Séries numériques

Séries numériques
Exercice 1. Étude de convergence
Étudier
des séries de terme général :
la convergence
n
1) 1 + 1
− e.
2) chα n − shα n.
n
√
3
√
n
n
+
1
n
4) n + 1 − n.
5) arccos
.
n3 + 2
(−1)n
(−1)n
7) √ 2
.
8)
.
ln n
n +n
2.4.6 . . . (2n)
10)
.
11) 1! + 2! + . . . + n! .
nn
(n + 2)!
s
n
(−1)
(−1)n
13)
.
14) 1 + √
− 1.
ln n + sin(2nπ/3)
n
(−1)[
16)
n
√
n]
.
17)
(ln n)n
.
nln n
3) 2 ln(n3 + 1) − 3 ln(n2 + 1).
an .
1 + a2n
√
1 + (−1)n n
9)
.
n
12) 1! − 2! + . . . ± n! .
(n + 1)!
6)
(−1)n
15) √
.
n + (−1)n
18)
1
.
(ln n)ln n
Exercice 2. Centrale PC 1999
Soit la suite dePterme général : un = (n4 + n2 )1/4 − P (n)1/3 où P est un polynôme. A quelle condition
sur P la série
un converge-t-elle ?
Exercice 3. Ensi PC 1999
(−1)n
Quelle est la nature de la série de terme général ln 1 + p
?
n(n + 1)
Exercice 4. Mines MP 2000
P
(−1)n
Soit α > 0. Étudier la série
un , avec un = p α
.
n + (−1)n
Exercice 5. Mines MP 2003
P
Si α > 0, donner la nature des séries n>2
P
P
(−1)n
(−1)n
,
ln
1
+
et n>2 1 .
n
α
α
n>2
(−1) + n
n
n ln n
Exercice 6. Ensi PC 1999
P
u
Soit (un ) une suite réelle telle que 2n+1 −→ a et u2n −→ b. Étudier la convergence de
un .
n→∞
n→∞
u2n
u2n−1
Exercice P
7. Encadrement
P
P
P
P
Soient
un ,
vn , Pwn trois séries réelles telles que
un et
wn convergent, et un 6 vn 6 wn pour
tout n. Montrer que
vn converge.
Exercice 8. Calcul approché n
P∞
Montrer que la série n=1 n sin(0.4/n) converge. Calculer à la machine une valeur approchée à 10−8
près de sa somme.
Exercice 9. Ensi MP 2002
Pn
On suppose que la série à termes positifs de terme général un est divergente et on pose Sn = k=0 uk .
Soit f : R+ → R+ une application continue décroissante. Comparer les énoncés :
1. f est intégrable
2. La série de terme général un f (Sn ) converge.
Exercice 10. Centrale P
P’ 1996 2
∞
n
Montrer que la série n=1
converge. Calculer une valeur approchée à 10−4 près de sa somme.
(1 + n2 )2
numériques.tex – mercredi 3 août 2016
Exercice 11.
2n
n
/n4n
2n
n
n
L’une au moins des deux séries :
P
n4
et
P n4n
2n diverge. Dire pourquoi et dire laquelle.
n
2
Exercice 12. 1/(1 + n un ), Mines-Ponts MP 2005
P
P
1
Soit (un ) une suite réelle positive et vn =
. Montrer que
un converge ⇒
vn diverge.
1 + n2 un
P
Étudier le cas où
un diverge.
Exercice 13. an /(1 + a1 )(1 + a2 ) . . . (1 + an )
an
Soit (an ) une suite réelle positive. On pose un =
.
(1
+
a
)(1
+
a2 ) . . . (1 + an )
1
P
1) Montrer que la série
un converge.
P∞
2) Calculer n=1 un lorsque an = √1 .
n
Exercice 14. 1/anb de chiffres de n
Pour n ∈ N∗ on note pn le nombre de chiffres de l’écriture décimale de n (sans zéros inutiles). Soit a > 0.
P∞
Étudier la convergence et déterminer la somme éventuelle de la série k=1 1pk .
a
Exercice 15. Cauchy-Schwarz
P 2
P 2
Soient (un ), (vn )P
deux suites réelles telles que
un et
vn convergent.
1) Montrer que P un vn converge.
pP
pP
pP
2) Montrer que (un + vn )2 converge et :
(un + vn )2 6
u2n +
vn2 .
Exercice 16. (−1)n /(n3/4 + cos n)
(−1)n
Soit un = 3/4
.
nP + cos n
1) La série
un est-elle absolument convergente ?
P
(−1)n
2) En écrivant un = 3/4 + vn , étudier la convergence de
un .
n
Exercice 17. Reste d’une série alternée
P∞ (−1)k
P
On pose un = k=n √
. Étudier la convergence de la série
un .
k+1
Exercice 18. Calcul de sommes
Calculer
P∞ les sommes des séries suivantes : P∞
1
1) k=2 2 1 .
2) k=1
.
k −1
k(k
+
1)(k
+ 2) P∞
P∞
1
2
4) k=0 3
.
5) k=1 ln 1 +
.
k + 8k 2 +17k + 10
k(k + 3)
P∞
P∞
7) k=0 ln cos αk .
8) k=0 2−k tan(2−k α).
2
P∞ n n
P∞
xk
10) n=p p x .
11) k=1
.
k
(1 − x )(1 − xk+1 )
Exercice 19.
Convergence et somme de la série de terme général un =
1
.
k(k
+
1)
.
.
. (k + p)
P∞
6) k=2 ln 1 − 12 .
k
P∞ 2k 3 − 3k 2 + 1
9) k=0
.
(k + 3)!
P∞ k − n[k/n]
12) k=1
.
k(k + 1)
3)
P∞
k=1
√
√
b n + 1c − b nc
.
n
Exercice 20. Chimie P 90
1) Résoudre les équations différentielles : y 00 + 2y 0 + 2y = 0, y 00 + 4y 0 + 4y = 2e−x cos x.
R (n+1)π
2) Soit
P f la solution commune. On définit la série de terme général un = x=nπ f (x) dx. Montrer que
un converge et calculer sa somme.
Exercice 21. 1/n2 (n + 1)2
2
P∞
P∞
On admet que k=1 12 = π . Calculer k=1 2 1
.
k
6
k (k + 1)2
numériques.tex – page 2
Exercice 22. 1/(12 + 22 + ... + n2 )
P∞ (−1)k+1
P∞
1
On admet que k=1
= ln 2. Montrer que la série k=1 2
est convergente et
k
1 + 22 + . . . + k 2
calculer sa somme.
Exercice 23. ln(n) + a ln(n + 1) + b ln(n + 2)
Pour quelles valeurs de a, b ∈ R la série de terme général ln(n)+a ln(n+1)+b ln(n+2) est-elle convergente ?
Calculer alors la somme de la série.
Exercice 24. arctan(1/(k 2 + k + 1))
P∞
Montrer que k=0 arctan 2 1
= π (on pourra calculer tan sn ).
k +k+1
2
Exercice 25. arctan(n + a) − arctan n
Soit a ∈ R.
1) Montrer que la série
P∞ de terme général arctan(n + a) − arctan n est convergente.
2) On pose S(a) = k=0 (arctan(k + a) − arctan k). Trouver lima→+∞ S(a).
Exercice 26. Pile en porte à faux
Peut-on empiler 100 pièces de 1e de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (cad que
sa projection sur un plan horizontal ne rencontre pas la projection de la première pièce)
P
Exercice 27.
1/n, Mines MP 2010
Pk
On définit kj = min{k ∈ N tq
n=1 1/n > j}.
1) Prouver l’existence de kj . Quelle est la limite de kj lorsque j tend vers l’infini ?
2) Calculer limj→∞ (kj+1 /kj ).
Exercice 28. Recherche d’équivalents
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de :
P2n
1) k=n+1 √1 .
k
Pn
1
2) k=2
.
k ln k
Exercice 29. ln2 (k)
Pn
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de un = k=1 ln2 k. La série de terme général
1 est-elle convergente ?
un
Exercice 30. k −2/3
P109
Trouver la partie entière de k=1 k −2/3 .
√
k
Exercice 31. (−1)
√
P2nk
On pose un = k=1 (−1)k k. Donner un équivalent de un quand n → ∞ (regrouper les termes deux
par deux puis comparer à une intégrale).
Exercice 32. Constante d’Euler
Soit f : R+ → R+ décroissante. On pose un = f (n) et sn = u0 + . . . + un .
R n+1
Montrer que la suite de terme général sn − t=0 f (t) dt est convergente. Donner une interprétation
graphique de ce fait.
1
1
Application : On pose γ = limn→∞ 1 + + . . . + − ln n . Justifier l’existence de γ et montrer que
2
n
1 6 γ 6 1.
2
Exercice 33. Constante d’Euler (Centrale MP 2003)
Pn−1
Pn−1
Soit Sn = k=1 1 − 1 − ln n et Tn = k=1 1 + 1 − ln n. Les suites (Sn ) et (Tn ) sont-elles adjacentes ?
k n
k n
numériques.tex – page 3
Exercice 34. Constante d’Euler, Mines-Ponts MP 2005
Pn u
Soit un,k le reste de la division du n par k. Quelle est la limite de 1 k=1 n,k ?
n
k
Exercice 35. Mines MP 2003
Soit la suite de terme général un = ln 2 + ln 3 + . . . + ln n .
2
3
n
1) Donner un équivalent de un en +∞.
2
2) Montrer que la suite de terme général : vn = un − ln n est convergente.
2
3) Soit ` = limn→∞ vn . Donner un équivalent de vn − `.
Exercice 36. Centrale MP 2001 P
n−1
Donner un équivalent simple de k=0
1
.
n2 − k 2
Exercice 37. 1/n ln2 (n)
1 .
1) Prouver la convergence de la série de terme général un =
n ln2 n
Pn
P∞
1
2) On note Sn = k=2 uk et S = k=2 uk . Montrer que
6 S − Sn 6 1 pour n > 2.
ln(n + 1)
ln n
3) Montrer que si Sn est une valeur approchée de S à 10−3 près alors n > 10434 .
4) On suppose disposer d’une machine calculant un million de termes de la série par seconde avec 12
chiffres significatifs. Peut-on obtenir une valeur approchée de S à 10−3 près ? (Rmq : 1 an ≈ 32
millions de secondes)
5) Donner une valeur approchée de S à 10−3 près.
Exercice 38. (x − 1)ζ(x) → 1
P∞
Pour x > 1 on note ζ(x) = k=1 1x . En comparant ζ(x) à une intégrale, trouver limx→1+ (x − 1)ζ(x).
k
Exercice
P 39. un /(1 + un )
Soit
un une série à termes positifs et vn =
un . Montrer que P u et P v ont même nature.
n
n
1 + un
Exercice 40. Série des restes
P
P
P∞
1) Soit (un ) une suite réelle telle que
|un | et
n|un | convergent. On note vn = k=n uk .
a) Montrer que nvn −→ 0.
P∞n→∞ P∞
b) Montrer que n=1 vn = n=1 nun .
P∞
k
2) Application : Calculer lorsque c’est possible :
k=1 kr .
Exercice 41. X MP∗ 2001
Pn
Un −→ α.
Soit (un ) une suite réelle positive, Un =
i=0 ui et α > 0 un réel donné. On suppose
nun n→∞
Pn
Étudier la suite de terme général 21
kuk .
n un k=0
P
Exercice 42.
nun converge
P
P
On considère une suite (un )n>1 telle que la série n>1 nun converge. Montrer que la série n>1 un
converge.
Exercice 43. (un ) décroit
P
Soit (un )n>1 une suite réelle positive décroissante telle que
un converge.
P2n
1) Montrer que nun −→ 0 (considérer k=n+1 uk ).
P∞ n→∞
P∞
2) Montrer que n=1 n(un − un+1 ) converge
somme que n=1 un .
P∞et a même
P
∞
k
2 k
3) Application : calculer pour 0 6 r < 1 :
k=1 kr et
k=1 k r .
numériques.tex – page 4
Exercice 44. un /Sn
Pn
Soit (un ) une P
suite à termes strictement positifs convergeant
vers 0. On pose Sn = k=0 uk .
P un
1) Si la série
un converge, que dire de la série
?
S
P
P unn
2) Si la série
un diverge, montrer que la série
diverge aussi.
Sn
Qn
On pourra considérer pn = k=1 1 − uk .
Sk
Exercice 45. Polytechnique MP∗ 2000
On donne une suite de réels strictement positifs (an ), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série
a − an+1
de terme général n
diverge.
an
Exercice 46. (un + un+1 + . . . + u2n−1 )/n
P
P
u + un+1 + . . . + u2n−1
Soit un une série à termes positifs. On pose vn = n
. Montrer que vn a même
n
P
nature que
un .
P
Exercice 47.
kuk /n(n + 1)
Pn
P
P
1
Soit (un )n>1 une suite positive. On pose vn =
un et
vn
k=1 kuk . Montrer que les séries
n(n + 1)
ont même nature et éventuellement même somme.
P
Exercice
kuk /n2
P 48.
Soit
un une série à termes positifs convergente.
Pn
Étudier la convergence de la série de terme général vn = 12 k=1 kuk .
n
Exercice 49. Principe d’accumulation
P
n
Soit
un et
P (un ) une suite réelle positive décroissante. On pose vn = 2 u2n . Montrer que les séries
vn ont même nature.
Applications :
P 1
– Retrouver la convergence des séries de Riemann
.
nα
P
1
– Étudier la convergence des séries de Bertrand :
.
n(ln n)α
Exercice 50. un+1 = 1/neun . Ensi P 90
Soit (un ) définie par : u1 ∈ R, un+1 =
1 . Quelle est la nature de la série P u ?
n
neun
Exercice 51. xn+1 = xn + x2n
Soit (xn ) une suite définie par : x0 > 0 et ∀ n ∈ N, xn+1 = xn + x2n .
1) Montrer que xn −→ +∞.
n→∞
2) On pose un = 2−n ln xn . Montrer que la suite (un ) est convergente (on étudiera la série
n
3) En déduire qu’il existe α > 0 tel que xn ∼ α2 .
Exercice 52. un+1 = un − u2n
On considère la suite (un ) définie par : 0 < u0 < 1 et ∀ n ∈ N, un+1 = un − u2n .
1) Montrer que la suite (un ) converge. Quelle est sa limite ?
2) Montrer que la série de terme général u2n converge.
un+1
3) Montrer que les séries de termes généraux ln
et un divergent.
un
4) Montrer que un < 1 et que la suite (nun ) est croissante. On note ` sa limite.
n+1
`
−
v
n . Montrer que la série de terme général v
5) On pose un =
n+1 − vn converge.
n
6) En déduire que un est équivalent à 1 .
n
numériques.tex – page 5
P
un+1 − un ).
Exercice 53. un+1 /un = (n + a)/(n + b)
u
Soit (un ) une suite définie par la donnée de u0 ∈ R∗ et la relation : ∀ n ∈ N, n+1 = n + a où a, b sont
un
n+b
deux constantes réelles (−a, −b ∈
/ N).
1) Montrer que un est de signe constant à partir d’un certain rang.
2) On pose vn = (n + b − 1)un . Étudier la convergence de la suite (vn ) (on introduira la série de terme
général ln(vn+1 ) − ln(vnP
)).
3) En déduire que la série
un converge si et seulement si a − b + 1 < 0 et calculer sa somme en fonction
de a, b, u0 .
Exercice 54.
On se donne u1 et a deux réels strictement positifs et l’on définit par récurrence la suite (un ) par
un+1 = un + a1 . . . Étudiez la limite de la suite (un ), et, quand a 6 1, en donner un équivalent.
n un
Exercice 55. 1/k α (n − k)α
Pn−1
Soit α > 0. On pose un = k=1
P
1
un .
α . Étudier la convergence de
k (n − k)
α
Exercice P
56. Produit
de Cauchy de trois séries
P
P
Soient
an , Pbn ,
cn trois séries absolument
P convergentes de sommes A, B, C.
On pose un = i+j+k=n ai bj ck . Montrer que
un = ABC.
Exercice 57. Produit de séries géométriques
1
Soient a ∈ [0, 1[. Écrire
comme produit de deux séries. En déduire la somme de la série
(1 − a)2
P∞
P∞ 2 k
k
k=0 ka . Calculer par la même méthode
k=0 k a .
Exercice 58. Produit de séries géométriques
Pour n ∈ N on note Tn le nombre de manières de décomposer n euros avec des pièces de 1e et 2e et des
P∞
1
billets de 5e et 10e (T0 = 1). Montrer que : ∀ x ∈ [0, 1[, k=0 Tk xk =
.
(1 − x)(1 − x2 )(1 − x5 )(1 − x10 )
P
Exercice 59.
uk /2n−k
P
u
Soit
un une série convergente. On pose vn = un + n−1 + . . . + un0 .
1
2
2
1) Montrer que vn −→ 0.
P n→∞
2) Montrer que
vn converge et donner sa valeur.
P
Exercice 60.
an /np = 0
P∞ an
Soit (an ) une suite bornée telle que pour tout entier p > 2 :
n=1 p = 0.
n
Montrer que : ∀ n ∈ N∗ , an = 0.
P
Exercice
xkn = 0
P 61.
P∞
Soit n>1 xn une série absolument convergente telle que pour tout entier k > 1 on a n=1 xkn = 0.
Montrer que : ∀ n ∈ N∗ , xn = 0.
Exercice 62. Césaro
1) Soient k, p ∈ N avec k 6 p. Montrer que
Pp
n
k
n=k
2) Soit (un ) une série convergente. On pose vn =
gente.
1
2n
n
p+1
− k+1
k+1
=
.
2n
2p
Pn
n
p=0 p up . Montrer que la série (vn ) est conver-
Exercice 63. nun → 0
Soit (un ) une série convergente à termes positifs décroissants.
1) Montrer que nun −→ 0.
P n→∞
2) Montrer que uk >1/n 1 = o(n2 ).
uk
numériques.tex – page 6
Exercice 64. un /Rnp
P∞
P∞
Soit (an ) une série positive convergente,PA = k=0 ak , Rn = k=n ak et p ∈ ]0, 1[.
∞
1) Montrer qu’il existe Cp ∈ R tel que n=0 an /Rnp 6 Cp A1−p .
2) Trouver la meilleure constante Cp .
Exercice 65. un+1 = un + an /un
Soit (an ) une suite réelle positive et (un ) la suite définie par la relation de récurrence : un+1 = un + an
un
P
avec u0 > 0. Montrer que la suite (un ) converge si et seulement si la série
an converge.
Exercice 66. Raabe-Duhamel
Soit (un ) une suite réelle positive telle que
un+1
= 1− α +O
un
n
1 . Montrer qu’il existe A > 0 tel que
n2
un ∼ Aα .
n
Exercice 67. Stirling++
n
√
Montrer que n! = n
2πn 1 + 1 + O 12
.
e
12n
n
Exercice 68. Développement factoriel
Soit S l’ensemble des suites croissantes d’entiers (qi ) telles que q0 > 2.
P∞
1
1) Si s = (qi ) ∈ S, montrer que la série k=0
converge. On note Φ(s) sa somme.
q0 . . . qk
2) Montrer que l’application Φ : S →]0, 1] est bijective.
3) Soit s = (qi ) ∈ S. Montrer que Φ(s) ∈ Q si et seulement si s est stationnaire.
Exercice 69. Développement asymptotique
Pn
1) Montrer qu’il existe C ∈ R tel que k=1 ln k = 1 ln2 (n) + C + o(1).
k
2
R 3 ln t
R 3 ln t
ln
2
ln
2
ln
3
2) Prouver :
− t=1
dt 6 C 6
+
−
dt.
2
t
2
3 t=1 t
Pn ln k
3) Prouver :
= 1 ln2 (n) + C + ln n + o ln n .
k=1
k
2
2n
n
Exercice 70.
Soit (un ) une suite de complexes telle que u1 + . . . + un −→ ` ∈ C.
n→∞
n
u
u
1
1
n
Montrer que
+ ... +
−→ `.
ln(n) 1
n n→∞
Exercice 71.
Soit (un ) une suite de complexes qui converge
au sens de Césaro vers zéro.
Pn
uk
Étudiez la suite de terme général vn = k=0
...
n+k+1
Exercice 72. Centrale MP 2000
Soient deux suites de termes généraux un et vn définies par la donnée de u1 et v1 , tous deux réels, et les
relations :
vn
un
un+1 = un −
,
vn+1 = vn +
.
n(n + 1)
n(n + 1)
Montrer que ces suites sont définies et bornées.
numériques.tex – page 7
Exercice 73. Produits infinis, Polytechnique 2000
QN
PN
On considère une suite (an ) de réels et on définit PN = n=1 (1 + an ) et SN = n=1 an .
1) On suppose que pour tout n, an > 0.
a) Montrer que, pour tout N , 1 + SN 6 PN 6 eSN .
b) Comparer les convergences respectives des suites (SN ) et (PN ).
2) On suppose maintenant que pour tout n, −1 6 an 6 0.
a) La relation précédente est-elle encore vérifiée ?
b) Discuter de la convergence des suites (SN ) et (PN ).
3) On suppose
P que (an ) est de signe quelconque et que pour tout n, 1 + an > 0. On suppose de plus que
la
série
an converge. Montrer que (PN ) a une limite et que cette limite est nulle si et seulement si
P 2
an diverge.
4) Complément.
On suppose que la suite (an ) est complexe, que pour tout n, |an | < 1 et que la série
P
|an | est convergente.
Q∞
Q∞
a) Montrer que
Q n=1 (1 + |an |) existe,
Q puis que n=1 (1 + an ) existe. On pourra démontrer et utiliser
N
N
l’inégalité n=1 (1 + an ) − 1 6 n=1 (1 + |an |) − 1.
Q∞
b) Montrer que n=1 (1 + an ) n’est pas nul.
Exercice 74. Polytechnique MP 2002
Trouver les fonctions f : [0, 1] → R continues vérifiant : ∀ x ∈ [0, 1], f (x) =
Exercice 75. ENS Cachan MP∗ 2005
P
Soit P (n) = max{p premier, p | n}. Montrer que n
P∞
n=1
f (xn )
.
2n
1
converge.
nP (n)
Exercice 76. cos z ∈ [−1, 1]
Quels sont les complexes z tels que cos z ∈ [−1, 1] ?
n
Exercice 77. lim((1 + z/n)
)
Soit z ∈ C. Montrer que
1+ z
n
n
−→ ez .
n→∞
Exercice 78. Inégalité
Soit z ∈ C. Montrer que |ez − 1| 6 e|z| − 1 6 |z|e|z| .
Exercice 79. Inégalité, Polytechnique MP∗ 2006
z
x
Soit z = x + iy ∈ C avec x, y ∈ R et x 6= 0. Montrer que e − 1 6 e − 1 . Que dire en cas d’égalité ?
z
x
Exercice 80. Morphismes (R, +) → (C, ∗)
Soit f : R → C∗ telle que : ∀ x, y ∈ R, f (x + y) = f (x)f (y).
1) Si f est dérivable, montrer qu’il existe λ ∈ C tel que : ∀ x ∈ R, f (x) = eλx .
2) Obtenir le même résultat si f est seulement supposée continue (prendre une primitive, F , de f et
montrer qu’elle est de classe C 2 ).
Exercice 81. ez = z
Montrer qu’il existe une infinité de complexes z tels que ez = z (on calculera x en fonction de y, et on
étudiera l’équation obtenue).
Exercice 82. Équations trigonométriques
Résoudre dans C :
1) cos z = 2.
2) ch z = −1.
3) sin z + sin jz + sin j 2 z = 0.
4) 8 cos z + 4i sin z = 7 + 5i.
Exercice 83. | cos | et | sin | sur le cercle unité
Calculer sup{| cos z| tq |z| 6 1} et sup{| sin z| tq |z| 6 1}.
numériques.tex – page 8
Exercice 84. Courbes
Soient M, M 0 deux points du plan d’affixes z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 .
1) On suppose que z et z 0 sont liés par la relation : z 0 = ez . Étudier la courbe décrite par M 0 lorsque M
décrit :
a) une droite x = cste.
b) une droite y = cste.
c) une droite quelconque.
2) Reprendre les questions 1a) et 1b) avec z 0 = cos z.
Exercice 85. Centrale MP 2002
2i
Résoudre dans M2 (C) : exp(M ) = 0
1+i
2i
.
Exercice 86. Famille non sommable
P
Soit (an )n∈N une suite de réels positifs telle que an −→ 0 et n∈N an = +∞. Montrer que pour tout
n→∞
P
réel x > 0, il existe X ⊂ N tel que n∈X an = x.
Exercice 87. Famille sommable, Centrale 2015
Soit n ∈ N∗ . On note un = 0 si l’écriture décimale de n comporte au moins un chiffre égal à 9 et
un = 1/n sinon. Soient Sn = u1 + . . . + un et Tn = S10n+1 −1 − S10n −1 . On note An l’ensemble des entiers
k ∈ [[10n , 10n+1 − 1]] tels que uk 6= 0.
1) Écrire en Python
P les fonctions donnant un , Sn , Tn . Donner S999 , S9999 , T2 et T3 .
2) Montrer que
un converge.
P∞
3) Nous allons chercher à approcher n=1 un .
P8 P
a) Montrer que Tn+1 = `=0 k∈An u10k+` .
9
9
b) Montrer que 10
Tn − 1036
n+2 Tn 6 Tn+1 6 10 Tn .
P∞
c) En déduire un encadrement de S = n=1 un .
numériques.tex – page 9
solutions
Exercice 1.
1) ∼ − e ⇒ DV.
2n
α en(α−2) ⇒ CV ssi α < 2.
2) ∼ α−1
2
3) ∼ − 32 ⇒ CV.
n
1
4) ∼ 2 ⇒ CV.
n
r
2 ⇒ CV.
5) ∼
n3
6) cv ssi |a| 6= 1.
7) Série alternée ⇒ CV.
8) Série alternée ⇒ CV.
9) Harmonique + alternée ⇒ DV.
10) d’Alembert ⇒ CV.
(n − 1)(n − 1)! + n!
2
11) 6
6
⇒ CV.
(n + 2)!
(n + 1)(n + 2)
(−1)n−1
12) =
+ O 12 ⇒ CV.
n+1
n
13) Décomposition en 3 séries alternées ⇒ CV.
(−1)n
14) = √ − 1 + O(n−3/2 ) ⇒ DV.
2 n
8n
15) Regroupement de termes ⇒ DV.
16) Regroupement par paquets + CSI ⇒ CV.
17) −→
/ 0 ⇒ DV.
18) = ln1ln n ⇒ CV.
n
Exercice 2.
P (n) = n3 + 34 n + C.
Exercice 3. n
(−1)
=p
+ O 12 ⇒ converge.
n
n(n + 1)
Exercice 4.
(−1)n
1
1
un = α/2 − 3α/2
+ o 3α/2
, il y a convergence ssi α > 23 .
n
2n
n
Exercice 5.
Effectuer un développement asymptotique pour les deux premières. Elles convergent si et seulement si
α > 12 . La troisième diverge par comparaison série-intégrale.
Exercice 6.
u2n+1
−→ ab et u2n −→ ab donc il y a convergence si |ab| < 1.
u2n−1 n→∞
u2n−2 n→∞
Exercice 8.
n = 21, S ≈ 0.65314389.
Exercice 9.
2
2
2
1 ⇒ 2 par comparaison série-intégrale. Contre-exemple pour 2 6⇒ 1 : un = e(n+1) −en , Sn = e(n+1) −1,
1
f (t) =
.
(t + 2) ln(t + 2)
numériques.tex – page 10
Exercice
10.
2
n2
1
= − 2 3n 2+ 12
> − 44 pour n > 3.
2
2 − 2
(n + 1)
n −1
(n + 1) (n − 1)
n
2
Pn
P∞
n
1
Donc S = n=1 2
+ n=N +1 2
+ RN avec − 4 3 6 RN 6 0 et
(n + 1)2
n −1
3N
1
P∞
N+2
1
=
.
n=N +1 2
n −1
N (N + 1)
Pour N = 25 on obtient : 0.76981 < S < 0.76990.
Exercice
P 12. P
√
√
Si
un et
vn convergent alors n2 un −→ ∞ donc un vn ∼ 1/n2 . Alors les suites ( un ) et ( vn ) sont
n→∞
√
de carrés sommables tandis que la suite ( un vn ) n’est pas sommable, c’est absurde.
P
P
Si
un diverge on ne peut rien dire : avec un = 1 on a
vn convergente tandis qu’avec un = 1 on a
n
P
vn divergente.
Exercice 13.
1) u1 + . . . + un = 1 −
1
6 1.
(1 + a1 ) . . . (1 + an )
!
Pn
P
1
2) ln (1 + a1 ) . . . (1 + an ) = k=1 ln 1 + √
−→ +∞ ⇒
un = 1.
k n→∞
Exercice 14.
p
p−1
P∞
P∞
9 .
Regroupement de termes par valeur constante de pk ⇒ k=1 1pk = p=1 10 − p10
=
a
a
a − 10
Exercice 16.
2) |vn | = O(n−3/2 ) ⇒ CV.
Exercice 17.
Série alternée.
Exercice 18.
1) 3 .
4
2) 1 .
4
3) Sp − (p + 1)Sp+1 = Sp −
1
⇒ Sp = 1 .
(p + 1)!
pp!
4) 23 .
144
5) ln 3.
6) − ln
2.
sin
2α
7) ln
.
2α
8) 1 − 2 cotan(2α).
α
9) 109 − 40e.
xp
10)
pour |x| < 1 par récurrence.
(1 − x)p+1
x
1
11)
si |x| < 1,
si |x| > 1.
(1 − x)2
(1 − x)2
P∞ Pn−1
P∞ Pn−1 r
r
r
12) Sn = q=0 r=1
= q=0 r=1
−
.
(qn
+
r)(qn
+
r
+
1)
qn
+
r
qn
+
r+1
P∞
P(N +1)n 1 PN +1 1
1 + ... +
1
Sn = q=0
− 1
= limN →∞
−
= ln n.
k=1
k=1
qn + 1
qn + n q + 1
k
k
numériques.tex – page 11
Exercice 19.
P∞
P∞
P∞
Si n + 1 n’est pas un carré alors un = 0 donc n=1 un = k=2 uk2 −1 = k=1
1
= 3.
k2 − 1
4
Exercice 20.
1) y = e−x (a cos x + b sin x), y = e−x sin x + e−2x (cx + d).
(−1)n e−nπ (eπ + 1) P∞
2) un =
, n=0 un = 1 .
2
2
Exercice
21.
π 2 − 3.
3
Exercice 22.
k+1
1
6 + 6 − 24 ⇒ s = 18 − 24 P2n+1 (−1)
+ 6 −→ 18 − 24 ln 2.
n
2
2
2 =
k=1
1 + 2 + ... + k
k k + 1 2k + 1
k
n + 1 n→∞
Exercice 23.
a = −2, b = 1, S = − ln 2.
Exercice 24.
P∞
tan sn = n + 1 par récurrence et sn 6 k=0
P∞
1
1
6 1 + k=0
= 2.
k2 + k + 1
n(n + 1)
Exercice 25.
1) ∼ a2 .
n
Pn
2) S(a) > k=0 arctan(k+a)−arctan k −→ π +arctan 1+arctan 1 +. . .+arctan 1 ⇒ S(a) −→ +∞.
a→+∞ 2
a→+∞
2
n
Exercice 26.
1
Le déport maximal entre la première pièce et la dernière pour une pile de n pièces est 1 + 1 +. . .+
2 4
2(n − 1)
(en diamètre d’une pièce). Il dépasse 1 pour n > 4.
Exercice 27.
Pk
2) Lorsque k → ∞ on a :
n=1 1/n = ln(k) + γ + o(1), d’où j 6 ln(kj ) + γ + o(1) < j + 1/kj . Ceci
prouve que ln(kj ) = j − γ + o(1) et donc kj+1 /kj −→ e.
j→∞
Exercice√ 28. √
1) 2( 2 − 1) n.
2) ln(ln n).
Exercice 29.
un ∼ n ln2 n ⇒ CV.
Exercice 30.
2997.
Exercice
31.
r
n.
2
Exercice 33.
Tn+1 − Tn =
1 − ln n + 1 = 1 − R n+1 dt < 0
t=n t
n+1
n
n
+ 1
R
n+1
Sn+1 − Sn = 2 − 1 − ln n + 1 = 1 − t=n 1 − 12 dt > 0.
n n+1
n
n
t
t
numériques.tex – page 12
Exercice 34. R1 Pn u
un,k
= n − n , donc vn = 1 k=1 n,k est une somme de Riemann pour I = t=0 1 − 1 dt. La
k
k
k
n
k
t
t
fonction ϕ : t 7→ 1 − 1 est Riemann-intégrable sur [0, 1], donc vn −→ I.
n→∞
t
t
R1
R
Pn
Pn
1/k
Calcul de I : In = t=1/n 1 − 1 dt = ln n − k=1 t=1/k+1 k dt = ln n − k=1 1 −→ 1 − γ = I.
t
t
k + 1 n→∞
Exercice 35.
2
1) Comparaison série-intégrale : un ∼ ln n .
2
2) Comparaison série-intégrale encore (vn est la somme des aires entre les rectangles aux points entiers
et la courbe de t → ln(t)/t).
P∞ R k+1
P∞
ln(k + 1)
3) vn − ` = − k=n t=k ln t dt −
= − k=n wk avec wk ∼ ln k2 .
t
k+1
2k
R +∞ ln t
ln
n
Donc vn − ` ∼ − t=n 2 dt ∼ −
.
2t
2n
Exercice
Pn−1 36.1
1 Pn−1
1 + 1
1 P2n−1 1 + 1 ∼ ln n .
=
=
k=0 2
k=1
n − k2
2n k=0 n − k n + k
2n
k n
2n
Exercice 37.
1
5) Sn +
6 S 6 Sn + 1 . Pour n = 60 : 2.06857 < S < 2.06956.
ln(n + 1)
ln n
Exercice 39.
Si un → 0, alors vn ∼ un ; sinon, vn 6→ 0.
Exercice 40.
r
2)
.
(1 − r)2
Exercice 41.
P
Pn
On remarque déjà que
ui diverge car un ∼ Un > U1 . On calcule k=0 kuk par parties :
nα
nα
n
X
kuk =
k=0
n
X
k(Uk − Uk−1 ) = nUn −
k=1
n
X
Uk
k=0
Comme Un ∼ αnu
Pn n , terme général strictement positif d’une série divergente, on a
d’où : (1 + α) k=0 kuk ∼ nUn et :
Pn
n
1 X
nUn
α
kuk ∼
−→
.
2
2
n→∞
1+α
n un k=0
(1 + α)n un
ExerciceP42.
Pn
Pn−1
n
Sn = k=0 kuk ⇒ k=0 uk = k=1
Sk
− S0 + Sn .
k(k + 1)
n
Exercice 43.
3) krk = k(uk − uk+1 ) avec uk =
rk donc P∞ krk = P∞
rk =
r
.
k=1
k=1
1−r
1−r
(1 − r)2
k
n
n+1
P∞
(n − 1)rn P∞
De même, Sn = k=n krk =
+ k=n r
= nr + r
.
1−r
1−r
1 − r (1 − r)2
k 2 rk = k(Sk − Sk+1 ) et (Sk ) décroît
d’où
k+1
P∞ 2 k P∞
P∞ krk
r + r2 .
+ r
2 =
k=1 k r =
k=1 S(k) =
k=1
1 − r (1 − r)
(1 − r)3
numériques.tex – page 13
k=0
Uk ∼ α
Pn
k=0
kuk
Exercice 44.
u
u
0
n
2) pn =
→ 0 donc la série de terme général ln 1 −
diverge.
Sn
Sn
Exercice 45.
R a0
Pn ak − ak+1
dt −→ +∞.
Méthode des rectangles :
> t=a
k=0
n+1 t k→∞
ak+1
Si ak ∼ ak+1 la série donnée diverge donc. Sinon, elle diverge aussi car son terme général ne tend pas
vers 0.
Exercice
46. P
Pn
P
2N −1
1 ⇒ 1 P2N −1 u 6 Pn v 6 2 P2N −1 u .
v
k
k
n=1 n =
k=1 uk
k/2<n6k
n=1 n
k=1
n
2 k=1
Exercice
47.
Pn
Pn
v
k=1
P k + nvn = Pk=1 uk .
Si P un converge, Pvn converge aussi (SP majorées) et nvn → ` ⇒ ` = 0.
Si
un diverge et
vn converge, alors nvn → +∞, contradiction.
Exercice
48. P
Pn
Pn
Pn
n
kuk ⇒ CV.
1
v
k=1 k =
k=1 kuk
p=k 2 6
k=1
p
k−1
Exercice
49.
1 Pn+1 v 6 P2n+1 u 6 Pn v .
k
k
k=1
k=0 k
2 k=1
Exercice 50.
1
Pour n > 2, un+1 < 1 donc un+2 >
∼ 1 donc la série diverge.
n
n
(n + 1)e1/n
Exercice 53.
si a − b + 1 > 0, vn → +∞
si a − b + 1 = 0, vn = cste
si a − b + 1 < 0, vn → 0.
Pn
P∞
(b − 1)u0
3) (n + b)un+1 − (n + a)un = 0 ⇒ (n + b)un+1 + (b − a − 1) k=1 uk − au0 = 0 ⇒ k=0 uk =
.
b−a−1
2) ln(vn+1 ) − ln(vn ) = ln 1 + a − b + 1
n+b−1
(
⇒
Exercice 54.
La suite (un ) est croissante donc tend vers ` ∈ ]0, +∞]. On a ` fini si et seulement si la série télescopique
P
P 1
(un+1 − un ) =
est convergente, soit si et seulement si a > 1.
na un
r
2n1−a (sommation des
Pour a < 1 on a u2n+1 = u2n + 2a + o 2a donc u2n+1 − u2n ∼ 2a et un ∼
n
n
n
1−a
relations de comparaison).
√
Pour a = 1 on a de même un ∼ 2 ln n.
Exercice 55.
P
α>1⇒
u cv et vaut ζ(α)2 .
P2Nn
Pn
P
α < 1 ⇒ n=1 un > k=1 1α ⇒
un dv.
k
Exercice 57.
a
a + a2 .
2 et
(1 − a)
(1 − a)3
Exercice 59.
1) Césaro.
2) v0 + v1 + . . . + vn = 2(u0 + u1 + . . . + un ) − vn .
Exercice 60. P∞
R∞
P∞
|an | 6 M ⇒ n=2 anp 6 M n=2 1p 6 M t=1 dt
= M ⇒ a1 = 0.
n
n
tp
p−1
numériques.tex – page 14
Exercice 61.
P
P
P
Démonstration
x2n = 0 ⇒ n impair xn = 0. On retire les multiples impairs de 3
P
P pour x1 :P xn = 0,
( x3n − x6n = 0) ⇒ n∧6=1 xn = 0. On retire les multiples restants de 5, 7, . . . On obtient ainsi une
suite (sp )p premier nulle qui converge vers x1 , donc x1 = 0.
Peut-on se passer de la convergence absolue ?
Exercice 62.
1) récurrence sur p.
2) Transformation d’Abel et interversion de sommations :
P
P
Thm de Césaro ⇒ vn = 2 un .
Pp
n=0
vn =
Pp
k=0
p+1
k+1
p
2
Pk
n=0
un .
Exercice 63. P
P2n+1
2n
1) nu2n 6 k=n+1 uk , nu2n+1 6 k=n+2 uk .
P
2) ε > 0 : Pour k suffisament grand, uk 6 ε , donc uk > 1 ⇒ k 6 nε. Alors uk >1/n 1 6 n2 ε + Kn.
k
n
uk
Exercice 64.
1−p
P∞
R −R
1−p
1) TAF : ∃ xn ∈ [Rn+1 , Rn ] tq Rn1−p −Rn+1
= (1−p) n p n+1 > (1−p) anp . Donc, n=0 anp 6 A
.
xn
Rn
Rn
1−p
P∞
k −→ 1 .
2) C’est 1 : Pour an = k n , Ap−1 n=0 anp = 1 − 1−p
1−p
Rn
1−k
k→1− 1 − p
Exercice 65.
(un ) est croissante.
Si la suite (un ) converge alors an = un (un+1 − un ) 6 M (un+1 − un ) donc les sommes
P
partielles
de
a
sont
bornées.
n
P
P
Si
an converge, alors un+1 − un = an 6 an donc (un+1 − un ) converge.
un
u0
Exercice 70.
Transformaton d’Abel.
Exercice 71.
Transformation d’Abel + découpage, vn −→ 0.
n→∞
Exercice 72.
Qn−1 |un | + |vn | ≤ (|u1 | + |v1 |) k=1 1 +
1
k(k + 1)
et le produit infini est trivialement convergent.
Exercice 73.
2) a) 1 + SN 6 PN n’est plus triviale mais reste vraie par récurrence (la différence est une fonction
décroissante de a1 ).
3) La suite (PN e−SN ) est positive décroissante donc converge, ce qui entraîne la convergence de (PN ).
a2
On a PN −→ 0 ssi PN e−SN −→ 0 ssi la série de terme général ln(1 + an ) − an ∼ − n diverge.
n→∞
n→∞
2
4) a) Démontrer l’inégalité en développant les deux membres. Sachant que la suite (PN ) est bornée on
en déduit qu’elle est de Cauchy donc converge.
Exercice 74.
P∞ f (xn )
On a f (x) = n=2 n−1 . Soit a ∈ [0, 1[ et Ma , ma le maximum et le minimum de f sur [0, a]. D’après
2
la relation précédente, ma > ma2 et Ma 6 Ma2 donc en fait ma = ma2 et Ma = Ma2 .
k
On en déduit f ([0, a]) = f ([0, a2 ]) = . . . = f ([0, a2 ]) = . . . = {f (0)}. Donc f est constante et réciproquement les fonctions constantes conviennent.
numériques.tex – page 15
Exercice 75.
P
Soit (p0 , p1 , . . .) la suite croissante des nombres premiers et Sk = P (n)6k 1 .
n
P∞
pk
On a Sk = Sk−1 i=0 1i =
Sk−1 , ce qui prouve que Sk est fini.
pk
pk − 1
P∞ S − Sk−1
P∞
S
0
La série demandée est
+ k=1 k
= S0 + k=1 S2k .
p0
pk
p0
pk
√
Montrons que Sk ≤ 2 pk , ceci prouvera la convergence. C’est vrai pour k = 0 et k = 1, et si c’est vrai
s
r
√
√
√
pk (pk − 2)
pk pk−1
pour k − 1 avec k > 2 alors on obtient Sk 6 2 pk
6 2 pk
6 2 pk .
(pk − 1)2
(pk − 1)2
Remarque : on a en réalité Sk ∼ eγ ln(pk ) où γ est la constante d’Euler (formule de Mertens).
Exercice 76.
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y ⇒ cos z ∈ [−1, 1] si et seulement si z ∈ R.
Exercice 77.
Mettre 1 + z sous forme trigonométrique.
n
Exercice 78.
Développement en série.
Exercice
79.
z
e − 1 2
e2x + 1 − 2ex cos y
.
=
z
x2 + y 2
Après simplifications, on est ramené à prouver que x2 (1 − cos y) 6 y 2 (ch x − 1), ce qui est vrai car on
peut caser 12 x2 y 2 entre les deux. Il y a égalité si et seulement si y = 0.
Exercice 81.
ex+iy = x + iy ⇔ x = y/ tan y, e−y/ tan y = sin y/y. Au voisinage de 2kπ + , e−y/ tan y < sin y/y (point
plat) et au voisinage de (2k + 1)π − , e−y/ tan y > sin y/y (limite infinie).
Exercice 82.
√
1) z ≡ ±i ln(2 + 3) (mod 2π).
2) z ≡ iπ (mod 2iπ).
2
3) z ≡ 0 (mod 2π) ou z ≡ 0 (mod 2jπ)
ou z ≡ 0 (mod 2j π).
√
iz
e =1+i
: z ≡ π/4 − i ln 2√(mod 2π)
2iz
iz
4) ⇔ 6e − (7 + 5i)e + 2 = 0 ⇔
eiz = (1 − i)/6 : z ≡ −π/4 − i ln( 2/6) (mod 2π).
Exercice 83.
| cos(x + iy)|2 = cos2 x + sh2 y = ch2 y − sin2 x ⇒ sup = ch 1.
| sin(x + iy)|2 = sin2 x + sh2 y = ch2 y − cos2 x. à x fixé, le module augmente avec |y|, donc le maximum
est atteint au bord du disque.
sh(2 sin θ) sin(2 cos θ)
2
2
0
ϕ(θ) = sin cos θ + sh sin θ ⇒ ϕ (θ) = sin 2θ
−
⇒ sup = sh 1.
2 sin θ
2 cos θ
Exercice 85.
Si x est vecteur propre de M il l’est aussi de exp(M ) donc x = ke1 et la valeur
propre associée
α est
α ∈ C
α β
e
eα β
tel que eα = 2i (α = ln 2 + i( π2 + 2kπ), k ∈ Z). On a donc M = 0 α , exp(M ) = 0 eα d’où
β = 1 − i.
2
numériques.tex – page 16
Exercice 87.
1) En Maple :
u := proc (n) local i;
i := n; while i > 0 and (i mod 10) <> 9 do i := iquo(i, 10) end do;
if i > 0 then 0 else 1/n end if
end proc
P∞
P∞ P
P∞
P∞
9 n
n
2) On a dans [0, +∞[ :
k=10 uk =
n=1
k∈An uk 6
n=1 card(An )/10 =
n=1 8 × ( 10 ) = 72.
Les entiers de An ont un chiffre de tête compris entre 1 et 8 et les n chiffres suivants compris entre 0
et 9, d’où card(An ) = 8 × 9n . Le dernier majorant étant fini, la série converge.
An × [[0, 8]] −→ An+1
3) a) L’application :
est bijective.
(k, `) 7−→ 10k + `
b) Pour (k, `) ∈ An × [[0, 8]] on a
uk
u10k
uk
1
= u10k > u10k+` > u10k+8 =
>
×
.
10
10 1 + 8/10n+1
1 + 8/10k
1
9
6 Tn+1 6 10
Tn ce qui donne l’encadrement
1 + 8/10n+1
1
demandé sachant que 1 − 8/10n+1 6
.
1 + 8/10n+1
P
P
P
P∞
∞
∞
∞
9
36
9
9
c) ( 10
− 1000
) n=1 Tn 6 n=1 ( 10
− 1036
n+2 )Tn 6
n=1 Tn+1 6 10
n=1 Tn .
1000S
9
36
9
99 − 864S9 6 S 6 10S −9S .
On en déduit ( 10 − 1000 )(S −S9 ) 6 S −S99 6 10 (S −S9 ), soit
99
9
136
Numériquement, 17 6 S 6 46. . .
En sommant sur k, `, on obtient
9
10 Tn
×
9
36
9
Mieux en sommant à partif de n = 2 : ( 10
− 10000
)(S − S99 ) 6 S − S999 6 10
(S − S99 ), soit
10000S999 − 8964S99 6 S 6 10S − 9S . Numériquement, 22.31 6 S 6 22.96.
999
99
1036
numériques.tex – page 17