função, tem-se:
{
f(0) 5 21 1 2b ? 0 1 c Æ
f(1) 5 21 1 2b ? 1 1 c
3
1
Æ 2c 5
Æ c 5 22
4
4
Æ
21 1 2b 1 c 5 0 Æ 2b 2 2 5 1 Æ b 5 2
{
21 1 2c 5 2
a ? b ? c 5 (21) ? 2 ? (22) 5 4
3 a)x 5  __7   9 [22, 2] e, nesse intervalo, o gráfico de f(x) é um
4
segmento de reta com extremos nos pontos (22, 3) e
(2, 22); logo:
5
1
f(x) 5 ax 1 b ] 3 5 a(22) 1 b ] a 5 2 __
   e b 5  __  
22 5 a2 1 b
4
2
5
1
} f(x) 5 2 __   x 1  __  
4
2
@  #
@  #
5 7
35 1
7
1
27
f  __    5 2 __   3  __    1  __   5 2 ___   1  __   5 2 ___  
4
4 4
16 2
16
2
b) f (31) 5 f (23 1 8) 5 f (23) 5 f (15 1 8) 5 f (15) ]
] f (15) 5 f (7 1 8) 5 f (7) ] f (7) 5 f (21 1 8) 5 f (21)
} f (31) 5 f (21)
x 5 21 9[22, 2]; então, (21, f(21)) é um ponto no
trecho de f definida nesse intervalo e dada no item a;
logo:
5
1 7
f(31) 5 f(21) 5 2 __   3 (21) 1  __   5  __  
4
2 4
c)
4 As funções que fornecem aproximadamente a média
de concentração de CO2 na atmosfera em ppm e a média de
variação do nível do mar, em cm, em função do número de
anos x a partir de 1960 são, respectivamente:
1
y 5 f(x) 5 x 1 320 e g(x) 5  __  x. Substituindo x 5 y 2 320
5
1
em g(x) 5  __  x, obtém-se a expressão da função h, que for5
nece a média de variação do nível do mar, em cm, em
320
função da concentração de CO2 h(y) 5 y 2  ____
 .
 
5
} h(400) 5 16 cm.
5 Com base no gráfico, conclui-se que a função g(x) 5 b 3 2kx
sofreu translação de uma unidade para cima; logo, a 5 1.
Além disso, tem-se:
f(0) 5 3 ] 3 5 1 1 b ] b 5 2
f(21) 5 5 ] 5 5 1 1 2 3 22k ] 4 5 2 3 22k ]
] 22 5 21 2 k ] 2 5 1 2 k ] k 5 21
Logo: f(x) 5 1 1 2 3 22x 5 1 1 21 2 x.
Cálculo da função inversa f 21 (x):
21
21
x 5 1 1 212 f ] x 2 1 5 212 f ]
21
log(x 2 1) 5 log212 f ] log(x 2 1) 5 (1 2 f 21) log2 ]
21
log(x 2 1)
]12 f 5   _________
 
   
log2
log(x 2 1)
 
 
 
5 1 2 log2(x 2 1)
} f 21(x) 5 1 2   _________
log2
g(x)
h(x)
h(x) % 0; logo, desde que h % g, quando g 5 0, as raízes
de f coincidem com as de g(x):
3
g(x) 5 4x2 2 6x 5 2x(2x 2 3) 5 0 } x 5 0 ou x 5  __  
2
Raízes de h(x):
h(x) 5 2x2 2 3x 2 28 5 0 ]
] S 5 (23)2 2 4 3 (21) 3 (228) 5 9 2 112 5 2103 , 0
Logo, h(x) não possui raízes reais, e sua imagem é estritamente negativa.
6 A função f é racional, de modo que: f(x) 5  ____   , com
+ ++ +
g(x) =
6
−3
−4
4x2 – 6x
–x2 – 3x – 28
{ 
1
−2
– 6x
– – – –
7
8
9
10 11
12
13
14 x
3
2
+ + + + + +
0
}
3
Portanto: S 5 x 9 Vox , 0 ou x .  __    .
2
2
−1
– – – – – –
+ + +
– – – – – – – – – – – – – – – – –
f(x) =
3
0
h(x) = –x2 – 3x – 28
Figura B
4
4x2
– – – ––
3
2
x
x
x
1 c
7 Nesse problema, vamos supor que f e g sejam funções
de V em V.
a)O gráfico de f(x) 5 o4 2 x2O é obtido refletindo-se,
em relação ao eixo x, a parte do gráfico de y 5 4 2 x2,
que corresponde aos valores negativos que a função
assume.
(x 1 7)
7
é a reta que passa por 0,  __   
O gráfico de g(x) 5
2
2
e (1, 4). Com isso, conseguimos construir ambos os
gráficos.
@  #
y
f(x)
g(x)
4
7
2
9 a) x2 1 5x 1 6 < 2x 1 16 ] x2 1 3x 210 < 0
x2 1 3x 2 10 5 0 ] x 5 25 ou x 5 2
O coeficiente do termo quadrático é igual a 1 . 0;
logo, a concavidade da parábola que representa a
função correspondente está voltada para cima, e o intervalo que contém os valores negativos dessa função
está entre as raízes da equação resolvida.
} S 5 {x 9 Vo25 < x < 2}
b) x2 1 bx 1 c < 2x 1 3 ] x2 1 (b 2 2)x 1 c 2 3 < 0
x2 1 (b 2 2)x 1 c 2 3 5 0 ] x 5 4 ou x 5 7
2(b 2 2)
  ________
 
 5 4 1 7 5 11
 
1
2b 1 2 5 11
]
c 2 3 5 28
c23
_____
 
 5 4 3 7 5 28
   
1
} b 5 29 e c 5 31
10 a)Se x 5 1, temos: 2p(1) 2 p(2 21) 5 2p(1) 2 p(1) 5 22
} p(1) 5 22
1
x
2
b) 2p(21) 2 p(2 2(21)) 5 2p(21) 2 p(3) 5 4 ]
2p(3) 2 p(2 2 3) 5 2p(3) 2 p(21) 5 16
Æ p(3) 5 12 e p(21) 5 8
} p(21) 1 p(3) 5 8 1 12 5 20
11 As abscissas dos pontos P e Q são soluções da equação:
x17
2
x17
2
x17
2
b) O4 2 x2O <  _____
 
  ] 2   _____
 
 < 4 2 x2 <  _____
 
  ]
 
 
 
2
] 2x 2 72 < 8 2 2x
8 2 2x < x 1 7
]
2x2 2 x 2 15 < 0
]
2x2 1 x 2 1 > 0
5
2 __   < x < 3
2
]
1
x < 21 ou x >  __  
2
Fazendo a intersecção desses intervalos, obtém-se:
5
1
2 __   < x < 2 1 ou  __   < x < 3.
2
2
E 
R E  R
5
1
} S 5 2 __  ,  2 1  0  __  , 3 
2
2
8 c
Sejam os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices do
triângulo em questão. Pelo gráfico, supondo que AB seja
paralelo ao eixo x, temos: xB 5 0 e yB 5 f(xB) 5 22 3 0 5 1;
yA 5 yB 5 1 e yA 5 g(xA) 5 1 ] log2(xA 1 1) 5 1 ] ] xA 5 1; xC 5 xA 5 1 e yC 5 f(xC) 5 22 3 1 5 4
Assim, os vértices são: A(1, 1), B(0, 1) e C(1, 4);
AB 5 xA 2 xB 5 1, AC 5 yC 2 yA 5 3. Portanto, a área do
△ABC é:
AB 3 AC ____
1 3 3 __
3
 _______
 
 5    
  5     
 
2
2
2
f(x) 5 g(x) ] x3 1 x2 1 2x 2 1 5 x3 1 3x 1 1 ]
Æ x2 2 x 2 2 5 0 ] x 5 21 ou x 5 2
Logo: P 5 (21, f(21)) e Q 5 (2, f(2)) e, pelo gráfico:
f(x) > g(x) ] x < 21 ou x > 2
} S 5{x 9 Vox < 21 ou x > 2}
12 g(x) 5 a(x 2 (23))2(x 2 5) 5 a(x 13)2(x 2 5), em que a % 0;
então:
g(f(x)) 5 a((x2 2 6x 1 5) 1 3)2 ((x2 2 6x 1 5)25) ] Æ a(x2 2 6x 1 8)2(x2 2 6x) 5 0 ]
2
2
Æ (x2 2 6x 1 8) 5 0 ] x 5 2 ou x 5 4
(x 2 6x) 5 0 ] x 5 0 ou x 5 6
} S 5 {0, 2, 4, 6}
13 d
Para x 5 3, tem-se:
(3 1 1) ? f (3) 1 f (1 2 3) 5 33 1 32 2 3 1 2 Æ
Æ 4 ? f (3) 1 f (2) 5 27 1 9 2 3 1 2 Æ
Æ 4 ? f (3) 1 f (2) 5 35
Para x 5 21, tem-se:
(21 1 1) ? f(21) 1 f(1 2 (21)) 5 (21) 3 1 (21)2 2
2 (21) 1 2 Æ 0 ? f(21) 1 f(2) 5 21 1 1 1 1 1 2 Æ
Æ f(2) 5 3
Assim: 4 ? f(3) 1 3 5 35 Æ 4 ? f(3) 5 32 Æ f(3) 5 8
@ 2 #
18 a
14 a) g(3) 5 f(3 2 1) 1 1 5 f(2) 1 1 5 f  __1   3 4  1 1 5
De acordo com o enunciado:
f W g 5 g W f Æ f (g(x)) 5 g(f (x)) Æ 3(ax 1 b) 1 5 5
5 a(3x 1 5) 1 b Æ 3ax 1 3b 1 5 5 3ax 1 5a 1 b Æ
Æ 2b 5 5a 2 5 Æ 2b 5 5(a 2 1)
1
1
5  __   3 f(4) 1 1 5  __   3 2 1 15 2
2
2
b)Substituindo a por 4, tem-se:
x
f(4x) 5 4f(x) 5 xf(4) 5 x 3 2 } f(x) 5  __   
2
c) g(x) 5 8 ] f(x 2 1) 1 1 5 8 ]
x21
Æ  _____
 
 5 7 } x 5 15
 
2
A função f não é bijetora; portanto, não possui uma
inversa. A segunda afirmativa equivale à definição de
função inversa.
#
15 f(2x) 5 O1 2 xO e f 2 3  __x     5 f(x) } f(x) 5 e1 2  __x   u
f(x) 5 2 ] 2
20 b
2
22x
 _____
 5 2
 
2
22x
 5 22
 
 _____
2
Essa trajetória não configura uma função h(d), pois não
passa no teste da vertical. Isso invalida as afirmações I
e III. Independentemente de ser uma função ou não, a
trajetória apresenta periodicidade, o que é uma
evidência de regularidade. Isso invalida a afirmação II.
A escolha de escala para os eixos coordenados segue
condições de conveniência e convenção; portanto, não
constitui restrição para a configuração de função.
Isso invalida a afirmação IV. Finalmente, considerando
o movimento do inseto decomposto em vertical e
horizontal, haverá apenas um valor de altura e um de
deslocamento horizontal, ambos relacionados a cada
instante de tempo. Isso é necessário e suficiente para
afirmar que existe uma função para cada componente do
movimento em que o tempo é a variável independente.
S 5 {22, 6 }
16 (g W f )(x) 5 g(f(x)) 5 Ox2 2 3O ]
2
3   ou x > dll
3   
3 5 0, se x < 2dll
] x 2
2x2 1 3 5 0, se 2dll
3   < x < dll
3   
5   
x2 2 3 5 2 ] x2 5 5 ] x 5 !dll
2x2 1 3 5 2 ] x2 5 1 ] x 5 !1
} S 5 { !dll
5  ; !1 }
A equação tem quatro soluções,
conforme representado no gráfico ao lado.
17
y
3
f(g(x))
2
1
x
0
−2 −1
−1
0
1
2
x22
a)Como x 9 V, tem-se   _______   
9 V se, e somente
d
lllll
x 2 2  
se, x 2 2 . 0, ou seja, x . 2, isto é, Df 5 {x 9 V O x . 2}.
Como x 9 V e g(x) 5 O3 2 2xO 1 1, tem-se g(x) > 1,
pois, para todo real x, O3 2 2xO > 0. Nota-se que, para
todo real y > 1, existe x 9 V, tal que y 5 O3 2 2xO 1 1.
Portanto, o conjunto imagem de g é Ig 5 {y 9 V O y > 1}.
g(x) 2 2
b)Tem-se f(g(x)) 5   _________ 
  
, com g(x) . 2.
dlllllll
g(x) 2 2  
Com x 9 V, tem-se g(x) . 2 se, e somente se:
O3 2 2xO 1 1 . 2 ] O3 2 2xO . 1 ]
] 3 2 2x . 1, se x , 1 ] Df  g 5 {x 9 V O x , 1
3 2 2x , 21, se x . 2 ou x . 2}
@ 
19 b
ESTUDANDO Funções: conceitos básicos
Para o ENEM
1 c
Pode ser que uma ou nenhuma das pessoas do conjunto
de trabalhadores seja funcionário da empresa.
Nesses casos, a condição para o domínio não é
respeitada e, portanto, não configura uma função.
2 c
O limite de uma cúbica para os valores da variável
independente tendendo ao infinito cresce também
ao infinito, e isso conflita com o trecho da função
em que ela é constante.
3 b
Sobre o número de gatos, pode-se afirmar que não
diminuiu em momento algum, pois nenhum gato
morreu, e somaram-se outros abandonados. Portanto,
em qualquer momento analisado o número de gatos
é maior do que nos momentos anteriores.
4 d
Espera-se que exista uma correspondência um a
um entre o conjunto de pessoas e um conjunto de
números para determinado documento. Além disso,
sabe-se que o padrão de constituição da íris humana
não se repete em duas pessoas, assim como o padrão
de digitais e das ondas de voz. Essa propriedade
permite que um número ou uma característica
biológica identifique uma única pessoa, e que uma
pessoa seja identificada por um único número ou
característica biológica. Trata-se do mecanismo de
funções bijetoras e funções inversas.
5 e
Considerando que os círculos pretos representam as
regras de ortografia de uma língua e os círculos azuis,
as palavras que pertencem ao mesmo código de regras
gramaticais, a alternativa e é a única que representa
a relação descrita no enunciado, pois mostra que uma
regra se aplica à maioria das palavras de um conjunto,
mas não a todas.
ESTUDANDO Função afim
Para o vestibular
8,25 5 a 3 3,6 1 Q0
] a 5 1,25 e Q0 5 3,75
7,25 5 a 3 2,8 1 Q0
} Q 5 1,25D 1 3,75
a) Q0 5 R$ 3,75.
b)Se o taxista fez 10 corridas, ele recebeu 10 vezes o valor inicial Q0:
10 3 3,75 5 37,5
75 2 37,5 5 1,25D ] D 5 30 km
2c
f(x) 5 ax 1 b
780 5 a100 1 b
] a 5 2 e b 5 580
480 5 a(250) 1 b
} f(x) 5 2x 1 580
a)Falso. f(2100) 5 2 3 (2100) 1 580 5 380.
b)Falso. f(0) 5 580.
c)Verdadeiro. f(120) 5 2 3 120 1 580 5 820.
3 Gastando R$ 10.000,00 mensais com propaganda, têm-se
R$ 80.000,00 de receita; gastando 2 3 10.000 5 20.000,
têm-se 80.000 1 50% de 80.000 5 120.000.
y 5 ax 1 b
80.000 5 a 10.000 1 b
] a 5 4 e b 5 40.000
120.000 5 a 20.000 1 b
} y 5 4x 1 40.000
a) Logo, se x 5 30.000, então y 5 4 3 30.000 1 40.000 ]
] y 5 160.000.
b) y 5 4x 1 40.000.
4 a) y 5 qx 1 b
2.700 5 q 500 1 b
11
] q 5  ___  5 2,2 e b 5 1.600
3.800 5 q 1.000 1 b
5
b)Do item a tem-se que C(x) 5 2,2x 1 1.600. Se x 5 800,
então:
y 5 2,2 · 800 1 1.600 ] y 5 R$ 3.360,00.
5(F 2 32)
9
5(2C 2 32)
b) F 5 2C e C 5   __________
 
 
 
] 9C 5 10C 2 5 3 32 ]
9
] C 5 160 wC
5 a)35 5  ________
 
 
 
] F 2 32 5 63 ] F 5 95 wF
6d
Sejam A(x) 5 1,4 ? x 1 3,8 e B(x) 5 2,4 ? x as funções que
representam os valores cobrados em função da distância
pelas empresas A e B, respectivamente. Igualando as
expressões, tem-se:
1,4 ? x 1 3,8 5 2,4 ? x Æ x 5 3,8
Como ambas são funções crescentes, em corridas
inferiores a 3.800 m a empresa B é mais vantajosa.
7b
Seja x o preço pago pelo primeiro eletrodoméstico;
então, o segundo custou 3.500 2 x.
0,9x 1 0,92 ? (3.500 2 x) 5 3.170 Æ 0,9x 1 0,92 ? 3.500 2
2 0,92x 5 3.170 Æ 0,02x 5 50 Æ x 5 50 5 2.500
0,02
8c
Seja d a distância procurada. Então:
19 5 4,60 1 0,96 3 d ] 0,96d 5 14,4 ] d 5 15 km.
9 A comissão porcentual é representada pelo coeficiente
angular da reta que passa nos pontos (6.000, 1.000) e
(12.000, 1.600); logo:
Sy _____________
1.600 2 1.000
600
a 5  ___   5     
    5  _____   5 0,1
12.000 2 6.000 6.000
Sx
Portanto, a proposição é falsa, pois a comissão do vendedor não é de 20%, mas de 10%.
10e
P 5 aC 1 b ou y 5 ax 1 b
Sy 48 2 40 ___
8
1
1
a 5  ___   5   _______ 
  5       5  __   e 40 5  __   3 20 1 b ]
5
Sx 60 2 20 40 5
1
__
] b 5 36 } P 5     C 1 36
5
Para C 5 100 wC, tem-se:
1
P 5  __   3 100 1 36 ] P 5 56 wP
5
11 F
V
F
F
V
Sejam C o custo mensal de fabricação das peças, R a receita mensal da venda das peças e L o lucro mensal das
vendas das peças (L 5 R 2 C ):
C(x) 5 800 1 6x
R(x) 5 10x
L 5 R 2 C ] L(x) 5 10x 2 (800 1 6x) ]
] L(x) 5 4x 2 800
Falso, pois a receita é R(x) 5 10x.
Verdadeiro.
Falso, pois L(500) 5 4 3 500 2 800 5 1.200,00.
Falso, pois:
L(x) 5 2.500 ] 2.500 5 4x 2 800 ]
] x 5 825 unidades.
Verdadeiro, pois:
800
L(x) 5 0 ] 4x 2 800 5 0 ] x 5   ____
  ]
 
4
] x 5 200 unidades.
1 Q 5 a 3 D 1 Q0
12a
16d
Seja x o valor da parcela em n pagamentos:
x ? n 5 valor da geladeira
Para pagamentos em 3 parcelas, tem-se:
x ? n 5 (x 1 60) ? (n 2 3) Æ xn 5 xn 2 3x 1 60n 2 180 Æ
Æ 3x 5 60n 2 180 Æ x 5 20n 2 60
Em 5, tem-se:
x ? n 5 (x 1125) ? (n 2 5) Æ xn 5 xn 2 5x 1
1 125n 2 625 Æ 5x 5 125n 2 625 Æ x 5 25n 2 125
Portanto:
x 5 20n 2 60 Æ 20n 2 60 5 25n 2 125 Æ
{
x 5 25n 2 125
Æ 5n 5 65 Æ n 5 13
13 e
No período considerado, o grupo I está representado
por uma função estritamente crescente; o grupo II, por
uma estritamente decrescente.
14b
Nas condições do enunciado, os pontos (1, 70) e (3, 65)
pertencem ao gráfico representado pelo grupo II.
Substituindo na função y 5 ax 1 b:
70 5 a ? 1 1 b
Æ 2a 5 25 Æ a 5 2 5 e b 5 145
65 5 a ? 3 1 b
2
2
5
145
.
Portanto, y 5 2 x 1
2
2
15
A reta passa pelos pontos A(2, 3) e B(a, 6), com a % 2; logo:
y 5 mx 1 b
6 5 ma 1 b
3
3a 2 12
] m 5  _____
    e b 5   _______
 
 
3 5 m2 1 b
a22
a22
@ 
#
3
3a 2 12
} y 5  _____
     x 1   _______
 
 
a22
a22
O ponto de intersecção da reta AB com o eixo x é o ponto (x0, 0); então:
3
3a 2 12
     x 1   _______
 
 
] 0 5 3x0 1 3a 2 12 ]
0 5  _____
a22 0
a22
12 2 3a
 
 
] x0 5   _______
 
] x0 5 4 2 a
3
@ 
#
17c
O gráfico do valor da locação da empresa A passa pelos
pontos (0, 30) e (300, 165); logo:
y 5 ax 1 b
135
9
165 2 30
5  ____   5  ___     5 0,45 e b 5 30 (corte no
a 5   ________  
300 2 0
300
20
eixo y)
} yA 5 0,45x 1 30
O gráfico do valor da locação da empresa B passa pelos
pontos (0, 50) e (500, 250); logo:
y 5 ax 1 b
200 __
250 2 50 ____
2
   5      5 0,4 e b 5 50 (corte no eixo y)
5  
a 5   ________  
500 2 0
500 5
} yB 5 0,4x 1 50
a) f(x) 5 22x 1 4
b 5 4 (coeficiente linear) ]
corte no eixo y no ponto (0, 4)
0 5 22x 1 4 ] 22x 5 24 ]
] x 5 2 ] corte no eixo x no ponto (2, 0)
a)Falso, pois a empresa A cobra 0,45 centavos por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de 30 reais.
b) Falso, pois a empresa B cobra uma taxa fixa de 50 reais.
c) Verdadeiro, pois yA (400) 5 R$ 210,00.
yB (400) 5 R$ 210,00
y
yA (300) 5 R$ 165,00
, ou seja, é mais vanyB (300) 5 R$ 170,00
tajoso alugar um carro na empresa A.
d)Falso, pois
4
3
yA (500) 5 R$ 255,00
, ou seja, é mais vanyB (500) 5 R$ 250,00
tajoso alugar um carro na empresa B.
e) Falso, pois
2
1
18 c
–2
–1
0
1
2
3
x
b) Se o gráfico de g é paralelo ao de f, tem-se:
ag 5 af ] g(x) 5 22x 1 b
Se g passa pelo ponto (23, 1), tem-se:
1 5 22 3 (23) 1 b ] b 5 25 ] g(x) 5 22x 2 5
c) Se o gráfico de g é perpendicular ao de h, tem-se:
1
1
1
1
ag 5 2 __     ] 22 5 2 __     ] ah 5  __   ] h(x) 5  __  x 1 b
ah
ah
2
2
Se h passa pelo ponto (3, 8), tem-se:
13
13
1
1
8 5  __   3 3 1 b ] b 5  ___   ] h(x) 5  __  x 1  ___  
2
2
2
2
O gráfico do tipo y 5 ax 1 b passa nos pontos (22, 0) e
(0, 1); logo:
Sy
1
120
   
a 5  ___   5   ________
5 e b 5 1 (corte no eixo y)
2
Sx 0 2 (22)
} a1b5
1
3
115
2
2
19 a) P(0) 5 2 ? 1 1 8 ? 0 5 2
No instante inicial o ponto P está a 2 m da origem.
b) P [ 3 ] 5 2[1 2 3 ] 1 8 ? 3 5 21 1 12 5 11
2
2
2
A função P(t) é estritamente crescente; então, 2 < P(t) < 11
para todo t  50, 3 6.
2
Agora, P [ 3 ] 2 P(0) 5 11 2 2 5 9.
2
Assim, o segmento tem 9 m de comprimento.
20 a)Por n dias são cobrados 90n pela empresa A e 210 1 80n
21d
De acordo com o enunciado:
Preço de custo: R$ 600 5 R$ 4/caixa
150 caixas
Lucro mínimo: Lm 5 R$ 150 5 R$ 1/caixa
150 caixas
Lucro máximo: LM 5 R$ 300 5 R$ 2/caixa
150 caixas
Preço de venda: V 5 C 1 L
1,L,2ÆC11,C1L,C12Æ
Æ411,V,412Æ5,V,6
22 e
A afirmação I é falsa, pois o gráfico representa uma
função estritamente decrescente.
A afirmação II é verdadeira, pois a raiz da função é igual
a 1 e para valores de x maiores, f (x) , 0.
A afirmação III é falsa, pois f (2) 5 2 1 (2 2 1) 5
2
5 2 1  22.
2
Como cada função tem uma única lei de formação
associada, a alternativa IV está correta, pois o gráfico
de f passa pelos pontos (1, 0) e (−1, 1). Substituindo na
função considerada pela alternativa, tem-se:
f (1) 5 2 1 (1 2 1) 5 0 e f (21) 5 2 1 (21 2 1) 5 1
2
2
pela B. A empresa A será preferível se, e somente se,
90n , 210 1 80n, ou seja, se n , 21.
b)Seja x o valor fixo cobrado pela locadora B. Assim, a empresa B será preferível se, e somente se, 90n . x 1 80n,
isto é, se x , 10n.
Logo, para que B seja preferível para n . 27, deve-se
ter que, para todo n > 28, x , 10n, ou seja, x deve ser
menor que R$ 280,00.
ESTUDANDO Função afim
Para o ENEM
1c
A lei de formação, conforme descrita no enunciado, é
um caso de função linear. Isso descarta as alternativas
d e e. Em uma função linear, as grandezas variam
proporcionalmente. Isso descarta a alternativa b.
O cálculo da densidade do material em questão é
suficiente para escolher a alternativa correta.
m
80
d5
5
5 16 g/cm3 Æ m 5 16v
v
5
O gráfico que tem coeficiente angular igual a 16 é o da
alternativa c.
2a
Se o início foi em 1990, então t 5 0 e tem-se:
PA (0) 5 5,2 1 0 5 5,2
PB (0) 5 4,8 1 2 ? 0 5 4,8
Lembrando que as populações estão contadas em
milhares de habitantes, tem-se que PA 5 5.200 e que
P B 5 4.800. Portanto, o total de habitantes das duas
cidades é de 10.000.
3b
Estacionando por 5 horas em A, paga-se:
4,00 1 4 ⋅ 3,00 5 16,00; e em B paga-se:
8,00 1 4 ⋅ 2,00 5 16,00. Portanto, os valores são os
mesmos.
4a
A afirmação I é verdadeira.
R$ 350
1a parcela:
5 R$ 175
2
2a parcela: R$ 175,00 ⋅ (1 1 0,04) 5 R$ 182,00
A afirmação II também é correta.
R$ 182,00 2 R$ 175,00 5 R$ 7,00
A afirmação III é falsa.
R$ 175,00 1 R$ 182,00 5 R$ 357,00
5e
As afirmativas corretas são: 1, 3 e 5; portanto, a soma é 9.
A afirmação 1 é verdadeira, pois o volume considerado
no gráfico considera a vazão das duas torneiras.
A afirmação 2 é falsa e a 3 é verdadeira, pois:
V(t) 5 2.000 1 (10 − 2)t ⇒ 20.000 5 2.000 1 8t ⇒
ä t  18.000  2.250
8
2.250 min : 60 5 37,5 h
30 h < 37,5 h < 40 h
A afirmação 4 é falsa, pois a torneira que enche o tanque
tem vazão maior do que a torneira que o escoa. Além
disso, o cálculo acima mostra o tempo necessário para
encher o tanque.
A afirmação 5 é verdadeira, pois o gráfico descreve que a
variação do volume é constante em relação ao tempo.
ESTUDANDO Função quadrática
Para o vestibular
7 b
A parábola tem vértice (22, 3) e passa pelo ponto (0, 5).
Tem-se:
y 5 a(x 2 xV)2 1 yV ] 5 5 a[0 2 (22)]2 1 3 5 4a 1 3 1
} a 5  __  
2
x2 1 4x 1 10
1
1
__
y 5      [x 2 (22)]2 1 3 5  __   (x 1 2)2 1 3 5   ___________
 Æ
 
 
2
2
2
] y 5 0,5x2 1 2x 1 5 ] a 5 0,5; b 5 2; c 5 5
2 a) 2x 1 2y 5 10 ] x 1 y 5 5 ] y 5 5 2 x
Aretângulo 5 xy } A(x) 5 2x2 1 5x
5
b) Amáx. para x 5 xV } xV 5 2 _______
    
] xV 5 2,5 cm
2 3 (21)
3 d
s(0) 5 0 ] c 5 0
s(1) 5 32 ] a 1 b 5 32 (I)
s(2) 5 128 ] 4a 1 2b 5 128 (II)
Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II,
obtêm-se a 5 32 e b 5 0. Logo, s(t) 5 32t2. Assim:
s(2,5) 5 32 ? (2,5)2 5 32 ? 6,25 5 200
4 d
f (g(x)) 5 f ((x2 1 5x 1 3)) 5 2(x2 1 5x 1 3) 2 9 Æ
Æ f (g(x)) 5 2x2 1 10x 2 3
f (g(x)) 5 g(x) Æ 2x2 1 10x 2 3 5 x2 1 5x 1 3 Æ
Æ x2 1 5x 2 6 5 0
A soma dos valores absolutos das raízes x 5 26 e x 5 1 é 7.
5 a
De acordo com o gráfico, a função tem uma raiz dupla.
Assim:
D 5 m2 2 4 ? (8 2 m) 5 0, ou seja, m 5 4 ou m 5 28.
Para m 5 4, tem-se y 5 x2 1 4x 1 4 Æ
24
24  √0
Æx5
5
5 22 5 k.
2
2?1
Para m 5 28, tem-se y 5 x2 2 8x 1 16 Æ
8
2(28)  √0
Æx5
5 5 4 5 k.
2
2?1
Mas k , 0. Então, m 5 4.
p 5 02 1 m ? 0 1 (8 2 4) 5 4
Portanto, k 1 p 5 22 1 4 5 2.
8 a
A função (x 1 2) 2 é resultado de um deslocamento
horizontal para a esquerda de x2. O ramo esquerdo da
primeira cruza o ramo direito da segunda em um único
ponto.
A função x 2 1 2 não toca x 2, pois é resultado de um
deslocamento vertical de x 2, e ambas têm a mesma
concavidade. Ela também não toca a função nula. Isso
descarta as alternativas b e d.
O gráfico de x 1 2 é resultado de um deslocamento
horizontal para a esquerda da função identidade e,
por isso, tem dois pontos de cruzamento com x2. Isso
descarta a alternativa c.
O gráfico de x 2 2 é resultado de um deslocamento
horizontal para a direita da função identidade e, por
isso, não tem pontos de cruzamento com (x 1 2)2. Isso
descarta a alternativa e.
9 a
x2 2 3x 1 2 5 2x 2 3
|x 2 3x 1 2| 5 |2x 2 3| Æ 2
x 2 3x 1 2 5 2(2x 2 3)
y 5 |22x 2 1| 5
• x2 2 3x 1 2 5 2x 2 3 Æ x2 2 5x 1 5 5 0
• x2 2 3x 1 2 5 22x 1 3 Æ x2 2 x 2 1 5 0
São dois ramos de exponenciais. Gráfico número 3.
2
c
O produto das raízes de uma quadrática é dado por .
a
c
5
x1 ? x2 5 a 5 5 5
1
Æ x1 ? x2 ? x3 ? x4 5 5 ? (21) 5 25
21
c
5 21
x3 ? x4 5 a 5
1
O produto das raízes é igual a 5 ? (21) 5 25.
5[ x 1 1 [
2
2
5 5
1 2
2[ ]
2
?
4
1
Æ h[ ] 5
2
5
2
5[ [
1
1
2
2
5[
2
1
1
1
1
4
4
5 5 5
1
?
4
1
2
1
1
[x2 2 ] 1
4
2
1
1
4
[
2
5 5
1
?
4
5 [22 2
5
x2 2 3x 1 2, se x < 1 ou x > 2
2x2 1 3x 2 2, se 1 , x , 2
São dois ramos de parábolas. Gráfico número 4.
y 5 2 2 |x 1 1| 5
y 5 √|x| 5
h(x) 5 [f W g](x) ? [g W f](x) 5
5
y 5 |x2 23x 1 2| 5
2 2 (x 1 1) 5 1 2 x, se x > 21
2 2 (2x 2 1) 5 3 1 x, se x , 21
São dois ramos de funções afins. Gráfico número 1.
6 a
1
22x 2 1, se x > 0
1 2 22x, se x , 0
1 d
São dois ramos de funções inversas da quadrática x2.
Gráfico número 2.
Æ
10 d
5
1
5
1
12 1
[ 2 [1
4
4
4
1
] ? 4 5 15
4
√x, se x > 0
√2x, se x , 0
2
2 2x 1 168)
(14
1 x)(12 2 x)
(2x
______________
_______________
 
 
 
5 x2 1     
 
5
Asombreada 5 x2 1     
2
2
2
2 2x 1 168 __
x____________
1
 
5     
 
5      x2 2 x 1 84
2
2
2(21)
 
 
xV 5 ______
 
} xV 5 1 cm
1
2 3  __  
2
11a) f(x) 5 800 1 40x 2 20x 2 x2 5 2x2 1 20x 1 800
Como a , 0, f tem valor máximo (que ocorre para xV):
20
xV 5 2 _______
    
5 10 } 10 lugares
2 3 (21)
b) ymáx. 5 yV 5 2(xV)2 1 20xV 1 800 5 2(10)2 1 20 3 10 1 800
ymáx. 5 900
Portanto, o faturamento máximo é de R$ 900,00.
12a) Área da figura C: f(x) 5 (50 2 x)x ] f(x) 5 50x 2 x2.
Se os perímetros são iguais, as áreas das figuras A,
B e C são descritas da mesma forma, ou seja, se x é
uma das dimensões do retângulo A, sua área também
pode ser expressa da forma 50x 2 x2. Assim:
50x 2 x2 5 400 ] x2 2 50x 1 400 5 0
} x 5 10 cm ou x 5 40 cm
b)Como em f(x) 5 50x 2 x2 tem-se a . 0, a área da figura C é máxima (Amáx.) para ymáx. 5 yV. Daí:
2
ymáx.
4a
} Amáx. 5 625 cm2
50 2 4 3 (21) 3 0
S
_______________
5 2 ___    5 2   
 
 
 
13a)
4 3 (21)
t
y
Hora do dia (h)
Temperatura (wC)
8
20
18
20
tV
yV 5 ymáx. 5 30
0 = a 3 20 1 b e 30 = a 3 0 1 b ] b 5 30 e a 5 21,5
} Y 5 21,5X 1 30
Para o ponto (y, x), tem-se:
2(30 2 x)
3
2
x 5 2 __  y 1 30 ] y 5 _________
 
 ou y 5 20 2 __   x
 
 
2
3
3
2
b) Acasa 5 x 3 y ] A(x) 5 20x 2  __  x2 } Amáx. para x 5 xV
3
20
2
2
________
5 15 e y 5 20 2 __   x 5 20 2  __   3 15 5 10.
xV 5 2 
     
3
3
2
2 3 2 __   
3
@ #
Logo, x 5 15 m e y 5 10 m.
16
a
b
Terreno
a 1 2b 5 120 ] a 5 120 2 2b
Aterreno 5 ab 5 120b 2 2b2
A maior área é o valor máximo de y 5 120b 2 2b2.
2
2 4 3 (22) 3 0
120
S
_______________
Amáx. 5 yV 5 2 ___    5 2    
 
 
} Amáx. 5 1.800 m2
4a
4 3 (22)
17a) Quando S > 0, a função tem pelo menos um zero. Daí:
S 5 b2 2 4 3 (22) 3 (26) > 0 ] b2 2 48 > 0
y=0
y>0
–4 3
y>0
4 3 b
8 1 18
 
 5 13 } vértice: (13, 30)
 
tV 5   ______
} b < 24dll
3  ou b > 4dll
3  
2
2
2
2
__
b)
Nota-se
que
x
e
x
são
as
raízes da função f. Daí:
A
B
y 5 a(t 2 tV) 1 yV ] 20 5 a(8 2 13) 1 30 ] a 5 2    
5
(x
2
x
)(0
2
y
)
12
B
A
C
______________
22t2 1 52t 2 188
2
 
 
5 xB 2 xA
AABC 5     
5 6 ] ________________
 
 
} y 5 2 __  (t 2 13)2 1 30 ] y(t) 5   
 
2yc
2
5
5
12
Mas yC 5 f(0) 5 26. Daí:  ___  5 xB 2 xA ] xB 5 2 1 xA.
b)y(t) 5 26,4 ] t 2 226t 1 160 5 0 ]
6
26
c
___
__
] t 5 10 h ou t 5 16 h
Além disso: xA 3 xB 5      5      ] xA 3 xB 5 3
a 22
Substituindo xB por (2 1 xA) em xA 3 xB 5 3, tem-se:
14
y–6
6
xA 3 (2 1 xA) 5 3 ] (xA)2 1 2xA 2 3 5 0
Muro
} xA 5 1 ou xA 5 23 (não convém, pois xA . 0)
x
x
Assim: xB 5 2 1 xA 5 2 1 1 ] xB 5 3
xB 1 xA
2b
 
 e xV 5 ___
    . Daí:
 
Nota-se que xV 5  ______
y
2a
2
xB 1 xA ___
2b
2b
______
2x 1 y 1 y 2 6 5 34 ] 2x 1 2y 5 40 ] y 5 20 2 x
 
 
    
] b 5 8
 
 
5      ] 2 5 _______
 
2a
2 3 (22)
2
A
5 x 3 y ] A(x) 5 20x 2 x2 } A para x 5 x
cercado
2b
20
xV 5  ___  5 2 _______
    
5 10
máx.
V
2a
2 3 (21)
y 5 20 2 x 5 20 2 10 5 10
Portanto, as dimensões do cercado são x 5 10 m e y 5 10 m.
15a)Representando esse triângulo retângulo no plano
cartesiano de modo que os
catetos fiquem sobre os eixos X e Y, as extremidades
da hipotenusa são os pontos (20, 0) e (0, 30), que determinam a reta de equação
Y 5 aX 1 b. Daí, tem-se:
Y
(0, 30)
30 m
y
(y, x)
x
0
20 m
(20, 0) X
18 a)A população cresce até y 5 yV, com y 5 f(t).
2
2 4 3 (210) 3 100 _______
20
24.400
__________________
yV 5 2    
  
 
 
5  
 
5 110
240
4 3 (210)
220
b
    
tV 5 2 ___     5 2  ________
51
2 3 (210)
2a
A partir do esboço do gráfico abaixo, pode-se concluir que a população de insetos cresce durante uma
semana.
f(t)
110
100
2
@
4
#
8 2m2
2m ______
 
Coordenadas do vértice:  ____
   
 ,   
4
2
b)Como a 5 1 . 0, a concavidade da parábola é para
cima. Daí, Im(f) 5 {y 9 Voy > yV}. Logo:
8 2 m2
{y 9 Voy > 1} - Im(f) [ yV < 1 [   _______
 
 < 1 [
 
4
2
[ 4 2 m < 0 ] m < 22 ou m > 2
t
b)A população inicial é 100 (para t 5 0).
Daí, f(t) 5 100:
210t 2 1 20t 1 100 5 100 ]
] 210t 2 1 20t 5 0 } t 5 0 ou t 5 2
Logo, a população de insetos será igual à inicial quando t 5 2, ou seja, ao final da 2a semana.
c)População exterminada ] f(t) 5 0 } 210t 2 1 20t 1 100 5 0 ] t 2 2 2t 2 10 5 0
S 5 4 2 4 3 1 3 (210) 5 44 ] dll
S   5 dlll
44   5 2dlll
11  
dlll
d
lll
11 
 
2(22)
!
2
11 
 
2
!
2
_____________
 
 
 5 1!dlll
11   
 
5  _________
 
t 5   
 
231
2
11  (não convém). Logo, a popu} t 7 4,31 ou t 5 1 2dlll
lação seria exterminada entre a 4a e a 5a semana.
19 a)Pelo gráfico, conclui-se que o número de peças que
torna o lucro nulo (zeros da função) é 100 ou 500.
b)Pelo gráfico, os intervalos são 0 , x , 100 ou x . 500.
c)A parábola tem vértice (300, 800) e passa pelo ponto
(0, 21.000); logo:
L 5 a(x 2 xV)2 1 LV ]
] 21.000 5 a(0 2 300)3 1 800 ]
2
2(x 2 300)
21.800
1
] a 5 _______
 
 
 
  
5 2 ___      } L 5  ___________
 
1 800
90.000
50
50
Para L 5 350, tem-se:
2x2 1 600x 2 50.000
__________________
350 5    
 
 
]
50
] 2x2 1 600x 2 67.500 5 0
Resolvendo a equação, tem-se x 5 150 ou x 5 450;
portanto, devem ser vendidas 150 peças ou 450 peças.
20 a
(x 2 2)2 , 2x 2 1 ] x2 2 4x 1 4 2 2x 1 1 , 0
} x2 2 6x 1 5 , 0
1
–
5 +
x
8 2 m2
 
  ] 4 2 m2 5 0 ] m 5 22 ou m 5 2
 
yV 5   _______
2
Se f é crescente para x > 0, então xV < 0. Assim:
m
xV 5 2 __   < 0 ] m > 0 } m 5 2
2
d) Para m 5 2, f(x) 5 y 5 x2 1 2x 1 2 > 2. Daí:
y 5 (x 1 1)2 1 1 ] !dlllll
y 2 1   
5x11
Como x > 0, tem-se x 5 dlllll
y 2 1   
2 1.
22 a
y está na imagem de f se existe x  22 e a quadrática
em x, x2 1 p 5 (x 1 2)y Æ x2 2 yx 1 (p 2 2y) 5 0 admite
solução real. Para tanto, é necessário e suficiente que y2
2 4(p 2 2y) > 0 Æ y2 1 8y − 4p > 0.
Essa desigualdade quadrática em y tem solução para
todo y real se, e somente se, 64 1 16p < 0 ou p < 24.
23 c
De acordo com o gráfico:
– a parábola tem sua concavidade voltada para baixo
(a , 0);
– intercepta o eixo x em 2 pontos distintos (D 5 b2 2
2 4ac . 0).
1
}1,x,5
2a
c)Como a . 0 e Im(f) 5 {y 9 Voy > 1}, tem-se yV 5 1.
0
+
2
S
b
8 2 m
m
    5 2 __   e yV 5 2 ___    5   ______
 
 
 
21 a) xV 5 2 ___
4a
ESTUDANDO Função quadrática
Para o ENEM
1 d
Chamando de x a largura do canil, o comprimento será
1 1 10 2 x 5 11 2 x.
Dessa forma, a área A será dada por:
A(x) 5 (11 2 x) ? x 5 −x² 1 11x.
Isso define uma função do 2-o grau, e seu gráfico tem
concavidade voltada para baixo. Assim, o valor de x que
b
11
fornece área máxima é o x v 5 2
5 2
5
2a
2 ? (21)
5 5,5. Se x 5 5,5 m, 112 x, que é o comprimento, será
também 5,5 m. Logo, se Pedro construir um canil com
essas dimensões (5,5 m 3 5,5 m), ele terá a maior área
para seu canil.
Professor: A atividade pode ser resolvida por um
método mais prático e sem o uso de equações do
2-o grau. Sabe-se que, fixado um perímetro, o quadrilátero
com maior área é um quadrado.
10 m de alambrado mais 1 m de portão fornecem 11 m
para a construção do cercado.
11 : 2 5 5,5
2 b
I. Falsa. A partir de 2.500 unidades, a empresa
passa a ter prejuízo.
II. Falsa. A empresa tem lucro mantendo a
produção entre 500 e 2.500 unidades.
III. Verdadeira. 1.500 é coordenada do vértice da
parábola.
IV. Verdadeira. No intervalo [1.500, 2.000], a função
é estritamente decrescente. Então, 1.500 ,
, 1.800 , 2.000 Æ f(2.000) 5 7.500 , f(1.800) ,
, 10.000 5 f(1.500).
V. Verdadeira. De acordo com o gráfico, f(1.000) 5
5 f(2.000).
3 c
Se o preço do carro continuar a seguir esse modelo
quadrático, então, por simetria, como o preço
decresceu por 30 anos (de 1970 até 2000), levará
mais 30 anos (2030) para voltar ao valor inicial.
4 a
35 andares de 3 m equivalem a 105 m.
Substituindo na fórmula:
105 5 4,9 ? t² Æ t² 5 105 : 4,9 Æ t² 7 21,43.
Assim, t 5 √21,43.
Portanto, t está entre 4 e 5 segundos.
ESTUDANDO Função exponencial e função logarítmica
Para o VESTIBULAR
1 Se L é o lucro em reais e t, o tempo em anos, tem-se:
5 a)Como a população tem taxa de crescimento de 1%
L(t) 5 109  1,2t
L(t) . 1012 ] 109  1,2t . 1012 ] 1,2t . 1.000 ]
] ln (1,2t ) . ln 1.000 ] t  ln 1,2 . ln 1.000 ]
] t  0,182 . 6,907 ] t . 37,95
Portanto: t 5 38 anos.
ao ano, e t anos após 1o de agosto de 2000 ela será
de 2 3 170 5 340 milhões, então, adotando as aproximações dadas:
170(1 1 0,01)t 5 340 ] (1,01)t 5 2 ]
log 2
   
]
] log (1,01)t 5 log 2 ] t 5   _______
log 1,01
10
log  ___   
log 10 2 log 5
5
________________
___
______
    ]
  
  ] t 5     
] t 5  
log 101 2 log 100
101
log  ____   
100
2 A população após n anos pode ser dada por:
@  #
@  #
#
Partindo de P(n) 5 2  P(0), tem-se:
@ 
#
@  #
25 n
1 n 5 2  P(0) ] ___
P(0)  1 1  ___
      5 2 ]
     
24
24
n
2 n
n
102
10
100
 _____
   5 log 2 ]
  
  
 
 

2 ]  _____
]  _____     5
5
2 ] log
5
2 3
24  4
25  3
] n(2 log 10 2 5 log 2 2 log 3) 5 log 2 ] ] n(2  1 2 5  0,30 2 0,48) 5 0,30 ]
0,30
] n  0,02 5 0,30 ] n 5  ____   ] n 515
0,02
@ 
#
C
2
@  #
C
2
@  #
3 C(5.600) 5  __0   ]  __0  5 C0  10k  5.600 ]
@  #
1
1
]  __   5 10k 3 5.600 ] log  __    5 5.600k (I)
2
2
C0
C0
1
___
___
C(t) 5       ]      5 C0  10k  t ]  ___    5 10k  t ]
32
32
32
1
1
1 5 ] kt 5 5 log  __
    (II)
] kt 5 log  ___      ] kt 5 log  __
   
32
2
2
@  #
@  #
@  #
Substituindo (I) em (II), temos:
kt 5 5  5.600k ] t 5 28.000 anos
3
10
4 a) log 200 5 log  ___
  ] log 200 5 3 log 10 2 log 5 ]
 
5
] log 200 5 3 2 0,7 ] log 200 5 2,3
De m 2 M 5 5(21 1 log d), com d 5 200 e m 5 8,5,
tem-se:
8,5 2 M 5 5(21 1 2,3)
Partindo dessa igualdade, resulta M 5 2;
b)Da condição d > 100, tem-se log d > 2. Nessas condições, tem-se:
21 1 log d > 1 ]
m
] 5(21 1 log d) > 5
Como m 2 M 5 5(21 1 log d),
tem-se m 2 M > 5,
ou seja, m > M 1 5.
5
–5
0
M
1 2 0,699
301
] t 5   _________ 
 anos
 
  ] t 5  ____
4
2,004 2 2
Portanto: t 5 75 anos e 3 meses. Ou seja, a população
terá dobrado de tamanho em novembro de 2075.
b)Para i 5 0, 1, ..., 5, temos:
2,3 ] P 5 P (1,023)i
Pi 5 P0 1 1  ____
    
i
0
100
Então, adotando a aproximação dada:
log Pi 5 log P0 (1,023)i ] Pi x5 log P0 1 ilog (1,023) ]
1
 ____
    
i
    
] Pi x5 P0x 1 ilog 10 100 ] Pix 5 P0x 1  ____
100
5
1
     5  ___    , e os pontos do
Em particular: P5x 2 P0x 5  ____
100 20
gráfico que relacionam P0x, P1x, ..., P5x com os respectivos
1
   . 
anos estão contidos numa reta de inclinação  ____
100
População
@ 
#
P5
P4
P3
P2
P1
P0
00
@
01
02 03 04 05
Ano
#
3  1 1 #@ dll
3  2 1 #
22@ dll
__________________
6 @  10 1 4dll2   #  log2    
  
 
5
dll
2  
@ 
5 @ 10 1 4dll
2   #  log2  
2 d ll
2  
2
#
2 2
______
     5
dll
2  
2 d ll
2  
d
2   #R 5
2   #  E log2 23 2 @ log2 2 ll2   1 log2 dll
5 @ 10 1 4dll
E 
@ 
1
 __  
#R
2   #  3  log2 2 2 dll
5 @ 10 1 4dll
2   log2 2 1 log2 2 2     5
E   @ 
#R
2  1 1
2dll
6
   5
   
2   #   __   2  ________
5 @ 10 1 4dll
2
2
@ 
#
2  
5 2 2dll
  5 17
   
2   #   ________
5 @ 10 1 4dll
2
@ 
1 n
P(n) 5 P(0)  1 1  ___      .
24
7 Temos:
t(x) 5 3 ] 0,01 3 20,05x 5 3 ] 20,05x 5 3  100 ]
] 0,05x 5 log2 (3  102) ]
] x 5 20[log2 3 1 2 log2 (2  5)] ]
] x 5 20(log2 3 1 2 1 2 log25) ]
] x 7 20(1,6 1 2 1 2  2,3) ]
] x 5 164, adotando as aproximações dadas.
Assim, com base na função dada, a temperatura média
da Terra terá aumentado 3 wC em 2044 em relação à temperatura média de 1870 (1880 1 164).
8 a)Em t 5 0, tem-se: C(0) 5 377,4
Em t 5 1, tem-se: C(1) 5 377,4  1,005
Em t 5 2, tem-se: C(2) 5 377,4  1,0052
Em t 5 3, tem-se: C(3) 5 377,4  1,0053
Logo: C(t) 5 377,4  (1,005)t.
b) Deseja-se que C(t) 5 1,5  C(0) 5 1,5  377,4
377,4  (1,005)t 5 1,5  377,4 ] (1,005)t 5 1,5
3
log  __   
Logo:
log 1,5
2
t
_________
________
  
log (1,005) 5 log 1,5 ] t 5  
  
  ]  
  ]
log 1,005
2,01
____
log
 
 

  
3
2
log  __   
2
0,4771
2 0,3010
______________
  
  ] t 5     
] t 5   _________
     ]
0,3032 2 0,3010
2,01
____
log      
2
0,1761
______
 
  ] t 7 80 anos
] t 5  
0,0022
Portanto, o ano procurado é o de 2084.
@  #
@  #
@  #
@  #
9 b
Aplicando a propriedade da média aritmética dos
termos extremos de uma PA:
log2 x  log8 (8x)
 log4 (4x) ä log2 x  log8 (8x) 
2
 2  [log4 (4x)] ä log2 x  log8 8  log23 x  2  (log4 4  log22 x) ä
1
1
log2 x  2  [1  log2 x] ä
3
2
1
ä log2 x1 log2 x  2  log2 x ä
3
1
ä log2 x  1 ä log2 x  3 ä x  8
3
ä log2 x1
Como x = 8:
a1 5 log2 x 5 log2 8 5 3
1
a2 5 log4 4x 5 log4 4  8 5 log4 4  8 5 (log2 4 log2 8) 
2
1
5
 (23) 
2
2
a3 5 log8 8x 5 log8 8  8 5 2
Então, a1 a2 a3  3 
5
15
2
.
2
2
10a
log 1 x 5 log 1 x; substituindo-se na inequação:
4
4
log 1 x  log 7 ä log4 x  log4 7 ä log4 x  log4 7 
4
4
1
1
 log4 ä x 
7
7
1
1

14
7
11d
R  log10 [ 32.000  I0 ]  log10 32.000 
I0
 log10 25  103  log10 25  log10 103  5  log10 2  3 
 log10 10 ≃ 5  0,30  3  1  1,5  3  4,5
12b
a)A alternativa está correta, pois representa a aplicação
da propriedade do logaritmo do quociente.
b) In[
MA ] > 0 Æ MA > e0 Æ MA > 1 Æ M > x
A
i
xi
xi
xi
para todo xi . 0, tal que i 5 1, 2, ..., N.
Por ser absurda, a afirmação está incorreta, pois
contraria o conceito de média.
c) De fato, xi < MA Æ
xi
< M A.
N
d) Se todos os valores xi forem iguais, então: MA 5 MG Æ
Æ
MA 5 1 Æ T 5 In 1 5 0.
MG
e)Trata-se do desenvolvimento algébrico da expressão
para o cálculo do índice de Theil.
13d
Decaimento exponencial N 5 N0 ? e–kt. Para t 5 5.730,
tem-se a meia-vida do isótopo, ou seja, N 5
N0
.
2
Calculando o decaimento para t 5 5.730, obtém-se o
valor da constante k:
N0
5 N0  e–k  5.730 Æ 0,5 5 e–k  5.730 Æ ln 0,5 5 –k  5.730 
2
 (In e) Æ k 7 1,2  10–4
Calculando a idade da castanheira:
0,84  N0 5 N0  e–kt Æ 0,84 5 e–kt Æ ln 0,84 5 (–kt) 
 ln e Æ 20,17 5 (21,2  1024  t) Æ t 5 1.411 anos
14 log 450 5 log (32 3 5 3 10) 5 log 32 1 log 5 1 log 10 ]
] 2 3 log 3 1 log 10 2 log 2 1 log 10 5 2 3 0,48 1 1 2 0,30 1 1
Portanto: log 450 5 2,66.
lll
 
32 5 9
15 a)3d 4,1  . 3dll4 5
lll
4,1   
b) 3dlll
5 x ] log 3d 4,1  5 log x ]
] √4,1 3 log 3 = log x ] 0,48 3 2,03 = log x ]
] 0,9744 = log x ] 100,9744 = x , 101
4,1  
∴ 3dlll
, 10
16 Seja V(t) o valor da dívida em reais, V0 o valor inicial da
dívida, também em reais, e t o tempo em meses. Assim:
V(t) 5 V0 3 1,09t e V(t) 5 3 3 V0 5
5 V0 3 1,09t ] 3 5 1,09t ] t 5 log1,09 3 ]
1,08
In 3
    
] t 5  ______
] t 7  ____   ] t 7 12 meses
0,09
In 1,09
20 b
011
6
17 a) f(0) 5 2 3 3 4 2 25
30
g(0) 5 3 3 2
5 48
Portanto, 6 bactérias do tipo I e 48 bactérias do tipo II.
b)
y
48
f(t)
É sabido que o crescimento quadrático é maior
que o exponencial até ambos se igualarem e,
partindo desse ponto, passa a ser menor.
• F1(2) 5 22 1 96 5 100 e F2(2) 5 9 ? 22 1 64 5 100
• F1(3) = 32 + 96 = 105 e F2(3) = 9 ? 23 + 64 5 136
Portanto, após o instante t 5 2, o crescimento
populacional de B1 é menor que o de B2.
21 a
24
Substitui-se f(x) por x e x por g(x) 5 f 21(x):
18
f(x) 5 9 ? e  3 1 1 Æ x 5 9 ? e
12
g(t)
6
0
g(x)
x21
 e 3 Æ
9
g(x)
x21
x21
Æ In [
]52
Æ 23 ? In [
] 5 g(x) Æ
3
9
9
9 3
x 2 1 23
Æ g(x) 5 In [
] 5 In[
]
x21
9
x
1
x (horas)
24
2
g(x)
3
11Æ
     ]
c) f(t) 5 g(t) ] 2 3 3t 1 1 5 3 3 24 2 2t ] 2 3 3 3 3t 5 3 3  ___
2t
0,90
] t 5  ____   ] t 7 0,8411
1,07
Ou seja, após cerca de 50 min e 28 s.
18 e
A população da espécie A tem um crescimento
multiplicativo. Isso se reflete em uma curva
exponencial. Portanto, sua evolução corresponde
ao gráfico III. A população da espécie B tem um
aumento aditivo. Isso se reflete em uma curva de
inclinação constante. Assim, sua evolução corresponde
ao gráfico II. A população da espécie C permanece
estável ao longo dos anos. Isso se reflete em uma curva
horizontal. Portanto, sua evolução corresponde
ao gráfico I.
19 e
3 ? 22t . 0 Æ 4 2 3 ? 22t , 4 Æ
Æ P(t) 5
1
1
.
Æ
4
4 2 3 ? 22t
P0
P
. 0 5 0,25 ? P0
4 2 3 ? 22t
4
Então, P(t) . 25% ? P0.
22 c
28 5 (100 2 20) ? 0,5t 1 20 Æ 28 5 80 ? 0,5t 1 20 Æ
Æ 8 5 80 ? 0,5t Æ 0,1 5 0,5t Æ
Æ log 0,1 5 log 0,5t Æ 2log 10 5 t ? log 0,5 Æ
Æt5
2log 10 2log 10
5
5 log2 10 Æ
log 221
2log 2
Æ 8 , 10 , 16 Æ 23 , 10 , 24 Æ log2 23 ,
, log2 10 , log2 24 Æ 3 , t , 4
23
     ] (3 3 22)t 5 23 ] t 5 log(3 3 22) 23 ]
3t 5  ____
(22)t
log 23
3 3 0,30
  ] t 5   _____________
  
  
    ]
] t 5   _________
0,47 1 2 3 0,30
log (3 3 22)
ESTUDANDO Função exponencial e função logarítmica
Para o ENEM
1 d
A diferença de intensidade desses dois terremotos é de
2 unidades na escala Richter. A amplitude sísmica do
primeiro foi 100 vezes maior do que a do segundo.
2 c
log 140 5 log (2 ? 7 ? 10) 5 log 2 1 log 7 1 log 10 5
5 0,301 1 0,845 1 1 5 2,146
3 c
De fato, o crescimento acentuado é uma característica
das curvas exponenciais; além disso, o número de
bactérias em uma colônia sempre é representado
por um número natural e, portanto, trata-se de um
conjunto discreto. As funções de R em R são usadas
como modelos para o estudo das populações, e isso é
permitido pelo uso de hipóteses de aproximação.
4 d
I. Falsa. Funções inversas não são usadas para
representar casos de decrescimento. São usadas em
contextos de composição de funções.
II. Falsa. Idem ao comentário da afirmação I.
III. Verdadeira. A afirmação questiona a continuidade
do conjunto imagem da função, que, de fato, como
não existe, solicita a escolha de modelos de funções
contínuas para estudar a relação de dependência entre
as variáveis.
IV. Verdadeira. O gráfico não mostra o processo de
desintegração até o fim.
V. Falsa. O fato de alguns elementos terem meia-vida de bilhões de anos torna necessário o uso de
escala adequada para a representação gráfica, mas o
processo como um todo ainda é passível de descrição
por um exponencial. Não se deve confundir a escala
temporal de ocorrência do fenômeno com a taxa de
variação da curva.
ESTUDANDO Sequências numéricas, progressões aritméticas e geométricas
Para o VESTIBULAR
6 A sequência de camadas de moedas é (1, 6, 12, 18, ..., 84).
1
1 1 2 5 3
1 1 2 1 3 5 6 (a 1 a ) 3 n
(1 1 n) 3 n ______
1
n
n2 1 n
1 1 2 1 ... 1 n 5   __________
 
 
 
 
 
 
5   _________
 
5  
 
2
2
2
b) Sendo an21 e an (n . 1) dois termos consecutivos da
sequência (an):
[(n
2 1)2 1 (n 2 1)] ______
n2 1 n
2n2
_________________
an 2 1 1 an 5     
 
 
 5 n2
 
1  
 
5  ___ 
2
2
2
2 Os ângulos formam uma PA em que a1 5 30w e r 5 30w;
logo:
a458 5 30 1 (458 2 1) 3 30 ] a458 5 13.740w
1
Portanto: cos 13.740w 5 cos 60w 5  __  .
2
3 Se a é o lado do quadrado, d sua diagonal e A sua
área, tem-se a PA (a, d, A), ou seja (a, adll
2  ,  a 2 ). Logo,
se r é a razão da PA:
r 5 a 2 2 adll
2   5 adll
2   2 a ] a 2 2 2adll
2   1 a 5 0 ]
] a(a 2 2dll
2   1 1) 5 0 ] a 5 0 (não convém) ou
a 5 (2dll
2   2 1)
4 a)
4
3
2
1
x
1
2 3 4
–2
b)S 5 f(1) 1 f(2) 1...1 f(199) 1 f(200) ] S 5 22 1 1 1
1 4 1 7 1 ... 1 592 1 595.
Portanto, os termos da soma S formam uma PA de razão 3, a1 5 22 e a200 5 595:
(22
1 595) 3 200
_______________
S200 5     
 
 
5 593 3 100 5 59.300
2
5 a)
a 1 d 1 D 5 180w (I)
d 2 a 5 D 2 d ] 2d 5 a 1 D (II)
(II) em (I): 2d 1 d 5 180w ] d 5 60w
c
b) a 5  __    ] c 5 2a
2
a
D
b
d
a
c = 2a
Pela lei dos cossenos, tem-se:
b2 5 a2 1 (2a)2 2 2 3 a 3 2a 3 cos 60w ]
] b2 5 3a2 ] b 5 adll
3   
Pela lei dos senos, tem-se:
3  
dll
 ___   sen D
sen
d
sen
D
2
 _____
 
 5   _____
 
 
 
 ] ___
    5   _____
 
 
 ] sen D 5 1 ] D 5 90w
c
2
b
dll
3  
Portanto: a 5 30w.
7 Sendo 2sr o comprimento de cada camada de tecido e o
tubo cilíndrico com raio igual a 5 cm, tem-se:
comprimento da 1a camada de tecido: 2s 3 5 5 10s
comprimento da 2a camada de tecido:
2s 3 (5 1 0,1) 5 10,2s
Logo, os comprimentos das camadas de tecido formam
uma PA (10s; 10,2s; 10,4s; 10,6s; ...), cuja razão é 0,2s.
Portanto:
{10s 1 [10s 1 (n 2 1) 3 0,2s]} 3 n
   
  
 
]
Sn 5 C(n) 5   ____________________________
2
] C(n) 5 0,1sn2 1 9,9 sn
8 Seja (a1, ..., an) uma PA de razão r e (b1, ..., bn 2 1), dada por
ak 1 ak 1 1
ak 1 1 2 ak 2 1
____________
bk 5   _________
 
 
 
. Então: bk 2 bk 2 1 5     
 
5r
2
2
f
y
7
A partir da 2a camada, a sequência forma uma PA em que
a1 5 6, a razão 5 6 e an 5 84; logo:
84 5 6 1 (n 2 1) 3 6 ] n 5 14
(6 1 84) 3 14
90 3 14
 
 
 
Sn 5   ___________
 
] Sn 5   ______
 
  ] Sn 5 630
2
2
Portanto, a quantidade de moedas será igual a 631 moedas (630 1 1), e, assim, R$ 63,10.
1 a) Tem-se a situação:
Ou seja, a sequência (b1, ..., bn 2 1) é uma progressão aritmética de razão r.
a1 1 a2 _________
an 2 1 1 an
 
 1  
 
 
 
 
5
Além disso: b1 1 bn 2 1 5 _______
2
2
1
a
)
2(a
1
n
 
 5 a1 1 an
5  _________
 
2
Sejam S1, ..., Sn as somas referentes a cada camada, com
Sk representando a soma da camada composta por k tijolos,
k(a1 1 an)
.
k 5 1, ..., 100. Nota-se que Sk 5  _________
 
 
 
2
(a1 1 an) _________
2(a1 1 an)
 
 1  
 
 1 ... 1
 
 
Logo: S1 1 S2 1 ... 1 S100 5  ________
2
2
(a1 1 an)
100(a1 1 an) ________
 
 
 
 (1 1 2 1 ... 1 100)
 
5  
 
1   ___________
2
2
(10 1 490) (1
1 100) 3 100
_____________
 
 
 
 
3     
 
5
Assim: S1 1 S2 1 ... 1 S100 5   _________
2
2
5 250 3 5.050 5 1.262.500.
9 a)As figuras são compostas de quadrados cujos lados têm
a medida de 1 palito e, a partir da figura 2, a figura n é
obtida acrescentando-se (n 2 1) 3 2 quadrados à figura 1.
Portanto, para formar a figura n é
Fn 5 4 3 [11 (n 2 1) 3 2] 5 8n 2 4, para n > 1, e, sendo
assim, F10 5 8 3 10 2 4 5 76.
b)Ao exibir concomitantemente todas as primeiras 50
figuras, são necessários (8 3 1 2 4) 1 (8 3 2 2 4) 1
1 (8 3 3 2 4) 1 ... 1 (8 3 50 2 4) palitos de fósforo.
Observando que, anteriormente, havia a soma de
uma PA com a1 5 4 e a50 5 396, o número de palitos
(4 1 396) 3 50
____________
de fósforo será     
 
 
5 10.000.
2
10 Nenhum dos dois escolheu a opção correta. Observe
que os caminhos 1 e 2 têm os mesmos comprimentos.
De fato, traçando-se as paralelas indicadas na figura
abaixo, obtém-se:
• A0 A1  A2 A3  A4 A5 ... A10 A11  A0C2
• A1 A2  A3 A4  A5 A6 ... A11 A12  C2 A12
C1
A1
A0
B2
A3
A2
A4
A5
A6
A7
A9
A8
A11
A10
B1C2  C2D  B1C1  C1D e C1D  DB2  C1B2
C2
B1
a1  a2  a3  a4  a5  100 e
700
ä
8
1
1 175
1
a
ä  (a3  a4  a5)  
ä  (a3  a5)  4 
2
2 2
2
2
175
a4 175
175
ä a4 
ä a4  

6
4
2
4
1
a  a5
1

 (a1  a2  a3  a4  a5)   100 ä 1
•
2
2
2
a  a4 100
a
100
a
ä a3  3  a3 
ä a3  20
 3 2

2
2
2
2
2
ä a3  a4  a5 
A12
Por outro lado, prolongando o segmento B1C1, obtém-se D,
tal que:
C1
De acordo com o enunciado, tem-se uma PA de 5 termos e uma relação entre seus termos:
a1  a2  a3  a4  a5 ä 7  (a1  a2) a3  a4  a5 .
7
A parte maior da divisão é representada pelo termo a5.
• 7 (a1  a2  a3  a4  a5)  7100 ä 7 (a1  a5) 
 7 (a3  a4  a5)  700 ä a3  a4  a5  7 (a3  a4 
 a5)  700 ä 8 (a3  a4  a5)  700 ä
C2
B1
13 a
D
B2
175
175
175
ä 20 
 a5 
ä
2
6
2
6
175 175  120
175 3
 [ ] 20  [ ] 

ä a5 

6
3
6
2
6
230
115
ä a5 

6
3
• a3  a4  a5 
A0
A12
Logo:
B1C2  C2B2  B1C2  C2D  DB2  B1C1  C1D  DB2 
 B 1C 1  C 1B 2
Portanto, o caminho mais curto é o da opção 3.
11 e
(a1  a20)  20
2
 40 ä a1  a20  80
20
Subtraindo-se a1 e a20 , tem-se:
M20 
(a1 … a20)

20
M18  (a2 … a19) 
18
(a2  a19)  18
2
 a2  a19
2
18
Utilizando-se a propriedade dos termos equidistantes
da PA, tem-se:
a2  a19  a1  a20  80  40
2
2
2
12 e
Observa-se que o número de barras aumenta de dois
em dois na sequência. A sequência de barras na ordem
configura uma PA de primeiro termo 3 e razão 2. Assim, N = an
an  a1  (n  1)  2  3  2n  2  2n  1
14 a)O percurso de uma meia-volta é igual à metade do
percurso da meia-volta anterior, portanto, formam PG
1
de razão  __  .
2
9
1
 __    2 1
2
 
1.000 3 ________
 
 
7 1.996 metros. Assim, o atleta
1
 __   2 1
2
1 9
 __    2 1
2
1
 
percorreu 1.000 3 ________
 
 
5 2.000 1 2  __9     7 1.996
1
2
__
     2 1
2
@  #
@  #
@ 
#
b) A distância desejada é igual a:
1
1
1
1.000 2 1.000 3  __   1 1.000 3  __2    2 1.000 3  __3   1 ... 5
2
2
2
1.000
2.000
    
 
 metros
 
5   _________
5  _____
3
1
__
1 2 2      
2
@ #
E @  #
R
1 n
1 3  __    2 1 
2
8.191
8.191
1
_____________
 
 
  ] 2 1 2  __n    .  _____ 
  ]
 
.  _____ 
15   
1
4.096
4.096
2
__
     2 1
2
8.191
1
1
1
     ]   2 1 ]  __n      , 2 _____
] 2 __n     .  _____ 
8.192
8.192
2
2
@
#
1
      ] 2n , 213 ] n . 13
] 22n ,  ___
213
Portanto, o menor inteiro positivo que satisfaz a desigualdade é 14.
1
1
16 a4 5 a1 3 q4 2 1 ] 800 5 6.400 3 q3 ] q3 5  __8   ] q 5  __2   21 d
17 d
Os valores de 12 depósitos seguidos formam uma PG de
razão 2.
Somando-se estes 12 pagamentos, tem-se:
1 ? (212 2 1)
S12 5
5 4.095
221
A cada ano serão depositados R$ 4.095,00. Em 21 anos:
21 ? 4.095 5 85.995
18 a
Se a razão da PG é tal que 21 , q , 1, então
a1
Sn 
1q
1
100
Como a1  100 e q  , então: Sn 
 200
2
1
[1  ]
2
19 e
x
x
, a3  , ..., a6  48
2
4
1 8
255
x  [1 [ ] ]
x [
]
2
256
a1  (1qn)
Sn 


Æ S8 
1
1
12q
1 [ ]
2
2
255
x
128
1 5
a6  48  x  [ ] ä x  48  32
2
255
255
 (48  32) 
 3.060
S8  x 
128
128
a1  x, a2 
20 c
PG: (√2 , a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, 16√2 )
a1 5 √2 e a9 5 16√2
a9 5 a1 ? q8 Æ 16√2 5 √2 ? q8 Æ 16  q8 Æ q 5 √2
PG: (√2 , 2, 2√2 , 4, 4√2 , 8, 8√2 , 16, 16√2 )
A soma procurada é: 2 1 4 1 8 1 16 5 30.
Realizar essas operações repetidas vezes pode gerar:
• u ma PA de razão 3; nesse caso, o resultado da
diferença entre a alternativa correta e 1 deve ser um
múltiplo de 3.
• uma PA de razão −6; não poderia ser, pois nenhuma
das alternativas é um número negativo.
• uma PG de razão 4; nesse caso, a alternativa correta
seria uma potência de 4.
• uma PG de razão 7; semelhantemente, a alternativa
correta seria uma potência de 7.
De fato: 2.008 2 1 5 2.007 5 3 ? 669
Ou seja, 2.007 é um múltiplo de 3.
22 b
Trata-se de uma PG decrescente de razão 21 , q , 1:
a1
7
5
Sn 
Æ 42 
Æ 42 2 42q 5 7 Æ q 
12q
6
12q
23 e
Como a colônia de bactérias dobra de tamanho a cada
10 minutos, o crescimento dessa colônia será definido
por uma PG em que o primeiro termo é 25 [ufc/mL] e a
razão é 2. Calcula-se n tal que an , 100.000.
an 5 a1 ? qn 2 1 , 100.000 Æ 25 ? 2n 2 1 , 100.000 Æ
100.000
Æ 2n 2 1 , 4.000 , 4.096 5 2¹²
Æ 2n 2 1 ,
25
Æ n 2 1 , 12 Æ n , 13
Se a colônia tiver 12 oportunidades de se reproduzir,
precisará de 12 ? 10 min 5 120 min para isso.
• a13 5 25 ? 4.096 5 102.400 . 100.000
Analogamente, se tiver 11, precisará de 110 min.
• a12 5 25 ? 2¹¹ 5 51.200 , 100.000
Como o exame de diagnóstico precisa de 30 min e 110
min , t , 120 min, então o tempo que o médico tem
para administrar a medicação está representado no
intervalo 80 min , t 2 30 , 90 min.
E @  # R
1 4
6.400 3  __    2 1 
2
192.000
________________
 
 
 
 
]
 
] S4 5   _______
Portanto, S4 5    
1
16
__
     2 1
2
] S4 5 12.000
Portanto, o valor da dívida é R$ 12.000,00.
ESTUDANDO Sequências numéricas, progressões aritméticas e geométricas
Para o ENEM
1 e
Se escritas em ordem crescente as porcentagens de
2004, 2005 e 2007, tem-se: 98,07 , 98,12 , 98,17.
De fato, 98,07 1 0,05 5 98,12 e 98,12 1 0,05 5 98,17.
Portanto, nessa ordem configuram uma PA.
2 b
A sequência de cavalos é: a1 = 1, a2 5 3, a3 5 5, ...
an 5 1 1 (n 2 1) ? 2 5 1 1 2n 2 2 5 2n 2 1
Com isso é possível calcular a posição do cavalo 13:
2n 2 1 5 13 Æ 2n 5 14 Æ n 5 7 Æ a7 5 13
Se o a7 é oposto ao a3, então o a6 é oposto ao a2 e o
a5 está de frente para o a1.
Logo, a5 5 2 ? 5 2 1 5 10 2 1 5 9.
3 a
Os seguintes pares representam cavalos opostos no
carrossel: (a5, a1), (a6, a2), (a7, a3), (a8, a4).
Como a5 já apareceu na primeira linha, não é possível
ter o próximo par (a9 e a5). Logo, há apenas 8 cavalos.
4 b
2015 2 1990 5 25
Como o primeiro termo representa o ano de 1990,
2015 representará o 26o.
Usando o termo geral da PA, em 2015:
a26 5 a1 1 25r 5 5% (o último termo é metade do
primeiro)
10% 1 25r 5 5% Æ 25r 5 5% 2 10% 5 25% Æ
5%
5 20,2%
Ær5 2
25
De 1990 até 2012 se passaram 22 anos, então:
10% 1 22 ? (20,2%) 5 10% 2 4,4% 5 5,6%
5 c
Observa-se que o padrão de formação dessa sequência
é a repetição da unidade nas duas primeiras posições
e, a partir da terceira posição, cada termo é a soma dos
dois termos anteriores. Logo:
an 5 an 2 1 1 an 2 2, para n . 2.
ESTUDANDO Razões, proporções e porcentagens
Para o vestibular
20
5
7
a outra,  ___    de 1.280 e a terceira,  ___    de 1.280, ou seja,
20
20
R$ 512,00, R$ 320,00 e R$ 448,00, respectivamente.
1
5
1
10
1
 __  
5
ceberá  ___   5
8
___
      
10
1
2
21511
10
8
10
b) __   1  __   1  ___    5   _________
 
 
 
5  ___    ; logo, uma pessoa re1
 __  
5
2
1
 __   de 1.280, a outra,  ___   5  __   de 1.280
4
8
8
___
      
10
1
 ___    
10
1
___
e a terceira,      5  __   de 1.280, ou seja, R$ 320,00,
8
8
___
      
10
R$ 800,00 e R$ 160,00, respectivamente.
3
2
    de A,  ___    de B
2 A substância X é composta (volume) de  ___
10
10
5
e  ___    de C.
10
E as massas dos elementos A, B e C obedecem às relações: A 5 3C
B 5 2C
3
5
2
 ___    3 3C 1  ___    3 2C 1  ___    3 C
10
10
10
X _______________________
__
x 5      5     
  
 
5
C
C
6C 1 6C 1 5C
  
 
 
  ____________
10
17C 1 17
____________
5     
  
5  ____  3  __   5  ___   5 1,7
C
10
C
10
3 a)A distância entre Paraguaçu e Piripiri é de 47 2 13 5 34 km.
Entre essas duas cidades há oito espaços de 1 cm
cada. Logo, 1 cm no mapa corresponde à distância de
34
 ___   5 4,25 km 5 425.000 cm, ou seja, a escala do
8
mapa apresentado é 1 4 425.000.
b)Medindo-se a partir do ponto do início da estrada, o
posto se encontra no quilômetro 13 1 5 3 4,25 5 34,25.
c)A distância entre essas duas cidades é
34 km 5 3.400.000 cm. Usando a escala 1 4 500.000, a dis3.400.000
5 6,8 cm.
tância entre elas na folha será de   _________  
500.000
4 a)Para a produção do fertilizante F1, em cada 8 par-
tes desse fertilizante 5 são do produto P e 3 são do
5
3
produto Q; logo,  __   são de P e  __   são de Q. Portanto:
8
8
3
3
 __   de 260 5  __   # 260 5 97,5 litros do produto Q.
8
8
b) Composição errada:
80% de 2.200 5 1.760 litros de P
20% de 2.200 5 440 litros de Q
Seja x a quantidade de F1 a ser acrescentada à mistura e
y a quantidade total da mistura (y 5 2.200 1 x), tem-se:
5
7
1.760 1  __  x 5  __  y(I)
8
9
3
9
3
2
__
__
440 1     x 5     y ] y 5  __   440 1  __  x  (II)
8
9
2
8
Substituindo (II) em (I), vem:
5
3
7 9
1.760 1  __  x 5  __   3  __   440 1  __  x  ]
8
9 2
8
@ 
#
@ 
#
5
7 3.520 1 3x
] 1.760 1     x 5      @  
   
# ]
8
2
8
__ 
__  __________ 
] 28.160 1 10x 5 24.640 1 21x ]
] 11x 5 3.520 ] x 5 320 litros.
Portanto, devem ser acrescentados à mistura 320 litros do fertilizante F1.
5 Se V é o volume da caixa-d’água, em m3, temos:
V
V
Vazão (A) 5  __   m3/h e Vazão (B) 5  ___    m3/h
5
7,5
Calculando o volume na caixa-d’água na primeira 1,5 h,
tem-se:
1,5V
V
x
 __  5  ___     ] x 5  ____
 5 0,3V; portanto, faltam V 2 0,3V 5 0,7V
 
5 1,5
5
para completar o volume total da caixa-d’água.
3V 1 2V ___
5V V
V
V
Vazão (A 1 B):  __   1  ___    5   _______
 5      5  __   m3/h
 
5 7,5
15
15 3
0,7V
V ____
__
  ] t 5 2,1h
Logo:      5    
t
3
Assim: 7 1 1,5 1 2,1 5 10,6 h. Como 0,6 h corresponde a
36 min, as bombas terminaram de encher totalmente a
caixa às 10h36min da manhã.
6 No intervalo de 700 dias entre os alinhamentos, o pla700
1
neta A percorreu  ____   5 2 1  __   voltas em torno de x, de
300
3
1
modo que J corresponde a  __   de volta.
3
4
1 __
__
Assim, B percorreu 1 1      5      de volta durante os mes3 3
700
 
 
 ____
4
 5 525 dias
mos 700 dias e, portanto, o ano de B tem  ____
 
3
terrestres.
8
1 a)8 1 5 1 7 5 20; logo, uma pessoa receberá  ___
    de 1.280,
13 c
7 c
x 1 y 1 z 5 310
z
x
z
y
x
y
Æ
5
5
5
5
5
1
1
1
1
1
1
5
2
5
3
2
3
5
x1y1z
310
5
31
1
1
1
1
1
30
2
3
5
x
y
310
310
5
5
Æ x 5 150,
Æ y 5 100 e
1
1
31
31
2
3
30
30
z
310
5
Æ z 5 60
1
31
5
30
Seja V a capacidade da primeira garrafa. A capacidade
da segunda garrafa será 2V e a da terceira garrafa, 3V.
2
V.
Conteúdo do produto A na primeira garrafa:
3
3
Conteúdo do produto A na segunda garrafa:
? 2 V.
5
2
6
28
Conteúdo de A na terceira garrafa:
V1
V5
V.
3
5
15
Portanto, a fração do produto A na terceira garrafa é:
28
[ ]V
15
28 .
5
45 3V
14 d
Consumo de álcool:
8 a
Porcentual de votos do candidato X:
75% de 75% 5 0,75 # 0,75 5 0,5625 5 56,25% dos votos. Como 56,25% é maior que 50%, então o candidato X
ganha as eleições no primeiro turno.
9 47 # 40% 5 18,8 gramas. Na fabricação do pão foram
perdidos 47 2 35 5 12 gramas. Fazendo-se a proporção:
18,8 p 100%
] 18,8x 5 1.200% ] x 7 63,8%
12 p
x
Portanto, evaporou-se aproximadamente 63,8% da água
contida na massa inicial desse pão.
350 km
5 50 L.
km
7
L
Gasto total com álcool: 50 ? 2,05 5 102,5.
Consumo de gasolina:
350 km
5 35 L.
km
10
L
Gasto total com gasolina: 35 ? 2,68 5 93,8
102,5 − 93,8 5 8,7
Houve uma economia de R$ 8,70.
15 e
37 L ? x
34 L ? R$ 2,20
5
Æ x 5 R$ 1,40
259 km
374 km
10
Dos 25.000 litros de água consumidos na residência,
25% foram destinados à higiene pessoal. Ou seja,
0,25 # 25.000 5 6.250 litros.
Outros 33% foram consumidos com a descarga do banheiro, ou seja, 0,33 # 25.000 5 8.250 litros. A adolescente foi responsável por 40% desse consumo. Assim, ela
consumiu 0,40 # 6.250 5 2.500 litros com higiene pessoal e 0,40 # 8.250 5 3.300 litros com o uso da descarga,
totalizando um consumo de 5.800 litros.
11
Sejam R a receita da empresa, T os gastos com a conta
telefônica e E os gastos com energia elétrica. Assim:
T 1 E 5 0,15R
0,5T 5 1.000 ]
0,05R 5 1.000
T 1 E 5 0,15R
T 5 2.000
]
R 5 20.000
] T 1 E 5 0,15R ] 2.000 1 E 5 0,15 3 20.000 ] E 5 1.000
Portanto, a empresa gasta R$ 1.000,00 com a conta de
energia elétrica.
12 a
O 0,002% da população do estado de Rondônia corresponde a:
0,002
1.050.000 ? [
] 5 21
100
16 a
Cálculo da quantidade de nitrato em 12.000 L de
água que apresenta concentração de 15 mg/L:
15 mg
1L
Æ x 5 180.000 mg
5
x
12.000 L
Cálculo do volume de água ideal para essa
quantidade de nitrato:
10 mg
1L
Æ y 5 18.000 L
5
180.000 mg
y
Diferença entre o volume ideal e o do reservatório:
18.000 L − 12.000 L 5 6.000 L
17 c
E1 5
44,5
? 400.744 5 178.331,08
100
E2 5
71,3
? 1.457.000 5 1.038.841,00
100
E2
1.038.841,00
5
7 5,82
178.331,08
E1
E2 5 5,82E1 5 E1 1 E1 ? 4,82 5 E1 1 482% ? E1
18 Soma: 01 1 08 5 9
(01) Correta.
Fabiano tem x bezerros e y cabritos:
x
y
4
x
3
0,04 ?
1 0,03 ?
5 400.000 Æ
?
1
?
4
3
100 4
100
y
?
5 400.000 Æ 0,01 ? x 1 0,01 ? y 5 400.000 Æ
3
Æ 0,01 ? (x 1 y) 5 400.000 Æ x 1 y 5 40.000.000
(02) Incorreta.
20% ? 53.000 5 10.600  3.600
(08) Correta.
Um valor x sofre um aumento inflacionário de 700%:
700x
x 1 700% ? x 5 x 1
5 x 1 7x 5 8x
100
Aplicando a fórmula de juros compostos com inflação
de 20% a.m.:
8x 5 x ? (1 1 0,2)t Æ 8 5 1,2t Æ 23 5 1,2t
Aplicando-se log aos dois membros da equação:
3 ? log 2 5 t ? (log 12 – log 10) Æ
Æ 3 ? log 2 5 t ? [log(22 ? 3) – log 10] Æ
Æ 3 ? log 2 5 t ? [2 ? log 2 1 log 3 – log 10] Æ
Æ 3 ? 0,301 5 t ? [2 ? 0,301 1 0,477 – 1] Æ
Æ 0,903 5 t ? 0,079 Æ t 7 11,43 meses
(04) Incorreta.
5
j 5 800.000 ? 0,05 ? 6 5 800.000 ?
? 6 5 8.000 ? 5 ?
100
? 6 5 240.000  20.000
ESTUDANDO Razões, proporções e porcentagens
Para o ENEM
1 c
3 e
Seja y o volume do cubo que se deseja construir
e k o valor do ajuste na aresta feito pelo
maquinário. Então:
• y 5 2x3 5 (x 1 kx)3 Æ 2x3 5 (1 1 k)3x3 Æ
Æ 2 5 (1 1 k)3 Æ
3
Æ k 5 √2 2 1 5 1,23 2 1 5
5 0,23
• 0,23 7 0,25 5
1
4
2 a
Investidor A: 6 ? R$ 250,00 5 R$ 1.500,00
Investidor B: 8 ? R$ 150,00 5 R$ 1.200,00
Total investido por A e B juntos 5 R$ 2.700,00
Sabendo que a administração distribui os rendimentos
de forma proporcional às quantias investidas por cada
membro:
A1B
A
B
100
A
Æ
5
5
5
5
1.500 1 1.200
1.500
1.200
2.700
1.500
B
5
1.200
A 1 B 5 100
100
A
Æ A 7 R$ 55,55
5
2.700
1.500
100
B
Æ B 7 R$ 44,44
5
2.700
1.200
De acordo com o enunciado, x é o valor inicial de
operação ou depósito 1:
35 x
20 x
x 5 1.500 1
1 250 1
1 500 Æ
100
100
45 x
Æ
5 2.250 Æ x 5 5.000
100
Saque 2 ou operação 3:
35% do valor inicial de operação: 35% ? 5.000 5 1.750
Saque 4 ou operação 5:
20% do valor inicial de operação 5 20% ? 5.000 5
5 1.000
Operação
1
2
3
4
5
6
7
Transação
Depósito 1
Saque 1
Saque 2
Saque 3
Saque 4
Saque 5
Valor sacado
R$ 5.000,00
R$ 1.500,00
R$ 1.750,00
R$ 250,00
R$ 1.000,00
R$ 500,00
(saldo zero)
ESTUDANDO Tópicos da matemática financeira
Para o vestibulaR
6
Fazendo a proporção:
600 mL p R$ 1,80
900
] 600x 5 500 ? 1,8 ] x 5  ____   ] x 5 1,5
500 mL p x
600
O refrigerante de 500 mL deveria ser vendido por R$ 1,50,
ou seja, houve aumento.
1,65 2 1,50 ____
0,15
Percentual do aumento:   __________
 
 
   5 0,10 ou 10%.
 
5  
1,50
1,50
2
(21.600 2 P) ? 15% 5 1.620 ]
] (21.600 2 P) ? 0,15 5 1.620 ] 3.240 2 0,15P 5 1.620 ]
3.240
2 1.620
____________
 
] P 5     
 
] P 5 10.800,00
0,15
3 a
[(1.000 ? 1,05) ? 0,9] ? 1,05 5 1.000 ? 0,99225 5 992,25
4
30% de R$ 50.000 5 R$ 15.000.
O saldo será R$ 50.000 2 R$ 15.000 5 R$ 35.000.
Logo, Denise teria pago R$ 47.600 2 R$ 35.000 5 R$ 12.600
de juros nos seis meses, ou seja, R$ 2.100 de juros por
2.100
mês. Portanto, a taxa mensal de juros seria   ______   
5 0,06 5 6%.
35.000
R$ 15.000 1 R$ 47.600 5 R$ 62.600
R$ 62.600 ? 20% 5 R$ 12.520 (lucro)
Portanto, a porcentagem de lucro sobre o preço à vista é
12.520
de  ______ 
  5 0,2504 7 25%.
50.000
5
Soma: 01 1 02 5 3
No primeiro empréstimo:
• 6.200 2 5.000 5 1.200
• 1.200 : 5.000 5 0,24
Os juros foram de R$ 1.200,00, que correspondem a 24%
do capital.
24% : 2% 5 12
Ou seja, 2% a.m. de juros simples aplicados em 12 meses.
No segundo empréstimo:
• 3.300 2 2.500 5 800
• 800 : 2.500 5 0,32
Os juros foram de R$ 800,00, que correspondem a 32%
do capital.
32% : 8 5 4%
Ou seja, 4% a.m. de juros simples aplicados em 8 meses.
Portanto:
(01) Verdadeira (12 meses 5 1 ano).
(02) Verdadeira (4% ao mês, 12 meses 5 4 ? 12 5 48% ao
ano).
(04) Falsa (4% . 2%).
(08) Falsa (o valor dos juros foi de R$1.200,00).
A juros compostos, o montante é dado por: M 5 C ?
? (1 1 i )n. De acordo com a condição do enunciado, o
montante deve ser 80% superior ao capital. Então:
1,8C 5 C ? 1,08n Æ 1,08n 5 1,8 ]
log1,8
0,255
] n 5 log1,081,8 5
]n5
 7,29
log1,08
0,035
Portanto, serão necessários, aproximadamente, 7 anos
e 3,5 meses.
7 b
• Montante após 1 ano:
M 5 10.000 1 0,1 ? 10.000 5 11.000
Saldo após o 1-o pagamento: 11.000 2 3.000 5 8.000
• Montante após 2 anos: M 5 8.000 1 0,1 ? 8.000 5
5 8.800
Saldo após o 2-o pagamento: 8.800 2 4.000 5 4.800
• Montante após 3 anos:
M 5 4.800 1 0,1 ? 4.800 5 5.280
Logo, a 3-a parcela foi de R$ 5.280,00.
8 b
Seja V o valor do carro novo.
Após n anos seu valor será 0,25V. Como a taxa de
desvalorização anual é de 20%, tem-se:
0,25V 5 V ? (1 2 0,20)n Æ n 5 log0,80,25 ]
Æ n 5 log
8
10
1
log222
22 ? 0,3
56
5
5
4
3 ? 0,3 2 1
log23 2 log10
1
11 O preço pago pelo comerciante por uma camisa é __  x   e
9 b
Seja x o valor disponibilizado mensalmente à taxa
de 1% a.m. Convertido em meses, o período de 30
anos equivale a 360 meses. Portanto, o objetivo será
cumprido no 361-º mês.
O montante do primeiro depósito no valor x é dado por:
M0 5 x ? (1 1 1%)360 5 x ? 1,01360
De modo semelhante, os montantes dos depósitos
seguintes são:
x ? 1,01360
M2 5 x ? (1 1 1%)359 5 x ? 1,01359 5
1,011
M3 5 x ? (1 1 1%)358 5 x ? 1,01358 5
a)O comerciante vende cada calça por x(1 1 20%) 5
1,4x
x
 e cada saia
 
1,2x, cada camisa por __
     3 (1 1 40%) 5  ____
3
3
1,3x
x
 .
 
por  __   3 (1 1 30%) 5  ____
2
2
Assim, na compra, considerando-se o desconto de
10% dado, o cliente pagou
1,4x
1,3x
  1 2 3  ____
    3 (1 2 10%) 5 4,17x.
2 3 1,2x 1 2 3  ____
3
2
@ 
x ? 1,01360
1,012
x ? 1,01360
M4 5 x ? (1 1 1%)357 5 x ? 1,01357 5
1,013
.
.
.
x ? 1,01360
M360 5 x ? (1 1 1%)0 5 x ? 1,010 5
5x
1,01360
Observe que os montantes formam uma PG com 361
termos. Na ordem inversa essa PG tem o primeiro termo
360
igual a x e razão 1,01. Portanto, a soma  x ? 1,01i
3
x
por uma saia é  __   .
2
#
b)O comerciante pagou pelas duas calças, duas camisas
x
x 11x
e duas saias: 2 3 x 1 2 3  __   1 2 3  __   5  ____
 .
 
3
2
3
A porcentagem de lucro obtido foi de
11x
 
 
4,17x 2  ____
3
___________
 
 
 
 13,73% sobre o preço de custo.
 
11x
 ____
 
 
3
i50
equivale à soma dos termos dessa PG e é dada por:
1 2 1,01361
1 2 36
]5
] 5x[
x [
20,01
1 2 1,01
5 x ? 3.500 5 1.000.000 ] x  286
12 d
Sendo w o valor da poupança, x a quantia de Vítor e y a
quantia de Valentina:
1
x 5 2w
4
1
]
w 1 y 5 3w
2
1
1
w 1 x 1 y 5 w 1 4.947
4
2
w1
10 c
Seja x o valor que o consorciado tomou emprestado de
seu irmão. Assim:
30.000 2 x
Parcela do consórcio 5
25
Parcela do empréstimo 5
1,25x
25
De acordo com a condição do enunciado, somando os
valores das parcelas, tem-se:
30.000 2 x
1,25x
1
< 1.300 ]
25
25
] 30.000 1 0,25x < 32.500 ]
] 0,25x < 2.500 ] x < 10.000
1
Esse valor corresponde a
do valor do consórcio, ou
3
seja, aproximadamente 33%.
x 5 y 5 4w
] 4w 1 8w 5 19.788 ] w 5 1.649
]{
x 1 2y 5 19.788
13 c
Sejam x e y os valores procurados:
x 1 y 5 875.000
] 2x 1 2y 5 1.750.000 Æ
x
2
5
y
5
Æ 2x 1 5x 5 1.750.000 Æ
1.750.000
] x5
5 250.000
7
5 ? 250.000
y5
5 625.000
2
y 2 x 5 625.000 2 250.000 5 375.000
17
O tempo de aplicação do capital é n 5 150 meses. Se C0 é o
capital investido, ao final de n meses o montante será:
O lucro L é dado por: L 5 R 2 C.
a) Falsa, pois R 2 C 5 0 se a quantidade produzida é 10.
b) Falsa, pois R 2 C , 0 para quantidades superiores a 30.
c) Falsa, pois, para a quantidade 50, R 2 C , 21.000.
d) Falsa, pois (R 2 C ) , 200.
e) Verdadeira, pois (R 2 C ) . 0 para quantidades entre
10 e 30.
Cn 5 C0(1 1 0,005)n
Aplicando a fórmula do binômio de Newton, tem-se:
(1 1 0,005)150 5 [1 1
150
 [
k50
15 e
5[
Observe que t  {1, 2, 3, ..., 12}.
O valor de P é mínimo se sen[
Nesse caso,
pt
p
1 ] 5 21.
6
2
Equação da reta: y 2 62 5 24(x 2 20) ] y 5 24x 1 142
Receita diária: R 5 x ? y 5 x(24x 1 142) 5 24x² 1 142x
O valor de x que maximiza a receita, em reais, é dado por:
2142
142
xv 5
5 17,75
5
2(24)
8
3
3 149
1
?
4
4 400
149
1
. , tem-se:
400
3
3
3
1
(1 1 0,005)150 . 1 1
1
?
52
4
4
3
Assim, ao final de 150 meses, o rendimento será superior
a 100%.
18 e
Sendo x o número de camisas e y o custo mensal, o
gráfico de y em função de x é uma reta que passa pelos
pontos (400, 17.000) e (600, 23.000).
O coeficiente angular dessa reta é dado por:
m5
23.000 2 17.000
5 30
600 2 400
Tomando o ponto (400, 17.000), a equação da reta é:
y 2 17.000 5 30 ? (x 2 400)
O custo procurado é o valor de y para x 5 750, ou seja:
y 2 17.000 5 30 ? (750 2 400) ] y 5 27.500
16 a
Sendo x o preço da diária e y o número de carros
estacionados, o gráfico de y em função de x é uma reta
que passa pelos pontos (20, 62) e (28, 30).
O coeficiente angular dessa reta é dado por:
62 2 30
m5
5 24
20 2 28
150
150
1 0
1 1
1 2
150
]?[
]?[
] 1[
] 1[
] 5
]?[
2
0
200
200
200
1
Como
Portanto:
pt
p
3p
t
1 5
1 2kp ] 5 1 + 2k ] t 5 6 1 12k
6
2
2
6
5
1
Æk50
1 < t < 12 ] 1 < 6 1 12k < 12 ] 2 < k <
12
12
Então, t = 6, que representa junho de 2010.
pt
p
O valor de P é máximo se sen [
1 ] 5 1.
6
2
pt
p
p
Nesse caso,
1 5 1 2kp, com k inteiro.
6
2
2
Portanto:
t
pt
p
p
1 5 1 2kp ] 5 2k ] t 5 12k
6
6
2
2
1
1 < t < 12 ] 1 < 12k < 12 ]
<k<1]k51
12
Então, t 5 12, que representa dezembro de 2010.
150
1 k 2 150
1 k
]?[
]?[
] . [
] 5
k
k
200
200
k 50
511
pt
p
3p
1 5
1 2kp, com k inteiro.
6
2
2
1 150
] 5
200
19
Soma: 04 1 08 1 16 5 28
(01) Falsa.
Se a taxa é de 5% ao mês, em um mês a dívida de
R$ 1.000,00 passará a ser de 1.000 ? (1 1 0,05) 5
5 1.000 ? 1,05 5 R$ 1.050,00.
(02) Falsa.
M 5 C(1 1 0,05)10 ] M 5 C(1,05)10
Os juros, nesse caso, serão de:
J 5 M 2 C 5 C(1,05)10 2 C 5 C(1,0510 2 1)
(04) Verdadeira.
M 5 C(1 1 0,05)n 5 C ? 1,05n
(08) Verdadeira.
VF 5 VP ? (1 2 i ? t) ] VF 5 2.000 ? (1 2 0,02 ? 3) ]
] VF 5 1.880
(16) Verdadeira
VF 5 VP ? (1 2 i ? t) = VP ? (1 2 0,02 · 1) 5 VP ? 0,98 5
5 VP ? 98%
14 e
20 b
24
Sendo v o valor do vestido pago à vista, o valor a ser
pago após um mês é 2% mais caro, portanto, 102%
de v ou 1,02v. Ao descontar desse valor a parcela de
R$ 119,34, o saldo devedor é de 1,02v – 119,34. Após
mais um mês, esse saldo devedor vai estar 2% mais caro.
Ou seja, os R$ 260,10 representam 102% do saldo devedor.
Assim:
1,02(1,02v 2 119,34) 5 260,10 ]
] 1,0404v 2 121,7268 5 260,10 ]
] 1,0404v 5 260,10 1 121,7268 5 381,8268 ]
381,8268
] v5
5 367
1,0404
Então, o preço de venda à vista seria de R$ 367,00.
21 c
Taxa de juros (i ) nesse período de 6 meses:
1.600
1.600 5 i ? 80.000 ]
] i 5 0,2 5 20%
80.000
Logo, admitindo que seja constante, em um ano (12
meses), tem-se duas aplicações com essa taxa, ou seja:
1 1 i 5 1,22 ] 1 1 i 5 1,44 ] i 5 44%
22 a
C 5 2.400 2 1.200 5 1.200
Após 2 meses, o saldo de R$ 1.200,00 com juros será de
R$ 1.452,00.
1.452
1.452 5 1.200(1 1 i )2 ] (1 1 i )2 5
5 1,21 ]
1.200
] 1 1 i 5 √1,21 5 1,1 ] i 5 1,1 2 1 5 0,1 5 10% ao mês
23
a) O valor presente da segunda parcela é dado por:
200
200
 198,02
VP 5
5
1,01
1 1
[1 1
]
100
Somando esse valor à primeira parcela, tem-se o valor
presente da mercadoria:
200,00 1 198,02 5 398,02
b) Se não há entrada, o valor presente da primeira
p
p
mercadoria é VP1 5
.
5
1,01
1 1
[1 1
]
100
Já o valor presente da segunda mercadoria é:
p
p
VP2 5
5
1,012
1 2
[1 1
]
100
Somando esses dois termos, tem-se:
VP 5 VP1 1 VP2 5
p
p
2,01
1
] 1,97 p
5 p[
1,01
1,012
1,012 
Considerando que a mercadoria custa 2p, deve-se dar
um desconto de, ao menos:
2 2 1,97
5 0,015 5 15%
2
Observe o esquema:
30 dias
60 dias
90 dias
X
X
X
x
1,135
x
1,1352
x
1,1353
A soma das parcelas atualizadas monetariamente, isto
é, sem a aplicação do juro, resulta no preço à vista:
x
x
x
1
1
5 3.423 Æ
1,135
1,1352
1,1353
2
11
Æ x [ 1,135 1 1,135
] 5 3.423 Æ
1,1353
Æ x 5 3.423 ? 1,462  1.462,00
3,423
Portanto, o valor de cada parcela será de,
aproximadamente, R$ 1.462,00. O valor total da dívida é
de R$ 4.386,00.
ESTUDANDO Tópicos da matemática financeira
Para o ENEM
1 c
5 c
R$ 132,00
(R$ 145,00 2 R$ 132,00)
13 ? 100
x5
%  9,8%
132
100%
x
Se 10 < 9,8 , 20, o desempenho financeiro da empresa
fica classificado como bom.
2 c
x 2 30% ? x 1 20% ? (30% ? x) 5 3.800 Æ
] x ? (1 2 0,3 1 0,06) 5 3.800 Æ 0,76x 5 3.800 Æ
Æ x 5 5.000
a) Incorreta.
23.000 ? 1,219 2 22.000 5 28.037 2 22.000 5 6.037 . 5.000
b) Incorreta.
22.000 2 19.000 ? 1,051 5 22.000 2 19.969 5 2.031 , 3.000
c) Correta. Guilherme pagou R$ 22.000,00 pelo carro.
22.000 2 19.000 5 3.000 . 969
d) Incorreta.
969 , 1.000 5 23.000 2 22.000
e) Incorreta.
12.000 1 10.000 ? 1,051 5 22.510 , 23.000
• 500 ? 1,00560 5 502,80000
• 500 ? 1,00876 5 504,38000
504,38 2 (504,38 2 500) ? 4% 5 504,2048
4 c
Sabe-se que a expressão para o montante M de uma
aplicação a juros compostos sobre um capital C é dado
por:
M 5 C ? (1 1 i )t
O quadro do enunciado mostra os valores do fator (1 1 i )t.
Então, para n 5 12, o investimento A rende 42,6%. Isso
mostra que esse investimento é mais rentável do que o B.
Agora, para analisar o investimento C, tem-se i 5 0,18 e
n 5 2:
(1 1 0,18) 2 5 1 2 1 2 ? 1 ? 0,18 1 0,18 2 5 1 1 0,36 1
1 0,0324 5 1,3924
Ou seja, o investimento C rende 39,24% ao ano.
Portanto, o investimento A é o mais rentável dos três no
período de um ano.
3 d
ESTUDANDO Geometria plana: conceitos e relações básicas
Para o vestibular
6
1 Seja h a altura da árvore. Por semelhança de triângulos,
tem-se:
AA, tem-se:
m(Aå BD) 5 m(Tå DC)
m(Cå TD) 5 m(Aå BD) 5 90w
30h 2 45 5 10x 1 100
20h 2 30 5 10x
BD
1 BD
tg Bå AD 5  ___    ]  __   5  ___   } BD 5 5 m
2
10
AD
Pelo Teorema de Pitágoras:
BD2 1 AD2   
} AD 5 5dll
5   m
AD 5 dlllllllll
Seja r o raio da esfera, então, BC 5 CT 5 r e
CD 5 BD 2 BC 5 5 2 r
Assim, da semelhança entre os triângulos ABD e CTD:
5  
5dll
10
AB AD
 ___   5  ___    ]  ___  5  _____    } r 5 10@ dll
5  2 2 #m
r
52r
CT CD
a) Considerando o ângulo de vértice å A da figura, tem-se:
h
sen å A 5  __   } h 5 c 3 sen å A
c
b)Sabe-se que a área SABC do triângulo ABC é dada por:
] ABD 8 CTD
b) No triângulo ABD:
} h 5 11,5 m
2
a) S e AT é tangente à esfera, m(Cå TD) 5 90w, pelo caso
b 3 (c 3 senå A) b__________
3 c 3 sen å A
b3h
 
 
 
 
 
 
 
 ; logo: SABC 5 ___________
 
SABC 5  ____
5  
2
2
2
7
3 Os triângulos BDC e DEC são semelhantes, logo:
Soma: 01 1 08 5 9
O triângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo
pitagórico de lados 3, 4 e 5.
Logo, AB 5 40 km.
Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos:
BC DC
4EC ___
4
 ___   5  ___   ]  ____
 5        ] EC2 5 4
 
4
DC
EC
EC
} EC 5 2 cm
Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se:
DC2 5 DE2 1 EC2 ] 42 5 DE2 1 22
} DE 5 2dll
3   cm
BC2 5 AB ? CX
302 5 40 ? CX Æ CX 5 18
AB 5 AC ? AX Æ 402 5 50 ? AX Æ AX 5 32
2
4 a)Seja x a aresta dessa caixa-d’água cúbica. Para que
o volume seja máximo, ela deve ter a maior aresta x
possível. Esse fato ocorre quando uma das arestas do
cubo estiver totalmente contida no plano BCD. Pelo
caso AA de semelhança de triângulos, tem-se:
62x
x
 ___    5  _____
 } x 5 1,2 m
 
1,5
6
b)O volume de água que corresponde a uma altura de
85% da altura da caixa é igual a:
(1,2 m)2 3 (0,85 3 1,2 m) 5 1,4688 m3 5 1.468,8 litros
BX2 5 AX ? CX
BX2 5 32 ? 18 Æ BX 5 24
(01) Verdadeiro.
BC
30
3
5
5
Æ Bå AC  30º
AC
50
5
(04) Falso: XC 5 18 , 20
(08) Verdadeiro: AX 5 32 . 30
(02) Falso: sen BåAC 5
8 d
Observe a figura:
5
T
A
1
a)Observe a fi-
2 2
O
gura ao lado.
3
1
J a
d
S
D
4m
P
Nos triângulos OPT e OPS, OT 5 OS 5 1 metro, OP é comum aos dois triângulos. Pelo Teorema de Pitágoras,
PT 5 PS; logo, pelo caso LLL os triângulos OPT e OPS
são congruentes e, portanto, os ângulos a e d também
são congruentes, ou seja, OP é a bissetriz do ângulo J.
@ J2 #
OT
PT
1
1
2  
dll
4
b)tg  __    5  ___   5  ________
    
    5  ___  
5  ____
d
2  
llllll
32 2 12  2dll
@  #
J
1 2 tg @       #
2
J
2  
dll
2tg  __   
2 ?  ___  
2
4dll
2  
4
__________
__________
5  ____
   
   
  
 
5  
tg J 5  
2
__ 
@  #
2   2
dll
1 2  ___   
4
7
B
1m
17 m
2m
d+2
E
Os triângulos ABC e DEC são semelhantes, logo:
AB DE
2
4
 ___   5  ___    ]  __________
    
     ]
5  ______
BC EC
17 1 d 1 2
d12
4
2
    
     ] 4d 1 8 5 38 1 2d ]
]  ______
5  _____
19 1 d d 1 2
] 2d 5 30 } d 5 15 m
C
10 10 h 2 1,5
 ___  5  ___   5   _______  
30
x 1 10
c1
]
h
2 1,5
10
10
___
___
_______
 
 
    5      5  
 
x
20
c2
14
9 Cálculo do terceiro ângulo do △ABC:
180º − (60º 1 75º) 5 45º
a)Apontando uma semelhança de triângulos na figura,
Cálculo de outro lado do △ABC, por meio da lei dos senos:
x
35
5
x
35
sen 75º
sen 45º
Æ x 5 45
Æ
5
0,9
0,7
sen 75º 5 sen 105º 5 0,9
22x
servando que AQ 5  _____
 , tem-se:
 
2
0,8
1,6 2 0,8x
x
 ___   5  _____
    ] 1,2x 5   _________
 
 
 
1,2 _____
2
22x
   
 
2
} x 5 0,5 m
Área do △ABC, em cm2:
35 ? x ? sen 60º
35 ? 45 ? 0,8
5 630
5
2
2
15
10 d
med (FåNP) 5 75º, med (MåNF) 5 105º e med (Må FN) 5 45º
Pela lei dos senos:
FN
MN
FN
8
Æ
Æ FN 5 4√2
5
5
sen 30º
sen 45º
1
√2
2
2
11 a
pode-se concluir que d 5 2J.
b)Pela mesma semelhança de triângulos do item a e ob-
a) OAK 5 dll
K ,  K 9 v*
} OA2 5 dll
2 ;  OA3 5 dll
3 ;  OA4 5 2 e OAn 1 1 5 dlllll
n 1 1   
1
1
______
_______
b) an 5 sen Jn 5  
    
5  
     
OAn 1 1 d lllll
n 1 1   
Assim:
1
1
1
1
     ]
a1 5  ___    ; a2 5  ___    ; a3 5  ___    e a9 5  ____
d
d
d
d
ll
4  
ll
2  
ll
3  
lll
10  
O ângulo BåAC 5 60º e, pela lei dos cossenos, tem-se:
BD2 5 AB2 1 AD2 2 2AB 3 AD cos 60º ]
1
] BD2 5 12 1 22 2 2 3 1 3 2 3  __   5 5 2 2
2
} BD 5 √3 cm
3  
10  
dll
dlll
2  
dll
1
 
] a1 5  ___  ; a2 5  ___  ; a3 5  __   e a9 5  ____ 
2
3
2
10
16 c
G
12 d
H
F
massa ABC 5 massa ADE 1 massa BCED Æ
Æ 1.250 g 5 massa ADE 1 700 g Æ massa ADE 5 550 g
2
Área△ADE
550
AD
550
11
AD
5[
] 5 1.250 Æ BC 5 1.250 5 25
Área△ABC
BC
√
6
√
A
6
B
4
6
C
4 D
4
E
7 0,664
13
AB 5 BC 5 BH 5 6
a) MS 5 MR 1 RS e NT 5 RS
CD 5 DE 5 DF 5 4
dll
3   MR
cos 30w 5  ___  5  ___   ] MR 5 5dll
3   
2
10
1 NT
cos 60w 5  __   5  ___   ] NT 5 RS 5 10 ]
2 20
] MS 5 MR 1 RS
3  + 2 #m
} MS 5 5@ dll
SP 5 ST 1 TP e ST 5 NR
1 NR
sen 30w 5  __   5  ___   ] NR 5 ST 5 5
2 10
d
3   TP
ll
3    ]
sen 60w 5  ___  5  ___     ] TP 5 10dll
2
20
] SP 5 ST 1 TP
} SP 5 5@ 2dll
3  1 1 #m
med (HAB) 5 med (FCD) 5 45º Æ AG // CF
med (FED) 5 med (HCB) 5 45º Æ CH // FG
Portanto, HG 5 CF 5 4dll
2   e GF 5 CH 5 6dll
2 . 
2 (6dll
2 )  1 2 (4dll
2 )  1 2 ? 6 1 2 ? 4 5 20dll
2   + 20 7 48,2
b)O ângulo Må NP mede 360º 2 (60º 1 90º 1 60º) 5 150º;
logo, a lei dos cossenos fornece a medida MP:
MP 2 5 MN2 1 NP2 2 2 3 MN 3 NP 3 cos 150º 5
3  
dll
5 102 1 202 2 2 3 10 3 20 3 2 ___    5
2
@  #
5 100 1 400 1 200dll
3   
} MP 5 dlllllllllll
500
  
1 200dll
3    5 10dlllllll
5 1 2dll
3     
17 d
Seja r o raio da região 1, h e b a altura e a base da região
3, respectivamente. Então, em dm2, tem-se:
A1 5
p52
25p
5
5 39
2
2
A3 5
h?b
7 ? 10
5
5 35
2
2
A figura toda compreende um retângulo com 120 dm2
de área.
120 dm2 2 A1 2 A3 5 46 dm2
Por simetria, A2 5 23 dm2.
Para economizar, as peças com maior área superficial
serão feitas com os materiais mais baratos.
A2 , A3 , A1
18
A
Q
E
H
F
I
O
P
G
C
B
a) Seja P o ponto de tangência entre o círculo de
centro D e o lado tABu. O triângulo APD é retângulo de
√3
hipotenusa
e ângulo DåAP 5 30º.
2
1
√3
DP
Æ DP 5
5
sen 30º 5
2
4
√3
2
√3
b) Seja Q o ponto médio de tADu, ou seja, DQ 5
.
4
O ponto Q é também o ponto médio de tEFu e o
triângulo FQG é retângulo em Q.
1
Por semelhança, QF 5 . Por simetria, FG 5 EG 5
4
√3
√2
. Assim, por Pitágoras, QG 5
. Logo,
5r5
4
4
√3 2 √2
.
DG 5
4
c) O triângulo GHI é equilátero. Seja O o centro de ABC
e de GHI.
1
√3
3√2 2 √3
Æ OG 5 OD 2 DG 5
OD 5
AD 5
3
6
12
3√2 2 √3
3√2 2 √3
12
3
GH
OG
GH
Æ
Æ
?
5
5
5
12
2 √3
√3
AB
AO
1
?
3 2
√6
2
1
Æ GH 5
4
D
ESTUDANDO Geometria plana: conceitos e relações básicas
Para o ENEM
1 d
400
5 8.
50
3
5 2.
Razão entre as medidas lineares dos rótulos: √8
Logo, qualquer comprimento no rótulo menor tem
metade do comprimento correspondente no rótulo maior.
Consequentemente, a relação entre as áreas é 2² 5 4.
Razão entre os volumes das latas:
3 e
Se x é o comprimento e c é a projeção horizontal da
rampa, tem-se:
x
1m
5o
2 d
Como os triângulos formados pelos raios de luz
dentro e fora do projetor são semelhantes, então
a imagem projetada na parede é proporcional à
imagem do slide.
Pode-se então escrever a razão de proporção entre
os dois triângulos da figura a fim de determinar a
altura x da imagem projetada:
x
12
5
Æ 5 cm ? 12 m 5 30 cm ? x Æ
5
30
Æ 30x 5 60 Æ x 5 2 m
Assim, a distância entre a primeira fileira de
cadeiras e o telão deve ser também de 2 m. Dessa
forma, como cada fileira ocupa 50 cm ou 0,5 m,
caberão 20 fileiras nos 10 m restantes.
c
1
1
5 0,0875 Æ c 5
5 c 5 11,43 Æ
c
0,0875
1 ? 100
5 8,75% . 5%
Æi5
11,43
tg 5º 5
Isso torna as afirmações I e II falsas.
A afirmação IV também é falsa, pois:
x² 5 1² 1 c² 5 1 1 11,43² 5 1 1 130,65 5 131,65 Æ
Æ x 5 11,47
ESTUDANDO Geometria plana: polígonos, círculos e áreas
Para o vestibular
1 d
4 b
Um setor circular de 45° corresponde a 1 de um círculo.
8
Nesse caso, o raio do círculo tem 4 km:
2
AS 5 p ? 4 5 2p 5 2 ? 3,14 Æ AS 5 6,28
8
Área região retangular:
AR 5 7 ? 4 5 28
Área região triangular:
7?7
5 24,5
2
40 2 a ___
40 2
 ______
 
 5      5  __   ] 2b 5 120 2 3a
 
60 3
b
120 2 3a
________
} b 5  
 
 
 
2
Como a área da base do galpão é igual a 504 m2, tem-se
o sistema:
A1 1 A2 1 A3 5 6,28 1 28 1 24,5 5 58,78
2 d
A
B
B
120 2 3a
b 5   ________
 
 
 
120 2 3a
2
 5 504 ]
] a   ________
   
2
ab 5 504
@ 
120a 2 3a2 5 1.008 ] a2 2 40a 1 336 5 0
A
40 ! 16
a 5   _______
 
 
 
2
I
C
D
#
E
F
H
} a 5 12 ou a 5 28
Se a 5 12, então b 5 42, e o perímetro da base do galpão
tem medida igual a 2 3 (12 1 42) m 5 108 m.
Se a 5 28, então b 5 18, e o perímetro da base do galpão
tem medida igual a: 2 3 (28 1 18) m 5 92 m , 108 m.
G
5 b
D
LA – LB 5 LC Æ LA 1 LC 5 LE Æ LB – LC 5 LD Æ L D – L C 1 L F 5 L E LB 1 LD 5 LI Æ LE 1 LF 5 LG Æ LF 1 LG 5 LH Æ C
LC 5 9 – 8 Æ LC 5 1
LE 5 9 1 1 Æ LE 5 10
LD 5 8 – 1 Æ LD 5 7
Æ 7 – 1 1 LF 5 10 Æ LF 5 4
LI 5 8 1 7 Æ LI 5 15
LG 5 10 1 4 Æ LG 5 14
LH 5 4 1 14 Æ LH 5 18
AD 5 LI 1 LH 5 15 1 18 5 33
CD 5 LH 1 LG 5 18 1 14 5 32
ÁreaABCD 5 AD ? CD 5 33 ? 32 5 1.056
3 c
O triângulo retângulo MAN está inscrito na circunferência de raio r; logo, MN é diâmetro da circunferência. Seja
O o centro da circunferência, como M é ponto médio do
lado do quadrado ABCD, P é o seu centro. O ponto T é
tangente à circunferência; logo, o triângulo CTO é retângulo em T.
Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, tem-se:
OC2 5 OT2 1 CT2 ] (3r)2 5 r2 1 k2 ] 8r2 5 k2
2  
kdll
} r 5  ____
 
 
4
A diagonal do quadrado ABCD é igual a 4r 5 kdll
2 ;  novamente pelo Teorema de Pitágoras, kdll
2   5 ABdll
2    ] AB 5 k.
Portanto, a área do quadrado ABCD 5 AB2 5 k2.
O diâmetro de duas semicircunferências ocupa uma
distância horizontal de 6 mm 5 0,006 m.
Dividindo o comprimento de papel em uma bobina em
grupos de 0,006 m, tem-se:
102 : 0,006 5 17.000
Assim, 17.000 circunferências divididas nessa
configuração ocupam 102 m.
O comprimento de uma circunferência, em mm, é:
C 5 2πr 5 2 ? 3,14 ? 1,5 5 9,42
17.000 ? 9,42 mm 5 160 3 140 mm 5 160 m e 14 cm
AT 5
O terreno triangular possui 1.200 m2 de área e 60 m de
base; logo, sua altura mede 40 m.
Sejam a e b o comprimento e a largura do retângulo, respectivamente, de uma semelhança de triângulos, tem-se:
6 a
V
V
V
9 c
De acordo com o enunciado, tem-se:
Área△ABC 5
(V) Os ângulos opostos em um paralelogramo são
congruentes; a soma dos quatro é igual a 360º.
Disso conclui-se que a soma de quaisquer dois
ângulos consecutivos é igual a 180°.
(V) O traçado das bissetrizes dos ângulos opostos
de um paralelogramo produz quatro ângulos
congruentes, pois os ângulos opostos têm mesma
medida. Dois dos quatro ângulos estão na região
interna às bissetrizes e são opostos um ao outro.
Conclui-se que a área entre elas, comum ao
paralelogramo inicial, é a região interna de outro
paralelogramo.
(V) Todo quadrado tem, respectivamente, dois lados
opostos paralelos, quatro ângulos congruentes e
dois lados adjacentes congruentes.
7 a
No primeiro movimento, o vértice P faz uma rotação
de 90º em torno do vértice oposto no quadrado, sobre
uma circunferência de raio √2 (medida da diagonal do
quadrado).
No segundo movimento, P faz uma rotação de 90º em
torno do vértice consecutivo, sobre uma circunferência
de raio 1 (medida do lado do quadrado).
No terceiro movimento, P fica fixo. No quarto, P repete
a trajetória do segundo movimento e passa a ocupar a
mesma altura inicial.
Para calcular a distância percorrida por P, basta somar
os arcos de circunferência percorridos.
Áreas ACDE, AFGB e BHIC 5 1 ? 1 5 1
Áreas dos triângulos AEF, BGH e CID, em função de dois
lados e do ângulo entre eles:
√3
1 ? 1 ? sen 120º
5
4
2
ÁreaDEFGHI 5
Sendo x e y as medidas das partes do fio, tem-se:
[4]
x
2
5 4[
y
4
]
2
Æ x 5 2y
60 5 x 1 y
Æ x 5 40 e y 5 20
x 5 2y
• L1 é a medida do lado do quadrado maior:
40
L1 5
5 10
4
• L2 é a medida do lado do quadrado menor:
20
55
4
(01) Verdadeiro: x 5 4 ? L1 5 40
L2 5
(02) Verdadeiro: (L2)2 5 52 5 25
(04) Verdadeiro: L1 5 2 ? L2 5 10
(08) Verdadeiro: A1 1 A2 5 (L1)2 1 (L2)2 5 102 1 52 5 125
√3
√3
13?113?
5 3 1 √3
4
4
10 a
Seja x a medida do lado do hexágono.
Observa-se que a área do △ABF equivale à sexta
parte da área do hexágono ABCDEF; isso, por sua
vez, equivale à área de um triângulo equilátero de
lado x.
• AD 5 2x
• 3
3
AD 5
(2x) 5 3 Æ x 5 2
4
4
• A△eq 5
22 √3
x2 ? √3
5 √3
5
4
4
11 De acordo com a figura, os retângulos internos têm
lados com medida x e 2x.
O perímetro de cada retângulo, em cm, é dado por
6x.
12
2
A área, em cm2, é igual a
5 . Portanto:
18
3
2p ? 1
2p√2 1 4p
p
2p√2
5
(√2 1 2)
12[
]5
4
4
2
4
8 Soma: 01 + 02 + 04 + 08 = 15
√3
12 ? √3
5
4
4
2x2 5
2
√3
Æx5
3
3
Finalmente: 6x 5 6 √3 5 2 √3
3
12 Sejam:
• G, a medida da área do pentágono grande; e
• p, a medida da área do pentágono pequeno.
Dois pentágonos regulares são sempre semelhantes,
e a razão das áreas é igual ao quadrado da razão de
semelhança:
2
G
4L
5 [ ] Æ G 5 16p
p
L
Logo, as áreas A e B são iguais.
16 d
Sejam o raio da circunferência, o lado e altura do
triângulo equilátero, respectivamente, R, L e H, então:
R
L
L
A soma de todos os ângulos θ é igual a 360°, ou seja, há
25 palitos, pois 360 : 14,4 5 25.
A medida , equivale ao comprimento dos n palitos
dispostos na horizontal do arranjo. Há n palitos na
fileira de cima e mais n na de baixo; e ainda n 1 1
palitos na vertical. Portanto, são 3n 1 1 palitos ao todo.
3n 1 1 5 25 Æ n 5 8
H
R
L
17 Soma: 004 + 008 = 12
(001) Falsa.
Nos triângulos equiláteros, os pontos notáveis
coincidem.
L
2
1
3
[
Ln √3
L √3
] 5 n6
2
• R 5 40 5 20
2
Rn 5
2
H Æ H 5 30
3
L
•H5
√3 Æ L 5 20√3
2
Aplicando uma rotação nos triângulos consecutivos,
observa-se que o maior pode ser decomposto em
quatro menores, semelhantes a ele e congruentes
entre si.
•R5
Bn
Área do triângulo recortado:
Bn 1 1
20√3 ? 30
L?H
5
5 300√3
2
2
Rn 5
14 a
△ABC  △345 Æ AC 5 5
EC 5 x, BE 5 3 – x, DB 5 y e AD 5 4 – y
tDEu // tFCu Æ △ABC ~ △DBE
3
32x
DE
BD
2
y
BE
Æ
Æ
5
5
5
5
3
AC
BA
5
4
BC
21
6
Æx5
ey5
10
5
21 6
63
?
5
ÁreaDECF 5 EC ? BD 5 x ? y 5
10 5
25
15 a
P
O
√
3p
,√3
5 √3 e
5 √3 Æ , 5 2
p
2
A área do hexágono é igual a 6 vezes a área do
triângulo equilátero menor.
3√3
12 ? √3
AH 5 6 ? AT 5 6
5
2
4
r5
Ln
Ln 1 1
]
2
Æ[
Ln
Ln 1 1
]
2
5 4 Æ Ln 5 2Ln 1 1
Ln √3
4L
√3
5 n11
5 4Rn 1 1
6
6
Portanto, cada termo da sequência (Rn) é igual a um
quarto do termo anterior.
(002) Falsa.
Bn 5
Ln √3
4L
√3
5 n11
5 4Bn 1 1
4
4
Portanto, cada termo da sequência (Bn) é igual a um
(004) Verdadeira.
Tomando-se um triângulo Tn de lado Ln e uma
circunferência Cn de raio Rn inscrita à Tn, tem-se:
∙
Bn 5
(Ln)2 √3
4
]
(Ln)2
12
(L )2 √3
(L )2 p
] Sn 5 Bn 2 An 5 n
2 n
5
4
12
(L )2 ? (3√3 2 p)
5 n
12
An 5 p(Rn)2 5 p
(Ln)2 ? (3√3 2 p) 4(Ln+1)2 ? (3√3 2 p)
5
5 4Sn 1 1
12
12
Portanto, cada termo da sequência (Sn) é igual a um
(008) Verdadeira.
O cálculo se encontra nas justificativas das afirmações
001 e 004.
(016) Falsa.
6Rn
L √3
5 2√3 Rn
Rn 5 n
Æ Ln 5
√3
6
Sn 5
O raio da circunferência equivale à altura do triângulo
equilátero médio de lado , e, em cm, são dados,
respectivamente, por:
5[
13 c
18 a
O quadrado n, n . 1, tem área An e lado de medida ln,
dado por:
I
I
√2
1
An
In [ n 2 1 ] √2 Æ n 5
Æ
5
In 2 1
2
2
2
An 2 1
Então, as áreas desses quadrados configuram uma PG
1
decrescente de razão , cuja soma é dada por:
2
x2
A
1
Æ x2 5 25 √2
Æ 64√2 5
S5
1
12q
1 2 2
l 1 5 x e A 1 5 x 2.
A10 5 (A1)2 ? q9 5 x2 ? [
Æ A10 5
√2
16
1
2
]
9
Æ A10 5
x2
25√2
5
Æ
9
2
29
ESTUDANDO Geometria plana: polígonos, círculos e áreas
Para o ENEM
1 e
3 b
1
1
1
? 360º 5 120º Æ AS 5
pR2 5
? 3,14 ? 902 Æ
3
3
3
50
50
50
30
80
80
50
5 1,6 e 5 1,666...
50
30
1,666... 2 1,6 5 0,066...
80 cm × 50 cm Æ
AS 5 8.478 m²
Área da praça incluindo o palco:
1
Apalco 5
? 3,14 ? 92 Æ Apalco 5 84,78 m²
3
A área da praça, ocupada por pessoas, em m2, é de:
8.478 – 84,78 5 8.393,22
8.393,22 ? 4 7 33.573
60
60
30
90
90
60
5 1,5 e 52
90 cm × 60 cm Æ
60
30
2 2 1,5 5 0,5
Como 0,5 . 0,066..., o retângulo de 80 cm × 50 cm
atende melhor às preferências do artista.
2 c
Área total, em m2, é dada por:
3 ? 52
pR2
5 137,5
5 100 1
Aterreno 5 10² 1
2
2
Preço do material 5 137,5 ? 3,30 5 453,75
Preço da mão de obra 5 10 ? 137,5 5 1.375,00
Preço total 5 1.375,00 1 453,75 5 R$ 1.828,75
4 e
Esta sala tem formato trapezoidal e sua área, em m2, é
dada por:
(8 1 5) ? 8
Asala 5
5 52
2
Se x é o número de alunos, então:
4,5 1 1,2 ? x 5 52 Æ x 7 39,58
De acordo com a situação, portanto, o número máximo
de alunos é 39.
60
ESTUDANDO Ciclo trigonométrico
Para o vestibular
4
1 e
O ângulo formado entre a capital do Amapá, o centro da
Terra e a capital do Equador é de 78w 2 52w 5 26w, ou
13s
seja,  ____   rad.
90
2s 2sr
13s
 ____    90
2 d
No triângulo retângulo WXY,
tem-se:
x
tg 60w 5  ______
     ]
x 2 90
3  2 1 #5 90dll
3    ]
] x@ d ll
W
45°
x
60°
X
45°
x – 90
Y
5
Z
x
(medidas em centímetros)
270
1 90 3 1,73
_____________
 
 
5
x 5     
2
5 212,85 7 212,8 cm.
13s
] x 5 6.400 3  ____    ] x 7 2.902,8 km
90
r
Sol a
pino
z
60°
x
Sombra
x
3  
90dll
] x 5 270 1  _____
 
 
 
2
Portanto,
90
x
y
z – comprimento da rampa;
x – comprimento da sombra projetada;
y – largura da sombra.
Asombra 5 x 3 y 5 36 m2
36
x
Arampa 5 z 3 y 5  _______
     
3 y 5  ___  5 72 m2
1
cos 60w
 __  
2
6 d
Considere os pontos a seguir em que B, C e D são colineares:
A
3
a
A
C
3 dm
P
7 dm
B
2 dm
Q
2a
d
r
d 2 5 d 2B, Q 1 d 2P, Q ] d 2P, B 5 22 1 @ 4dll
3   #2 ]
■ P, B
] dP, B 5 2dlll
13   dm
dB, Q _____
2
____
Desse modo, sen(BBPQ) 5  
   5       ]
dP, B 2dlll
13  
13  
dlll
____
] sen(BBPQ) 5  
 .
 
13
b) Perímetro da roda maior: 2s 3 3 5 6s dm
60w
Distância percorrida pelas duas rodas:  ____    3 6s 5 s dm.
360w
360ws
360w ] a 5   ______
2s 3 2 dm
 
 
 
] a 5 90w
4s
s dm
a
Portanto, os raios da circunferência menor descreverão um ângulo reto.
80 voltas da roda maior correspondem a
80 # 6s 5 480s dm.
Perímetro da roda menor: 2s 3 2 5 4s dm.
480s
Assim, essa roda terá dado   _____
 
 5 120 voltas.
 
4s
C
D
No :ABC:
2a 1 J 5 a 1 90w ] a 5 90w 2 J (I)
Sabe-se que sen J 5 cos (90w 2 J) (II)
De (I) e (II), então, sen J 5 cos a.
a)Na figura, PQ 5 CB e AC 5 1 dm (3 dm 2 2 dm).
Portanto:
2
2
2
2
2
2
■ d
A, B 5 d A, C 1 d B, C ] 7 5 1 1 d B, C ] dB, C 5 4dll
3   dm
J
B
7
s
2
llllllll
3 2
■ c
os a 5 dllllllll
1 2 sen2 a  
] cos a 5 1 2  __       
]
5
4
__
] cos a 5     
5
3
 __  
5
sen a
3
_____
__
■ t
g a 5  
 
  ] tg a 5      ] tg a 5  __  
cos a
4
4
__
    
5
3 36
36
Assim: tg a 5  ___   ]  __   5  ___   ] x 5 48 m.
x
x
4
3
__
2 3     
2tg a
4
24
  5  ________
b) tg 2a 5   ________
  
    
5  ___  
2
7
3 2
1 2 tg a 1 2  __
   
4
36
24 36
Portanto: tg 2a 5  ___   ]  ___  5  ___   ] xe 5 10,5 m.
7
xe
xe
a) Sendo 0 , a ,  __  , tem-se:
d
@  #
@  #
O comprimento do arco que corresponde a 1 rad será:
2s 3 1 cm 2s rad ] x 5 1 cm
1 rad x
Portanto, o perímetro do referido “monstro” será igual
a (2s 3 1 2 1) 1 2 5 (2s 1 1) cm.
8
12 b
s
s 3s
s
3s
2s 1 3s
5s
 
 5  ___   5  __  , ou seja,  __   e  ___   são
 __   1  ___   5   _______
 
5
5 10
2
10
10
10
complementares. Logo, o produto de suas tangentes é
igual a 1.
s
3s
s
3s
log tg  __      1 log tg  ___      5 log tg  __    3 tg  ___      5
5
5
10
10
5 log 1 5 0
E   @  # R
E   @  # R
E   @  # @  # R
OM 5 OP 5 PQ 5 2 Æ OQ 5 4
PM
QN
3
QN
5
Æ
5
Æ QN 5 6
OP
OQ
2
4
13
Seja A a área da quadra, tem-se:
9 a
10
F
E
120°
a
Fio 1
1
1
3
a)
60°
H
G
No :EHF, tem-se:
a 1 120w 1 d 5 180w (II)
De (I) e (II): 30w 1120w 1 d 5 180w, isto é, d 5 30w.
Sendo a 5 d, o :EHF é isósceles e, portanto, EH 5 HF.
No triângulo retângulo GHF, tem-se:
1
 ___     
d
3   ___
ll
3  
dll
GF
___
___
sen 60w 5       ]     5      ]
2
HF
HF
2
2
] HF 5  __   ] EH 5  __  
3
3
2
2
C 5  __   3 103 3 12 1  __   3 103 3 30 ] C 5 28.000
3
3
10 b
A CB B 5
1
p
B B 5 rad
A O
2
6
m(ABBC ) 5 m(CBAB) Æ CA 5 CB
AnABC 5
1
1
1
a2
p
? BC ? AC ? sen 5 ? a2 ? 5
2
2
2
4
6
[ cos (p 2 x) ? sen (p 1 x) ? tg (2x) 5
4 3 4
16
5 2 ? ? 5 2 5 5 3
25
x
cos J 5  ___    
10
x
]
y 5 10 3 sen J
x 5 10 3 cos J
A 5 2x 3 y 5 2 3 (10 3 sen J) 3 (10 3 cos J) 5 100 3 sen 2J
s
s
2J 5  __   ] J 5  __  rad
4
2
2  
dll
s
y 5 10 3  ___  
y 5 10 3 sen  __  
2
4
]
s ]
2  
dll
x 5 10 3 cos  __  
___
x 5 10 3     
4
2
2   
y 5 5dll
x 5 5dll
2   
2   m e 10dll
2   m.
As dimensões são 5dll
14
5 3 cos 2x 1 3 3 sen x 5 4 ]
] 5(1 2 2 3 sen2 x) 1 3 3 sen x 5 4 ]
] 10 3 sen2 x 2 3 3 sen x 2 1 5 0 ]
49  
2 (23)!dlll
____________
] sen x 5     
 
 
]
2 3 10
1
1
] sen x 5  __  , ou sen x 5 2 __  
5
2
x 9 Q3 ] sen x , 0 e cos x , 0. Dessa forma:
d
@  #
lllllllll
6  
2dll
1 2 ____
cos x 5 2 dllllllll
1 2 sen2 x  
5 1 2 2 __       
5    
  
5
5
Como x é um arco do segundo quadrante, sen x . 0.
4
5
sen x
4
5
5 2 ■ tg x 5
3
cos x
3
2
5
3
■ cos (p 2 x) 5 2cos x 5
5
4
■ sen (p 1 x) 5 2sen x 5 2 5
4
■ tg (2x) 5 2tg (x) 5
3
y
sen J 5  ___    
10
b) Será máxima, se sen 2J for máximo:
11 a
sen2 x 1 cos2 x 5 1
4
Æ sen x 5
3
5
cos x 5 2 5
y
J
d
Fio
2
Considere a figura ao lado:
No triângulo retângulo EGF,
tem-se:
1
 ___    
d
ll

3  
FG
tg a 5  ___     ] tg a 5 ___
  ]
   
1
EG
] a 5 30w (I)
15 c
A cada hora, o ponteiro dos minutos varre um ângulo
de 2π rad; o das horas varre p rad.
6
Uma superposição demora mais de 1 h. Depois desse
tempo, o ponteiro dos minutos varre um ângulo x até a
próxima superposição. O ponteiro das horas varre exatamente o ângulo x.
Como o movimento de ambos é constante, vale a seguinte proporção:
p
2p
x
5 6 Æx5
11
(2p 1 x)
2p
2p
24p
Ponteiro dos minutos: 2p 1 x 5 2p 1
5
.
11
11
20 a
a) Perigeu (ponto P): a 5 0w ou a 5 360w ]
@ 
#
7.980
] 264 1   __________
    
  3 102 5 1.200 km
100 1 5 3 1
Apogeu (ponto A): a 5 180w ]
@ 
#
7.980
  
     3 102 5 2.000 km.
] 264 1   _____________
100 1 5 3 (21 )
b)Quando h 5 1.580 km:
@ 
#
7.980
264 1   ____________
  
      3 102 5 1.580 ]
100 1 5 cos a
7.980
]   ____________
  
    5 79,8 ] cos a 5 0 ]
100 + 5 cos a
] a 5 90w ou a 5 270w
cos x 21
5
sen x cotg x
cos x
1 sen x 5
5 cos x ? cotg x 1 sen x 5 cos x ?
sen x
5
2
2
cos x
cos x 1 sen x
1
5
5
1 sen x 5
sen x
sen x
sen x
5 cossec x
tg x . 0 e cotg x . 0 Æ
#
det log(tg x) log(cotg x)  5 0 Æ
1
1
Æ log (tg x) 2 log (cotg x) 5 0 Æ log (tg x) 5 log (cotg x) Æ
sen x
cos x
Æ
Æ tg x 5 cotg x Æ
5
cos x
sen x
p
Æ sen² x 5 cos² x Æ sen x 5 ± cos x Æ x 5
ou
4
5p
x5
4
(para sen x 5 cos x)
Para sen x 5 2cos x Æ tg x , 0, o que não é possível.
Portanto, há somente duas soluções.
19 b
sen² x 1 cos² x 5 1 ]
4 2
16
]
] [ ] 1 cos2 x 5 1 ] cos2 x 5 1 2
5
25
3
] cos x 5 2
5
2?
tg x 5
3
4 2
] 5 1 ] sen x 5 2
5
5
sen x
3
5
3
52
5 sen x ? sec x 5 2 ?
cos x
5
4
4
21 a
Como x está no II quadrante, os valores de cos x,
sec x, tg x e cotg x são negativos; sen x e cossec x são
positivos.
3
5
cos x 5 2 ] sec x 5 2
5
3
tg x 5
4
5
3 2
] 5 1 ] sen x 5 5 ] cossec x 5 4
5
4
sen x
3
4
3
: 2
5
5 2 ] cotg x 5 2
5 [ 5]
cos x
3
4
Portanto:
3
4
4
3
5
5
2
2
2
1
5
2 1
5
5
3
4
3
4
236 1 48 2 80 2 45 2 100 1 75
5
60
138
23 ? 6
5 22,3
52
52
60
10 ? 6
5
18 a
@ 
] sen2 x 1 [
sen2 x 1 [2
17 e
2
x  IV quadrante e, portanto, sen x , 0.
1
5
4
]
] cos x 5
sec x 5
5
cos x
4
5
4
3
8
9
1
1 3 ? [2 ] 5
2
52
5
5
5
5
5
22 c
cos (2x 2 1) 5 0 ] 2x 2 1 5
p
1 kp, k  Z ]
2
p
p1 2
kp
1 1 1 kp ] x 5
1
,5]
2
4
2
] π(1 1 2k) 1 2 , 20 ] 3,14 1 6,28k , 18 ]
] 2x 5
] k , 18 2 3,14 7 2,37
6,28
Se k é inteiro e x  [0, 5], então k  {0, 1, 2}.
Para cada valor de k há um valor de x.
Portanto, a equação tem três soluções.
16
ESTUDANDO Ciclo trigonométrico
Para o ENEM
1 b
a 5 m (IBOP) 5
4 b
p2
2
p
3
p
5
3
Altura do triângulo OPP9: sen a 5 sen
π
3
3
2
Metade da base do triângulo OPP9: cos a 5 cos
ÁreanOPP95 2 [
p
1
5
3
2
1
3 1
3
]
2
2
2
4
2 d
Cálculo do ângulo percorrido pelo ponteiro menor
em 15 min:
60 min
30°
Æ x 5 7,5°
5
15 min
x
60 2 x 5 60° 2 7,5° 5 52,5°
3 e
p
rad.
6
Por definição, a medida em radianos de um ângulo é
igual à razão entre o comprimento do arco e a medida do raio da circunferência correspondente. O raio
desse círculo tem 5 cm, então:
Cada setor é determinado por um ângulo de
m)AB
p
Æ
Æ m)AB 5 r ? a 5 5 cm ?
r
6
5p
Æ m)AB 5
cm
6
a5
A soma S de n arcos nesse círculo cromático é dada,
em cm, por:
5p
S5n?
6
Para 6 cores (primárias e secundárias), tem-se:
5p
5p ]
S5n?
56?
S 5 5p
6
6
De acordo com a figura:
AB 5 OA 5 5 m
BC 5 OB 2 OA 5 5 2 2 5 m
π
mAC
5 π m.
⇒ mAC
4
5
4
5p
5
AB 1 BC 1 m)AC 5 5 1 ( 5 2 5 ) 1
4
5p
5
15 2 4
4
Como são dois espelhos de água simétricos, a resposta
é2 [
5π
5 2 ] m.
4
ESTUDANDO Funções trigonométricas
Para o vestibular
4
T
R
a) S(1) 5 2 ] 2 5 H 2 cos (1 2 1)  __    5 H 2 cos 0 ]
3sx @
#5 0 ]
sen  ____
x 2 1   
     21 1 d lllll
b)3 5 3 2 cos (t 2 1)  __    ] cos (t 2 1)  __    5 0 ]
} H 5 2 1 1 5 3
@  2 #
3sx
] sen @      #5 0 ou 21 1 x 2 1  5 0 ]
2
____ 
dlllll 
3sx
 5 ks, k 9 b ou
 
]  ____
3
2k
x 5 2 ] x 5  ___  , k > 2 9 b
3
Desse modo, as coordenadas dos quatro primeiros pontos de intersecção de f com o eixo das abscissas são
8
10
4
P 5  __  , 0  , Q 5 (2,0), R 5  __  , 0  e S 5  ___ ,  0 
3
3
3
@  #
@  #
2
s
6
As abscissas dos pontos de intersecção do gráfico da
função f, domínio [1, 1`[ com o eixo das abscissas são
as raízes da equação f(x) 5 0:
@ 
@ 
E 
s
6
R
R
 T
@ 
s
6
R
#
s
s
] cos (t 2 1)  __    5 cos  __   1 ks  ]
6
2
s
s __
__
] (t 2 1)     5      1 ks ] t 5 4 1 6k
6 2
} t 5 4 (maio) ou t 5 10 (novembro)
5
a)Para t 5 0:
#
E 
R
s
h(0) 5 11,5 1 10 3 sen  ___   3 (0 2 26)  5
12
s
5 11,5 1 10 3 sen 22s 2  __    5
6
s
1
5 11,5 1 10 3 sen 2 __    5 11,5 1 10 3 2 __   
6
2
@ 
@  #
#
s
A função f terá valor máximo se cos x 1  __    for mínimo,
3
ou seja, igual a 21; logo:
@ 
T 
#
@  #
} h(0) 5 6,5 m
#
s
cos x 1  __    5 cos (s 1 2ks) 5 21 ]
b)As alturas máxima e mínima são obtidas quando sen
s
2s
] x 1  __   5 s 1 2ks ] x 5  ___  1 2ks, k 9 b
3
3
s
 ___   3 (t 2 26)  é, respectivamente, máximo e míni12
mo, ou seja, 1 e 21. Desse modo, a altura máxima é
2s
} x 5  ___  
3
11,5 1 10 3 1 5 21,5 e a mínima, 11,5 1 10 3 (21) 5
1,5, ambas em metros.
a) P(4) 5 500 1 0,5 3 4 1 20 cos  ___    ]
O tempo gasto em uma volta completa é igual ao período da f unção h(t); assim, em segundos:
2s
 _____
    5 24
s
___
     
12
3
3
} P(4) 5 492
E 
@ 4s6 #
e u
Portanto, em 2004 o valor do PIB era de 492 bilhões
de dólares.
b) P(x 1 12) 2 P(x) 5
@ 
#
s(x 1 12)
5 500 1 0,5 (x 1 12) 1 20 cos   ________
 2
   
6
sx
2 500 1 0,5x 1 20 cos  ___      5
6
E 
@ 
@  @  #
@  # R
@  # #
sx
xs
sx
5 6 1 20 cos  ___  cos 2s 2 sen  ___  sen 2s 2 cos  ___      5
6
6
6
sx
sx
5 6 1 20 cos  ___    2 cos  ___     
6
6
} P (x 1 12) 2 P (x) 5 6
@  # #
R
6
@ s6
5s
4
#
a)cos  __   t 1  ___    5 1
A solução geral é:
s
5s
5
t
 __   t 1  ___  5 0 1 2ks ]  __   5 2 __   1 2k
6
4
4
6
15
} t 5 2 ___  1 12k, k 9 b
2
O primeiro instante positivo acontece para k 5 1 e
9
vale  __   s.
2
9
Assim, para t . 0 pode-se escrever: t 5  __   1 12k, k 9 v.
2
b)A primeira maré alta ocorreu no primeiro instante
s
5s
positivo em que cos  __  t 1  ___    5 1. De acordo com o
4
6
item a, 4,5 horas depois do início da observação.
@ 
#
1
7 a)Tem-se:
@ 
@ 
#
#
s
s
2 1 < sen 2sx 2  __    < 1 ] 0 < 1 1 sen 2sx 2  __    < 2
2
2
} 0 < y < 2
2s
    5 1.
Logo, a função f tem imagem [0, 2] e período   _____
e
2su
s
b) y 5 1 ] 1 1 sen 2sx 2  __    5 1 ]
2
s
s
__
] sen 2sx 2       5 0 ] sx 2  __   5 ks
2
2
k
1
} x 5  __   1  __   , k 9 b
4 2
3
1
Como x 9 [0, 1], tem-se x 5  __   ou x 5  __   .
4
4
@ 
#
@ 
#
8 a
Sabe-se que a resposta é da forma y 5 a 1 b sen (mx 1 n).
Observando o gráfico da função seno, verifica-se que
sua imagem está no intervalo [21, 3], logo, a 5 1 e
s 12s
13s __
b 5 2. O período será igual a  ____
  5 4s, logo:
  2     5  ____
 
 
3
3
3
2s
1
4s 5  ___   ] m 5  __  
m
2
Como a função está deslocada horizontalmente para
s
a direita  __   radianos, em relação à função f(x) 5 sen x,
3
s
então, n 5 2 __  .
3
x s
Portanto, a equação da onda será: y 5 1 1 2 sen  __   2  __   
2 3
@ 
#
9 Soma: 001 + 004 + 008 = 13
π
π
√2
Æ
52?
(001) F(0) 5 2 ? cos [2 ? 0 1 ] 5 2 ? cos
4
4
2
Æ F(0) 5 √2
(002) A imagem da função é o intervalo [22, 2].
π
(004) 2 ? cos [2x 1 ] 5 0
4
π
π Æ
3π
2x 1
5
x5
π
4
2
8
∫
∫
3π
5π
π
Æx5
π
2x 1
5
2
8
4
Portanto, a função F tem duas raízes no intervalo fechado [0, π].
(008) F(x) assume valores mínimos quando:
π
3π
3π
2x 1
1 2kπ Æ x 5
5 π 1 2kπ Æ 2x 5
1 kπ,
4
8
8
kZ
(016) A função assume valores máximos quando:
π
π
π
2x 1
5 0 1 2kπ Æ 2x 5
1 2kπ Æ x 5
1
8
4
4
1 kπ, k  Z
10 a
Como a imagem de f está no intervalo [21,5; 1,5] o valor
de a é igual a 1,5, e como período de f é 12,4 horas, tem-se:
2s
2s
5s
 ___  5 12,4 ] b 5  ____   5  ___  
12,4 31
b
5πt .
} f (x) 5 1,5 sen
31
@ #
11a) h(x) 5 f (g(x)) 5 (cos x 2 sen x)2 1 1 5
5 cos2 x 2 2 sen x cos x 1 sen2 x 1 1 5
} h(x) 5 2 2 sen 2x
b) h(x) será máximo se sen 2x for mínimo; logo,
sen2 x 5 21, portanto, h(x) 5 2 2 (21) 5 3.
12 b
Como a imagem de f está no intervalo [22, 2] o valor de
8s
k é igual a 2, e como o período de f é  ___  , tem-se:
3
2s 8s
3x
3
 ___  =  ___   ] m 5  __   } f(x) 5 2 sen  ___   
m
4
4
3
29s
____
  
3 3    
29s
29s
3
f  ____
 5 2 sen  ____
   
    
     5 2 sen  _______
4
4
3
29s ___
5s
       ; logo:
Mas  ____
 
4
4
2  
dll
29s
5s
2   
     5 2 sen  ___    5 2 2 ____
    5 2dll
f  ____
2
4
3
@  #
@  #
@  #
@  # @ 
@  #
@  #
#
13a)Como y varia de 9,6 a 14,4:
14,4 2 9,6
OBO 5   _________
 
 
 
5 2,4 e
2
A 1 2,4 3 (21) 5 9,6
} A 5 12
b) Do item a:
E 
R
s
f(t) 5 12 ! 2,4 3 sen 2 ___   (t 2 105) 
90
A função f assume o seu valor médio quando:
s
sen 2 ___   (t 2 105)  5 0 ]
90
s
] 2 ___   (t 2 105) 5 ns, n 9 b ]
90
} t 5 105 1 90n, n 9 b
E 
R
Para n 5 21, temos t 5 105 1 90 3 (21) 5 15 que é
o menor valor positivo para o qual t assume seu valor
médio.
14O tempo de uma oscilação, em segundos, é o período da
3
2s
s 5  __   s. Assim, em seis segundos
8s
4
3
6
5 8 oscilações completas.
o atleta faz com o braço
3
4
função f(t), que é
π
f(x) 5 √2 ? sen [x 2 ] .
4
a) f(0) 5 √2 ? sen [0 2
π
π
] 5 2√2 ? cos [ ] Æ f (0) 5 21
4
4
√2
, para 0 < x < 2π, se e somente se
2
π
1
sen [x 2 ] 5 , que tem soluções
4
2
π
π
5π
π
5π
13π .
1
5
,x5
1
5
x5
4
6
12
4
6
12
b) f(x) 5
c) f(x) 5 √3 , para 0 < x < 2π, se e somente se
√3
√3
π
sen [x 2 ] 5
e como
. 1, não existe
4
√2
√2
solução.
16 e
Na sequência de gráficos, o primeiro é uma parábola; o
segundo tem o eixo x como assíntota horizontal e aumenta rapidamente conforme os valores de x aumentam; o terceiro é uma reta; e o quarto é uma função
periódica. Essas características descrevem funções do
2º- grau, exponencial, polinomial do 1º- grau e trigonométrica, respectivamente.
17 e
• sen x > 0 Æ |sen x| 5 sen x
Os gráficos y 5 |sen x| e y 5 sen x coincidem.
• sen x , 0 Æ |sen x| 5 2sen x
Os gráficos y 5 |sen x| e y 5 sen x são simétricos em relação ao eixo x.
Assim, a função f é par, pois f(x) 5 f(2x) tem período
igual a π, Im f 5 [0, 1], Df 5 (2∞,1 ∞).
π
Restrita ao intervalo 50,
6, a função f é bijetora e, por2
tanto, possui inversa nesse intervalo.
18 e
O maior e o menor preço ocorrem, respectivamente,
2πt
2πt
] 5 1 e cos [
] 5 21. Nesses
quando cos [
360
360
casos, p(t) 5 5 e p(t) 5 1, respectivamente. Portanto, a
alternativa e está incorreta.
19 Soma: 04 + 08 + 16 = 28
(01) A descrição remete a uma função linear, mas h(t) é
uma função trigonométrica. Portanto, a afirmativa
é falsa.
2kπ
(02) sen 2pt 5 1 Æ t 5
5 kp
2
10

0,3
0,2t 1 0,3 > 10 Æ t >
5 9,7  10 5 48,5
0,2
2
Portanto, para t > 48,5 existem valores de h(t) > 10.
(04) h(t) 5 0,2t 1 0,03  sen (2pt) ]
] h(14 1 k) 5 0,2  (14 1 k) 1 0,03  sen [2p 
 (14 1 k)] ]
] h(14 1 k) 5 2,8 1 0,2k 1 0,03  sen [2p  (14 1 k)]
sen (2pn) 5 0, então 2,8 1 0,2k é uma PA de razão 0,2
para k 5 1, 2, 3, ...
(08)
• sen (2pt) 5 0 para t 7 N ] h(t) 5 0,2t 1 0,03  sen (2pt) 5
5 0,2t
• h(t 1 1) 5 0,2  (t 1 1) 1 0,03  sen (2pt 1 2p) 5
5 0,2t 1 0,2 1 0,03  sen [2p(t 1 1)] 5 0,2t 1 0,2 1 0 5
5 0,2t 1 0,2 ] h(t 1 1) 5 h(t) 1 0,2
(16) t é dado em dias. Portanto, 72 h correspondem a
3 dias.
Em polegadas:
h(3) 5 3  0,2 1 0,03  sen 6p 5 0,6 1 0 5 0,6.
20 e
π
3π
t] 5 1.
1
A temperatura é máxima quando sen [
12
2
Então:
3π
π
π
•
1
t5
Æ t 5 14
2
12
2
• F(t) 5 24 1 8 ? 1 5 32
21a)
•p5p
π
π
•x
 kp ] x 
+ kp ]
3
3
π
+ kp, k 7 b }
] D { x7V O x
3
b)
2π
•p5
π
2
π
π
π
]
1 kp ] x 
+k
• 2x 
2
2
4
π
π
] D {x7V O x
+ k  ,k 7 b }
2
4
c)
• p 5 2p
π
π
•x+
+ kp ]
 kp ] x  
4
4
π
+ kp, k 7 b }
] D { x7V O x 
4
15As condições do enunciado implicam:
22 e
Sendo k 7 b , de acordo com a condição de existência da função:
kπ
π
π
π
1 kp ] x 
 kp ] 2x 
1
2x 
2
3
6
3
23 a
f[
π
π
π
] 5 √3  cos sec [2  ]  cos [8  ] 
6
6
6
 √3  cos sec [
 cos [
π
4π
]  cos [ ]  √3 
3
3
1
sen [
π
]
3

2
1
1
3
π
2


]  √3 
2
2
2
3
√3
24 d
cos x
cos2 x
f (x) 5 s cos x d  [ sen x ] 5 
sen x
2
Para qualquer valor de x, cos x  0. Então o sinal de f
1
depende do fator  [ sen x ] . No intervalo p; 3π a
2
função é estritamente positiva, pois, nesse intervalo,
sen x é negativo.
I
T
25 c
Dado que x  π ± kp, k 7 b, então:
2
cos x  sec x ]
1
] cos2 x  1 ] | cos x |  1 ]
] cos x 
cos x
] x  0 + kp
Solução gráfica:
y
ê função secante
1
ê função cosseno
– 3π
2
–π
–π 0
2
π
2
–1
π 3π
2
x
ESTUDANDO Funções trigonométricas
Para o ENEM
1 c
3 b
De acordo com o enunciado, a projeção das
exportações é dada pela função E(t) 5 2 sen t 1 3, com
t no intervalo [0, t4].
I. Falsa. O declínio ocorre entre os instantes de t1 e t3 e
retoma o crescimento em t3.
II. Verdadeira.
III. Falsa.
–1  sen t  1 ] 2 1 3  2 sen t 1 3  2 1 3 ]
] 1  2 sen t 1 3  5
Ocorrerá um valor mínimo entre os instantes t2 e t3,
mas o valor correto é de 1 milhão.
IV. Verdadeira. Entre os instantes t1 e t3 E(X) atinge os
valores máximo e mínimo: 5  1 5 4.
A função expressa no enunciado tem, no
denominador, uma componente trigonométrica
cosseno que varia de −1 a 1. Portanto, a soma dos
valores de r no apogeu e no perigeu vale:
s
5.865
5.865
1
 12.000
10,15
110,15
A figura abaixo mostra a roda-gigante em
funcionamento.
altura h = x 10 m
x
10 m
10 m
altura 0
Na figura, é possível observar que a altura da cadeira
é dada por um valor h  x  10.
O valor de x é dado por:
x ]
sen α 
x  10  sen α
10
Resta encontrar o valor do ângulo α de acordo com
o tempo que a roda fica ligada.
A “altura zero” corresponde ao ângulo de medida 270°
e a cadeira anda mais 10°/s, então: α = 270° + 10°t.
Reunindo todas as informações:
h  10 + x  10 + 10 sen α  10 + 10 sen (270°+ 10°t) ]
] f(t) = 10 + 10 sen (270° + 10°t)
Observe que os dados da tabela poderiam ser
testados e a alternativa correta, encontrada por
tentativa e erro.
2 b