Université de Paris xii Mathématiques financières IAE – Master

Université de Paris xii
IAE – Master Gestion de Portefeuille
Mathématiques financières
Année 2012–2013
Feuille 2
Probabilités II – Étude de quelques lois de probabilités
Variables aléatoires discrètes
1. Une option de Put Européen sur une action donne le droit (mais non l’obligation) à
son détenteur de vendre l’action à un prix K fixé à l’avance, appelé le prix d’exercice,
à une date T fixée à l’avance, la maturité ou l’échéance de l’option. La valeur du Put
à l’échéance est donc K − prix de l’action ou $0 si le prix de l’action est plus grand
que K. Supposez que le prix d’exercice soit $100 et que le prix de l’action sous-jacent
évolue par saut de $0.01. À toute date avant la maturité, la valeur du Put est une
variable aléatoire.
(a) Donner tous les résultats possibles pour la valeur finale du Put.
(b) La valeur du Put avant sa maturité peut être considérée comme une variable
aléatoire discrète ou continue ?
(c) On note Y la valeur finale du Put. Exprimez la probabilité que Y soit inférieur
à $24. On ne demande pas de calculs ici.
2. Soit X, Y et Z trois variables aléatoires discrètes ne prenant respectivement que les
valeurs suivantes : {2, 2.5, 3}, {0, 1, 2, 3}, {10, 11, 12}. Pour chacune des trois fonctions
suivantes, lesquelles ne sont pas des lois de probabilités :
Pour X : f (2) = −0.01, f (2.5) = −0.5 et f (3) = −0.51.
Pour Y : g(0) = 0.25, g(1) = 0.5, g(2) = 0.125 et g(3) = 0.125.
Pour Z : h(10) = 0.35, h(11) = 0.15, h(12) = 0.52.
3. Définissez ce qu’est une variable aléatoire binomiale. Donnez en des exemples.
4. Pendant les 10 dernières années, les bénéfices annuels d’une compagnie ont augmenté
d’une année sur l’autre 7 fois et diminué 3 fois. Vous décidez de modéliser le nombre
d’augmentation des bénéfices d’une année sur l’autre, de cette compagnie pour les dix
prochaines années, par une loi binomiale.
(a) Quelle est votre estimation de la probabilité de succès, c.-à-d. l’augmentation du
bénéfice annuel.
(b) Avec cette estimation, quelle est la probabilité que les bénéfices vont augmenter
exactement 5 fois durant les dix prochaines années.
(c) Calculez le nombre moyen d’augmentation des bénéfices annuels pour les dix
prochaines années.
(d) Lorsque que l’on écrit la loi d’une v.a. binomiale, on fait deux hypothèses essentielles. Dans le contexte de l’exercice, que devez vous supposer pour appliquer la
loi binomiale à la question (b) ? Quelles réserves peut-on émettre sur la validité
de ces hypopthèses dans le contexte présent ?
5. D’après un journaliste économique, 70% de ses recommandations d’investissement sur
un an se révèlent profitables. Vous avez enregistré ses 7 derniers conseils sur l’année
passée. Quatre d’entre eux se sont révélés être judicieux. En supposant que ses recommandations soient toutes indépendantes entre elles et que son « flair » soit comme il
le dit, quelle est la probabilité d’observer au plus quatre conseils profitables sur les
sept ?
1
Table 1 – Tableau des valeurs P (X ≤ k) où X ∼ B(7, p).
k
1
2
3
4
5
6
7
p = 0, 1
0,8503
0,9743
0,9973
0,9998
1,0000
1,0000
1,0000
p = 0, 2
0,5767
0,8520
0,9667
0,9953
0,9996
1,0000
1,0000
p = 0, 3
0,3294
0,6471
0,8740
0,9712
0,9962
0,9998
1,0000
p = 0, 4
0,1586
0,4199
0,7102
0,9037
0,9812
0,9984
1,0000
p = 0, 5
0,0625
0,2266
0,5000
0,7734
0,9375
0,9922
1,0000
p = 0, 6
0,0188
0,0963
0,2898
0,5801
0,8414
0,9720
1,0000
p = 0, 7
0,0038
0,0288
0,1260
0,3529
0,6706
0,9176
1,0000
p = 0, 8
0,0004
0,0047
0,0333
0,1480
0,4233
0,7903
1,0000
p = 0, 9
0,0000
0,0002
0,0027
0,0257
0,1497
0,5217
1,0000
6. (variante du précédent) Un journaliste économique estime à 80% la proportion de ses
recommandations d’investissement qui se révèlent profitables sur une année. Vous avez
enregistré ses 7 derniers conseils sur l’année passée. Quatre d’entre eux ont aboutis
favorablement.
1. En supposant que son flair soit comme il le dit, parmi tous les managers qui ont
suivi ses conseils, dans quel quartile vous situez-vous : 0-25 %, 25-50 %, 50-75 %,
75-100 % ?
2. Vous estimez vous situer dans le top 10% des managers. À combien estimez vous
au mieux le pourcentage de conseils judicieux du journaliste ?
+ On pourra utiliser la table 1 pour cet exercice.
7. Par définition, une option d’achat de Call down-and-out sur un actif devient sans
valeur et termine sa vie si le prix du sous-jacent descend pour atteindre un niveau
spécifié à l’avance avant l’échéance. Si ce niveau est de $75 par exemple, le call expire
avec une valeur nulle si le prix du sous-jacent descend en dessous de $75.
Décrivez comment utiliser un arbre binomial pour évaluer le prix d’une telle option.
Variables aléatoires continues
8. Vous tentez d’estimer les ventes d’une compagnie pour le dernier trimestre de son
année fiscale. Votre hypothèse basse est e14 million et votre hypothèse haute est e15
millions. Vous décidez de modéliser les valeurs possibles par une loi uniforme entre ses
deux valeurs.
(a) Quelle est la vente moyenne pour le dernier trimestre ?
(b) Quelle est la probabilité que les ventes du dernier trimestre soit inférieures ou
égales à e 14 125 000 ?
9. Donner la probabilité qu’une v.a. gaussienne de moyenne m et de variance σ 2 tombe
dans chacun des intervalles suivants :
• [m − σ, m + σ] ;
• [m − 2σ, m + 2σ] ;
• [m − 3σ, m + 3σ].
10. On présente dans le tableau 2 la moyenne et l’écart-type des rendements mensuels de
divers fonds d’actions US suivant trois catégories de style (croissance, valeur, mixte)
entre janvier 1994 et décembre 1996 :
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Table 2 – Moyenne, écart-type et sharp ratio de qq fonds US equity
Stratégie (taille, style)
(Large, Cap growth)
(Large, Cap value)
(Large, Cap blend)
Rendement moyen
1.15%
1.08%
1.07%
Écart-type
2.89%
2.20%
2.38%
ratio de « sharpe »
0.26
0.31
0.28
En basant votre estimation des rendements mensuels futurs sur les rendements moyens
et écart-type de cette période de 01/94 à 12/96, construisez un intervalle de confiance
de 90% pour le rendement mensuel pour la stratégie (Large, Cap blend).
11. Même données que précédemment (tableau 2). Donner la probabilité qu’un fond
(Large, Cap growth) ait un rendement inférieur ou égale à 0%.
12. Même données que précédemment (tableau 2). Quelle catégorie de fond minimise la
probabilité d’avoir un rendement inférieur au taux sans risque sur cette période ?
13. Un client possèdant un portefeuille constitué de stocks d’une valeur de £1 350 000
envisage d’en liquider £50 000 en vue d’une prise de participation dans une affaire à
la fin de l’année, ceci sans entamer le capital de départ. Le tableau 3 montre quatre
possibilités d’allocations :
Table 3 – Moyenne, écart-type pour 4 allocations (en %)
Rendement moyen annuel
Écart-type
A
16
24
B
12
17
C
10
12
D
9
11
(a) Étant donné que le client ne souhaite pas entamer les £1 350 000, quel est le
niveau minimum acceptable de rentabilité (niveau « shortfall ») ?
(b) Avec le niveau minimum déterminé plus haut, laquelle des 4 allocations est la
meilleure ?
(c) Quelle est la probabilité que le rendement du portefeuille sélectionné selon la
règle « Safety First » soit inférieur au niveau minimum de rentabilité ?
14. (a) Donner deux caractéristiques importantes de la loi log-normale.
(b) Comparativement avec loi normale, pourquoi la loi log-normale semble plus raisonnable pour modéliser la distribution des prix d’actifs ?
(c) Quels sont les deux paramètres de la loi log-normale ?
15. On considère un marché action dont le rendement annuel RM (de l’indice ou du tracker) est modélisé par une loi gaussienne de moyenne 12.95% et d’écart-type 18.30%.
On suppose qu’au début de l’année, un investisseur prédit que le marché sera bull ou
bear dans l’année qui vient. Dans le cas bull, l’investisseur investit tout sur le marché
action. Dans le cas bear, il investit dans des bons du trésor (US par exemple) dont le
rendement est supposé constant RF = 5%.
À la fin de l’année, le marché sera considéré comme bull si RM > RF et bear dans le
cas contraire. On suppose que l’investisseur prédit correctement les marchés bull avec
une probabilité de 60% et correctement les marchés bear avec une probabilité de 80%.
3
On souhaite évaluer la performance de cette stratégie par rapport à un investisseur
qui n’investirait que sur le marché action.
1. Quelle est la probabilité que le marché soit bull ?
2. Soit X et Y deux variables définies comme : X = 1 ou 0 selon que respectivement
la prévision bull a été correcte ou non et Y = 1 ou 0 selon que la prévision bear a été
correcte ou non. Par quelles variables aléatoires connues peut-on modéliser ici X et
Y ? Quels sont leurs paramètres ?
3. On note R le rendement de cette stratégie sur un an.
(a) Dans le cas où le marché est bull, exprimer R en fonction de RM , RF et X.
(b) Dans le cas où le marché est bear, exprimer R en fonction de RM , RF et Y .
4. Décrivez en quelques lignes l’algorithme de Monte Carlo que vous utiliseriez afin
d’estimer le rendement moyen E(R) de cette stratégie sur un an.
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