Limite

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Enoncés
1
Limite
Exercice 1 [ 01735 ] [correction]
Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes :
x2 + xy + y 2
x2 + y 2
x2 y 2
d) f (x, y) = 2
x + y2
xy
+ y2
x2 y
c) f (x, y) = 2
x + y2
a) f (x, y) =
b) f (x, y) =
x2
Exercice 2 [ 01736 ] [correction]
Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes :
a) f (x, y) =
x3
y
b) f (x, y) =
x + 2y
x2 − y 2
c) f (x, y) =
x2 + y 2
|x| + |y|
Exercice 3 [ 00068 ] [correction]
Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes :
sin xy
a) f (x, y) = p
x2 + y 2
c) f (x, y) = xy = ey ln x
1 − cos(xy)
xy 2
shxshy
d) f (x, y) =
x+y
b) f (x, y) =
Exercice 4 [ 01737 ] [correction]
Soit f : R → R une fonction de classe C 1 et F : R2 \ {(0, 0)} → R définie par
F (x, y) =
Déterminer
lim
f (x2 + y 2 ) − f (0)
x2 + y 2
F (x, y).
(x,y)→(0,0)
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Corrections
2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) f (0, 1/n) = 0 → 0 et f (1/n, 1/n) = 1/2 → 1/2. Pas de limite en (0, 0).
b) f (1/n, 0) → 1 et f (1/n, −1/n) → 1/2. Pas de limite en (0, 0).
1
c) |f (x, y)| = |x| x2|xy|
+y 2 6 2 |x| −−−−−−−→ 0 ou
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = r cos2 θ sin θ −−−−−−−→ 0.
(x,y)→(0,0)
xy 1
d) |f (x, y)| 6 |xy| x2 +y2 6 2 |xy| → 0 ou f (x, y) = r2 cos2 θ sin2 θ −−−−−−−→ 0.
(x,y)→(0,0)
Exercice 2 : [énoncé]
a) f (0, 1/n) → 0 et f (1/n, 1/n3 ) → 1. Pas de limite en (0, 0)
b) f (0, −1/n) = 2n → +∞ et f (0, 1/n) = −2n → −∞. Pas de limite en (0, 0).
c) 0 6 f (x, y) 6 21 |xy| → 0 ou f (r cos θ, r sin θ) = O(r2 ).
Exercice 3 : [énoncé]
a) |f (x, y)| 6 √ |xy|
= r |sin θ cos θ| −−−−−−−→ 0
2
2
b) f (x, y) =
x +y
1−cos(xy)
x x2 y 2
or
t
lim 1−cos
t2
t→0
(x,y)→(0,0)
= 12 donc f (x, y) −−−−−−−→
(x,y)→(0,0)
0.
c) f (1/n, 0) → 1 et f (1/n, 1/ln n) → 1/e. Pas de limite en (0, 0).
d) Quand x → 0, f (x, −x + x3 ) ∼ − x1 . La fonction f n’a pas de limite en (0, 0).
Exercice 4 : [énoncé]
Par le théorème des accroissements finis, il existe cx,y ∈ 0, x2 + y 2 tel que
F (x, y) = f 0 (c).
Quand (x, y) → (0, 0) alors cx,y → 0 puis F (x, y) → f 0 (0).
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