La simulation probabiliste avec Excel

La simulation probabiliste avec Excel
Emmanuel Grenier [email protected]
I.
Introduction
Incontournable lorsqu’il s’agit de gérer des phénomènes aléatoires complexes, la
simulation probabiliste s’impose également dans l’enseignement des probabilités et de la
statistique décisionnelle parce qu’elle permet d’aborder ces disciplines réputées
théoriques et ardues par la voie de l’expérimentation. Voir le manuel du groupe « Le
Cercle d’Excel’Ense » [1].
Après un rappel sur la manière de produire des valeurs pseudo-aléatoires avec Excel,
nous montrerons qu’il est possible de simuler un large éventail de lois à partir de ces
valeurs en utilisant une méthode simple et générale : la méthode des fractiles.
Nous présenterons ensuite des méthodes plus particulières, qui constitueront autant
d’expériences à usage pédagogique.
Le manuel du groupe « Le Cercle d’Excel’Ense » présente des applications dans la théorie
des probabilités et en statistique décisionnelle : vérification de propriétés, caractérisation
de la distribution de statistiques d’échantillonnage et étude des propriétés d’un estimateur.
Pour compléter, nous traiterons ici un cas pratique, pris dans le domaine de l’analyse du
risque.
II.
La production de valeurs
aléatoires avec Excel
pseudo-
Imaginons un dispositif où une corde est tendue jusqu’à ce qu’elle casse. La rupture peut
avoir lieu sur n’importe quelle portion de la corde, aussi bien sur les 20 premiers
centimètres que sur les 20 derniers (pour simplifier, nous dirons que la corde fait une unité
de longueur, soit 1 m de long). Sans information sur l’état de la corde, nous affectons la
même probabilité à n’importe quelle portion de même longueur. Par exemple, la
probabilité est la même sur la tranche de 0 à 0,2 m, c’est-à-dire sur les 20 premiers
centimètres, que sur celle de 0,2 à 0,4 m, etc. C’est la loi « uniforme », que nous pouvons
simuler avec Excel à partir de la fonction ALEA (voir dans le manuel la fiche « Fonction »
correspondante et le chap. « Probabilités et jugement sur échantillon »)
Pour le vérifiez, recopions la formule =ALEA() sur 1000 cellules et représentons la
distribution des valeurs obtenues par un nuage de points ou par un histogramme (voir
dans le manuel la fiche « Comment faire »).
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
1
Numéro 32
On a à peu près autant de valeurs simulées entre 0 et 0,2 qu’entre 0,2 et 0,4, etc.
Nous aurions pu produire une série équivalente en passant par l’utilitaire Génération de
nombres aléatoires (Allez dans le menu Outils. Si l’Utilitaire d’analyse n’apparaît pas,
installez le en passant par Macros complémentaires)
Par rapport à la fonction ALEA, dont le résultat est volatile, l’utilitaire permet de reproduire
la même série. Il suffit d’entrer le même Entier générateur (ici 123456).
III. Simulation d’une loi par la méthode des
fractiles
A. Domaine d’application
Toute loi s’il est possible de calculer la réciproque de sa fonction de répartition.
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
2
Numéro 32
B. Principe
La fonction de répartition F d’une variable X correspond aux probabilités cumulées (voir le
chap. « Probabilités et jugement sur échantillon ») :
F(x) = P(X ≤ x).
Considérons une valeur possible x de la variable X et p la valeur correspondante de la
fonction de répartition.
1
p = F(x)
0
x
Si x est une réalisation quelconque de la variable X, on n’a pas d’information sur p, mis à
part que sa valeur est comprise entre 0 et 1. On peut par conséquent considérer que p est
la réalisation d’une variable de loi uniforme entre 0 et 1.
Réciproquement, si p est la réalisation d’une loi uniforme entre 0 et 1, le « fractile »
-1
correspondant, x = F (p), peut être considéré comme une réalisation de la variable X
(pour une démonstration plus formelle voir par exemple l’ouvrage de G. Saporta [2]).
Avec Excel, on peut simuler la réalisation d’une variable de loi uniforme en utilisant la
fonction ALEA. Par conséquent, on simule une réalisation de la variable X en appliquant
la réciproque de sa fonction de répartition au résultat de la fonction ALEA.
C. Vérification sur un exemple
Prenons la loi normale standard (voir le chap « Probabilités et jugement sur échantillon »).
La fonction de répartition est calculée par la fonction LOI.NORMALE.STANDARD,
sa réciproque par la fonction LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE. (voir les fiches
« Fonction »)
Par exemple, la formule =LOI.NORMALE.STANDARD(1,96)
probabilité d’obtenir une valeur inférieure à 1,96.
donne
0,975,
En appliquant la fonction réciproque sur le résultat, c’est-à-dire en tapant la formule
=LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,975), on retrouve la valeur de départ, 1,96.
Appliquons la réciproque de la fonction de répartition au résultat de la fonction ALEA.
=LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA())
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
3
Numéro 32
Recopions la formule sur 1000 cellules et représentons la distribution des valeurs
obtenues par un nuage de points ou par un histogramme.
La distribution des valeurs simulées correspond bien à la loi normale standard.
D. Le cas particulier des variables discontinues
1.
Méthode générale
On fait 2 lancers de pièce et on note le nombre de fois où on a retouré le côté face. La
variable correspondante est distribuée de la manière suivante :
x
Proba
Proba cumulée
F(x)
0
0,25
0,25
1
0,5
0,75
2
0,25
1
1
0,75
Proba
cumulée
F (x )
0,5
0,25
0
-1
0
1
2
3
4
x
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
4
Numéro 32
La réciproque de la fonction de répartition fait correspondre la valeur x = 0 aux valeurs de
probabilité plus petites que 0,25, la valeur x = 1 aux valeurs comprises entre 0,25 et 0,75
et la valeur x = 2 aux valeurs de probabilité supérieures à 0,75.
La correspondance peut être faite sur Excel avec la fonction RECHERCHEV. (voir la fiche
« Fonction »)
Vérifiez que les valeurs de la variable apparaissent avec des fréquences proches des
probabilités.
2.
Le cas de la loi discrète uniforme
On veut simuler le point marqué par un dé. Pour faire correspondre la valeur 1 aux valeurs
de la fonction ALEA comprises entre 0 et 1/6, la valeur 2 aux valeurs entre 1/6 et 2/6, etc.,
il suffit de multiplier le résultat de la fonction ALEA par 6, d’éliminer les décimales du
résultat et d’ajouter une unité, ce que fait la formule
=ENT(ALEA()*6)+1
3.
Le cas des variables binaires
Reprenons le lancer d’une pièce. Pour simuler le résultat, il suffit de dire qu’on a retourné
le côté face si la résultat de la fonction ALEA est plus petit que 0,5 :
=SI(ALEA()<1/2;"Pile";"Face")
De manière générale, on simule la réalisation d’un événement A de probabilité p par la
formule
=SI(ALEA()<p;"A";"Non A")
et la variable indicatrice de l’événement, c’est-à-dire la variable qui prend la valeur 1 si
l’événement est réalisé et 0 sinon (loi « de Bernouilli »), par
=SI(ALEA()<p;1;0)
E. Applications
En appliquant la méthode des fractiles, on simule avec Excel toutes les lois de probabilités
usuelles (pour une présentation de ces lois, voir le manuel et l’ouvrage de G. Saporta [2]).
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
5
Numéro 32
Loi
Formule
discrète uniforme sur les valeurs
entières de 1 à n
(voir le § D.2 p. 5)
=ENT(ALEA()*n)+1
Bernouilli de paramètre p
(voir le § D.3 p. 5)
=SI(ALEA()<p;1;0)
binomiale de paramètres n et p
(voir le § IV.A p. 7)
=CRITERE.LOI.BINOMIALE(n;p;ALEA())
Poisson de paramètre m
On peut utiliser la convergence de la loi binomiale
vers la loi de Poisson et reprendre la formule du
dessus en remplaçant n par 10^4 et p par m/10^4
hypergéométrique
(voir le § IV.C p. 9)
utiliser RECHERCHEV (voir le § D.1 p. 4) à partir
des probabilités cumulées calculées avec la fonction
LOI.HYPERGEOMETRIQUE
géométrique de paramètre p
(voir le § IV.B p. 7)
=ARRONDI.SUP(LN(ALEA())/LN(1-p);0)
le fractile d’ordre 1-α étant l’entier supérieur ou égal
à ln(α)/ln(1-p)
continue uniforme entre 0 et 1
=ALEA()
continue uniforme entre a et b
=ALEA()*(b-a)+a
gamma de paramètre r
=LOI.GAMMA.INVERSE(ALEA();r;1)
ou, avec les versions récentes d’Excel,
=ALEA.ENTRE.BORNES(1;n)
bêta de paramètres n et p entre les =BETA.INVERSE(ALEA();n;p;a;b)
bornes a et b
normale standard
=LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA())
normale de paramètres m et sigma
=LOI.NORMALE.INVERSE(ALEA();m;sigma)
log-normale
=LOI.LOGNORMALE.INVERSE(ALEA();m;sigma)
Khi-deux à nu ddl
=KHIDEUX.INVERSE(ALEA();nu)
Student à nu ddl
=LOI.STUDENT.INVERSE(ALEA();nu)
Fisher à nu1 et nu2 ddl
=INVERSE.LOI.F(ALEA();nu1;nu2)
exponentielle de paramètre lambda
=-1/lambda*LN(ALEA())
(voir le chap. « Probabilités et jugement sur
échantillon »)
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
6
Numéro 32
IV. Méthodes à usage pédagogique
A. La loi binomiale à partir du processus de Bernouilli
Un examen consiste en une série de 40 questions indépendantes comptant chacune pour
le même nombre de points. A chaque question, 4 réponses sont proposées dont une seule
est exacte. A-t-on des chances d’avoir plus de la moyenne quand on répond au hasard ?
Le nombre de bonnes réponses suit une loi binomiale, qu’on peut simuler par la formule
=CRITERE.LOI.BINOMIALE(n;p;ALEA())
avec n = 40 (nombre de questions) et p = ¼ (4 choix possibles par question).
Mais c’est avant tout la somme des indicatrices de succès à chaque question (on note 1 si
la réponse à la question est bonne, 0 sinon). C’est le « processus de Bernouilli », qu’on
simule par la ligne de formule suivante :
Recopiez les formules sur 1000 lignes. Représentez la distribution du nombre de bonnes
réponses par un diagramme en bâtons (voir la fiche « Comment faire »). Comparez la à la
distribution de probabilités (calculées avec la fonction LOI.BINOMIALE). L’étudiant a-t-il
des chances d’avoir coché la bonne réponse à plus de la moitié des questions ?
B. La loi géométrique à partir de sa définition
On tire une bille dans un sac contenant des billes blanches et des billes rouges. Si la bille
est blanche, on la remet dans le sac et on tire à nouveau jusqu’à ce qu’on obtienne une
bille rouge.
En faisant appel aux probabilités conditionnelles, on montre que le nombre de tirages
nécessaires suit la loi de probabilité suivante (voir le chap. « Probabilités et jugement sur
échantillon ») :
P(X = x) = p(1-p)x-1
où p est la proportion de billes rouges dans le sac.
Pour le vérifier, simulons l’épreuve des billes. On dira que la proportion p est égale à 0,5 et
on fixera le nombre maximum d’essais à 15.
Repérons le nombre d’essais nécessaires par une indicatrice. Dans la capture d’écran cidessous, il a fallu 2 essais.
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
7
Numéro 32
Le nombre d’essais est calculé en faisant la somme des produits des valeurs de la ligne
des numéro et de celle des indicatrices
Au premier essai, l’indicatrice de succès peut être simulée avec la formule suivante (voir
p. 5)
=SI(ALEA()<p;1;0)
Pour les essais suivants, de deux choses l’une :
Soit l’événement n’a pas été réalisé. Dans ce cas, la probabilité p de réussite à chaque
tirage restant constante, on reprend la formule du dessus
Soit l’événement a déjà été réalisé. Dans ce cas, le tirage n’a pas lieu.
Pour voir si l’événement a été réalisé ou non aux tentatives précédentes, il suffit de faire la
somme des indicatrices.
Ces formules sont reprises dans le document « Billes ». Téléchargez le. Recopiez les
formules sur 1000 lignes. Représentez la distribution des valeurs observées et vérifiez
qu’elle correspond à la loi définie plus haut.
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
8
Numéro 32
C. La loi hypergéométrique à partir d’un tirage sans
remise
On prend 5 œufs dans un paniers de 10 œufs. Si 3 œufs sur les 10 sont pourris, combien
en a-t-on de pourris sur les 5 ?
Les initiés ont reconnu la loi « du tirage sans remise », encore appelée « loi
géométrique ».
Pour simuler l’exemple, téléchargez le document « Omelette ».
On affecte à chacun des œufs du panier une valeur aléatoire (fonction ALEA) et on choisit
les 5 premiers
Les 5 premières valeurs sont 0,01 (œuf n°8), 0,03 (n°7), 0,06 (n°1), 0,14 (n°6) et 0,29
(n°4).
Par conséquent, on casse les œufs n° 8, 7, 1, 6 et 4, parmi lesquels se trouve un œuf
pourri : le 1.
Le nombre d’œufs pourris est calculé en faisant la somme des produits (fonction
SOMMEPROD) des indicatrices de l’état et de celles de la présence dans l’échantillon.
Simulez 1000 tirages en suivant la petite astuce de la feuille Recopie. Vérifiez que les
fréquences
sont
proches
des
probabilités
données
par
la
fonction
LOI.HYPERGEOMETRIQUE.
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
9
Numéro 32
D. Autres lois
La loi de Laplace-Gauss à partir du théorème de la limite centrée (voir le chap.
« Probabilités et jugement sur échantillon »)
La loi du Khi-deux à partir de la somme des carrés de lois normales centrées et
réduites (idem)
Etc.
V. Une application en analyse du risque
A. Le problème
Un animal provient d’une zone dans laquelle la prévalence d’une maladie est égale à 1%.
L’animal subit un test sérologique de sensibilité Se = 0,9 et de spécificité Sp = 0,99. Il est
positif à ce test. Quelle est la probabilité que l’animal soit infecté ? (tiré de l’article de R.
Pouillot et M. Sanaa [3])
Le lecteur n’étant pas nécessairement initié au jargon de l’épidémiologie, commençons
par définir les termes « prévalence », « sensibilité » et « spécificité ».
Le taux de prévalence est la proportion d’individus infectés dans la population étudiée.
C’est donc la probabilité p qu’un individu choisi de manière aléatoire dans la population
soit infecté.
La sensibilité est la probabilité qu’un individu infecté soumis au test présente un
résultat de test positif.
La spécificité est la probabilité qu’un individu sain soumis au test présente un résultat
de test négatif.
Ces définitions étant posées, construisons l’arbre des probabilités.
Se
p
Infecté
1 – Se
1 – Sp
1-p
p × Se
+
Sain
Sp
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
–
p × (1 – Se)
+
(1 – p) × (1 – Sp)
(1 – p) × Sp
–
10
Numéro 32
Le résultat du test étant positif, on est nécessairement sur la première branche terminale
ou sur la 3e (branches en rouge) et, parmi ces branches, c’est la première (rouge et
fond grisé) qui correspond à la situation où l’animal est infecté.
La probabilité que l’animal soit infecté sachant que le résultat du test est positif est donc la
probabilité de la branche 1 divisée par la somme des probabilité des branches 1 et 3,
soit
p Se
0,01× 0,9
= 0,48
=
p Se + (1 − p )(1 − Sp ) 0,01× 0,9 + (1 − 0,01)(1 − 0,99)
Pour le moment, nous n’avons pas fait usage de la simulation parce que nous avons pris
un cas où les valeurs des paramètres sont connues.
Dans la réalité, ce n’est malheureusement pas si simple. Ainsi, bien souvent on ne fait
qu’apprécier la prévalence à travers des opinions d’experts.
Densité de croyance du
docteur A
Le premier expert consulté, le docteur A, situe la prévalence entre 0,5% et 4%, au
maximum 5%, avec une préférence autour de 2%. Modélisée par une loi bêta, loi qui se
prête assez bien à la chose, l’opinion du professeur A se présente de la manière suivante
70
60
50
40
30
20
10
0
0%
1%
2%
3%
4%
5%
Prévalence
Téléchargez le document Bêta. Vous y trouverez la densité de la loi bêta,
proposant pas de fonction permettant de la calculer.
Excel ne
L’opinion du docteur A correspond à la loi bêta de paramètres a = 4 et b = 7 entre les
bornes 0,5% et 5%.
Mais le docteur A n’est pas le seul expert à avoir autorité sur le sujet. Il faut aussi prendre
en compte l’opinion du professeur B. Ce dernier a un avis différent : il situe la prévalence
entre 0,5% et 1%, ceci sans préférence particulière.
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
11
Numéro 32
Densité de croyance du
professeur B
250
200
150
100
50
0
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
Prévalence
On modélise l’opinion du professeur B par la loi uniforme entre 0,5% et 1%.
Comment gérer cette situation, sachant que, pour compliquer le problème, la sensibilité et
la spécificité du test sont données sous la forme d’une fourchette : entre 0,85 et 0,95 pour
la sensibilité et entre 0,985 et 0,995 pour la spécificité ?
B. Evaluation du risque par simulation
Téléchargez le document Risque.
La prévalence est simulés selon chacun des modèles.
La prévalence selon le modèle du docteur A suit la loi bêta de paramètres 4 et 7 entre
les bornes 0,5% et 5%, qu’on simule par la formule suivante (voir p. 5)
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
12
Numéro 32
=BETA.INVERSE(ALEA();4;7;0,005;0,05)
La prévalence selon le modèle du professeur B suit la loi uniforme entre les bornes
0,5% et 1%, simulée par la formule
= ALEA()*(0,01-0,005)+0,005
Le choix du modèle se fait selon un poids (nommé poids_AvsB) traduisant la préférence
pour l’un ou l’autre expert. Si on accorde la même crédibilité à chacun des experts, ce
poids est égal à 0,5.
On prend l’une ou l’autre des prévalences issues de chacun des modèles avec la formule
utilisée pour les variables binaires (p. 5)
=SI(ALEA()<poids_AvsB;choix de A;choix de B)
Prenez connaissance des formules.
Faites varier la préférence pour l’un ou l’autre expert et observez la distribution des
probabilités post-test.
VI. Références
[1]
Le manuel du groupe « Le Cercle d’Excel’ense » : Morineau A., Chatelin Y.-M.
(Coordinateurs) – L'analyse statistique des données. Apprendre, comprendre et
réaliser avec Excel. Editions Ellipses, 2005
[2]
Saporta G. – Probabilités, Analyse des Données et Statistique. Editions Technip,
1990
[3]
Pouillot R., Sanaa M. – Bases probabilistes et statistiques nécessaires à
l’appréciation du risque. In Epidémiol. et santé anim., 2002, 41, pp. 67-83
© MODULAD 2005 - Excel’Ense
13
Numéro 32