LES MATRICES

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LES MATRICES

Mathématiques appliquées aux sciences sociales
- Algèbre matricielle -
CHAPITRE 2 LES DETERMINANTS ............................................................................................................. 2
I
A
B
C
II
A
B
III
IV
A
B
V
VI
DEFINITIONS ................................................................................................................................................ 2
Définition simple d’un déterminant ........................................................................................................ 2
Les déterminants mineurs d’une matrice ................................................................................................ 3
Cofacteur d’une matrice ......................................................................................................................... 3
CALCULS DES DETERMINANTS PAR LA METHODE DES COFACTEURS ............................................................. 4
Principe de calcul ................................................................................................................................... 4
Etape de calcul ........................................................................................................................................ 4
LES PROPRIETES DES DETERMINANTS ....................................................................................................... 5
CALCULS DES DETERMINANTS PAR LA METHODE DU PIVOT DE GAUSS ..................................................... 6
Principe de calcul ................................................................................................................................... 7
Etape de calculs ...................................................................................................................................... 7
APPLICATION ............................................................................................................................................... 8
CONCLUSION.......................................................................................................................................... 10
JL MONINO
1
Chapitre 2
LES DETERMINANTS
Le déterminant des matrices carrées est une opération délicate à présenter. En effet, cette opération consiste à
trouver un nombre unique qui résume le mieux possible la matrice carrée. La présentation n’est peut-être pas
élégante dans sa forme mathématique, mais nous avons le souci d’être simple afin d’en montrer l’intérêt.
On peut également dire qu'à toute matrice carrée d'ordre n on peut y associer un nombre et un seul qui est
fonction des éléments de cette matrice.
Attention ce chapitre est relativement abstrait mais il est important dans la mesure ou il permet de comprendre
l’ensemble des autres chapitres.
La théorie des déterminants est au cœur de la résolution des systèmes linéaires. Elle permet de façon
relativement simple d'aborder la recherche de solutions d'un système linéaire composé de plusieurs
équations.
Exemple introductif
A la matrice carrée d'ordre 2 définie par :
⎡1 4 ⎤
M2 = ⎢
⎥
⎣2 3⎦
composée des éléments 1, 2, 4, 3, éléments, on peut y associer un seul nombre qui est en quelque sorte le
représentant de la matrice M. On dit qu'a la matrice carrée M on associe la valeur la valeur 2 qui appelé
déterminant de la matrice M. (pour le calcul de ce déterminant associé à la matrice M voir l'exemple 2)
I
A
Définitions
Définition simple d’un déterminant
Le déterminant d’une matrice est un nombre ou scalaire qui est associé à une matrice carrée M d’ordre n. Ce
nombre est fonction de tous les éléments de la matrice.
Le déterminant d’une matrice carrée est noté soit det(Mn) soit M n . Nous utiliserons cette dernière notation.
Exemple 1 :
Le déterminant le plus simple est celui qui est associé à une matrice uniligne et unicolonne. La matrice
[ ]
M 1,1 = m1,1 = [2] qui est formée que du seul élément 2 a pour déterminant le nombre 2. La notation est
M 1,1 = 2
Exemple général :
⎡ m1,1 m1,2 ⎤
Considérons la matrice carrée M d’ordre 2 : M 2 = ⎢
⎥
⎣m2 ,1 m2 ,2 ⎦
m1,1 m1,2
Son déterminant est donné par le calcul : M 2 =
= m1,1 * m2 ,2 - m2 ,1 * m1,2
m2 ,1 m2 ,2
Voyons ensemble, à partir des définitions suivantes comment calculer ce déterminant. Prenons un exemple et à
partir des définitions et des propriétés des déterminants progressons ensemble dans la recherche de son
déterminant.
JL MONINO
2
B
Les déterminants mineurs d’une matrice
• Définition
Le déterminant mineur (ou mineur relatif à un élément de M) d’une matrice carrée M d’ordre n, est le
déterminant obtenu en barrant la ligne et la colonne qui contient l’élément mineur.
Exemple 2 :
⎡1 4 ⎤
Calculons les déterminants mineurs de la matrice carrée M d’ordre 2 : M 2 = ⎢
⎥ . Puisqu’il existe 4
⎣2 3⎦
éléments dans la matrice M, il y a quatre déterminants mineurs qui sont :
C
¾
Le mineur relatif à l’élément 1 de M qui est obtenu en barrant la 1er ligne et la 1er
⎡1 4 ⎤
colonne M 2 = ⎢
⎥ le déterminant mineur est 3 .
⎣2 3⎦
¾
Le mineur relatif à l’élément 4 de M qui est obtenu en barrant la 1er ligne et la 2eme
⎡1 4 ⎤
colonne M 2 = ⎢
⎣2 3⎦
¾
Le mineur relatif à l’élément 2 de M qui est obtenu en barrant la 2eme ligne et la 1er
⎡1 4 ⎤
colonne M 2 = ⎢
⎣2 3⎦
¾
Le mineur relatif à l’élément 3 de M qui est obtenu en barrant la 2eme ligne et la 2eme
⎡1 4 ⎤
colonne M 2 = ⎢
⎣2 3⎦
Cofacteur d’une matrice
• Définition
Le cofacteur Ci , j de l’élément mi , j d’une matrice carrée M d’ordre n est le déterminant mineur relatif à
l’élément mi , j multiplié par ( -1) i+ j
Exemple 3 :
⎡1 4 ⎤
Calculons les cofacteurs de la matrice carrée M d’ordre 2 : M 2 = ⎢
⎥ . Puisqu’il existe 4 éléments dans la
⎣2 3⎦
matrice M, il y a quatre cofacteurs qui sont :
¾
Le cofacteur C1,1 de l’élément 1 de M qui est obtenu en multipliant le mineur 3 de
la ligne i = 1 et de la colonne j = 1 par ( -1)
C1,1 = ( − 1)
¾
1+1
i+ j
1+1
= ( -1) = 1 . Le cofacteur est :
2
* 3 = 1* 3 = 3
Le cofacteur C1,2 de l’élément 4 de M qui est obtenu en multipliant le mineur 2 de
est : C1,2 = ( − 1)
¾
= ( -1)
1+ 2
i+ j
= ( -1)
1+2
= ( -1) = -1 . Le cofacteur
3
* 2 = −1 * 2 = −2
Le cofacteur C2 ,1 de l’élément 2 de M qui est obtenu en multipliant le mineur 4 de
est : C2 ,1 = ( − 1)
2 +1
i+ j
= ( -1)
2+1
= ( -1) = -1 . Le cofacteur
3
* 4 = −1 * 4 = −4
JL MONINO
3
¾
Le cofacteur C2 ,2 de l’élément 3 de M qui est obtenu en multipliant le mineur 1 de
est : C2 ,2 = ( − 1)
2+2
i+ j
= ( -1)
2+2
= ( -1) = 1 . Le cofacteur
4
* 1 = 1* 1 = 1
II
Calculs des déterminants par la méthode des cofacteurs
A
Principe de calcul
• REGLE DE LAPLACE (Pierre Simon de LAPLACE Mathématicien français – 1749-1827-)
La valeur d’un déterminant M d’une matrice carrée M d’ordre n est obtenue en additionnant les produits des
éléments mi , j d’une rangée (en ligne ou en colonne) de la matrice M par leurs cofacteurs Ci , j respectifs.
Exemple 3 :
⎡1 4 ⎤
Recherchons de deux façons le déterminant de la matrice carrée M d’ordre 2 : M 2 = ⎢
⎥
⎣2 3⎦
Première façon - Utilisons par exemple le développement selon la première ligne :
¾ Le déterminant M 2 = 1*C 1,1 + 4 * C 1,2 = 1 * ( 3) + 4 * ( − 2) = 3 − 8 = −5
Deuxième façon - Utilisons maintenant le développement selon la première colonne :
¾
Le déterminant M 2 = 1* C 1,1 + 2 * C 2,1 = 1 * ( 3) + 2 * ( − 4) = 3 − 8 = −5
Nous pouvons vérifier que le nombre -5 qui est appelé déterminant associé à la matrice carrée M est toujours le
même que l'on développe selon une ligne ou une colonne la matrice M.
B
Etape de calcul
Les étapes de calcul pour trouver le déterminant d’une matrice carrée M d’ordre n sont les suivantes :
- On recherche l’ensemble de tous les déterminants mineurs relatifs à une ligne ou à une colonne,
- On recherche les cofacteurs relatifs à une ligne ou à une colonne,
- On multiple chaque élément relatif à une ligne ou à une colonne par son cofacteur,
- On additionne l’ensemble de ces produits obtenus sur une ligne ou une colonne.
Cette dernière étape nous permet d’obtenir le déterminant de la matrice carrée M d’ordre n développé selon la
méthode dite des cofacteurs.
Exemple 4 :
Considérons la matrice carrée M d’ordre 2 de l’exemple général de départ et calculons son déterminant en
utilisant la méthode des cofacteurs développés selon la ligne 1.
Développement selon la 1er ligne
⎡ m1,1 m1,2 ⎤
M2 = ⎢
⎥
⎣m2 ,1 m2 ,2 ⎦
-
Etape 1 : On recherche l’ensemble de tous les déterminants mineurs relatifs à la première ligne,
¾ Le mineur relatif à l’élément m1,1 de M est obtenu en barrant la 1er ligne et la 1er
¾
-
⎡ m1,1 m1,2 ⎤
colonne le M 2 = ⎢
⎥ déterminant mineur est m2 ,2 .
⎣m2 ,1 m2 ,2 ⎦
Le mineur relatif à l’élément m1,2 de M est obtenu en barrant la 1er ligne et la 2eme
⎡ m1,1 m1,2 ⎤
colonne M 2 = ⎢
⎥ le déterminant mineur est m2 ,1 .
⎣m2 ,1 m2 ,2 ⎦
Etape 2 : On recherche l’ensemble de tous les cofacteurs de la première ligne,
JL MONINO
4
¾
Le cofacteur C1,1 de l’élément m1,1 de M qui est obtenu en multipliant le mineur
m2 ,2 de la ligne i = 1 et de la colonne j = 1 par ( -1)
cofacteur est : C1,1 = ( − 1)
¾
1+1
= ( -1)
1+1
= ( -1) = 1 . Le
2
* m2 ,2 = 1 * m2,2 = m2 ,2
Le cofacteur C1,2 de l’élément m1,2 de M qui est obtenu en multipliant le mineur
m2 ,1 de la ligne i = 1 et de la colonne j = 2 par ( -1)
cofacteur est : C1,2 = ( − 1)
-
i+ j
1+ 2
i+ j
= ( -1)
1+2
= ( -1) = -1 . Le
3
* m2 ,1 = −1 * m2 ,1 = − m2 ,1
Etape 3 : On multiple chaque élément de la ligne 1 par son cofacteur,
m1,1 * C1,1 = m1,1 * ( m2 ,2 )
m1,2 * C1,2 = m1,2 * (- m2 ,1 )
-
Etape 4 : On additionne l’ensemble de ces produits de la première ligne. On obtient le
déterminant de la matrice carrée M d’ordre 2 :
M 2 = m1,1 * C1,1 + m1,2 * C1,2 = m1,1 * ( m2 ,2 )+ m1,2 * (- m2 ,1 )= m1,1 * m2 ,2 - m2 ,1 * m1,2
Le calcul s’appelle l’expansion du déterminant selon la première ligne.
On peut écrire le déterminant M n d’une matrice carrée M d’ordre n, de façon condensée à l’aide de l’opérateur
somme.
THEOREME 10
Si l’on utilise l’expansion par les cofacteurs des éléments d’une ligne i, une matrice carrée M d’ordre n a pour
déterminant :
j=n
Mn =
∑m
i, j
* Ci , j
j=1
THEOREME 11
Si l’on utilise l’expansion par les cofacteurs des éléments d’une colonne j, une matrice carrée M d’ordre n a pour
déterminant :
i=n
Mn =
∑m
i, j
* Ci , j
i=1
REMARQUE :
Le terme ( -1) i+ j dépend exclusivement de la ligne i et de la colonne j. La somme i + j est soit paire soit impaire
ainsi, lorsque la somme i + j est impaire le terme ( -1) i+ j est toujours (-1) et lorsque la somme i + j est paire le
terme ( -1) i+ j est toujours (1).
III
Les propriétés des déterminants
De toute évidence le calcul d’un déterminant est long. Il est donc important de pouvoir simplifier l’ensemble de
ces calculs, pour cela citons sans démonstration les propriétés utiles à la simplification des calculs.
¾ Propriété 1
Une permutation entre deux lignes ou deux colonnes d’une matrice carrée d’ordre n change le signe de son
déterminant.
¾ Propriété 2
Le déterminant de la matrice transposée d’une matrice carrée d’ordre n est égal au déterminant de la matrice
carrée.
M = M′
JL MONINO
5
¾ Propriété 3
Une matrice carrée d’ordre n qui possède deux lignes ou deux colonnes égales a un déterminant nul.
¾ Propriété 4
Si l’on multiplie les éléments d’une ligne ou d’une colonne d’une matrice carrée d’ordre n par un nombre non
nul alors le déterminant est multiplié par ce nombre.
¾ Propriété 5
Si une matrice carrée d’ordre n possède une ligne ou une colonne dont les éléments sont tous nuls alors son
déterminant est nul.
¾ Propriété 6
Si deux lignes ou deux colonnes d’une matrice carrée d’ordre n sont formées d’éléments qui sont proportionnels
alors son déterminant est nul.
¾ Propriété 7
Si une ligne ou une colonne d’une matrice carrée d’ordre n est divisée par un nombre non nul alors son
déterminant est divisé par ce nombre.
¾ Propriété 8
Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n ne change pas si l’on ajoute aux éléments d’une ligne ou d’une
colonne, une combinaison linéaire des autres lignes ou colonnes.
¾ Propriété 9
Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n ne change pas si l’on retranche ou si l’on ajoute aux éléments
d’une ligne ou d’une colonne les éléments d’autres lignes ou d’autres colonnes.
¾ Propriété 10
Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n triangulaire inférieure ou supérieure est égal au produit des
éléments de sa diagonale principale. Il en va de même pour une matrice diagonale. Propriétés que l’on peut
écrire de la façon suivante :
• Matrice triangulaire supérieure ou inférieure
Si la matrice carrée M d’ordre n est triangulaire supérieure ou inférieure alors M = m1,1 * m2 ,2 *L*mi ,i *L*mn,n
•
Matrice diagonale
Si la matrice carrée M d’ordre n est diagonale alors M = diag (m1,1 , L , mn ,n ) = m1,1 * m2 ,2 *L*mi ,i *L*mn ,n
¾ Propriété 11
En utilisant la propriété 10 on peut énoncer que le déterminant de la matrice nulle d’ordre n est égal à zéro. De
même le déterminant d’une matrice unitaire d’ordre n est égal à un.
¾ Propriété 12
Soit deux matrices M et N carrées d’ordre n le déterminant du produit matriciel possède les propriétés
suivantes :
Mn * Nn = Nn * Mn
IV
et nous avons également
Mn * Nn = Mn * Nn
Calculs des déterminants par la méthode du pivot de Gauss
Le mathématicien Carl Friedrich Gauss (1777-1855) met au point une méthode simple et itérative qui utilise les
propriétés des déterminants et permet de rendre plus simple leur calcul. En effet, toute matrice triangulaire
supérieure ou inférieure ou toute matrice diagonale admet comme déterminant le produit de ses éléments situés
sur la diagonale principale. Comme toute combinaison linéaire entre lignes ou entre colonnes n’affecte pas la
valeur du déterminant, le principe développé par C-F Gauss consiste à rendre triangulaire supérieure ou
inférieure une matrice carrée d’ordre n en faisant apparaître par combinaisons linéaires adéquates des zéros soit
en dessous de la diagonale principale soit au-dessus de la diagonale principale. Comme nous le verrons plus loin
cette méthode est également utilisée pour résoudre des systèmes d’équations linéaires.
JL MONINO
6
A
Principe de calcul
Le principe retenu est de faire apparaître des zéros sous la diagonale principale d’une matrice carrée M d’ordre n
en utilisant des combinaisons linéaires. La matrice carrée M est définie par :
m1, j
m1, p ⎤
⎡ m1,1
L
L
⎥
⎢
⎢ M
O
M
M ⎥
⎥
⎢
mi , j
mi , p ⎥ avec i = 1, 2, L, n et j = 12
, ,L, p
M = mi , j = ⎢ mi ,1
L
L
⎥
⎢
⎢ M
M
O
M ⎥
⎥
⎢
mn , j
mn , p ⎥
⎢ mn ,1
L
L
⎦
⎣
Après un ensemble de combinaisons linéaires exécutées dans un ordre particulier, on doit obtenir une nouvelle
matrice N dont le déterminant sera égal au déterminant de la matrice M.
⎡ a1,1
L a1, j
L a1, p ⎤
⎢
⎥
⎢ M
O
M
M ⎥
⎢
⎥
A = ai, j = ⎢ 0
L ai, j
L a i , p ⎥ avec i = 1,2, L , n et j = 1,2, L , p
⎢
⎥
M
O
M ⎥
⎢ M
⎢
⎥
0
L
L a n, p ⎦
⎣ 0
[ ]
[ ]
Ainsi, le déterminant de la matrice A est égal : A = a1,1 * a 2 ,2 *L*a i ,i *L*a n ,n = M
B
Etape de calculs
Les différentes étapes de calculs se font en écrivant la diagonale principale des matrices successives obtenues
après combinaisons linéaires.
- Etape 1 : Considérons deux cas :
1.
L’élément m1,1 = 0
2.
L’élément m1,1
Dans ce cas on effectue une permutation entre la première ligne et une
autre ligne de telle façon que l’élément qui sera en position 1er ligne
1er colonne soit diffèrent de zéro (ou une permutation entre la 1er
colonne et une autre colonne). Attention dans ce cas une
permutation change le signe du déterminant de la matrice.
L’élément m1,1 ≠ 0
Dans ce cas il n’est pas nécessaire d’opérer de permutation. Ce cas est
le plus courant.
est appelé PIVOT, il est à l’intersection de la 1er ligne est de la 1er colonne. Plus
généralement, l’élément mi ,i avec i = {1,…,n} situé à la ligne i et colonne j s’appelle le PIVOT.
A l’aide d’une combinaison linéaire entre la 1er ligne PIVOT et les autres lignes de la matrice on
fait apparaître des zéros dans la colonne 1 sous la position de l’élément m1,1
1er colonne
1er PIVOT
1er ligne PIVOT
JL MONINO
7
⎧
⎪
Combinaisons
⎪
⎪⎪
linéaires
⎨
Entre la ligne du pivot ⎪
⎪
et les autres lignes
⎪
⎪⎩
-
⎡m1,1
⎢ 0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢ M
⎢
⎢
⎢ 0
⎣
m1,2
a 2 ,2
L
a 2 ,3
mi , j
L
L
M
O
M
ai, j
M
L
a n ,2
O
a n, j
m1,n ⎤
a 2 ,n ⎥⎥
⎥
⎥
⎥
M ⎥
⎥
⎥
a n ,n ⎥⎦
Etape 2 : On recommence l’étape 1 mais cette fois pour la colonne 2, alors le PIVOT est
l’élément a 2,2 et sous sa position on doit faire apparaître des zéros en effectuant des combinaisons
linéaires avec la nouvelle ligne 2ème du PIVOT et les autres lignes qui sont en dessous de cette
ligne du PIVOT.
On effectue ces mêmes opérations pour tous les éléments situés sur la diagonale principale. On
obtient ainsi une matrice triangulaire supérieure et son déterminant est égal au produit des
nouveaux éléments situés sur la diagonale principale.
V
Application
⎡4 − 1 3⎤
Calculons le déterminant de la matrice carrée M d’ordre 3 par la méthode du pivot : M 3 = ⎢⎢2 1 5⎥⎥
⎢⎣1 3 2⎥⎦
• La méthode de l’expansion par les cofacteurs des éléments de la ligne 1 :
- Etape 1 : On recherche l’ensemble de tous les déterminants mineurs relatifs à la 1er ligne
¾ Le mineur relatif à l’élément 4 de M est obtenu en barrant la 1er ligne et la
⎡4 − 1 3⎤
1 5
er
1 colonne M 3 = ⎢⎢2 1 5⎥⎥ le déterminant mineur est
.
3 2
⎢⎣1 3 2⎥⎦
¾ Le mineur relatif à l’élément -1 de M est obtenu en barrant la 1er ligne et la
⎡4 − 1 3⎤
2 5
eme
.
1 2
⎢⎣1 3 2 ⎥⎦
¾ Le mineur relatif à l’élément 3 de M est obtenu en barrant la 1er ligne et la
⎡4 − 1 3⎤
2 1
eme
.
1 3
⎢⎣1 3 2⎥⎦
-
Etape 2 : On recherche l’ensemble de tous les cofacteurs de la première ligne,
¾ Le cofacteur C1,1 de l’élément 4 de M qui est obtenu en multipliant le
mineur
1 5
3 2
de la ligne i = 1 et de la colonne j = 1 par
( -1) i+ j = ( -1) 1+1 = ( -1) 2 = 1
C1,1 = ( − 1)
1+1
*
1 5
3 2
=
.
Ce
cofacteur
est :
1 5
3 2
JL MONINO
8
¾ Le cofacteur C1,2 de l’élément -1 de M qui est obtenu en multipliant le
mineur
2 5
1 2
de la ligne i = 1 et de la colonne j = 2 par
( -1) i+ j = ( -1) 1+2 = ( - 1) 3 = -1
.
Ce cofacteur est : C1,2 = ( − 1)
¾
*
2 5
1 2
=−
2 5
1 2
Le cofacteur C1,3 de l’élément 3 de M qui est obtenu en multipliant le mineur
2 1
1 3
de la ligne i = 1 et de la colonne j = 3 par ( -1)
Ce cofacteur est : C1,3 = ( − 1)
-
1+ 2
1+ 3
*
2 1
1 3
=
i+ j
= ( -1)
1+3
= ( -1) = 1 .
4
2 1
1 3
Etape 3 : On multiple chaque élément de la ligne 1 par son cofacteur,
1 5
4 * C1,1 = 4 *
= 4 (1 * 2 – 3 * 5) = 4 * (2 - 15) = - 52
3 2
(-1) * C1,2 = (-1) *(-1)*
3 * C1,3 = 3 *
2 1
1 3
2 5
1 2
= ( 2 * 2 – 1 * 5 ) = 4 – 5 = -1
= 3 * ( 2 * 3 – 1 * 1 ) = 3 * ( 6 – 1 ) = 3 * 5 = 15
Etape 4 : On additionne l’ensemble de ces produits de la première ligne. On obtient le
déterminant de la matrice carrée M d’ordre 3 :
1 5
2 5
2 1
+ (-1) * C1,2 + 3 * C1,3 =4 *
+ (-1) *(-1)*
+3*
= -52 + (-1) + 15 = 38
3 2
1 2
1 3
M 3 = 4 * C1,1
•
La méthode du PIVOT :
- Etape 1 : L’élément de la position 1er ligne 1er colonne est différent de zéro. Le premier
PIVOT est 4
Nous devons faire apparaître sous la position PIVOT des zéros. Effectuons deux
combinaisons linéaires de la ligne du PIVOT avec la seconde et la troisième ligne :
La première combinaison sera
l’ancienne deuxième ligne + α la ligne du PIVOT = nouvelle deuxième ligne
La position (2,1) nous permet de calculer α
1
0=2+α*4⇔α= −
2
La connaissance de α nous permet d’appliquer la combinaison linéaire pour tous
les éléments de la ligne 2
1
2+(−
)* 4 = 0
2
⎡4 − 1 3 ⎤
⎢
3 7⎥
3
1
1 + (−
)* (-1) =
La nouvelle matrice s’écrit ⎢ 0
⎥
2
2
⎢1 23 22 ⎥
⎣
⎦
7
1
)* 3 =
5 + (−
2
2
La deuxième combinaison sera
l’ancienne troisième ligne + β la ligne du PIVOT = nouvelle troisième ligne
JL MONINO
9
La position (3,1) nous permet de calculer β
1
0=1+β*4⇔β= −
4
La connaissance de β nous permet d’appliquer la combinaison linéaire pour tous
1
)* 4 = 0
1 + (−
4
⎡
⎤
⎢4 − 1 3 ⎥
⎢
3 7⎥
1
13
1 + (−
)* (-1) =
La nouvelle matrice s’écrit ⎢0
⎥
4
2 2⎥
4
⎢
⎢0 13 5 ⎥
⎢⎣
4 4 ⎥⎦
1
5
5 + (−
)* 3 =
4
4
- Etape 2 : Servons-nous de la dernière matrice. L’élément de la position 2ème ligne 2ème
3
colonne . correspond au nouveau PIVOT qui est
2
Nous devons faire apparaître sous la position PIVOT des zéros. Effectuons une
combinaison linéaire de la ligne du PIVOT avec la troisième ligne :
Une seule combinaison sera nécessaire puisqu’il y a une seule position sous le
PIVOT
l’ancienne troisième ligne + α la ligne du PIVOT = nouvelle troisième ligne
La position (3,2) nous permet de calculer α
13
3
13
+α*
⇔α= −
0=
6
4
2
La connaissance de α nous permet d’appliquer la combinaison linéaire pour tous
13
0+(−
)* 0 = 0
6
13
13
13
+(−
)* (−
) = 0 La nouvelle matrice s’écrit
4
4
6
⎡
⎤
⎢4 − 1
3 ⎥
⎢
3
7 ⎥
A= ⎢0
⎥
2
2 ⎥
⎢
⎢0 0 − 19 ⎥
⎢⎣
3 ⎥⎦
5
7
13
19
+(−
)*
= −
4
2
6
3
D’après les propriétés sur les déterminants, le déterminant de la matrice A est égal au déterminant de la matrice
M. La matrice A est triangulaire alors son déterminant est égal au produit des éléments de la diagonale
principale.
3 ⎛ 19 ⎞
M = A = 4 * * ⎜ - ⎟ = 38
2 ⎝ 3⎠
VI
Conclusion
L’utilisation des déterminants est très fréquente dans la théorie des matrices, mais sa première utilisation est
l’inversion matricielle. On retrouve également le calcul des déterminants pour la recherche de solutions d’un
JL MONINO
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système d’équation linéaires, ainsi que pour la recherche du rang d’une matrice, mais pour le moment voyons
comment se servir des déterminants pour inverser une matrice carrée.
JL MONINO
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LES MATRICES

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