Ondes électromagnétiques dans la matière

Chapitre C-XIII
Ondes électromagnétiques dans la
matière : propagation, réflexion et
transmission.
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1
RÉSUMÉ :
On commence par étudier la propagation d’une onde électromagnétique dans quelques
types de milieux : un métal réel ou idéalisé, un plasma peu dense, éventuellement plongé
dans un champ magnétique statique, et un diélectrique linéaire.
On établit le lien entre les discontinuités des champs et les charges ou courants surfaciques. On en déduit les coefficients de réflexion et de transmission à la surface d’un métal
réel ou parfait ou sur un dioptre entre diélectriques, en incidence normale ou oblique. On
détaille très attentivement la notion de courant surfacique libre. On s’intéresse aussi aux
coefficients énergétiques, tout particulièrement dans le cas d’indices complexes.
En annexe, on traite de la répartition du courant dans un circuit filiforme, des guides
d’onde et des électroaimants.
2
Table des matières
C-XIII Ondes électromagnétiques dans la matière : propagation, réflexion
et transmission.
1
1 Propagation d’ondes électromagnétiques dans la matière. . . . . . . . .
5
1.a Méthodologie utilisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.b Ondes dans un métal. Effet de peau. . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.c Modèle du métal parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.d Ondes dans un plasma peu dense. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.e Ondes dans un plasma peu dense magnétisé. . . . . . . . . . . . . 14
1.f Ondes dans un diélectrique linéaire homogène isotrope. . . . . . . 18
2 Réflexion et transmission d’ondes sur un dioptre. . . . . . . . . . . . . 23
2.a Lois de Snell-Descartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.b Réflexion totale. Onde évanescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.c Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.d Réflexion sur un métal parfait en incidence normale. . . . . . . . . 31
2.e Réflexion sur un métal réel en incidence oblique. . . . . . . . . . . 32
2.f Coefficients de réflexion et transmission entre diélectriques. . . . . 36
2.g Coefficients de réflexion et transmission énergétiques (milieux non
absorbants). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.h Coefficients de réflexion et transmission énergétiques (milieux absorbants). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Problématiques annexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.a Répartition du courant alternatif dans un circuit filiforme. . . . . 45
3.b Onde propagative dans un guide d’onde. . . . . . . . . . . . . . . 49
3
3.c Application aux ferromagnétiques. Exemple de l’électro-aimant. . 51
4
1
Propagation d’ondes électromagnétiques dans la matière.
1.a
Méthodologie utilisée.
La transformation de Fourier à quatre dimensions permet de considérer, en notation
−−→
−
complexe, toute fonction scalaire de la position →
r = OM et du temps t comme somme
d’ondes planes progressives sinusoïdales de la forme
→
− →
−
→
−
a∗ ( k , ω) exp[i (ω t − k · r )]
→
− →
−
En étudiant un seul des termes, noté alors pour alléger a∗ exp[i (ω t − k · r )], sans
→
−
préciser les valeurs de ω et k , on les étudie tous ; a∗ est l’amplitude complexe.
Par projection sur les trois axes, on peut en dire autant d’une fonction vectorielle et
→
− →
−
−
l’on étudiera donc des ondes planes progressives en →
a ∗ exp[i (ω t − k · r )]
→
−
En notant kx , ky et kz les composantes de k et x, y et z les coordonnées de M , les
ondes sont en :
exp[i (ω t − kx x − ky y − kz z)]
∂
est formellement
Pour ce type de fonction la dérivée partielle par rapport au temps ∂t
∂
→ i ω ; de
une multiplication par i ω ; formellement, on a une réécriture symbolisée par ∂t
même :
∂
∂
∂
→ −i kx
→ −i ky
→ −i kz
∂x
∂y
∂z
Il en résulte que le vecteur symbolique « nabla » peut se transcrire ainsi :
→
−
→
−
d →
d →
d →
−
−
−
−
−
−
ex +
ey +
ez → −i kx →
ex − i ky →
ey − i kz →
ez = −i k
∇=
dx
dy
dz
et que, pour des fonctions de type ondes planes progressives sinusoïdales, scalaires ou
vectorielles selon le cas, on pourra affirmer, en notations complexes :
−−→
→
−
→
−
→
−
∇f = −i k f = −i f k

grad f = →
− →
−
→
− →
−
→
−
div V = ∇ · V = −i k · V

−
→
− →
−
→
− →
−
−→ →
rot V = ∇ ∧ V = −i k ∧ V
→
− →
−
→
− →
−
→
−
→
−
→
−
→
−
Par exemple, si l’on note E = E ∗0 exp[i (ω t − k · r )] et B = B ∗0 exp[i (ω t − k · r )],
−→ →
−
l’équation de Maxwell-Faraday, soit rot E = − ∂B
∂t , se traduit par :
→
− →
−
−i k ∧ E = −i ω B
et même, après simplification par l’exponentielle (et anecdotiquement ici par −i), par :
→
→
− −
k ∧ E0∗ = ω B0∗
5
−→ →
−
→
− −
→∗
∗
Dans tout ce chapitre, on passera donc directement de rot E = − ∂B
∂t à k ∧ E0 = ωB0
pour aérer l’écriture.
1.b
Ondes dans un métal. Effet de peau.
On étudie ici un métal où les effets de la conductivité masquent les effets diélectriques
et magnétiques que nous négligerons donc. La densité volumique de charge ρ et la densité
→
−
→
−
de courant j se confondent donc respectivement avec ρlib et j lib (voir chapitre C-XII).
• Loi d’Ohm locale et conséquences.
On rappelle la loi d’Ohm locale qui, en tenant compte de la distinction entre charges
→
−
→
−
libres et liées, s’écrit j lib = γ E . Le lecteur est renvoyé au chapitre C-V consacré à
l’électrocinétique pour les justifications de cette loi.
La première conséquence est que sur un très large domaine de fréquences, on est dans
l’approximation des régimes quasi-permanents (voir chapitre C-VIII sur les équations de
Maxwell) ; en effet, il suffit 1 pour cela que :
−
∂→
→
−
E
kγ E k
ε0
∂t →
− →
−
→
−
→
−
soit avec un champ du type E = E ∗0 exp[i (ω t − k · r )] :
→
→
− ∗
− ∗
i
ω
E
γ
E
0
0
→
−
→
−
ω ε0 k E ∗0 k γ k E ∗0 k
2 π ε0 f γ
f
2γ
4 π ε0
Dans le cas du cuivre (γ = 6, 3 · 107 S.m−1 ) et avec 4 π1ε0 ≈ 9 · 109 , la condition est
f 5, 7 · 1017 Hz, disons f 6 6 · 1015 Hz, ce qui correspond à des longueurs d’onde dans
le vide λ = c T = c/f > 0, 5 10−7 m = 0, 05 µm = 50 nm, l’approximation est donc valable
pour les fréquences industrielles, les fréquences hertziennes (radio, TV, radar, etc.), l’infrarouge, le visible et le proche ultra-violet !
Une autre conséquence est que le milieu est électriquement neutre (ρ = 0). Physiquement, c’est aisé à comprendre : les électrons de la liaison métallique peuvent se déplacer
1. On a montré dans le chapitre C-VIII que cette présentation pourtant traditionnelle n’est pas satisfaisante mais on ne développe pas ici.
6
librement. Comme ils sont repoussés par les zones positives et attirés par les zones positives, ils vont se déplacer des zones où ils sont en excès vers celles où ils font défaut, ce
déplacement est dans le sens d’un retour à l’équilibre et comme on sait qu’il y a dissipation
d’énergie par effet Joule, on sait bien que tôt ou tard, on atteindra l’équilibre. Quantifions maintenant le phénomène, la démonstration est courte et astucieuse 2 . On part de
→
−
→
−
l’équation de conservation de la charge, on y reporte j = γ E puis la troisième équation
de Maxwell :
∂ρ
→
−
+ div j = 0
∂t
→
−
∂ρ
+ γ div E = 0
∂t
∂ρ
γ
+ ρ=0
∂t
ε0
dont la solution est :
∀M ρ(M, t) = ρ(M, 0) exp(−t/τ )
avec τ = ε0 /γ ; ρ est donc négligeable au bout de 7 τ , soit de l’ordre de 10−18 s dans le cas
du cuivre !
• Effet de peau.
Les équations de Maxwell dans un tel milieu sont donc :
→
−
div B = 0
→
−
−
∂B
−→→
rot E = −
∂t
→
−
div E = 0 car ρ = 0
−
→
−
→
−
−→→
rot B = µ0 j = µ0 γ E (régime quasi permanent et loi d’Ohm)
Prenons 3 le rotationnel de la deuxième :
→
−
−
→
−
−→→
−−→
−
→
−
→
−
∂ rot B
∂E
−→ −→→
−→ ∂ B
rot(rot E ) = grad(div E ) − ∆ E = −rot
=−
= −µ0 γ
∂t
∂t
∂t
soit, grâce à la troisième et un changement de signe :
→
−
→
−
∂E
∆ E = µ0 γ
∂t
2. Il faut comprendre qu’il est opportun de l’apprendre par cœur.
3. On commence par ne pas utiliser la méthode énoncée plus haut. C’est qu’il y a un impératif supérieur : la mise en évidence d’un aspect diffusif. On utilise une formule classique d’analyse vectorielle sur le
rotationnel d’un rotationnel.
7
qu’on appelle équation-pilote de ce milieu. On y reconnaît l’équation caractéristique des
phénomènes diffusifs (voir le chapitre E-X qui leur est consacré).
Plaçons nous dans le cas d’un plan d’équation x = 0 séparant côté x < 0 le vide (en
pratique l’air) et de l’autre (x > 0) un métal et étudions la possibilité d’une onde plane se
propageant orthogonalement au plan et polarisée rectilignement (pour alléger les calculs),
soit en notation complexe :
→
−∗
−
E = E0∗ exp i (ω t − k x) →
ey
En projection sur Oy, l’équation-pilote donne :
(−i k)2 E0∗ exp i (ω t − k x) = µ0 γ (i ω) E0∗ exp i (ω t − k x)
soit k 2 = −i µ0 γ ω = µ0 γ ω exp(−i π/2) d’où
q
√
√ √
√
µ0 γ ω
k = µ0 γ ω exp(−i π/4) = µ0 γ ω 22 − i 22 =
(1 − i), en se rappelant
2
qu’il est plus aisé de calculer la racine carrée d’un complexe lorsqu’on exprime celui-ci en
module et argument).
Notons pour alléger k = κ − i κ et reportons dans l’expression du champ avec E0∗ =
E0 exp iϕ, on obtient :
→
−∗
−
−
E = E0 exp i [ω t − (κ − i κ) x + ϕ] →
ey = Em exp(−κ x) exp i (ω t − κ x + ϕ) →
ey
soit, en notation réelle :
→
−
−
E = E0 exp(−κ x) cos(ω t − κ x + ϕ) →
ey
On reconnaît une propagation amortie, l’onde est divisée par un facteur 1000 (et devient
négligeable au delà) à une abscisse, appelée profondeur de pénétration :
r
p
2
= ln(1000)/ π µ0 γ f
δ = ln(1000)/κ = ln(1000)
µ0 γ ω
Une application numérique s’impose ; on rappelle que ln(1000) = 6, 9 et aussi que
µ0 = 4 π 10−7 , on a pour le cuivre γ = 6, 3.107 S.m−1 :
– à la fréquence industrielle de 50 Hz, δ = 62 mm
– aux fréquences radio FM ou TV, disons à 100 MHz, δ = 44 µm
– aux fréquences optiques disons à 0,5 1015 Hz, δ = 20 nm
Ces résultats restent valables pour une surface de séparation air/métal non plane,
pourvu que son rayon de courbure soit grand devant δ. Les phénomènes électromagnétiques
restent cantonnés dans une « peau » d’épaisseur δ à la surface des métaux. Pour un fil
cylindrique conducteur de rayon r, ce n’est pas gênant si δ r, la gêne est supportable si
δ ≈ r et c’est franchement nuisible si δ r (la surface utile traversée par le courant passe
de π r2 à l’aire d’une couronne de l’ordre de 2 πr δ et la résistance augmente d’autant)
8
Par exemple à la fréquence du réseau EDF, pour les fils domestiques de surfaces normalisées à 1, 5 mm2 pour l’éclairage, à 2, 5 mm2 pour les prises de courant et 4 mm2 pour
les fours ou plaques électriques, soit des rayons de 0,7 mm, 0,9 mm et 1,1 mm, tout va très
bien (δ = 62 mm).
Par contre aux fréquences FM ou TV seule une peau de 44 µm «travaille» ; en fait
on utilise plutôt des conducteurs creux (cable coaxial, antenne télescopique). On pourra
retenir qu’une feuille d’aluminium alimentaire (d’épaisseur 50 µm) empêche toute écoute
de la première symphonie, dite «Titan», de Gustav Mahler 4 sur la bande FM.
• Etude énergétique
→
−∗
−
Si le champ électrique
est,
en
notation
complexe,
E = E0∗ exp i (ω t − k x) →
ey avec
q
µ0 γ ω
k = κ − i κ et κ =
2 , la seconde équation de Maxwell donne, en notation complexe
→
− →
−∗
→
−∗
−i k ∧ E = −i ω B d’où :
→
−∗
k−
k
−
−
B = →
ez
ex ∧ E0∗ exp i (ω t − k x) →
ey = E0∗ exp i (ω t − k x) →
ω
ω
Calculons maintenant le vecteur de Poynting qui nécessite, on ne le répétera jamais
assez, un retour aux notations réelles car c’est un produit de grandeurs sinusoïdales ; pour
le champ électrique, pas de problème, avec E0∗ = E0 exp iϕ, on obtient (cf supra) :
→
−
−
E = E0 exp(−κ x) cos(ω t − κ x + ϕ) →
ey
Pour le champ magnétique, c’est plus délicat, on a :
→
− ∗ κ − iκ
−
E0 exp(−κ x) exp i (ω t − κ x + ϕ) →
ez
B =
ω
dont la partie réelle est :
→
−
κ
−
B = E0 exp(−κ x) [cos(ω t − κ x + ϕ) + sin(ω t − κ x + ϕ)] →
ez
ω
d’où :
→
−
κ E02
−
exp(−2 κ x)[cos2 (ω t − κ x + ϕ) + sin(ω t − κ x + ϕ). cos(ω t − κ x + ϕ)] →
ex
Π (x, t) =
µ0 ω
dont la moyenne temporelle est :
→
−
κ E02
−
exp(−2 κ x) →
ex
h Π (x, t)i =
2 µ0 ω
4. Cette symphonie était à mon cours en PC ce que la coccinelle était aux BD de Gotlib. Il fallait donc
que j’y fisse référence quelque part dans ce cours.
9
Bien sûr, on constate que, comme l’onde, la puissance surfacique moyenne transportée
décroît exponentiellement avec la distance parcourue.
Considérons un volume cylindrique d’axe Ox de surface S compris entre les abscisses x
et x+dx et faisons un bilan énergétique entre les instants t et t+dt. En moyenne temporelle,
→
−
−
il entre, en notant < Π >=< Π > →
ex , une énergie < Π(x, t) > S dt à l’abscisse x et il sort
une énergie < Π(x + dx, t) > S dt à l’abscisse x + dx ; le bilan par unité de volume et de
temps est donc l’absorption d’une puissance volumique :
< Π(x, t) > S dt− < Π(x + dx, t) > S dt
∂<Π>
≈−
= ···
S dx dt
∂x
··· =
κ2 E02
exp(−2 κ x) = (γ E02 /2) exp(−2 κ x)
µ0 ω
Ce résultat est satisfaisant, car on sait que les charges absorbent la puissance volumique
−
→
−
→
− →
j . E = γ E 2 = γ E02 exp(−2 κ x) cos2 (ω t − κ x + ϕ)
de moyenne temporelle :
γ E02
exp(−2 κ x)
2
et l’on retrouve bien le même résultat ; c’est beau la physique, non ? En tout cas, moi,
je ne m’en lasse pas !
Du reste la démonstration est possible aussi, quoique plus calculatoire, en valeur instantanée.
1.c
Modèle du métal parfait
Si l’épaisseur de l’effet de peau est négligeable devant
√ la taille du conducteur, on peut la
considérer comme nulle ; or faire tendre δ = ln(1000)/ π µ0 γ f vers 0 revient formellement
à faire tendre la conductivité γ vers l’infini. Un conducteur parfait est donc un conducteur de conductivité infinie. La conséquence pour le champ électrique est très simple : en
→
−
→
−
réécrivant la loi d’Ohm E = j /γ et en faisant tendre γ vers l’infini, on en déduit que
le champ électrique dans un conducteur parfait est nul. Pour le champ magnétique, dans
un contexte quelconque, la seconde équation de Maxwell avec un champ électrique nul
conduit à :
→
−
∂B
→
−
= 0
∂t
donc à un champ magnétique stationnaire. Dans un contexte purement sinusoïdal de
pulsation ω, c’est encore plus simple puisque la relation précédente devient :
→
−
→
−
iω B = 0
10
donc à un champ magnétique lui aussi nul.
Reste à discuter la validité du modèle, soit pour un conducteur dont la taille
caractéristique est L :
p
δ = ln(1000)/ π µ0 γ f L
La condition ne porte pas que sur le conducteur par l’intermédiaire de sa taille et de
sa conductibilité mais aussi sur la fréquence du phénomène étudié ; on doit avoir :
f
ln(1000)2
π µ0 γL2
disons
f > 100
ln(1000)2
π µ0 γL2
Un fil de cuivre (voir données plus haut) cylindrique de rayon 1 cm pourra être considéré
comme un métal parfait au delà de 200 kHz ; le courant sera alors localisé à la surface du
cuivre et le fil pourra parfaitement être creux, on est dans la technologie du cable coaxial.
Pour l’eau de mer de conductivité faible γ = 10−3 Sm−1 et pour un océan de profondeur
10 km, c’est un conducteur parfait au delà de 12 kHz ; cela voudra dire que les ondes radio
au delà de 12 kHz se réfléchiront sur l’océan comme sur une surface métallique.
1.d
Ondes dans un plasma peu dense.
• Modélisation.
Nous prendrons ici l’ionosphère pour exemple.
L’équation du mouvement d’un électron libre dans l’ionosphère soumis aux champs
→
−
→
−
électrique E et magnétique B d’une onde sinusoïdale peut s’écrire :
h→
−
− →
−i
− →
d→
v
−
= −e E + v ∧ B − λ →
v
m
dt
Au second membre figurent la force de Lorentz et une force de frottement fluide qui
rend compte de façon phénoménologique de tous les phénomènes dissipatifs (chocs avec
les particules neutres, essentiellement). Ce dernier terme peut être négligé dans un plasma
peu dense où la probabilité d’un choc devient très petite.
→
−
→
−
kE k
De façon quasi-systématique, on verra dans tout ce chapitre que k B k =
où Vϕ
Vϕ
est la vitesse de phase (voir chapitre D-IV sur la dispersion et l’absorption en physique
vibratoire et ondulatoire) de l’onde, toujours proche de c, vitesse de la lumière dans le vide.
On en déduit que
→
− →
−
→
−
−
−
k v ∧ Bk
k→
v k kB k
k→
vk
<
=
1
→
−
→
−
Vϕ
kE k
kE k
11
car la vitesse des électrons est faible devant celle de la lumière.
On peut donc réduire l’équation du mouvement à :
−
→
−
d→
v
= −e E
m
dt
L’ionosphère est un plasma qui contient n électrons par unité de volume et autant
d’ions.
Avec les approximations précédentes, on a, en régime sinusoïdal de pulsation ω :
→
−∗
→
→
−e −
ie −
v =
E∗ =
E∗
imω
mω
Pour les ions, le même raisonnement conduit au même résultat en remplaçant −e par
e et m, masse de l’électron par M masse de l’ion, soit
→
−∗
→
ie −
v ion = −
E∗
Mω
Les ions sont des ions O2+ ou N2+ de masse molaire pondérée 29 g mol−1 ce qui signifie
que leur masse est, en gros, 29 fois celle d’un proton dont la masse est 1836 fois celle de
l’électron ; donc M
m ≈ 29 · 1836 ≈ 50 000. Il en résulte que la vitesse des ions est négligeable
et qu’on peut les considérer comme immobiles.
Puisque seuls les électrons contribuent à la densité de courant et que leur densité
volumique de charge est ρ = n (−e), on a
→
−∗
→
−
→
→
ie −
n e2 −
j = ρ v ∗ = −n e
E ∗ = −i
E∗
mω
mω
• Relation de dispersion. Pulsation de coupure. Vitesse de phase et vitesse de
groupe.
→
−→ →
−
−
Reportons ce dernier résultat dans l’équation de Maxwell-Ampère rot B = µ0 j + ε0
transcrite en notations complexe (voir plus haut la méthodologie) :
−
→
∂E
∂t ,
→
→
− −
→
−
n e2
−i k ∧ B ∗ = µ0 (−i
+ i ω ε0 ) E ∗
mω
−
→
−→ →
−
Tirons parti des équations de Maxwell-Faraday, rot E = − ∂∂tB , sous la forme trans→
− −
→
−
→
crite en régime sinusoïdal, −i k ∧ E ∗ = −i ω ε0 B ∗ , d’où successivement, avec la formule
→
−
du double produit vectoriel 5 et la première équation de Maxwell, div B = 0 sous la
→
− −
→
forme −i k · B ∗ = 0 :
→
→
→
− −
→
− −
→
−
n e2
−i k ∧ (−i k ∧ B ∗ ) = µ0 −i
+ i ω ε0 (−i k ∧ E ∗ )
mω
−
→
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
5. a ∧ ( b ∧ c ) = b ( c · a ) − c ( a · b )
12
−
→
n e2
−i
+ i ω (−i ω B ∗ )
m ω ε0
→∗
−
→
→
−2−
n e2
1
2
k B = 2 −
+ω
B∗
c
m ε0
→
→
→
− −
→
−
→
− −
−i k (−i k · B ∗ ) − (−i k )2 B ∗ = µ0 ε0
→
−
qui n’est possible, sauf à avoir une onde nulle, c’est-à-dire pas d’onde, que si k et ω
sont liés par l’équation de dispersion :
→
−
ω 2 − ωP2
k2 = k 2 =
c2
q
→
−
n e2
où k = k k k et où ωP = m
ε0 est la pulsation plasma.
−→ −→ →
−
Remarque : la méthode employée remplace la méthode en rot rot B employée dans le
cas du métal parfait et c’en est la simple transcription en notation complexe. La méthode
−→ −→ →
−
→
−
en rot rot B est ici utilisable formellement (et donne le bon résultat) en remplaçant j
−
2 →
par −i nmeω E , mais ce n’est guère rigoureux.
Pour ω < ωp , k 2 est négatif donc k imaginaire pur, ce qui conduit à des ondes en
exp(−|k| x) cos(ω t) qui est non propagative et d’amplitude décroissante ; on pourra parler
d’onde évanescente.
Figure 1 – Vitesses de phase et de groupe en fonction de la pulsation.
Pour ω > ωp , on a k réel et donc la vitesse de phase 6 est Vϕ−1 =
“
6. par identification de ω t − k x avec ω t −
x
Vϕ
”
.
13
k
ω
et la vitesse de
groupe 7 Vg−1 =
dk
dω ,
d’où
ω
Vϕ = c q
ω 2 − ωp2
et Vg = c
La figure 1 p. 13 donne les courbes donnant
Vϕ
c
et
q
ω 2 − ωp2
Vg
c
ω
en fonction de
ω
ωp
On pourra s’étonner que Vϕ soit supérieure à c. Il n’y a pas de contradiction avec la
théorie de la relativité ; celle-ci affirme qu’un point matériel ou un signal ne peuvent aller
plus vite que la lumière dans le vide ; or notre onde n’est pas un point matériel et un signal
suppose une modulation sur une porteuse et se propage donc à la vitesse de groupe.
De temps à autre, dans la presse scientifique, figurent à la une les exploits de chercheurs
qui ont réussi à dépasser la vitesse de la lumière ; il s’agit toujours de vitesse de phase et
ça n’a rien que de très banal et ne mérite nullement une annonce si tonitruante.
Avec n ∼ 1012 m−3 (valeur typique dans l’ionosphère), e ∼ 10−19 C, m ∼ 10−30 kg,
ε0 ∼ 10−11 SI, on trouve que la fréquence plasma est de l’ordre de 10 MHz.
1.e
Ondes dans un plasma peu dense magnétisé.
• Etude du plasma.
Dans le cas de l’ionosphère, les résultats précédents s’accordent mal aux données expé−→
rimentales et l’on va désormais tenir compte du champ magnétique terrestre BT supposé
uniforme et stationnaire.
→
−
En ne perdant pas de vue que le champ de l’onde, noté B s’ajoute au champ terrestre
préexistant, l’équation du mouvement devient
h→
−
− →
− →
− −→i
− →
d→
v
−
m
v
= −e E + v ∧ B + v ∧ BT − λ →
dt
Les approximations précédentes conduisent alors à
h→
−
− −→i
− →
d→
v
m
= −e E + v ∧ BT
dt
→
− −→
−
→
m ddtv a pour ordre de grandeur m ω v et −e v ∧ BT a pour ordre de grandeur e v BT .
BT
BT
Le second est négligeable devant le premier si ω e m
où l’on reconnaît dans ωc = e m
la pulsation du mouvement hélicoïdal de l’électron dans un champ uniforme, qu’on appelle
pulsation cyclotron. Avec un champ magnétique dans l’ionosphère de l’ordre de 25 µT, la
fréquence correspondante est de l’ordre de 750 kHz. Si ω ωc , le modèle du paragraphe
précédent, où l’influence du champ magnétique terrestre est omise, convient.
7. Voir en physique vibratoire et ondulatoire, le chapitre sur l’absorption et la dispersion.
14
Si au contraire, ω ∼ ωc , on pourra traiter le problème mais les calculs seront un peu
lourds ; nous nous contenterons du cas ω ωc qui donne qualitativement les mêmes effets
mais avec des calculs allégés.
→
−
−
En négligeant donc l’accélération, on a donc successivement, avec j = −n e →
v (cf
supra) :
h→
− −→i
− →
→
−
0 = −e E + v ∧ BT
→
− −→
→
−
E = − v ∧ BT
→
− −→
→
−
n e E = −n e v ∧ BT
→
− −→
→
−
n e E = j ∧ BT
• Recherche d’onde.
→
−
La dernière relation, où B T est un champ constant, donne en notations complexes :
−
→ →
− −→
n e E ∗ = j ∗ ∧ BT
Les équations de Maxwell donnent en notation complexes, avec un milieu localement
neutre (ρ = 0) en bonne approximation,
 →
− −
→
→
− −
→

i k · B∗ = 0
soit encore
k · B∗ = 0



− −
→
→
− −
→
−
→
−
→

−i →
k ∧ E ∗ = −i ω B ∗
soit encore
k ∧ E∗ = ω B∗
→
− −
→
→
− −
→∗

i k · E∗ = 0
soit
encore
k
·
E
=0

→


→
− −
→
−
−
→

−i k ∧ B ∗ = µ0 j ∗ + i ω E ∗
→
−
Remarque : dans ces équations B désigne a priori la somme du champ terrestre et celui
de l’onde ; or le premier est à l’échelle considérée, uniforme et stationnaire, il disparaît des
→
−
équations où B désigne donc, en pratique, le champ de l’onde.
Au vu de la question précédente j est de l’ordre de
dans la dernière équation si
ω
neE
BT ,
c’est le terme prépondérant
ωp2
ne
n e2 m
=
=
ε0 B T
m ε0 e BT
ωc
Cette condition est donc vérifiée car les applications numériques précédentes montrent
2
ω2
ω
ω
que ωpc 1 et on s’est placé dans le cas ω ωc d’où ω ωc ωc ωpc
= ωpc .
Finalement :
→
→
−
→
− −
−i k ∧ B ∗ = µ0 j ∗
15
Résumons, nous disposons des relations :
 −
− −→
→ →

n e E ∗ = j ∗ ∧ BT


→
− −
→


k · B∗ = 0

→
− −
→
−
→
k ∧ E∗ = ω B∗

→
− −
→



k · E∗ = 0



− −
→
→
−
−i →
k ∧ B ∗ = µ0 j ∗
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Le milieu n’est pas isotrope à cause de la présence du champ magnétique terrestre ; donc
a priori les propriétés de l’onde dépendent de l’angle que fait la direction de propagation
avec le champ magnétique terrestre. Ce cours n’est pas là pour traiter tous les cas possibles
mais pour « ouvrir le champ des possibles » 8 et nous allons nous placer dans un cas
→
−
particulier simple, celui où k (qui donne la direction de propagation de l’onde) est parallèle
→
−
→
−
−
à B et nous choisirons cette direction pour axe Oz. Nous noterons donc B T = BT →
ez et
→
− T →
k = k−
ez .
→
−
→
−
Les équations (2) et (4) du système montrent que les champs E et B sont transversaux,
→
−
c’est-à-dire orthogonaux à la direction de propagation donnée par k . Habituellement, il est
pertinent de décomposer ce type d’onde en deux ondes polarisées rectilignement et de n’en
→
−
étudier qu’une, car l’autre lui est similaire. Ici ça débouche sur une impasse : supposons E
→
−
→
−
selon Ox, l’équation (3) montre que B est selon Oy, puis la (5) que j est selon Ox puis
→
−
la (1) que E est selon Oy, il y a donc contradiction.
→
−
−
−
Posons donc E ∗ = E1 →
ex + E2 →
ey (en fait E1∗ et E2∗ ; on allège ici l’écriture) que l’on
reporte dans (3) pour en tirer
→
−∗
k
−
−
ey − E2 →
ex )
B = (E1 →
ω
que l’on reporte dans (5) pour en tirer
k2
k2
→
−∗
−
−
−
−
j = −i
(−E1 →
ex − E2 →
ey ) = i
(E1 →
ex + E2 →
ey )
µ0 ω
µ0 ω
que l’on reporte enfin dans (1)
2
k BT
−
−
−
−
n e (E1 →
ex + E2 →
ey ) = i
(−E1 →
ey + E2 →
ex )
µ0 ω
k 2 BT ε0 c2
−
−
−
−
E1 →
ex + E2 →
ey = i
(−E1 →
ey + E2 →
ex )
neω
k 2 ωc c2
−
−
−
−
E1 →
ex + E2 →
ey = i
(−E1 →
ey + E2 →
ex )
ωp2 ω
8. Je suis ici un effet de mode actuel, une fois n’est pas coutume.
16
en reprenant les notations précédentes.
En projetant sur les axes, on obtient le système

k 2 ωc c2


E2 = 0
E1 − i
ωp2 ω
k 2 ωc c2


i
E1 + E2 = 0
ωp2 ω
Si l’on considère ce système comme un système de deux équations linéaires homogènes
en (E1 , E2 ) où k et ω sont deux paramètres, il admet en général une solution unique et
celle-ci est bien évidemment (E1 , E2 ) = (0, 0), ce qui correspond à une onde d’amplitude
nulle, c’est-à-dire à pas d’onde du tout. Pour avoir d’autres solutions, il faut donc que
le déterminant soit nul et cette condition n’est rien d’autre que la relation de dispersion
recherchée car elle porte sur k et ω. Donc
2
2
2
2 2
−i k ωω2cωc 1
k
ω
c
c
p
2 2
=1−
=0
i k ωc c
ωp2 ω
1
ω2 ω
p
d’où
k2 = ±
ω ωp2
ωc c2
Dans ces conditions, mathématiquement il y a une infinité de solutions qui d’après le
ω2 ω
k2 ωc c2
2
système à résoudre sont telle que E
(ou i k2 ωp c c2 , ce qui revient au même
E1 = −i ω 2 ω
p
car le déterminant est nul). Il faut comprendre que l’onde est définie à une constante
multiplicatrice près qui n’est autre que l’amplitude.
ω ω2
Or k 2 = ± ωc cp2 donc si k 2 =
ω ωp2
,
ωc c2
alors
E2
E1
= −i. Interprétons :
→
−
−
−
E = Re [E1 exp i(ω t − k z) →
ex + E2 exp i(ω t − k z) →
ey ]
→
−
−
−
E = Re [E1 exp i(ω t − k z) (→
ex − i →
ey )]
soit avec E1 = E0 exp iϕ (où E0 = |E1 |)
→
−
−
−
E = Re [E0 exp i(ω t − k z + ϕ) (→
ex − i →
ey )]
→
−
−
−
E = E0 [cos(ω t − k z + ϕ) →
ex + sin(ω t − k z + ϕ) →
ey ]
où l’on reconnaît une polarisation circulaire directe.
k2
ω ω2
− ωc cp2
soit k = ±i
La polarisation circulaire indirecte correspond à
=
des ondes en
 s

ω ωp2
 cos(ω t)
Re [exp i[ω t − k z)] = exp ±z
ωc c2
17
q
ω ωp2
ωc c2
donc à
qui sont des ondes stationnaires d’amplitude décroissante (seules physiquement acceptables), donc des ondes evanescentes.
Revenons à la polarisation circulaire directe ; elle donne des ondes non amorties avec :
s
ω ωp2
k=
ωc c2
r
ω
ω ωc
Vϕ = = c
k
ωp2
−1
r
ω ωc
dk
= 2c
Vg =
= 2 Vϕ
dω
ωp2
Si l’on envoie vers l’ionosphère un onde polarisée rectilignement qui peut être décomposée en somme de deux ondes polarisées circulairement, la composante indirecte qui véhicule la moitié de l’énergie et ne peut se propager dans l’ionosphère, est totalement réfléchie
et l’autre est partiellement réfléchie, partiellement transmise. L’ionosphère se comporte
comme un miroir qui renvoie l’onde vers le sol et permet une propagation au-delà de l’horizon 9
1.f
Ondes dans un diélectrique linéaire homogène isotrope.
Ce paragraphe suppose connus quelques notions simples du chapitre C-XII.
• Caractéristiques de l’onde.
Etudions ici un milieu diélectrique linéaire homogène isotrope 10 , sans charges libres
(sinon celles-ci masquent les effets diélectriques et magnétiques et l’on se retrouve dans la
cas du métal). Tout cela semble certes beaucoup de conditions, mais il se trouve qu’une
majorité de matériaux les vérifient. Dans la pratique, les effets magnétiques des milieux
linéaires sont toujours masqués par les effets diélectriques, mais nous n’en tiendrons pas
compte à ce stade. On suppose aussi que les caractéristiques du milieu ne dépendent pas
du temps (sinon, ce n’est plus de la physique mais de la cruauté mentale).
Rappelons les équations de Maxwell adaptés aux milieux diélectriques et/ou magnétiques, en tenant compte que la densité volumique de charges libres et la densité de courant
9. Du temps de la guerre froide, le bloc de l’Est envoyait par cette voie des émissions de propagande
soviétique en anglais (ou en français, etc.) vers l’Ouest et le bloc de l’Ouest des émissions de propagande
antisoviétique en russe (ou en polonais, etc.) vers l’Est. Je me souviens personnellement avoir capté fréquemment radio Tirana.
10. Les milieux anisotropes sont étudiés, aspect électromagnétique compris, en optique au chapitre D-X
car c’est là que leurs propriétés sont surtout utilisées. Les milieux inhomogènes sont abordés en optique
géométrique au chapitre D-V (dont on montre, au chapitre D-VI, que c’est une approximation de l’électromagnétisme) avec un autre point de vue, plus pertinent.
18
libre sont ici nulles :
→
−
div B = 0
→
−
−→ →
−
∂B
rot E = −
∂t
→
−
div D = ρlib = 0
→
−
→
−
−→ →
−
∂D
∂D
→
−
rot H = j lib +
=
∂t
∂t
→
−
→
−
−→
∂
En amplitude complexe cela devient (avec ∂t
→ i ω, div → −i k . et rot → −i k ∧) et
après simplification par −i :
→
→
− −
k · B∗ = 0
→
−
→
→
− −
k ∧ E∗ = ω B∗
→
− −→∗
k ·D =0
−→
→
− −→∗
k ∧ H = −ω D∗
−→
−→
−
→
−→
∗
Reportons-y D∗ = ε0 εr (i ω) E ∗ et H ∗ = µ0 µBr (i ω) par définition des permittivité et
perméabilité relatives, a priori complexes et fonction de la pulsation en régime variable et
remplaçons le produit µ0 ε0 par 1/c2 où c désigne la vitesse de la lumière dans le vide, on
a alors :
→
→
− −
k · B∗ = 0
→
−
→
→
− −
k ∧ E∗ = ω B∗
→
→
− −
k · E ∗ = 0 · ε0 ε = 0
→
−
→
→
− −
ω
k ∧ B ∗ = − 2 εr µ r E ∗
c
où l’on a omis pour alléger l’écriture, de mentionner que εr et µr sont fonctions de i ω.
La première et la troisième relations montrent que l’onde plane progressive est toujours
transversale dans le milieu étudié ; pour alléger l’exposé, nous la supposerons polarisée
rectilignement et nous choisirons l’axe Oz dans la direction de propagation et l’axe Ox
−
→
→
−
−
−
parallèle au champ électrique de sorte que k = k →
ez et E ∗ = E ∗ →
ex
La troisième relation donne :
−
→ k
−
B∗ = E∗ →
ey
ω
Remarque avant d’aller plus loin : si l’on se souvient que la vitesse de phase est définie
par V1ϕ = ωk , on retrouve formellement la même structure, au remplacement de c par Vϕ
près, que pour une onde dans le vide. cette remarque est systématique car elle provient
de l’équation de Maxwell-Faraday qui est valable indépendamment de tout contexte
concernant le milieu ; du reste, on aurait pu ou dû la faire plus tôt. Malheureusement, la
19
suite montrera que k est complexe donc que c’est un peu plus compliqué. Néanmoins cette
remarque reste un bon aide-mémoire.
Enfin la dernière relation donne, après changement de signe :
k2 ∗ →
ω
−
ex
E −
e x = 2 εr µ r E ∗ →
ω
c
soit après projection, simplification et mise en forme :
k 2 = εr µr
ω2
c2
Il est d’usage de noter n(i ω) celle des deux racines du complexe εr (i ω) µr (i ω) qui a
sa partie réelle positive. Alors :
n2 ω 2
k2 =
c2
nω
k=±
c
correspondant aux deux sens de propagation possible ; dans la suite, nous choisirons
k = ncω .
On retrouve la situation décrite dans le chapitre D-IV sur la dispersion et surtout l’absorption dont nous reprenons sans trop détailler les résultats. Le lecteur pourra évidemment
s’y reporter pour rafraîchir sa mémoire.
Contentons-nous d’en rappeler les principaux résultats. Notons n1 (ω) = Re(n) et
n2 (ω) = −Im(n), donc n(i ω) = n1 (ω) − i n2 (ω) et par conséquent k = k1 − i k2 =
−
→
−
ey où E0 = |E ∗ |, on a :
(n1 − i n2 ) ωc . Avec E ∗ = E0 exp iϕ →
−
→
→
−
−
E = Re[E ∗ exp i (ω t − k z)] = · · · = E0 exp(−k2 x) cos(ω t − k1 x + ϕ) →
ey
L’onde se propage en s’amortissant avec une distance caractéristique k12 ; pour les pulsations où l’amortissement n’est pas trop important, le milieu est dispersif avec une vitesse
1
de phase donnée par V1ϕ = k1ω(ω) et une vitesse de groupe par V1g = dk
dω .
• Un exemple.
Appliquons ce qui précède à un gaz non polaire et négligeons comme il se doit ses
propriétés magnétiques. On a alors µr = 1, εr = 1 + χe , χe = nεv0α (on écrit ici nv la densité
particulaire pour ne pas la confondre avec l’indice n) et χe =
C-XII)
2
e2
[(k−m ω 2 )+i λ ω]
(voir chapitre
nV e
On a donc n2 = 1 + ε0 [(k−m
et, pour un gaz, |χe | 1 de sorte qu’un dévelopω 2 )+i λ ω]
pement limité conduit à :
n=1+
nv e 2
2 ε0 [(k − m ω 2 ) + i ω λ]
20
n1 = Re(n) = 1 +
n2 = −Im(n) =
(k − m ω 2 ) nv e2
2 ε0 [(k − m ω 2 )2 + (ω λ)2 ]
λ ω nv e2
2 ε0 [(k − m ω 2 )2 + (ω λ)2 ]
Figure 2 – Indices en fonction de la pulsation.
La figure 2 p. 21 montre les graphes de n1 (ω) et n2 (ω) : Il se trouve que ces courbes sont
en bon accord avec les courbes expérimentales, à ceci près qu’un atome ou une molécule
contient plusieurs électrons et qu’on observe une somme de fonctions de ce type, décalées
les unes des autres.
Remarque 1 : l’amplitude réelle locale Em (x) = E0 exp(−k2 x) est telle que :
Em (0)
ω λ n v e2
ω
ln
= k2 x =
x = f (ω) nv x
2
2
2
Em (x)
2 ε0 [(k − m ω ) + (ω λ) ] c
Cette quantité est proportionnelle à la longueur parcourue (loi de Beer-Lambert) et,
à fréquence donnée, à la concentration (la densité particulaire au nombre d’Avogadro
près), c’est le principe des dosages par spectrophotométrie.
Remarque 2 : n2 , donc k2 , donc l’absorption est négligeable en dehors d’un domaine
restreint de fréquences, appelé bande d’absorption. Dans celle-ci, le matériau est opaque
à partir d’une certaine épaisseur, en dehors, il est transparent. En dehors de la bande
d’absorption, n est pratiquement réel et les calculs se simplifient considérablement.
• Aspects énergétiques.
Repartons du champ électrique en notation complexe :
−
→
−
E ∗ = E ∗ exp i(ω t − k x) →
ey
avec E ∗ = E0 exp i ϕ et en notaion réelle :
−
→
→
−
−
E = Re(E ∗ ) = E0 exp(−k2 x) cos(ω t − k1 x + ϕ) →
ey
21
On a vu plus haut comment en déduire le champ magnétique en notation complexe :
−
→ k
k1 − i k2 ∗
−
−
B ∗ = E ∗ exp i(ω t − k x) →
ez =
E exp i(ω t − k x) →
ez
ω
ω
puis réelle, après un petit calcul très simple :
−
→
→
−
E0
−
B = Re(B ∗ ) =
exp(−k2 x) [k1 cos(ω t − k1 x + ϕ) + k2 sin(ω t − k1 x + ϕ)] →
ez
ω
Classiquement, le vecteur de Poynting, sa moyenne temporelle (en projection) et la
puissance volumique moyenne absorbée 11 sont :
→
−
E2
−
Π =
exp(−2 k2 x) [k1 cos2 (ω t − k1 x + ϕ) + k2 sin(ω t − k1 x + ϕ) cos(ω t − k1 x + ϕ)] →
ex
µ0 ω
< Π >=
k1 E 2
exp(−2 k2 x)
2 µ0 ω
(On reconnaît encore la loi de Beer-Lambert.)
−
∂<Π>
k1 k2 E 2
=
exp(−2 k2 x)
∂x
µ0 ω
Là aussi c’est compatible avec la puissance volumique absorbée par les charges liées qui
vaut ici :
→
−
−
→
−
∂P →
→
−
·E
j pol · E =
∂t
En effet, on a successivement, en notant χe = χ1 − i χ2 :
−
→
−
→
P ∗ = ε0 χe E ∗
−
→
−
→
−
→
∂P ∗
= i ω P ∗ = i ω ε0 (χ1 − i χ2 ) E ∗
∂t
d’où, en valeur réelle :
→
−
−
j pol = ω ε0 E exp(−k2 x)[χ2 cos(ω t − k1 x + ϕ) − χ1 sin(ω t − k1 x + ϕ)] →
ey
→
−
→
−
j pol · E = ω ε0 E 2 exp(−2 k2 x)[χ2 cos2 (ω t−k1 x+ϕ)−χ1 sin(ω t−k1 x+ϕ) cos(ω t−k1 x+ϕ)]
→
−
χ2 ω ε0 E 2
→
−
< j pol · E >=
exp(−2 k2 x)
2
Or on a, en utilisant ε0 µ0 c2 = 1 :
k 2 = (1 + χe ) (ω 2 /c2 )
11. voir dans le paragraphe 1.b p. 6 sur le métal réel.
22
(k1 − i k2 )2 = (1 + χ1 − i χ2 )) ε0 µ0 ω 2
soit en égalant les parties imaginaires et en changeant de signe :
2 k1 k2 = χ2 ε0 µ0 ω 2
d’où l’on tire :
k1 k2
χ2 ω ε0
=
µ0 ω
2
ce qui permet l’identification des deux approches, on en pleure de bonheur !
2
Réflexion et transmission d’ondes sur un dioptre.
Considérons une surface plane d’équation x = 0 séparant deux milieux sans charges
libres, linéaires, homogènes et isotropes différents. Dans la pratique, la surface pourra être
courbe pourvu que ses rayons de courbure soient grands devant la longueur d’onde des
phénomènes ondulatoires étudiés. Nous allégerons l’exposé, en négligeant les propriétés
magnétiques de ces milieux parce qu’elles sont effectivement négligeables ; les deux milieux
√
√
auront respectivement les indices n1 = εr1 et n1 = εr1 . Pour alléger les notations, nous
nous placerons en dehors des zones spectrales d’absorption des deux milieux de sorte que
n1 et n2 soient réels 12 .
Nous nous proposons de trouver les caractéristiques des ondes réfléchie et transmise qui
résultent de la présence de cette surface de discontinuité qu’on appellera dioptre comme
en optique.
2.a
Lois de Snell-Descartes.
Le premier problème à résoudre est celui des directions dans lesquelles se propagent
les ondes réfléchie et transmise. Dans le cas de la lumière, les lois expérimentales ont été
découvertes en 1621 par Snell en Hollande, puis indépendamment (dit-on en France)
par Descartes en France. Nous les avons démontrées, sans avoir besoin de préciser la
nature de l’onde, dans le chapitre D-II sur les ondes stationnaires progressives en physique
vibratoire et ondulatoire. Pour en éviter la relecture au lecteur, on a en recopié ici, en
l’adaptant au contexte, la partie intéressante.
→
− −−→
Considérons une onde plane progressive sinusoïdale en exp i(ωi t − ki · OM ) de vecteur
→
−
−
−
−
d’onde ki = ki1 →
ex + ki2 →
ey + ki3 →
ez se propageant dans le milieu situé côté x < 0 qu’on
appelera milieu 1 et se dirigeant vers la surface de séparation (cf figure 3 p. 24). Cette onde
sera appelée onde incidente.
12. S’ils ne le sont pas, il suffit dans tout le texte de remplacer mentalement les fonctions réelles par les
fonctions complexes et les indices réels par les indices complexes et rien ne sera changé dans les conclusions,
sauf les aspects énergétiques pour lesquels on consacre plus loin un paragraphe.
23
milieu 2
!
kr
!
!
kt
surfaces d'onde
!
rayons
milieu 1
!
!
ki
!
!
rayons
!
!
surfaces d'onde
!
dioptre
!
!Figure 3 – Réflexion
et transmission oblique.
→
− −−→
Elle donne naissance à une onde réfléchie en exp i(ωr t − kr · OM ) de vecteur d’onde
→
−
−
−
−
kr = kr1 →
ex + kr2 →
ey + kr3 →
ez qui repart dans l’autre sens dans le milieu 1 et une onde
→
− −−→
→
−
−
−
−
transmise en exp i(ωt t − kt · OM ) de vecteur d’onde kt = kt1 →
ex + kt2 →
ey + kt3 →
ez qui se
propage dans le milieu 2, côté x > 0.
Les lois de l’électromagnétisme entraînent la continuité de certaines composantes des
champs électrique et magnétique, continuité qui est vérifiée à la traversée de la surface
de séparation en chacun de ses points et à chaque instant. Il importe peu ici de savoir
de quelles composantes il s’agit, l’important c’est qu’il y en ait. On notera A l’une de ces
composantes, Ai (M, t), Ar (M, t), At (M, t) les fonctions sinusoïdales associées aux trois
→
− −−→
ondes ainsi que A∗i0 exp i(ωi t − ki · OM ) et analogues les fonctions complexes associées.
Les fonctions qui se raccordent sont, côté x < 0, la superposition de l’onde incidente et
de l’onde réfléchie, c’est-à-dire leur somme puisqu’on est dans un contexte de linéarité et,
côté x > 0, l’onde transmise. On a donc, puisque la continuité est vérifiée à tout instant et
en tout point de la surface :
∀y ∀z ∀t lim
x→0−
h
→
− −−→
→
− −−→ i
A∗i0 exp i(ωi t − ki · OM ) + A∗r0 exp i(ωr t − kr · OM ) = · · ·
→
− −−→
· · · = lim A∗t0 exp i(ωt t − kt · OM )
x→0+
soit en développant les produits scalaires et en faisant tendre x vers 0 :
∀y ∀z ∀t A∗i0 exp i(ωi t − ki2 y − ki3 z) + A∗r0 exp i(ωr t − kr2 y − kr3 z) = · · ·
· · · = A∗t0 exp i(ωt t − kt2 y − kt3 z)
24
comme c’est vrai pour tout y et pour tout z, c’est vrai, à tout instant pour y = 0 et
z = 0, donc :
∀t A∗i0 exp i(ωi t) + A∗r0 exp i(ωr t) = A∗t0 exp i(ωt t)
Or la somme de deux fonctions sinusoïdales n’est sinusoïdale que si les pulsations sont
égales (sinon, on aurait des battements, tout physicien le sait bien) et alors la somme est
une sinusoïde de même pulsation. On est donc amené à la conclusion que les trois pulsations
sont égales, ce qui est physiquement naturel ; donc ωi = ωr = ωt .
A∗r0
On remarquera alors que limx→0− (Ai + Ar ) = limx→0+ At conduit simplement à A∗i0 +
= A∗t0 , ce qui permettra plus loin d’abréger les calculs.
Il y a bien plus important que l’égalité des pulsations. On démontrerait de la même
façon les égalités suivantes :
ki2 = kr2 = kt2
ki3 = kr3 = kt3
(mais rien concernant ki1 , kr1 ni kt1 ). On peut résumer la chose en disant que :
Les projections des trois vecteurs d’onde sur la surface de séparation sont égales.
y
!
kr
!
kr ey
!
"r
!
!"
i
!!
ki
!
!
kt ey
"t
x
!
!
ki ey !
!
!
!
!
kt
!
Figure 4 – Lois de Snell-Descartes.
On peut toujours choisir les axes de sorte que ki3 = 0 et ki2 > 0 ; on en déduit la
figure 4 p. 25 où l’on utilise le fait qu’alors kr2 = kt2 = 0 et kr3 = kt3 > 0, ce que l’on va
traduire par des formulations traditionnelles concernant les trois rayons (droites parallèles
au différents vecteurs d’onde) arrivant ou partant du même point O où le plan d’incidence
désigne le plan contenant la normale à la surface de séparation et le rayon incident. Une
première constatation :
Le rayon réfléchi (ou transmis) est dans le plan d’incidence.
25
Le rayon réfléchi (ou transmis) et le rayon incident sont de part et d’autre de la normale.
→
−
→
−
Allons encore plus loin. On se souvient (paragraphe 1.f p. 18) que k ki k = k kr k = n1cωi
→
−
(ondes se propageant dans le milieu 1) et k kt k = n2cωi (dans le milieu 2). Appelons (voir
figure précédente) θi , θr et θt les angles que font les rayons incident, réfléchi et transmis
avec la normale, appelés angles d’incidence, de réflexion et de réfraction ; on a donc :
→
−
n1 ωi
ki2 = k k i k sin θi =
sin θi
c
→
−
n 1 ωi
kr2 = k k r k sin θr =
sin θr
c
→
−
n2 ωi
kt2 = k k t k sin θt =
sin θt
c
Ces trois grandeurs sont égales, on en tire
– d’une part sin θr = sin θt d’où θr = θt (on notera θ1 leur valeur commune)
L’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence
– d’autre part n2 sin θt = n1 sin θi (on notera θ2 au lieu de θt )
L’angle de réfraction et l’angle d’incidence vérifient la loi de Snell-Descartes
2.b
Réflexion totale. Onde évanescente.
La relation
n2 sin θ2 = n1 sin θ1 trouve classiquement, dans le cas où l’on a n1 > n2 et
n2
θ1 > arcsin n1 , un sin θ2 supérieur à 1 ; il ne peut donc pas y avoir de rayon transmis et
l’on dit qu’on a affaire à une réflexion totale.
Certes, mais si l’on essaie de déterminer la structure de l’onde réfléchie en appliquant
la méthode qui sera développée au paragraphe 2.f p. 36 (en reprenant point par point les
calculs mais sans onde transmise), on aboutit rapidement à une contradiction 13 .
Comment nous sortir de cette aporie ? Commençons par une entourloupe. Faisons semblant de ne
p pas nous émouvoir que sin θ2 dépasse l’unité et notons α sa valeur ; alors
cos θ2 =
(1 − α2 ) est imaginaire pur, notons-le ± i β (le signe reste en suspend). Le
→
−
−
−
vecteur d’onde transmis kt = kt1 →
ex + kt2 →
ey vaut alors
→
−
n2 ω
n2 ω
−
−
−
−
kt =
(cos θ2 →
ex + sin θ2 →
ey ) =
(± i β →
ex + α →
ey )
c
c
et l’onde transmise en exp i(ω t − kt2 y − kt1 x) en choisissant le signe en suspend de
sorte qu’il n’y ait pas de divergence dans le demi-espace z > 0 (milieu d’indice n2 ) est en
fait en
exp[i ω (t − n2 α y + i n2 β x)] = exp[−i ω n2 β x] exp[i ω (t − n2 α y)]
13. On ne détaille pas car ce chapitre est déjà assez long mais rien n’empêche le lecteur de s’y coller,
bien au contraire.
26
Il s’agit d’une onde non plane se propageant dans la direction de Oy c’est-à-dire parallèlement à la surface du dioptre et dans l’amplitude décroît exponentiellement perpendiculairement à cette surface. On dit qu’on a affaire à une onde évanescente. Sa mise en
évidence expérimentale est détaillée au chapitre D-V relatif à l’optique géométrique.
Remarque 1 : l’entourloupe initiale nous a permis de trouver la structure de cette onde.
On pourra utiliser la méthode du paragraphe 2.f p. 36 avec une onde « transmise » de cette
forme mais soyez persuadé que l’on retrouvera exactement la même solution.
Remarque 2 : les coefficients de réflexion et de transmission trouvés au paragraphe 2.f
p. 36 seront complexes puisque cos θ2 est imaginaire. Pour les coefficients énergétiques, on
s’inspirera de la méthode du paragraphe 2.h p. 42.
2.c
Relations de passage
Le second problème est celui de la répartition de l’énergie entre l’onde réfléchie et
l’onde réfractée. Cette fois, nous avons besoin de savoir quelles sont les grandeurs qui sont
continues et c’est l’objet de ce paragraphe.
• Grandeurs surfaciques et discontinuités.
De part et d’autre de la surface de séparation entre deux milieux, l’expérience prouve
que d’une part s’accumulent une grande quantité de charges, éventuellement mobiles parallèlement à cette surface, et que d’autre part le champ électromagnétique varie très
rapidement, tout cela sur une très faible distance, tout à fait négligeable à notre échelle. Il
est dès lors commode de modéliser cette situation, en faisant tendre fictivement l’épaisseur
de transition vers zéro. Les charges et courants accumulés dans cette région deviennent
des charges et courants surfaciques et les variations rapides des discontinuités. Nous allons donc, à partir des équations de Maxwell, trouver le lien entre les discontinuités des
champs et les densités surfaciques de charge et de courant.
La figure 5 p. 28 (qui anticipe sur la continuité de la composante tangentielle du champ
électrique) précise les notations utilisées ci-après.
−
Une surface sépare un milieu 1 d’un milieu 2, on appelle →
n
le vecteur normal à la
1→2
surface, dirigé du milieu 1 vers le milieu 2 (on considérera que c’est le vecteur unitaire de
→
−
→
−
Oz). On appelle respectivement E 1 et E 2 les limites du champ électrique quand on tend
vers la surface en provenance du milieu 1 ou 2, on décompose ces vecteurs en un vecteur
normal à la surface, appelé composante normale et un vecteur parallèle à la surface, appelé
→
−
→
−
→
−
→
−
−
composante tangentielle ; on note E 1 = E 1N + E 1T = E1N →
n 1→2 + E 1T et de même
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
E 2 = E 2N + E 2T = E2N →
n 1→2 + E 2T . On procède de même pour le champ D, le
→
−
→
−
champ magnétique B , le champ H . Les lignes de champs ont par commodité été dessinées
rectilignes mais ne le sont pas forcément. La discontinuité que l’on se propose de mettre en
évidence se traduit par un point anguleux sur la ligne de champ à la traversée du dioptre.
27
normale
!
E 2N
!
!
E1N
!
milieu!2
milieu 1
!
!
"
!
E2
!
!
!
ligne de champ
!
E1
!
!
E1T = E 2T
!
!
ligne de champ
Figure 5 – Discontinuités des champs.
!
• Composantes normales.
Commençons par tirer parti du théorème de Gauss brut, puis adapté aux milieux
→
−
diélectriques ainsi que du fait que B est à flux conservatif.
Commençons par le premier : pour une portion élémentaire de la surface de séparation
dq
d’aire dS, la charge accumulée de part et d’autre est dq et l’on note σ = dS
la densité
surfacique de charges, charges libres et liées confondues. Appliquons le théorème de Gauss
−
à un cylindre de génératrices parallèles à →
n 1→2 , s’appuyant sur le contour de dS et limité
par deux surfaces parallèles à dS, l’une à une distance infiniment petite au dessus de la
surface de séparation et l’autre à une distance infiniment petite au dessous. Le flux à
travers la surface fermée ainsi construite et orientée vers l’extérieur, est constitué d’un
flux à travers la surface latérale négligeable comme l’aire de celle-ci, du flux E2N dS sur
la surface supérieure et du flux −E1N dS sur la surface inférieure ; la charge intérieure
est constituée de la charge surfacique σ dS puis des charges en volume dans un volume
négligeable et elles aussi négligeables (on ne détaille pas plus un raisonnement classique
d’électrostatique, relire au besoin le chapitre C-I). On en déduit, par le théorème de Gauss,
→
−
conséquence de l’équation de Maxwell-Gauss (div E = ερ0 ), que E2N − E1N = εσ0 , soit
vectoriellement :
→
−
→
−
E 2N − E 1N =
σ
ε0
→
−
n 1→2
→
−
De même l’équation de Maxwell-Gauss adaptée (div D = ρlib ) et la première équa→
−
tion de Maxwell (div B = 0) conduisent respectivement à :
→
−
→
−
−
D 2N − D 1N = σlib →
n 1→2
28
→
−
→
−
→
−
B 2N − B 1N = 0
→
−
→
−
On rappelle que E 1 et E 2 et analogues désignent les champs limites.
→
−
→
−
→
−
Remarque : aucune formule ne porte sur div H donc sur H 2N − H 1N .
• Composantes tangentielles.
Considérons un circuit fermé rectangulaire formé de deux côtés infiniment petits, paral−
lèles à →
n 1→2 , traversant la surface de séparation et de deux côtés de longueur d` parallèles
à l’axe Ox du plan tangent, dans son sens du côté du milieu 2 et en sens inverse dans le
→
−
milieu 1. La circulation de B sur ce rectangle est négligeable sur les petits côtés et respectivement B2x d` et −B1x d` ; outre des termes négligeable dus aux courants en volume (et
−
→
du terme ε0 ∂∂tE lui aussi volumique) à travers une surface infiniment petite, l’intensité en→
−
lacée, due à la composante selon Oy du courant surfacique i s , est isy d` (on ne détaille pas
plus un raisonnement classique de magnétostatique, relire au besoin le chapitre C-III). On
en déduit, par lethéorème d’Ampère,
conséquence de l’équation de Maxwell-Ampère,
−
→
−→ →
−
→
−
∂E
soit rot B = µ0 j + ε0 ∂t , que B2x − B1x = µ0 isy .
En tournant le raisonnement d’un quart de tour (si je puis dire), Ox devenant Oy et
Oy devenant Ox à rebrousse-poil, on a aussi B2y − B1y = −µ0 isx que l’on peut regrouper
vectoriellement en :
→
− →
−
→
−
→
−
B 2T − B 1T = µ0 iS ∧ n 1→2
De la même façon, l’équation de Maxwell-Ampère adaptée aux milieux magnétiques
−
→
−
→
−→ →
−
−→ →
−
→
−
(rot H = j lib + ∂∂tD ) et l’équation de Maxwell-Faraday (rot E = − ddtB ), par analogie
terme à terme, conduisent respectivement à :
→
−
→
−
→
−
−
H 2T − H 1T = iS lib ∧ →
n 1→2
→
−
→
−
→
−
E 2T − E 1T = 0
→
−
→
−
On rappelle ici aussi que B 1 et B 2 et analogues désignent les champs limites.
−→ →
−
→
−
→
−
Remarque : aucune formule ne porte sur rot D donc sur D 2T − D 1T .
On suggère vivement au lecteur d’une part de comparer le champ électrique à l’intérieur
d’une sphère uniformément chargée en surface au champ à l’extérieur, d’autre part de
comparer le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde au champ à l’extérieur et de
vérifier dans ces deux cas la validité des relations de passage pour les composantes normales
→
− →
−
et tangentielles respectivement de E et B .
29
• Grandeurs surfaciques. Approfondissement.
En faisant la distinction entre charges libres et charges liées, on peut écrire :
σ = σlib + σlié
→
−
→
−
→
−
iS = iS lib + iS lié
Il importe de comprendre que si au moins l’un des deux milieux comporte des charges
libres, celles-ci se déplacent sous l’action du champ électrique et qu’il n’y a pas de moyen,
→
−
en régime variable, d’imposer les valeurs de σlib ni de iS lib qui doivent donc être considérées
comme des inconnues de problème. On retrouve en fait le même problème que dans l’étude
des conducteurs à l’équilibre électrostatique (chapitre C-II).
Il importe aussi de comprendre que les charges et courants de charges liées dépendent
de la polarisation et de l’aimantation, elles-même fonctions des champs électrique et magnétique. Pas plus que les charges et courants libres, on ne peut en imposer, en régime
variable, les valeurs et ce sont aussi des inconnues du problème.
Toutefois pour les courants surfaciques, les choses peuvent être approfondies, même
−
→
si ce n’est d’aucun secours : le courant de polarisation ddtP et le courant d’aimantation
−→ →
−
rot J sont des courants en volume qui disparaissent dans le raisonnement ci-dessus (il
suffit de le relire) mais ceci n’empêche pas qu’il y a toujours, a priori, des charges liées qui
→
− →
−
s’accumulent en surface (cf σpol = P · n ) et peuvent se déplacer pour peu que la limite de
→
−
P sur la surface ait une allure propagative.
• Comment utiliser correctement ces relations de passage ?
La donnée typique d’un problème est celle des caractéristiques de deux milieux et de
l’onde incidente décomposée en deux polarisations rectilignes (exceptionnellement circulaires) étudiées l’une après l’autre. Les inconnues sont les ondes réfléchie et transmise. Les
lois de Snell-Descartes en donnent la fréquence et la direction et la symétrie imposée
par la polarisation de l’onde incidente en donne la polarisation. La donnée des indices permet de déduire le champ magnétique du champ électrique et finalement il n’y a que deux
inconnues : les amplitudes du champ électrique des ondes réfléchie et transmise ; il nous
suffit de deux équations. En général, les relations de continuité (les relations de passage
avec un second membre nul) suffisent car il y en a deux au minimum et deux de plus si
aucun des milieux ne possèdent de charges libres.
C’est après que les ondes réfléchie et transmise auront été déterminées que les autres relations de passage permettront de calculer les charges et courants surfaciques. L’utilisation
des relations de passage est dissymétrique. Remplaçons au niveau scriptural les égalités
30
par des doubles flèches dans le sens de la grandeur connue vers la grandeur qu’on en tire :
→
−
→
−
→
−

 E 2T − E 1T ⇐ 0


−
→
−
→
−
→
B 2N − B 1N ⇐ 0
→
−
→
−
−

n 1→2
E
−
E 1N ⇒ εσ0 →
2N



→
−
→
−
−
→
−
→
B 2T − B 1T ⇒ µ0 iS ∧ n 1→2
et pour les deux autres, c’est dans un sens si aucun des deux milieux n’a de charges
libres et dans l’autre si l’un au moins en a :
(→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
D 2N − D 1N ⇐ 0
ou
D 2N − D 1N ⇒ σlib →
n 1→2
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
H 2T − H 1T ⇐ 0
ou
H 2T − H 1T ⇒ iS lib ∧ →
n 1→2
2.d
Réflexion sur un métal parfait en incidence normale.
Supposons une onde incidente, de direction Ox, se propageant dans l’air que l’on peut,
en excellente approximation assimiler au vide (sauf dans quelques domaines spectraux
particuliers) d’indice unité par définition de l’indice ; elle arrive en x = 0 sur la surface
d’un métal parfait (voir paragraphe 1.c p. 10) ; considérons sa composante polarisée selon
Oy ; en notation complexe, son champ électrique est :
h −
→
x i →
−
Ei∗ = Ei∗ exp i ω t −
ey
c
−
→
et son champ magnétique est (cf supra) Bi∗ =
−
→
ki
ω
−
→
→
−
∧ Ei∗ avec k i =
ω
c
→
−
ex , soit :
h −
→ 1
x i →
−
Bi∗ = Ei∗ exp i ω t −
ez
c
c
Les lois de Snell-Descartes entraînent que l’onde réfléchie se propage, dans le sens
→
−
−
rétrograde dans la direction de Ox, par analogie avec l’onde incidente, avec k r = − ωc →
ex
toutefois, ses champs ont l’allure suivante :
h −
→
x i →
−
Er∗ = Er∗ exp i ω t +
ey
c
h −
→∗
1 ∗
x i →
−
Br = − Er exp i ω t +
ez
c
c
Quant au métal parfait, son modèle entraîne que l’onde transmise est nulle :
−
→ →
−
Er∗ = 0
−
→ →
−
Br∗ = 0
31
→
−
La composante tangentielle de E (ici réduite à Ey ) est continue, pas forcément celle de
→
−
B . On a vu plus haut que les continuités se reportent sur les seules amplitudes complexes.
On peut donc affirmer que :
Ei∗ + Er∗ = 0
et cela suffit car Er∗ est la seule inconnue !
En choisissant bien l’origine des temps, Ei∗ est réel positif et on le notera E0 ; en
repassant aux notations réelles et avec une transformation trigonométrique de somme ou
différence en produits, les champs totaux sont
x
→
−
→
−
→
−
→
−
E = E i + E r = 2 E0 sin(ω t) sin ω
ey
c
x
→
−
→
−
→
−
2
→
−
B = B i + B r = E0 cos(ω t) cos ω
ez
c
c
On retrouve une structure d’onde stationnaire ; les champs électrique et magnétique
sont en quadrature dans le temps et dans l’espace. Aux nœuds de l’un correspondent les
ventres de l’autre. Selon que le détecteur utilisé est une antenne rectiligne, sensible au
champ électrique, ou une bobine, sensible au champ magnétique, on ne devra pas le placer
au même endroit pour mettre en évidence l’onde.
→
− →
−
−→
−→
→
−
→
−
−
De BT (0+ ) − BT (0− ) = 0 − 2c E0 cos(ω t) →
ez = µ0 iS ∧ ex , on tire, puisque i s n’a pas
de composantes sur Ox de par sa nature de courant surfacique, que :
2
→
−
−
is=
E0 cos(ω t) →
ey
µ0 c
Remarque : nous ne ferons pas ici de remarque énergétique. Si le lecteur le désire, il
s’inspirera du cas de la réflexion-transmission entre deux diélectriques.
2.e
Réflexion sur un métal réel en incidence oblique.
La surface du métal est le plan z = 0 (on change pour éviter de refaire toute la figure) ;
côté z < 0 l’air assimilé au vide, côté z > 0 un métal de conductivité γ. On s’appuiera sur
la figure 6 p. 37 dont le contexte est voisin de celui-ci (le vide est remplacé par un premier
diélectrique et le métal par un second).
→
−
−
−
L’onde incidente se propage selon un vecteur d’onde k i = ωc →
u i où →
u i est unitaire ; on
→
−
choisit les axes de sorte que Ox soit perpendiculaire au plan défini par k i et Oz (le plan
de figure) avec Ox s’éloignant du lecteur. On la suppose polarisée rectilignement de sorte
→
−
−
que E soit dans le plan d’incidence 14 et parallèle à un vecteur unitaire →
v i , orthogonal à
14. On a choisi cette polarisation-là, plutôt que l’autre, laissée à la charge du lecteur, parce qu’elle fait
apparaître une difficulté particulière.
32
→
−
→
−
u i dans le sens défini par la figure, et B parallèle à Ox ; on peut donc écrire, en notation
complexe :
−
→
→
− −−→ −
Ei∗ = Ei∗ exp i ω t − ki · OM →
vi
−
→ 1
→
− −−→ −
Bi∗ = Ei∗ exp i ω t − ki · OM →
ex
c
L’onde réfléchie, avec les notations définies par la figure sera de la forme :
−
→∗
→
− −−→ →
∗
Er = Er exp i ω t − kr · OM −
vr
−
→ 1
→
− −−→ −
Br∗ = Er∗ exp i ω t − kr · OM →
ex
c
En adaptant
d’une onde dans un métal réel, l’onde transmise de vecteur d’onde
l’étude
→
− −−→
est en exp i ω t − kt · OM où les lois de Snell-Descartes donnent ktx = kix = 0
et kty = kiy = ωc sin θ1 (θ1 est l’angle d’incidence) et l’étude du métal, adaptée, (voir le
→
−
2 + k 2 + k 2 = −i µ γ ω, ce qui
paragraphe qui lui est consacré) donne k 2t = kt2 = ktx
0
ty
tz
permet de déterminer ktz sous forme de racine d’un complexe que nous ne chercherons pas
à expliciter plus avant.
→
−
L’une des composantes de k t est donc complexe et en déduire une définition de θ2 est
une mission bien périlleuse. Restons donc raisonnable 15 et posons, en gardant à l’esprit
→
−
que le plan de figure est plan de symétrie, donc contient E t :
−
→
→
− −−→
−
−
Et∗ = (a∗ →
ey + b∗ →
ez ) exp i ω t − kt · OM
−
→
d’où, avec Bt∗ =
−
→
kt
ω
−
→
∧ Et∗ (voir au même endroit) :
−
→
→
− −−→
1 ω
−
−
−
−
Bt∗ =
sin θ1 →
ey + ktz →
ez ∧ (a∗ →
ey + b∗ →
ez ) exp i ω t − kt · OM = · · ·
ω c
∗
→
− −−→ −
b
∗ ktz
··· =
sin θ1 − a
exp i ω t − kt · OM →
ez
c
ω
Reste à déterminer Er∗ , a∗ et b∗ . Il y a un métal donc, a priori des charges libres et des
→
−
courants libres surfaciques et les seules continuités exploitables sont celle de E T , donc des
→
−
composantes Ex et Ey , et celle de B N , soit de la composante Bz . Mais avec la polarisation
étudiée les champs électriques n’ont pas de composantes sur Ox ; les seules continuités de
composante de champ exploitables sont donc celles de Ey et Bz qui conduisent (on rappelle
que le facteur exponentiel se simplifie automatiquement, cf supra), par projection sur les
axes concernés :
(
−Ei∗ cos θ1 + Er∗ cos θ1 = a
∗
0 + 0 = bc sin θ1 − a kωtz
15. même s’il est déraisonnable d’être raisonnable car, dans ce cas, on n’invente pas les nombres complexes
(par exemple).
33
ce qui ne donne que deux équations pour trois inconnues.
→
−
Dans la littérature, on indique que dans ces conditions, on peut admette que iS lib est
→
−
nul, ce qui ajoute la continuité de H T , soit ici de HT x . Malheureusement, c’est rarement
justifié. Au mieux, on trouve l’explication suivante : le modèle du métal parfait, en faisant
tendre la conductivité vers l’infini fait tendre l’épaisseur de l’effet de peau vers zéro, ce
qui génère un courant surfacique. Certes. Mais ça ne prouve pas son inexistence pour le
métal réel : les charges accumulées à la surface du fait la discontinuité éventuelle du champ
électrique normal (qui existe a priori dans le cas que nous étudions) vont se mettre en
mouvement le long de cette surface sous l’effet de l’éventuelle composante tangentielle
(continue) du champ électrique (qui existe a priori dans le cas que nous étudions) et c’est
justement cela le courant surfacique. Profitons de l’occasion pour dire enfin les choses
sérieusement.
Le formalisme des grandeurs surfaciques et discontinuités est le remplacement d’une
mince couche dont l’épaisseur sera notée ici ` par une couche d’épaisseur nulle. Dans notre
contexte, que peut-être la valeur de cette épaisseur ` ? Eh bien, celle où la loi d’Ohm
cesse d’être valable. Dans son mouvement, l’électron qui se faufile entre les ions, attire
les plus proches, ceux qui sont devant, derrière et sur les côtés, laquelle déformation en
entraîne un autre, plus faibles sur les ions un peu plus loin et ainsi de suite jusqu’à ce
que l’effet devienne négligeable. Modéliser cela nous mènerait bien loin mais nous pouvons
raisonnablement estimer que la portée de cet effet de déformation sera au moins de cinq
distances interatomiques (soit 10−9 m) et au plus de cinquante (soit 10−8 m).
Plaçons nous dans un cylindre de génératrices normales à la surface et s’appuyant sur
les contours d’une surface élémentaire dS entre la surface et la profondeur `. En l’absence
d’une accumulation dans cette zone de charges libres (σlib = 0), il y a quand même des
charges libres puisque par unité de volume, il y a dans un métal n ∼ 1029 m−3 électrons
libres compensé par autant d’ions de charge e (ou deux fois moins de charge 2 e, etc.) ; dans
le cylindre il y en a dN0 = n ` dS qui correspond donc à une densité surfacique de charges
(négative) σ0 = n ` (−e) compensée par une densité surfacique opposée due à la présence
des ions du réseau métallique.
→
−
Sous l’effet d’un champ électrique E et d’une force de frottement fluide phénomé→
−
→
−
−
nologique chaque électron acquiert une vitesse limite telle que −e E − λ →
v = 0 soit
→
−
→
−
v = − λe E ; l’élément de courant lié au cylindre est donc, et puisque les ions ne participent pas au courant :
e →
−
→
−
n e2
−
dq →
v = n ` dS (−e) −
E =
` dS E
λ
λ
−
→
−
2 →
En présentation volumique, il en résulte une densité volumique de courant j = nλe E ,
→
−
identifié à γ E (on n’a fait que résumer ci le modèle classique de conduction) ; en pré→
−
→
−
→
−
2
sentation surfacique, il apparaît un courant surfacique iS 0 = nλe ` E = γ ` E soit, en
→
−
→
−
faisant apparaître σ0 = −n e `, la relation iS 0 = − nγe σ0 E . On ne doit cependant pas en
tenir compte comme courant surfacique car on en a tenu compte implicitement sous forme
34
de courant volumique dans la mise en équation de l’onde dans le métal dont on n’a fait
qu’utiliser les résultats. On ne comptabilise pas deux fois un même phénomène.
Remarque : dans cette zone perturbée, λ donc γ ne sont pas les mêmes qu’au sein
du métal. C’est perpendiculairement que l’effet est le plus fort car les électrons libres ne
peuvent sortir du métal et sont contraints de suivre la surface ; la composante normale du
courant s’annule donc. Parallèlement à la surface, il y a une légère modification de γ mais
−→
→
−
la suite prouvera que c’est sans réelle importance. Il faut donc écrire iS 0 = − nγe σ0 ET ;
−→
par chance, ET est continu, ce qui nous simplifie la vie.
Si maintenant un afflux ou un reflux d’électrons libres crée dans ce même cylindre
une densité surfacique de charges (en terme correcteur) σlib , le même raisonnement fera
apparaître un courant surfacique supplémentaire dont l’expression 16 est par analogie avec
−→
→
−
ce qui précède iS lib = − nγe σlib ET . On doit cette fois tenir compte de ce courant surfacique
puisqu’on ne l’a pas encore utilisé.
Voici rigoureusement obtenir l’équation qui nous manque à partir de cette remarque :
x
on part de Hx2 − Hx1 = isy avec dans les deux milieux Hx = B
µ0 (µr vaut 1 dans le vide
et pratiquement 1 dans les métaux sauf les ferromagnétiques pour lesquels le problème est
autre), puis de isy = −σlib nγe Ey et enfin de Ez2 − Ez1 = σεlib
, d’où avec µ0 ε0 = c12 :
0
ktz
−a
ω
∗
−
1 ∗
1 γ ∗ ∗
(E + Er∗ ) = − 2
a [b − (Ei∗ + Er∗ ) sin θ1 ]
c i
c ne
où l’on a choisi pour Ey la plus simple de ces deux expressions : a∗ . On a notre troisième
relation, malheureusement, elle n’est pas linéaire, ce qui complique la chose.
−→
→
−
Heureusement pour nous, nous allons montrer que ce terme correctif iS lib = − nγe σlib ET
−→
→
−
est négligeable devant le terme principal iS 0 = − nγe σ0 ET ; il suffit pour cela de montrer
que σlib est négligeable devant |σ0 | = −n e `. Avec n ∼ 1029 m−3 , e ∼ 10−19 C et l’esti→
−
mation ` ∼ 10−9 à 10−8 m, on a |σ0 | ∼ 101 à 102 C · m−2 . La discontinuité de E n en
→
−
σ
−11 SI et un champ caractéristique d’un
ε0 permet d’estimer σlib à ε0 k E k ; avec ε0 ∼ 10
grande puissance surfacique véhiculée (100 kW · m−2 , cent fois la puissance du rayonnement solaire, soit en pensant à Π = Eµ0B et B = Ec , E ∼ 104 V · m−1 , on arrive alors
à σlib ∼ 10−7 C · m−2 , une centaine de million ou un milliard fois moins que σ0 , ce qui
permet de s’être trompé de beaucoup dans l’estimation de `.
D’accord j’ai mis près de deux pages pour justifier proprement ce qui est au mieux
suggéré ailleurs mais il fallait bien qu’un jour quelqu’un se dévouât.
On pourra donc retenir que dans le cas de métaux réels, les densités surfaciques de
→
−
→
−
courants sont nulles, que H T et donc en pratique B T (cf supra) sont continus ; le second
terme de l’équation non linéaire disparaît et nous avons trois équations pour trois inconnues
16. le signe peut surprendre pourtant il est correct : si σlib > 0 c’est que des électrons sont partis, donc
il y a moins de courant et le terme correctif est bien négatif.
35
Er∗ , a∗ et b∗

∗
∗

−Ei cos θ1 + Er cos θ1 = a
∗
0 + 0 = bc sin θ1 − a kωtz


−a∗ kωtz − 1c (Ei∗ + Er∗ ) = 0
→
−
Les points délicats ayant été levés (gestion de k t complexe et courant surfacique),
qu’on me permette de me désintéresser de la fin du calcul.
2.f
Coefficients de réflexion et transmission entre diélectriques.
Un dioptre plan (d’équation z = 0) sépare un milieu d’indice n1 (côté z < 0) d’un
milieu d’indice n2 (côté z > 0) ; les deux milieux sont diélectriques homogènes et isotropes,
linéaires, non magnétiques et non conducteurs. Le cas d’une onde plane incidente arrivant orthogonalement au dioptre est traité abondamment et de façon satisfaisante dans la
littérature, aussi nous placerons-nous directement dans le cas d’une incidence oblique.
−
Une onde plane incidente se propage dans la direction du vecteur unitaire →
ui faisant
→
−
avec la normale ez au dioptre un angle θ1 ; selon les lois de Snell-Descartes, les ondes
−
−
−
réfléchie et transmise ont pour vecteurs unitaires →
ur et →
ut , coplanaires avec →
ui et le vecteur
−
normal →
e au dioptre et font avec lui les angles θ et θ , avec n sin θ = n sin θ .
z
1
2
1
1
2
2
Pour l’onde incidente, les différentes directions transversales ne sont pas équivalentes
comme elles le sont pour l’incidence normale. Le comportement d’une onde polarisée rectilignement dépendra donc de la direction de polarisation. Une onde polarisée de façon
quelconque peut toujours être décomposée en deux polarisations rectilignes orthogonales,
aussi nous suffit-il d’en traiter deux, astucieusement choisies.
On se place dans le cas où l’onde incidente et donc, par symétrie, les ondes réfléchie
et transmise, sont polarisées rectilignement avec le champ électrique dans le plan d’inci−
−
−
dence yOz. On notera dans ce plan →
vi , →
vr et →
vt , les vecteurs directement perpendiculaires
→
−
→
−
→
−
respectivement à ui , ur et ut . Les champs électriques des trois ondes sont notés, en faisant intervenir les coefficients de réflexion et de transmission r et t définis par ces mêmes
notations
→
− −−→ −
−
→
Ei ∗ = E0∗ exp i ω t − ki · OM →
vi
→
− −−→ −
−
→
Er ∗ = r E0∗ exp i ω t − kr · OM →
vr
→
− −−→ −
−
→
Et ∗ = t E0∗ exp i ω t − kt · OM →
vt
Tout ceci est résumé sur la figure 6 p. 37.
La structure trirectangle classique en remplaçant c par
c
n
permet d’affirmer
→
− −−→ →
− →
−
→
− −−→ −
− −
→
−
→
n1 →
n1 E0∗
n1 E0∗
Bi ∗ =
ui ∧Ei ∗ =
exp i ω t − ki · OM ui ∧ vi =
exp i ω t − ki · OM →
ex
c
c
c
36
Figure 6 – Réflexion-transmission sur un dioptre en incidence oblique.
et de même
− −
→
→
− −−→ −
−
→
n1 →
n1 r E0∗
Br ∗ =
ur ∧ Er ∗ =
exp i ω t − kr · OM →
ex
c
c
− −
→
→
− −−→ −
−
→
n2 →
n2 t E0∗
Bt ∗ =
ut ∧ Et ∗ =
exp i ω t − kt · OM →
ex
c
c
→
−
La composante normale (selon Oz donc) de B est continue, ce qui n’apprend rien car
→
−
tous les champs magnétiques sont selon Ox. La composante tangentielle de E l’est aussi,
−
soit, puisque les projections des vecteurs →
v sont apparaître des cos θ et que, côté z < 0,
se superposent les ondes incidente et réfléchie. On arrive donc, puisque les exponentielles
se simplifient forcément (cf supra) :
−E0∗ cos θ1 + r E0∗ exp cos θ1 = −t E0∗ cos θ2
soit, en simplifiant (1 − r) cos θ1 = t cos θ2 .
Les milieux ne sont pas conducteurs, il n’y a donc aucune charge surfacique libre ni
aucun courant surfacique libre. L’absence de courants surfaciques libres permet d’affirmer
37
−→
→
−
la continuité de HT , or les deux milieux sont non magnétiques, donc l’aimantation J y est
−
→
−
→
−
→
−
→
→
−
→
−
→
−
nulle donc H = µB0 − J = µB0 (ou encore : µr y est égal à l’unité et H = µ0Bµr = µB0 ) et la
−→
−→
continuité de HT entraîne celle de BT , donc de Bx (l’autre est nulle des deux côtés), soit
successivement :
n1 E0∗ n1 r E0∗
n2 t E0∗
+
=
c
c
c
n1 (1 + r) = n2 t
−−→
L’absence de charges surfaciques libres entraîne la continuité de DN , c’est-à-dire de
Dz = ε0 εr z ; or l’indice et défini par n2 = εr µr avec ici (cf supra) µr = 1 ; la continuité
de Dz entraîne donc celle de n2 Ez soit successivement, avec la simplification que permet
que la relation n1 sin θ1 = n1 sin θ1 :
n21 E0∗ sin θ1 + n21 r E0∗ sin θ1 = n22 t E0∗ sin θ1
n21 sin θ1 + n21 r sin θ1 = n22 t sin θ1
n1 (1 + r) = n2 t
qui fait double emploi avec la précédente (ou, autre point de vue, redémontre les lois
de Snell-Descartes).
Finalement, nous sommes arrivés au système 17
(
cos θ1 − r cos θ1 = t cos θ2
n1 + n1 r = n2 t
La résolution en est simple et conduit à
rE =
n2 cos θ1 − n1 cos θ2
n2 cos θ1 + n1 cos θ2
et
tE =
2 n1 cos θ1
n2 cos θ1 + n1 cos θ2
où l’on a ajouté l’indice « E » à r et t pour rappeler que ces coefficients de réflexion et
de transmission ont été définis à partir des amplitudes complexes des champs électriques.
En effet, on aurait pu aussi définir des coefficients de réflexion et transmission à partir
des champs magnétiques par :



rB =
Br∗
Bi∗
=


tB =
Bt∗
Bi∗
=
∗
n1 rE E0
c
∗
n1 E0
c
∗
n2 TE E0
c
∗
n1 E0
c
= rE =
=
n2
n1 tE
n2 cos θ1 −n1 cos θ2
n2 cos θ1 +n1 cos θ2
=
2 n2 cos θ1
n2 cos θ1 +n1 cos θ2
17. Inutile de le mettre sous forme canonique, inconnues r et t à gauche et données à droite, pour le
résoudre.
38
Le but de cette remarque n’est pas de donner des formules supplémentaires, mais de
faire prendre conscience que les coefficients de réflexion et de transmission ont des expressions qui dépendent du choix de la grandeur physique choisie et qu’il faut donc préciser
−
−
ce choix. Elles dépendent aussi, du reste, du choix du sens des vecteurs unitaires →
vi , →
vr et
→
−
vt ; par exemple sous incidence normale où les notations de ce paragraphe conduisent (cf
−
−
−
figure) à →
vr = −→
vi = →
ey , il ne serait pas déraisonnable (comme cela se fait couramment)
→
−
→
−
−
de choisir vr = + vi = →
ey , ce qui changerait de signe les coefficients.
Remarque 1 : puisque θ1 et θ2 sont liés par n1 sin θ1 = n2 sin θ2 , rE et tE sont fonctions
des indices et de θ1 ; la logique mathématique voudrait que l’on développe cos θ2 ainsi :
cos θ2 =
p
1 − sin2 θ2 =
q
n22 − n22 sin2 θ2
n2
=
q
n22 − n21 sin2 θ1
n2
mais ce serait détruire la symétrie de la formule et la beauté qui en résulte 18 .
Remarque 2 : On trouve parfois l’élégante variante qui consiste à multiplier r et t haut
et bas par sin θ2 pour utiliser la loi de Snell-Descartes, par exemple pour r :
r=
n1 cos θ1 sin θ1 − n1 cos θ2 sin θ2
n2 cos θ1 sin θ2 − n1 cos θ2 sin θ2
=
=
n2 cos θ1 sin θ2 + n1 cos θ2 sin θ2
n1 cos θ1 sin θ1 + n1 cos θ2 sin θ2
cos θ1 sin θ1 − cos θ2 sin θ2
sin(2 θ1 ) − sin(2 θ2 )
=
=
cos θ1 sin θ1 + cos θ2 sin θ2
sin(2 θ1 ) + sin(2 θ2 )
voire aussi
r=
sin(2 θ1 ) − sin(2 θ2 )
2 sin(θ1 − θ2 ) cos(θ1 + θ2 )
tan(θ1 − θ2 )
=
=
sin(2 θ1 ) + sin(2 θ2 )
2 sin(θ1 + θ2 ) cos(θ1 − θ2 )
tan(θ1 + θ2 )
mais, compte tenu de la remarque 1, cette élégance est un peu vaine 19 .
Même si le tracé, à indices donnés, des graphes de rE et tE en fonction de θ1 relève
d’un calcul assisté par ordinateur, on peut donner les valeurs extrêmes :
– pour θ1 = 0, donc θ2 = 0 (loi de Snell-Descartes) et cos θ1 = cos θ2 = 1, on a
−n1
n1
rE = nn22 +n
et tE = n22 +n
, par exemple avec l’air n1 = 1 et le verre n2 = 1, 5 dans
1
1
le visible (valeur typique mais qui dépend beaucoup de la composition de verre), on
arrive à rE = 0, 2 et tE = 0, 8
– pour n2 > n1 , θ1 peut prendre la valeur π2 sans problème de réflexion totale ; alors
cos θ1 = 0 et il est inutile de calculer cos θ2 qui se simplifie, on arrive à rE = −1 et
tE = 0, quels que soient les indices.
– pour n2 < n1 , θ1 prend pour valeur maximale l’angle limite pour lequel θ2 = π2 et
c’est alors cos θ2 qui s’annule d’où rE = 1 et tE = 2nn21
,
18. le καλòς καγαθóς des Grecs a toujours cours.
19. Tout élégance l’est mais cela justifie-t-il l’inélégance ?
39
Figure 7 – coefficients de réflexion et de transmission en fonction de l’angle d’incidence.
La figure 7 p. 40 donne, à gauche, le graphe attendu, avec n1 = 1 et n2 = 1, 5, où la
courbe donnant rE est celle du dessous.
Si l’on reprenait 20 toute l’étude avec une polarisation rectiligne orthogonale à celle-ci,
Page 1
c’est-à-dire avec les champs électriques perpendiculaires
au plan d’incidence soit parallèles
à Oy, on trouverait cette fois :
rE =
n1 cos θ1 − n2 cos θ2
n1 cos θ1 + n2 cos θ2
et
tE =
2 n1 cos θ1
n1 cos θ1 + n2 cos θ2
La figure 7 p. 40 donne, à droite, les nouveaux graphes, avec encore n1 = 1 et n2 = 1, 5,
où la courbe donnant rE est aussi celle du dessous.
• Incidence de Brewster.
Le graphe de rE pour le premier type de polarisation montre qu’il existe une incidence
θ1 pour laquelle ce coefficient de réflexion s’annule ; de toute façon, l’on s’en doutait car
les valeurs extrêmes dans la plage de variation de θ1 sont de signe opposés.
Cette annulation se produit, d’après l’expression de rE , pour n2 cos θ1 = n1 cos θ2 ; or
n2 sin θ2 = n1 sin θ1 , d’où, par division membre à membre
sin θ1
sin θ2
=
cos θ1
cos θ2
sin θ2 cos θ2 = sin θ1 cos θ1
sin(2 θ1 ) = sin(2 θ2 )
20. Ça t’aiderait à assimiler tout cela, ô mon lecteur, si tu t’y attelais.
40
Page 1
Or θ1 = θ2 est exclu par la loi de Snell-Descartes ; donc 2 θ2 = π − 2 θ1 et enfin
θ2 = π/2 − θ1 . Reportons dans cette même loi :
n1 sin θ1 = n2 sin(π/2 − θ1 ) = n2 cos θ1
donc tan θ1 = nn21 et tan θ2 = tan
dence de Brewster.
π
2
− θ1 =
1
tan θ1
=
n1
n2
; c’est ce qu’on appelle l’inci-
Si l’on envoie vers le dioptre sous cette incidence, une onde polarisée de façon quelconque que l’on décompose mentalement en deux ondes polarisées rectilignement dans les
directions étudiées ci-dessus, l’une de ses composantes a un coefficient de réflexion nul,
l’autre un coefficient non nul (voir l’autre graphe) et il en résulte que l’onde réfléchie est
polarisée rectilignement. Historiquement, c’est sur cet effet qu’on été fabriqués les premiers
polarisateurs.
Qu’on se garde bien d’en déduire que l’onde transmise est polarisée rectilignement dans
l’autre direction ; c’est totalement faux : l’examen des deux graphes de tE montre que le
coefficient de transmission ne s’annule pas à l’incidence de Brewster (ni aucune autre
du reste) quelle que soit la polarisation.
2.g
Coefficients de réflexion et transmission énergétiques (milieux non
absorbants).
Pour fixer les idées, nous nous plaçons ici dans le contexte d’une réflexion-transmission
sur un dioptre entre milieux sont diélectriques homogènes et isotropes, linéaires, non magnétiques et non conducteurs de sorte que nous puissions nous appuyer sur le résultat du
paragraphe précédent. Mais la méthodologie utilisée sera aisément transposable à d’autres
contextes.
Nous considérerons que les milieux sont non absorbants (plus exactement que la pulsation de l’onde est en dehors d’une zone spectrale d’absorption) de sorte que les indices
et par conséquent les coefficients de réflexion et de transmission soient des réels. En choisissant correctement l’origine des temps, on peut se placer dans le cas où l’une amplitude
complexe E0∗ est réelle et on la notera alors E0 .
Calculons les vecteurs de Poynting moyens des trois ondes. Attention toutefois à revenir
aux notations réelles (« Tu ne multiplieras point les notations complexes », dit la Loi). On
a donc
−
→ −
→
→
− −−→ →
− →
−
→
− −−→ −
−
→ Ei ∧ Bi
n1 E02
n1 E02
Πi =
=
cos2 ω t − ki · OM vi ∧ ex =
cos2 ω t − ki · OM →
ui
µ0
µ0 c
µ0 c
D−
→E n1 E02 →
−
Πi =
ui
2 µ0 c
et de même
D−
→E n1 r2 E02 →
−
Πr =
ur
2 µ0 c
41
D−
→E n2 t2 E02 →
−
Πt =
ut
2 µ0 c
Si nous voulons définir, dans ce contexte, les coefficients de réflexion R et de transmis−→
khΠr ik
−
→
khΠi ik
−
→
t ik
et T = khΠ
n’est pas pertinent.
−
→
khΠi ik
→
−
−
En effet une surface d’aire S du dioptre, de vecteur surface S = S →
ez reçoit une puissance
moyenne :
−−→ →
−
n1 E02
hPi i = hΠi i · S =
cos θ1
2 µ0 c
sion T en énergie, choisir comme définition R =
de même elle réémet les puissances moyennes :
hPr i = −
hPt i =
n1 r2 E02
cos θ1
2 µ0 c
n2 t2 E02
cos θ2
2 µ0 c
Le signe de hPr i n’est lié qu’au sens de propagation ; d’où la définition et les calculs
suivants
|hPr i|
(n2 cos θ1 − n1 cos θ2 )2
R=
= r2 =
hPi i
(n2 cos θ1 + n1 cos θ2 )2
T =
hPt i
n2 cos θ2 2
4 n1 n2 cos θ1 cos θ2
=
t =
hPi i
n1 cos θ1
(n2 cos θ1 + n1 cos θ2 )2
On vérifie aisément que R + T = 1, ce qui traduit la conservation de l’énergie.
Une application numérique s’impose : dans le cas du dioptre air/verre (n1 = 1 et
n2 ≈ 1, 5) et sous incidence normale, on a :
R = [(1, 5 − 1)/(1, 5 + 1)]2 = (0, 5/2, 5)2 = (1/5)2 = 1/25 = 0, 04
et T = 1 − R = 0, 96 C’est dire que l’essentiel de l’énergie est transmise. Cependant,
dans un bon objectif d’appareil photographique, on compte cinq lentilles donc dix dioptres
et le coefficient de transmission global est donc 0, 9610 = 0, 66 et il peut être utile de gagner
en luminosité par un traitement anti-reflet (voir chapitre D-XI en optique physique).
2.h
Coefficients de réflexion et transmission énergétiques (milieux absorbants).
Ce paragraphe va traiter une difficulté et ce n’est guère pédagogique d’en superposer
deux, aussi allons-nous nous placer dans le cadre d’une incidence normale pour ne pas avoir
à gérer les lois de Snell-Descartes avec des indices complexes (mais si l’on s’y intéresse,
il suffit d’adapter la méthode utilisée plus haut pour la réflexion en incidence oblique
42
sur un métal réel). Avec ce que deviennent les notations qui précèdent (en particulier
−
−
−
−
−
−
−→
vi = →
vr = →
ey , alors que dans ce cas il est plutôt d’usage de choisir →
vi = →
vr = →
ey ), les
coefficients de réflexion et de transmission deviennent (on abandonne ici l’indice « E »)
2 n1
1
r = nn22 −n
+n1 et t = n2 +n1 .
Si les milieux sont absorbants, cela se traduit par le fait que les indices sont complexes.
Pour les coefficients de réflexion et de transmission, qu’ils soient complexes ne pose pas
de problème, il suffit de les interpréter comme rapport d’amplitudes complexes et c’est du
reste comme cela qu’ils ont été présentés. Mais dès que l’on passe aux produits de fonctions,
il faut y regarder à deux fois.
Commençons, hors contexte précis, par considérer deux grandeurs, liées à un même
phénomène propagatif, qui en notation complexe et avec un choix judicieux des axes sont
notées respectivement a∗ exp i (ω t−k z) et b∗ exp i (ω t−k z). Leur produit P (x, t) nécessite
le retour aux notations réelles soit avec a∗ = a exp i ϕ et b∗ = b exp i ψ et k = k1 − i k2 (cf
supra) :
P (z, t) = a b exp(−2 k2 z) cos(ω t − k1 z + ϕ) cos(ω t − k1 z + ψ) = · · ·
ab
ab
··· =
exp(−2 k2 z) cos(2 ω t − 2 k1 z + ϕ + ψ) +
exp(−2 k2 z) cos(ϕ − ψ)
2
2
dont la moyenne temporelle est :
hP i(z) =
ab
exp(−2 k2 z) cos(ϕ − ψ)
2
que l’on peut relier aux amplitudes complexes par :
hP i(z) =
1
exp(−2 k2 z) Re(a∗ b∗ )
2
1
exp(−2 k2 z) Re(b∗ a∗ )
2
ou
où le surlignement d’un complexe désigne son conjugué. De plus, on ne s’intéressera ici
qu’à ce qui se passe au niveau du dioptre en z = 0, soit à :
hP i(0) =
1
Re(a∗ b∗ )
2
1
Re(b∗ a∗ )
2
ou
Je vais présenter ici la difficulté sous forme de paradoxe et comme c’est l’usage en
ce cas, je vais chercher, ô mon lecteur, à te mystifier ; mais je vais glisser à l’endroit-clef
quelques petits mots en indice...
Appliqué à l’onde incidente dont le champ électrique a l’amplitude complexe E0∗ et
le champ magnétique nc1 E0∗ , si cette onde était seule, cela donnerait pour le vecteur de
Poynting (en
−
→ −
→
E ∧B
µ0 ),
en moyenne temporelle et au niveau du dioptre (z = 0) :
hΠi i = Re
n1
E∗ E∗
2 µ0 c 0 0
43
=
Re(n1 ) ∗
|E0 |
2 µ0 c
et par analogie hΠr i =
Re(n1 )
2 µ0 c
|r|2 |E0∗ | et hΠt i =
Re(n2 )
2 µ0 c
|t|2 |E0∗ | d’où, en reprenant le
raisonnement angulaire précédent en incidence normale R = |r|2 et T =
Re(n2 )
Re(n1 )
|t|2 .
En posant n1 = n01 − i n001 et n2 = n02 − i n002 (pour le signe négatif, cf supra) et en
reprenant les expressions de r et de t, on arrive à :
R=
T =
(n02 − n01 )2 + (n002 − n001 )2
(n02 + n01 )2 + (n002 + n001 )2
n02
4 (n01 2 + n001 2 )
n01 (n02 + n01 )2 + (n002 + n001 )2
et ces deux expressions ne vérifient pas R + T = 1. Ce ne peut être expliqué par le fait
que les milieux sont absorbants car on compare ce qui arrive en z = 0 et ce qui repart de
z = 0 ; il n’y a donc pas eu de progression dans les milieux donc pas d’absorption.
D’où vient l’erreur ? Nous l’avions en fait déjà commise dans le paragraphe précédent
où c’était, par miracle, sans conséquence, ce qui a endormi notre vigilance. Dans le milieu
d’indice n1 , le champ électromagnétique est présenté comme somme d’une onde incidente
et d’une onde réfléchie ; c’est une présentation commode et pertinente mais sans aucune
réalité expérimentale car aucun instrument de mesure ne permet de mesurer uniquement
l’onde incidente ni l’onde réfléchie. Seule existe la somme 21 mais pas chacun des deux
termes. Et la conservation de l’énergie ne peut se traduire que par hΠ1 i = hΠt i en z = 0
où hΠ1 i résulte de la somme des ondes incidente et réfléchie.
Compte tenu de la remarque initial sur les vecteurs unitaires, on a :
−
→
−
E1 ∗ = E0∗ (−1 + r) exp i (ω t − k z) →
ey
−
→
n1 ∗
−
B1 ∗ =
E (1 + r) exp i (ω t − k z) →
ex
c 0
→
− →
−
et l’on arrive, en z = 0 et en projection sur Oz et avec ey ∧ ex à :
hΠ1 i =
1
Re[n1 (1 + r) (1 − r)] |E0∗ |
2 µ0 c
que l’on doit comparer à hΠt i =
à Re(n2 ) |t|2 .
Re(n2 )
2 µ0 c
|t|2 |E0∗ | ; ce qui revient à comparer Re[n1 (1 + r) (1 − r)]
La seconde expression a été calculée un peu plus haut, sous une forme proche, et vaut
2
4 n02 (n01 2 +n00
1 )
0
0
00
2
2
(n2 +n1 ) +(n2 +n00
1)
; développons la première par étapes :
(1 + r) (1 − r) = 1 + r − r − r r = 1 − |r|2 + 2 i Im(r)
21. L’indice était donc « si cette onde était seule ».
44
d’où, avec n1 = n01 − i n001 :
Re[n1 (1 + r) (1 − r)] = n01 (1 − |r|2 ) + 2 n001 Im(r)
Je ne détaille pas la suite des calculs qui aboutit à l’égalité escomptée, c’est de la
routine.
La conclusion essentielle, c’est que la notion de coefficient énergétique perd ici sa pertinence car la puissance véhiculée par la somme des ondes incidente et réfléchie n’est pas
la somme de puissances qu’elles si elles étaient seules.
3
Problématiques annexes.
3.a
Répartition du courant alternatif dans un circuit filiforme.
Considérons un conducteur ohmique de conductivité γ, cylindrique d’axe Oz et de rayon
R est parcouru par un courant sinusoïdal de pulsation ω de suffisamment basse fréquence
pour qu’on puisse se placer dans le cadre des régimes quasi-permanents. Le courant I qui
le traverse est donc uniforme.
→
−
L’antisymétrie par tout plan orthogonal à Oz indique que j , comme tous les vrais
vecteurs, sera orthogonal à ce plan donc parallèle à Oz ; l’invariance par translation le long
de Oz et par rotation autour de Oz permettent alors, en régime sinusoïdal, d’écrire la
−
densité de courant sous la forme j(r) exp(i ω t) →
ez
La loi d’Ohm permet d’affirmer que
→
−
1→
1
−
−
E =
j = j(r) exp(i ω t) →
ez
γ
γ
Pour un point M hors de l’axe, le plan méridien contenant M et l’axe Oz est un plan
de symétrie ; le champ magnétique qui est un pseudo-vecteur, lui est donc perpendiculaire.
Il est donc orthoradial. Les invariances par translation et rotation permettent d’affirmer
→
−
−
une expression de la forme B = B(r) exp(i ω t) →
eθ
Pour faire de la physique et non des mathématiques, l’idée est d’appliquer
I la loi de
→
− →
−
Faraday plutôt que l’expression d’un rotationnel en coordonnées cylindriques.
E · dl =
Γ
ZZ
→
− −
→
→
−
d
−
B · dS à une surface Σ respectant la symétrie de B c’est-à-dire perpendiculaire à
dt Σ
→
−
→
−
B donc dans un plan méridien et à une courbe Γ respectant celles de E donc avec des côtés
→
−
soit parallèles, soit perpendiculaires à E . On prendra donc comme contour d’intégration
un rectangle orienté ABCD avec AB parallèle à Oz, de même sens, de hauteur arbitraire
h, situé à une distance r de Oz ; C et D seront les projections respectives de B et A sur
l’axe selon la figure ...que je vous laisse le soin de faire.
45
Le calcul de la circulation est de routine, je n’en donne que le résultat pour sortir le
lecteur de sa passivité et l’obliger à prendre papier et crayon, je suis comme ça.
I
→
− →
−
h
E · dl = h E(r) + 0 − h E(0) + 0 = [j(r) − j(0)]
γ
Γ
Pour calculer le flux magnétique, l’on découpe le rectangle en petits rectangles élémentaires de hauteur h avec des côtés à la distance ρ et ρ + dρ de l’axe, d’où :
Z r
ZZ
Z r
→
− −
→
B(ρ) dρ
B(ρ) h dρ = h
B · dS =
Σ
0
0
La dérivation temporelle se résume, en régime sinusoïdal et en notation complexe, à
une multiplication par i ω et la loi de Faraday conduit donc, après simplification par h,
à:
Z r
1
−i ω
B(ρ) dρ = [j(r) − j(0)]
γ
0
Z r
i
B(ρ) dρ =
[j(r) − j(0)]
γω
0
On obtient l’expression de B(r) en dérivant par rapport à r, borne supérieure de l’intégrale, soit
i dj
B(r) =
γ ω dr
On ne change pas uneI équipe qui gagne ; reprenons
ZZla méthode précédente en appliquant
→
− →
−
→
− −
→
le théorème d’Ampère
B · dl = µ0 Ienlacée = µ0
j · dS à une surface Σ respectant
Γ
→
−
→
− Σ
la symétrie de E c’est-à-dire perpendiculaire à E donc dans un plan perpendiculaire à
→
−
l’axe et à une courbe Γ respectant celles de B donc orthoradiale. On prendra donc comme
contour d’intégration un cercle d’axe Oz et de rayon r.
Le calcul de la circulation est de routine
I
→
− →
−
B · dl = 2 π r B(r)
Γ
Pour calculer l’intensité enlacée, on découpe le disque en petites couronnes élémentaires
de rayon ρ et ρ + dρ, d’où :
ZZ
Z r
→
− −
→
j · dS =
j(ρ) 2 π ρ dρ
Σ
0
Le théorème d’Ampère puis, après simplification par 2 π, la dérivation par rapport à
la borne supérieure r de l’intégrale conduisent à :
Z r
µ0
j(ρ) 2 π ρ dρ = 2 π r B(r)
0
46
Z
r
j(ρ) ρ dρ = r B(r)
µ0
0
d
[r B(r)]
dr
1 d
dB
1 1
1
dB
j(r) =
B(r) + r
=
[r B(r)] =
B(r) +
µ0 r dr
µ0 r
dr
µ0 r
dr
µ0 j(r) r =
i dj
et l’on obtient l’équation différentielle linéaire homogène
γ ω dr
à coefficients non constants :
1 dj
i
d2 j
j(r) =
+
µ0 γ ω r dr dr2
On y reporte B(r) =
1 dj
d2 j
+
+ i µ0 γ ω j(r) = 0
2
dr
r dr
j 00 (r) +
1 0
j (r) + i α j(r) = 0
r
avec
α = µ0 γ ω
Ce type d’équation revient de façon récurrente en physique dès que l’on aborde un
problème à symétrie de révolution. Ces solutions sont des fonctions de Bessel et il existe
une abondante littérature sur ce sujet. Par ailleurs, quand un physicien est perplexe devant
une équation différentielle, il lui est loisible de s’adresser à un mathématicien : ce sont
gens affables et toujours prêts à rendre service. Est-ce à dire qu’il est inutile d’avoir des
compétences en équations différentielles en particulier et en mathématiques en général ? Je
ne le pense pas.
Il me paraît essentiel de savoir qu’une équation linéaire d’ordre deux a pour solutions un
espace vectoriel de dimension deux et que, dès lors, connaître deux solutions indépendantes
permet de construire toutes les autres.
Il me semble aussi utile de savoir rechercher une solution sous forme de série entière
car celle-ci se prête admirablement à un calcul numérique dans n’importe quel langage de
programmation.
Donc, je cherche
j(r) = a0 + a1 r + a2 r2 + · · · + an rn + · · ·
On en tire
j 0 (r) = a1 + 2 a2 r + · · · + n an rn−1 + · · ·
j 00 (r) = 2 a2 + · · · + n (n − 1) an rn−2 + · · ·
j 00 (r) +
1 0
a1
j (r) =
+ 4 a2 + · · · + n2 an rn−2 + · · ·
r
r
47
L’identification terme à terme avec − α j(r) conduit à
∀n > 2 n2 an = − α an−2
a1 = 0
La récurrence relie les termes de 2 en 2 ; a1 est nul donc tous les termes impairs. La
solution normalisée par a0 = 1 a pour coefficients pairs
a2 p =
(− α)p
22 42 62 · · · (2 p)2
d’où la fonction
F (r) =
=
∞
X
0
(− α)p
22 p (p!)2
1
(p!)2
− α r2
4
p
On peut montrer (mais là, il vaut mieux faire appel à un ami) qu’il existe une autre
solution G(r) qui diverge en r = 0. j(r) est de la forme λ F (r) + ν G(r). Comme j(0) est
fini, il faut que ν soit nul ; comment calculer λ ? Tout simplement en fonction de l’intensité
I exp( ω t) : comme à la question 3, l’on a
Z R
Z R
j(ρ) 2 π ρ dρ = λ
F (ρ) 2 π ρ dρ
I=
0
0
La série entière s’intègre terme à terme et le résultat se présentera sous forme d’une
série entière en R qui se prêtera à un calcul informatisé.
A la fréquence du secteur (50 Hz) pour un fil de cuivre d’environ 1 mm de rayon, on a
µ0 = 4 π 10−7 ∼ 10−6
γ = 6, 7 · 107 Si · m−1 ∼ 108
ω = 100 π ∼ 102
r = 1 mm ∼ 10−3
α R2 /4 ∼ 10−2 1
On peut donc limiter le développement en série à ses deux premiers termes, on a par
exemple
j(0) = λ
et
j(R) ≈ λ 1 −  α R2 /4
p
|j(R)|
= |1 −  α R2 /4| = 1 + (α R2 /4)2 ≈ 1 + α2 R4 /32
|j(0)|
C’est dire que j est uniforme à mieux que 10−4 près.
Remarque : on peut tirer parti de cette étude pour étudier le champ dans un condensateur plan en régime sinusoïdal.
48
3.b
Onde propagative dans un guide d’onde.
Un guide d’onde est modélisé par un tube creux, réalisé en un métal parfait (cf paragraphe 1.c p. 10), d’intérieur vide (en pratique de l’air), de longueur infinie dans la direction
de Ox, de section rectangulaire (on parle du creux) comprise entre deux plans métalliques
parfaits y = 0 et y = a d’une part, z = 0 et z = b d’autre part.
On peut espérer qu’une onde électromagnétique puisse se propager dans le vide dans
la direction de Ox. On peut se contenter de n’étudier qu’une des composantes polarisées
rectilignement (l’autre se traiterait de la même façon), bien sûr parallèlement à l’un des
coté de la section rectangulaire. On recherche donc des ondes de la forme :
→
−
−
E = f (y, z) cos(ω t − k x) →
ez
→
−
Grâce à l’équation de Maxwell-Gauss (div E = 0 dans le vide), on montre quasiinstantanément que f ne dépend pas de z, d’où :
→
−
−
E = f (y) cos(ω t − k x) →
ez
−
→
−→ →
−
Grâce à celle de Maxwell-Faraday (rot E = − ∂∂tB ), on tire
au terme sinusoïdal :
−
→
∂B
∂t
puis, en se limitant
→
−
1
k
−
−
B = − f 0 (y) sin(ω t − k x) →
ex − f (y) cos(ω t − k x) →
ey
ω
ω
en épargnant le détail des calculs au lecteur. On vérifie que ce champ est conforme à
la première équation de Maxwell en calculant sa divergence qui s’avère nulle (les calculs
sont aisés). On remarque que ce champ magnétique n’est pas transversal, c’est-à-dire pas
orthogonal à la direction de propagation ; une telle onde est dite transverse électrique et
→
−
→
−
bien sûr il existe des ondes transverses magnétiques où B est transversal mais pas E .
−
→
−→ →
−
Grâce enfin à l’équation de Maxwell-Ampère (rot B = c12 ∂∂tE dans le vide), on
montre rapidement que f (y) vérifie l’équation différentielle suivante de façon brute puis
simplifiée :
−
k2
1
ω
f (y) sin(ω t − k x) + f 00 (y) sin(ω t − k x) = − 2 f (y) sin(ω t − k x)
ω
ω
c
2
ω
f 00 (y) = −
− k 2 f (y)
c2
Or sur les plans y = 0 et y = a, le champ électrique tangentiel doit s’annuler (voir
définition du métal parfait et relations de passage), donc Ex qui est nul par hypothèse et Ez ;
on a donc f (0) = f (a) = 0 et l’on retrouve une problématique de type corde vibrante (voir
chapitre D-II). Ceci impose des solutions sinusoïdales à l’équation précédente, ce qui impose
49
k < ωc . Nous nous limiterons dans la suite au mode fondamental soit f (y) = E0 sin
d’où respectivement :
π y →
−
−
cos(ω t − k x) →
ez
E = E0 sin
a
πy
a ,
π y π y →
−
π
k
−
−
B =−
E0 cos
sin(ω t − k x) →
ex − E0 sin
cos(ω t − k x) →
ey
aω
a
ω
a
Remarque : sur les plans y = 0 et y = a, le champ magnétique tangentiel, soit By doit
s’annuler ce qui ne pose pas de problème avec le facteur sin πay . Sur les plans z = 0 et
z = b, doivent s’annuler Ex (déjà nul partout), Ey (idem) et Bz (idem) et ils le font.
2
Si l’on reporte f (y) = E0 sin πay dans l’équation f 00 (y) = − ωc2 − k 2 f (y), on en
déduit l’équation de dispersion :
ω2
π2
=
− k2
a2
c2
que l’on peut mettre sous la forme :
k2 =
avec ωc =
fc = 2ca .
πc
a
ω 2 − ωc2
c2
qui est une pulsation de coupure correspondant à la fréquence de coupure
Puisque l’on reconnaît le type d’équation de dispersion obtenue au paragraphe 1.d p. 11
pour un plasma, nous ne reprendrons pas le calcul des vitesses de phase et de groupe.
Application numérique : si a= 2 cm (dix fois plus petit, c’est trop fragile et dix fois
plus grand, trop encombrant), fc = 7, 5 GHz
Perspectives :
−
→ −
→
→
−
– On peut calculer le vecteur de Poynting Π = Eµ∧0B puis la puissance qui traverse
Ra Ra
une section droite par P = 0 0 Πx dy dz.
– On peut fermer le guide d’onde par deux plans métalliques parfaits x = 0 et x = L
et l’on réalise ainsi une cavité électromagnétique. On trouve alors des ondes stationnaires superposition d’ondes progressives directe et indirecte avec pour le fondamental k L = π, ce qui fixe la valeur de ω
– On peut coupler la méthode utilisée dans ce paragraphe et celle du précédent pour
étudier un câble coaxial, voire une fibre optique (ce sera sportif).
Remarque : l’intérêt du guide d’onde est que l’onde qui y circule est protégée des
influences extérieures par le métal parfait (par le métal réel si son épaisseur est grande
devant celle de l’effet de peau). Deux guides d’onde placés côte-à-côte peuvent alors utiliser
les mêmes fréquences porteuses pour deux modulations différentes ; il en est de même pour
les câbles coaxiaux et les fibres optiques.
50
3.c
Application aux ferromagnétiques. Exemple de l’électro-aimant.
Il ne s’agit pas ici d’un problème d’ondes électromagnétiques, mais d’une conséquence
des relations de passage. Sa place naturelle eût été le chapitre C-XII au paragraphe sur le
ferromagnétisme, mais ce chapitre est dejà bien long et y mettre cet exemple eût nécessité
aussi un rappel de lois de passage, donc un allongement non négligeable.
• Canalisation des lignes de champ.
Considérons une ligne de champ magnétique qui traverse la surface d’un matériau
ferromagnétique placé dans l’air. Du côté du ferromagnétique, elle fait un angle θ1 avec
→
−
→
−
la normale et du côté de l’air un angle θ2 . La continuité de B N et de H T (même si le
ferromagnétique est aussi conducteur, on se place dans le cadre d’un métal réel et il n’y
a pas de courant libre surfacique, cf supra) conduit, en notant B et H les modules (les
→
−
→
−
normes) de B et H , à :
(
B1 cos θ1 = B2 cos θ2
H1 sin θ1 = H2 sin θ2
2
Dans l’air, dont les propriétés magnétiques sont négligeables, on a H2 = B
µ0 (ce qui
correspond à µr = 1). Dans le ferromagnétique, c’est beaucoup plus compliqué (nonlinéarité et hystérésis), aussi nous placerons-nous dans le cas le plus simple, les autres
donnant qualitativement le même résultat en compliquant la mise en forme de l’explication.
Dans le chapitre C-XII, nous avons vu qu’un cycle d’hystérésis à faible champ coercitif et à
condition de ne pas s’approcher de la saturation pouvait être, de façon pas trop mauvaise,
être approximé par une droite correspondant à une perméabilité relative µr de l’ordre de
103 . On peut donc réécrire, avec µ1 et µ2 pour les µr du ferromagnétique et de l’air, et
après simplification par µ0 :
(
B1 cos θ1 = B2 cos θ2
B1
B2
µ1 sin θ1 = µ2 sin θ2
d’où par division membre à membre :
tan θ2
tan θ1
=
µ1
µ2
Avec µ1 = 1 et µ2 ∼ 103 , de deux choses l’une :
– ou bien θ2 n’est pas trop petit (disons supérieur à 1˚), donc sin θ2 non plus, alors θ1
est très grand et θ1 proche de 90˚; dans le ferromagnétque, la ligne de champ court
presque parallèlement à la surface ; on dit que le ferromagnétique canalise le champ ;
– ou bien θ1 n’est pas proche de 90˚ et alors θ2 est très petit et la ligne de champ sort
de ferromagnétique orthogonalement à la surface.
51
• Un modèle simple d’électroaimant.
Considérons un tore d’axe Oz, de grand rayon R, de petit rayon a, réalisé dans un
matériau ferromagnétique, assimilé à un matériau magnétique linéaire de perméabilité
µr ∼ 103 . On le scie en deux dans le plan x = 0 et l’on décale la partie droite (x > 0) d’une
longueur x, petite devant a par une translation parallèle à Ox. La partie gauche (x < 0)
est entourée d’un bobinage de N spires parcourues par un courant I. La figure 8 p. 52
rappelle tout cela.
!
B
!
B
!
I
!
N
R
!
!
a
!
e
!
Figure 8 – Modèle d’électroaimant.
!
→
−
Le champ magnétique B est canalisé par le tore et ses lignes de champ sont quasiment
des cercles d’axe Oz, sauf entre les deux moitiés, dans l’entrefer où le champ sort puis
rentre dans le ferromagnéique de façon orthogonale et où l’on peut, aux effets de bord
près, considérer les lignes de champ comme rectilignes. Dans ce contexte, un tube de champ
→
−
élémentaire a une section constante et le champ magnétique B est donc uniforme sur la
−
→
→
−
→
−
ligne de champ puisqu’il est à flux conservatif. Enfin, le vecteur H est égal à H air = µB0
−
→
→
−
dans l’entrefer ou H f erro = µ0Bµr .
→
−
Le théorème d’Ampère (sous sa forme avec H ) appliqué à une ligne de champ formée
de deux demi-cercles de rayon r (compris entre R − a et R + a) et deux segments de droites
de rayon conduit à :
I
→
− →
−
→
−
→
−
2B
πr
N I = Ilib,enlac. = H · d` = 2 H f erro π r + 2 H air x =
x+
µ0
µr
d’où
B(r) =
µ0 N I
2 x + 2µπrr
52
Remarque : on a supposé ici l’absence de courant libre dans le ferromagnétique, soit
que c’est un oxyde non conducteur, soit que c’est un métal et que le courant I est continu
et ne génère aucun courant par induction.
Calculons maintenant l’énergie magnétique, courants liés compris. Dans chaque entrefer
−
→2
de volume S x = π a2 x, la densité volumique d’énergie est 2Bµ0 et dans le tore de volume
−
→2
L S = 2 π R π a2 , elle est 2 µB0 µr . L’énergie totale, en confondant B(r) avec B(R) car le
rayon variable r intervient dans un terme négligeable, est donc :
→
−2 B
L
E=
+ 2x S =
2 µ0 µr
µ0 N 2 I 2
2
2 µLr + 2 x
L
µ0 N 2 I 2 S
+ 2x S = µr
2 µLr + 2 x
On peut en déduire la force qui s’exerce sur la moitié droite
du tore décalée de x selon
Ox par la formule piégeante au signe inhabituel F = + dE
dx I (voir chapitre C-VII sur
l’induction ; on dérive à courant I constant), d’où :


dE
d  µ0 N 2 I 2 S 
µ N 2 I2 S
= − 0
F (x) =
=
2
dx
dx 2 L + 2 x
L
+
2
x
µr
µr
et en particulier, quand les deux moitiés sont en contact (x = 0) :
F (0) = −
µ0 µ2r N 2 I 2 S
L2
Application numérique, un peu arbitraire mais pas du tout irréaliste : avec comme
données µ0 = 4 π 10−7 ∼ 10−6 SI, µr ∼ 103 , N = 103 , I = 1 A, S = 10−2 m−2 et L = 1 m,
on trouve |F (0)| ∼ 104 N, de quoi soulever une tonne.
53