Intégrales : exemples

Intégrales : exemples
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Intégrales : exemples
I)
Aires usuelles
3
Z
Toutes les aires sont exprimées en unités d’aires. Dans un repère, l’unité d’aire est l’aire
du «quadrilatère unité» OABC avec O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1), C(0; 1). Si le repère est
orthonormal, ce quadrilatère est un carré (dans le cas général c’est un parallélogramme).
1. Aire d’un rectangle A(a, 0), B(b, 0), C(b, k), D(a, k), intégrale d’une constante.
Soit k une constante positive (la hauteur du rectangle), a et b deux réels tels que
a 6 b. La base du rectangle est b − a.
Aire d’un rectangle = base × hauteur.
Z b
k dx = k(b − a)
2
3 dx = 3(2 − 4) = −6 = −A
A=6
4
0
2
4
2. Aire d’un triangle A(0, 0), B(b, 0), C(b, mb), intégrale d’une fonction x 7→ mx.
Soit m une constante positive (coefficient directeur d’un côté du triangle, d’équation
y = mx), a = 0 et b une constante positive. La base du triangle est b−0 et la hauteur
est mb (l’ordonnée correspondant à l’abscisse b).
base × hauteur
Aire d’un triangle =
.
2
a
6
b−a
k
k(b − a)
0
k
a
b
Z
0
• On peut montrer que cette formule reste vraie quel que soit le signe de m et quel
que soit l’ordre de a et b.
- Mais c’est impossible ! Cela pourrait donner une aire négative !
Non, cela donnerait une intégrale négative, ce qui est différent.
- Mais je croyais qu’une intégrale était égale à une aire ?
Z 2
Dans certains cas, oui, mais pas dans tous les cas.
3 dx = 3(2 − 4) = −6. Dans
4
ce cas, la fonction est positive et les bornes sont dans l’ordre décroissant, donc par
définition l’intégrale est l’opposée de l’aire. L’aire est bien positive, elle vaut 6, mais
l’intégrale n’est pas égale à l’aire.
b
2
2
3x dx =
0
1
(2 − 0)(6 − 0) = 6
2
mb2
2
0
On peut montrer que cette formule reste vraie quel que soit m et quel que soit b.
3. Aire d’un trapèze A(a, 0), B(b, 0), C(b, mb + p), D(a, ma + p), intégrale d’une fonction
affine x 7→ mx + p
Hypothèses : a 6 b, ma + p > 0, mb + p > 0
Aire d’un trapèze : (moyenne des «bases» × «hauteur»)
Z b
(ma + p) + (mb + p)
(mx + p) dx = (b − a)
2
a
Z
mx dx =
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On peut montrer que cette formule reste vraie dans tous les cas.
A
A
π
2
0
4
2
Z
0 1
3
1
3
2+4
=6
(x + 1) dx = (3 − 1) ×
2
Z 3π
2 sin(x) dx = −A (symétrie par rapport au point (π; 0), signe du sinus).
3.
π
4. Aire d’un quart de disque (centre O, rayon R = 1)
L’équation
du cercle est x2 + y 2 = 1, donc le demi-cercle supérieur a pour équation
√
y = 1 − x2 .
A
3π
2
A
π
2
0
Z
1
π
π
A
π
sin(x) dx = A + A = 2A (somme des aires, relation de Chasles).
4.
0
0
1
Z
p
0
II)
1
πR2
π
1 − x2 dx =
=
4
4
Calcul d’intégrales à l’aide d’aires
A
A
Z 3π
2 sin(x) dx = 2A − A = A
5.
0
(aire de la partie positive − aire de la partie négative, relation de Chasles)
On utilise le fait qu’une aire est conservée par une isométrie (translation, symétrie axiale,
symétrie centrale, rotation), et on effectue des «découpages d’aires» sur la figure, ce qui
se traduit la plupart du temps par des sommes ou différences d’intégrales.
On étudie aussi l’ordre des bornes et le signe de la fonction pour savoir quelles aires on
compte positivement et lesquelles on compte négativement.
Soit A la valeur deh l’airei de la région comprise entre la courbe de la fonction sin et l’axe
π
des abscisses, sur 0; .
2
π
Z
2 sin(x) dx = A
1.
A
A
A
Z 3π
2 | sin(x)| dx = 2A + A = 3A (relation de Chasles)
6.
0
A
A
A
0
Z
A
0
Z
2.
2π
sin(x) dx = 2A−2A = 0 (aire de la partie positive − aire de la partie négative,
7.
0
π
2
relation de Chasles)
2A
π
π
π sin(x) dx = A (symétrie par rapport à la droite x = 2 )
2
0
π
2A
2π
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Z
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2008π
Z
2009π
sin(x) dx = 0,
8.
0
Z
2008π
| sin(x)| dx = 4016A (pé-
sin(x) dx = 2A,
0
0
riodicité, translations, relation de Chasles)
Z π
2 cos(x) dx = A car la courbe du cosinus se déduit de celle du sinus par la trans9.
0
π π
π
lation de vecteur − , 0 . En effet, cos(x) = sin x +
, sin(x) = cos x −
.
2
2
2
π
Z
Z π
2
Donc
cos(x) dx = π sin(x) dx
0
2
C’est le théorème de majoration d’une intégrale :
Z π
Z π
π
2
2 1 dx, cette dernière
puisque sin(x) 6 1 et 0 6 , alors
sin(x) dx 6
2
0
0
π
intégrale étant
− 0 × 1.
2
• On peut majorer plus précisément en faisant intervenir la tangente en 0 : y = x.
On peut démontrer que la courbe de f est au-dessous de cette tangente pour x > 0.
En effet si u(x) = sin(x) − x, on a u0 (x) = cos(x) − 1 6 0. Donc u est décroissante,
or u(0) = 0, donc u(x) 6 0 pour x > 0, c’est-à-dire sin(x) 6 x.
π 1
1 π
π
A est donc inférieure à l’aire d’un trapèze (1 − 0) ×
−0+ −1 = −
2 2
2
2
2
1
A
π
2
0
Z
π
0
π
sin(x) dx = −2A + 2A = 0 (car la fonction sinus est impaire (symétrie par
10.
−π
0
2A
Z
π
0
2A
π
2
cos(x) dx = A + A = 2A car la courbe du cosinus est paire (symétrie par
11.
A6
π
2
Z π
Z
Algébriquement : A = 2 sin(x) dx =
rapport à l’origine, relation de Chasles).
−π
1
−π
2
rapport à l’axe des ordonnées, relation de Chasles)
1
π 1
−
2
2
Z π
sin(x) dx + 2 sin(x) dx (Chasles)
1
0
Z π
Donc A 6
x dx + 2 1 dx (théorème de majoration)
0
1
1 π
− 1 (triangle + rectangle)
Donc A 6 +
2
2
13. Minorer A
Z
1
1
A
A
π
−
2
0
π
2
0
12. Majorer A
π
La région dont on calcule l’aire est incluse dans un rectangle de base et de hauteur
2
1 (maximum du sinus). Donc A est inférieure ou égale à l’aire de ce rectangle, qui
π
vaut ≈ 1, 7.
2
1
A
0
π
2
A6
π
2
π
2
A>
π
4
h πi
On peut démontrer que la courbe est au-dessus de sa sécante sur 0;
:
2
2
sin(x) > x (étudier la différence).
π
Z π2
2
1 π
π
On en déduit : A >
x dx (théorème de majoration), qui vaut × × 1 =
π
2 2
4
0
(triangle).
Finalement 0, 785 < A < 1, 071, soit A ≈ 0, 93 à ±0, 15 près.
(on démontrera qu’en fait A = 1)