correction - Université Paris-Est Marne-la

IAE Gustave Eiffel
Université Paris–Est–Créteil
J. Printems
Master 2 Gestion de Portefeuille
Mathématiques appliquées à la finance
Année 2011–12
Épreuve du 9 janvier 2012
Durée : 1 heure 30
Calculatrices et documents de cours seuls autorisés.
Exercice 1
On considère l’ensemble des paris du tableau 1 concernant une course de 4 chevaux.
Une cote « a contre b » sur le cheval i signifie que a e pariés sur i rapporte b e en cas de
victoire de ce dernier.
1. Quelle est la probabilité risque-neutre de victoire de chacun des chevaux ? Remplir la
colonne adéquate du tableau 1.
2. On indique dans la quatrième colonne le montant total parié sur chacun des chevaux.
Remplissez la dernière colonne du tableau 1. Quel est le montant de l’arbitrage réalisé par
le bookmaker ?
3. Le cheval 3 fait défaut avant le début de la course. Expliquer comment le bookmaker
doit réajuster ses cotes pour continuer à bénéficier d’un arbitrage favorable.
4. Dans le cas où les cotes restent les mêmes, expliquer comment un joueur peut tirer parti
de cette situation à son avantage.
1. Soit ai la cote du cheval i. La probabilité implicite risque-neutre de victoire pi
du cheval i est par définition celle qui donne un espérance de gain nul, soit
ai pi + (−1)(1 − pi ) = 0 (ou (1 + ai )pi + 0 × (1 − pi ) = 1),
soit pi = 1/(1 + ai ).
2. Soit mi le montant des paris sur le cheval i = 1, 2, 3, 4. En cas de victoire du
cheval i, le bookmaker doit reverser aux joueurs ce qu’ils ont misé plus leur mise
fois la cote, soit la somme de mi + mi × ai = mi (1 + ai ).
Le montant total des paris étant de m1 + m2 + m3 + m4 = 2 025 e, il réalise un
arbitrage de 25 e.
3. Le montant des paris est maintenant de 1 625 e. S’il veut garder un arbitrage
de 25 e, il peut essayer d’ajuster ses cotes de sorte que le montant à reverser
aux joueurs soit de 1 600 e. Pour le premier cheval, il cherche donc a01 tel que
(1 + a01 ) 1 000 = 1 600, soit a01 = 0.6. Pour les deux autres, on trouve a02 = 2.2 et
a04 = 11.8.
1
Il y a une infinité de solutions possibles. En particulier, il n’est pas nécessaire d’égaliser les montants à reverser. Une condition suffisante pour qu’il y ait arbitrage du
coté du bookmaker est
p01 + p02 + p04 > 1,
p0i = 1/(1 + a0i ).
4. Le joueur peut miser sur tous les chevaux au pro rata des montants pariés sur
chacun. Il n’est cependant pas nécessaire de connaître ces montants puisque ceux-ci
sont reflétés par les cotes.
Soit θ > 0, une somme à déterminer par la suite. Il suffit de parier θ/(1+ai ), c.-à-d.
θpi sur chaque cheval i, soit θ/2 sur le premier, θ/4 sur le deuxième et θ/16 sur le
troisième. Gain du joueur en cas de victoire de i : θ/(1 + ai ) + ai θ/(1 + ai ), soit θ.
Montants à soustraire de ces gains : le total de ce qu’il a misé, soit θ(p1 + p2 + p4 ).
Bilan net :
θ (1 − p1 − p2 − p4 ) = θ × 0.1875 > 0.
Table 1 – Une course de chevaux
cheval
cotes
1
1 contre 1
2
1 contre 3
3
1 contre 4
4
1 contre 15
probabilités
paris
1/2
e 1 000
1/4
e 500
1/5
e 400
1/16
e 125
gains des joueurs
1 000 + 1 × 1 000 = 2 000
500 + 3 × 500 = 2 000
400 + 4 × 400 = 2 000
125 + 15 × 125 = 2 000
Table 2 – Réponse à la question 3.
cheval
1
2
4
cotes
1 contre 0.6
1 contre 2.2
1 contre 11.8
probabilités
paris
gains des joueurs
0.625 e 1 000 1 000 + 0.6 × 1 000 = 1 600
0.3125
e 500
500 + 2.2 × 500 = 1 600
0.078125
e 125
125 + 11.8 × 125 = 1 600
2
Exercice 2
On considère un marché action dont le rendement annuel RM (de l’indice ou du tracker)
est modélisé par une loi gaussienne de moyenne 12.95% et d’écart-type 18.30%.
On suppose qu’au début de l’année, un investisseur prédit que le marché sera bull ou
bear dans l’année qui vient. Dans le cas bull, l’investisseur investit tout sur le marché action.
Dans le cas bear, il investit dans des bons du trésor (US par exemple) dont le rendement
est supposé constant RF = 5%.
À la fin de l’année, le marché sera considéré comme bull si RM > RF et bear dans le
cas contraire. On suppose que l’investisseur prédit correctement les marchés bull avec une
probabilité de 60% et correctement les marchés bear avec une probabilité de 80%.
On souhaite évaluer la performance de cette stratégie par rapport à un investisseur qui
n’investirait que sur le marché action.
1. Quelle est la probabilité que le marché soit bull ?
2. Soit X et Y deux variables définies comme : X = 1 ou 0 selon que respectivement la
prévision bull a été correcte ou non et Y = 1 ou 0 selon que la prévision bear a été correcte
ou non. Par quelles variables aléatoires connues peut-on modéliser ici X et Y ? Quels sont
leurs paramètres ?
3. On note R le rendement de cette stratégie sur un an.
(a) Dans le cas où le marché est bull, exprimer R en fonction de RM , RF et X.
(b) Dans le cas où le marché est bear, exprimer R en fonction de RM , RF et Y .
4. Décrivez en quelques lignes l’algorithme de Monte Carlo que vous utiliseriez afin d’estimer
le rendement moyen E(R) de cette stratégie sur un an.
1. P({RM > RF }) = P({12.95 + 18.30Z > RF }) = P({Z > −0.43})
= P({Z < 0.43}) ∼ 66%.
2. X et Y suivent des lois de Bernoulli respectivement de paramètres pX = 0.6 et
pY = 0.8.
(a) R = RM X + (1 − X) RF .
(b) R = RF Y + (1 − Y ) RM .
3.
1. Simulation de M copies indépendantes : Z1 , . . ., ZM ∼ N (0, 1).
2. Calcul des rdts du marché : RM,i = 12.95 + 18.30 Zi , i = 1, . . . , M .
3. On tire U suivant une loi uniforme sur [0, 1].
Si RM,i > RF (Bull) alors si U ≤ 0.6 alors Ri = RM,i sinon Ri = RF .
Si RM,i < RF (Bear) alors si U ≤ 0.8 alors Ri = RF sinon Ri = RM,i .
4. Estimateur de la performance de la stratégie
M
1 X
b
Ri ,
R=
M i=1
M
2
1 X
b .
sb =
Ri − R
M − 1 i=1
2
3
Intervalle de confiance à 95% :
b − 1.96 √sb
R
M
≤
E(R)
≤
b + 1.96 √sb .
R
M
Exercice 3
On considère un modèle binomial à N = 2 périodes. Les paramètres de l’actif risqué
sont S0 = 16 (spot), u = 2 = 1/d et l’actif sans risque évolue avec un taux R = 25%.
1. Remplir les cases manquantes de la figure 1.
2. Quelles sont les probabilités risque-neutre du modèle ?
3. On considère l’option de maturité T = 2 et de payoff H = (S0 + S1 + S2 )/3.
(a) Expliquer en quoi l’option peut être considérée comme « trajectoire dépendante ».
(b) Quelles valeurs possibles peut prendre le triplet (S0 , S1 , S2 ) ? Donner également leurs
probabilités.
(c) En déduire un prix à t = 0 pour une telle option.
(d) Donner la stratégie de couverture à t = 0 pour cette option.
1. Voir figure 1.
2. On cherche p = P(S1 = 32) telle que p × 32 + (1 − p) × 8 = 16 × (1 + R) = 20,
c.-à-d. telle que E(S1 ) = (1 + R)S0 . Il vient
p=
12
1
= .
24
2
(On peut aussi appliquer la formule CRR p = (1 + R − d)/(u − d)).
3. (a) Le payoff de l’option de maturité T = 2 ne dépend pas que de la valeur du
sous-jacent à la date T mais que de son histoire (S0 , S1 , S2 ) en particulier de là où
il est passé en T = 1.
(b) Il y a quatre scénarii possibles : (16, 32, 64) avec probabilité p2 = 1/4, (16, 32, 16)
avec probabilité p(1 − p) = 1/4, (16, 8, 16) avec probabilité (1 − p)p = 1/4 et
(16, 8, 4) avec probabilité (1 − p)2 = 1/4.
(c) Le juste prix pour une telle option est l’espérance actualisée de son payoff sous
la probabilité risque-neutre, soit
1
1 16 + 32 + 64
1 16 + 32 + 16
1 16 + 8 + 16
1 16 + 8 + 4
+
+
+
,
(1 + R)2 4
3
4
3
4
3
4
3
soit 13.01.
(d) On note V0 = 13.01 le prix de l’option. Trouver une stratégie de couverture
en t = 0, c’est constituer, en t = 0, un portefeuille de réplication de l’option de
richesse initiale V0 .
4
On cherche donc x, la proportion d’actif risqué, et y, le montant en liquide, tels
que
V0 = xS0 + y, ET V1 = xS1 + y(1 + R),
où V1 est la valeur de l’option en t = 1. Il reste à calculer les valeurs possibles de
1
V1 à t = 1. Par définition, V1 = 1+R
E(H | S1 ), donc deux valeurs possibles :
1
1
E(H | S1 = 32) =
E((S0 + S1 + S2 )/3 | S1 = 32)
1+R
1+R
1
16 + 32 1
=
+ E(S2 | S1 = 32)
1+R
3
3
1
(16 + 40/3)
=
1+R
∼ 23.47
V1 =
1
1
E(H | S1 = 8) =
E((S0 + S1 + S2 )/3 | S1 = 8)
1+R 1+R
1
16 + 8 1
=
+ E(S2 | S1 = 8)
1+R
3
3
1
=
(8 + 10/3)
1+R
∼ 9.07
V1 =
Au passage, on retrouve bien numériquement que V0 = 1/(1 + R)E(V1 ).
Les deux équations linéaires que doivent satisfaire x et y sont données par les deux
scénarii possibles pour V1 = xS1 + y(1 + R) :

 32x + (1 + R)y = 23.47,

Il vient
x=
8x + (1 + R)y = 9.07.
23.47 − 9.07
= 0.6,
32 − 8
5
y = V0 − xS0 ∼ 3.41.
S0
S1
S2
64
32
16
16
8
4
1
1.25
1.5625
Figure 1 – Modèle binomial à deux périodes (Cf. Exercice 3)
6
Table 3 – Tabulation de N (x) = P (Z ≤ x) où Z ∼ N (0, 1) pour x ∈ [0, 3]. Première
lonne = dixièmes ; première ligne = centièmes. Ex : N (0.73) = 0.7673.
0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800
0.0000 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319
0.1000 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714
0.2000 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103
0.3000 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480
0.4000 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844
0.5000 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190
0.6000 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517
0.7000 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823
0.8000 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106
0.9000 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365
1.0000 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599
1.1000 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810
1.2000 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997
1.3000 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162
1.4000 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306
1.5000 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429
1.6000 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535
1.7000 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625
1.8000 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699
1.9000 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761
2.0000 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812
2.1000 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854
2.2000 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887
2.3000 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913
2.4000 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934
2.5000 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951
2.6000 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963
2.7000 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973
2.8000 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980
2.9000 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986
3.0000 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990
7
co0.0900
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990