Chapitre 11 : Fonctions : comportement asymptotique.

CH11 - Fonctions : comportement asymptotique.
Chapitre 11 : Fonctions : comportement asymptotique.
I
Notion de limites en +∞ et −∞
f est une fonction défnie au moins sur un intervalle ]a; +∞[.
Chercher la limite de f (x) quand x tend vers +∞, c’est étudier le comportement des images f (x) quand on
prend pour x des valeurs aussi grandes que l’on veut.
On a pu voir dans l’introduction que trois cas peuvent se présenter :
1
Limite réelle à l’infini
• 1er cas : les nombres f (x) sont aussi proches d’un réel l que l’on veut.
Définition 1
On dit que "f a pour limite l en +∞" lorsque les valeurs de f (x) sont aussi proches de l que l’on veut dès
que x est assez grand.
On écrit :
lim f (x) = l
x→+∞
et on lit "la limite de f (x) quand x tend vers +∞ est l".
Interprétation graphique :
La courbe représentative Cf de f finit par être dans n’importe quelle bande délimitée par les droites d’équations y = l − β et y = l + β.
Exemple 1
1
La fonction f : x 7→ a pour limite 0 en +∞.
x
Définition 2
Lorsque la limite de f en +∞ est égale à l, on dit que la droite d’équation y = l est asymptote horizontale
à la courbe Cf en +∞.
Exemple 2
la courbe représentative de la fonction inverse admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en
+∞.
1ere S2
1
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2
Limite infinie à l’infini
• 2eme cas : Les nombres f (x) deviennent "infiniment grands".
Définition 3
On dit que "f a pour limite + en +∞", lorsque les valeurs de f (x) sont aussi grandes que l’on veut dès que
x est assez grand.
On écrit :
lim f (x) = +∞
x→+∞
et on lit "la limite de f (x) quand x tend vers +∞ est +∞".
Interprétation graphique :
La courbe représentative Cf de f finit par être au-dessus de toute droite horizontale.
Exemple 3
La fonction carré a pour limite +∞ en +∞. En effet, x2 peut être aussi grand que l’on veut pour des valeurs
de x suffisamment grandes
• 3eme cas : Les nombres f (x) sont négatifs et deviennent "infiniment grands en valeur absolue".
Définition 4
On dit que "f a pour limite − en +∞", lorsque les valeurs de f (x) sont négatives et de valeurs absolues
aussi garndes que l’on veut dès que x est assez grand.
On écrit :
lim f (x) = −∞
x→+∞
et on lit "la limite de f (x) quand x tend vers +∞ est −∞".
Interprétation graphique :
La courbe représentative Cf de f finit par être en-dessous de toute droite horizontale.
Exemple 4
La fonction f : x 7→ −x2 tend vers −∞ quand x tend vers +∞.
Remarque : Limite en moins l’infini
Si f est définie sur ] − ∞; a[, on définit de la même manière des limites quand "x tend vers −∞", c’est-à-dire
quand x prend des valeurs de plus en plus petites. Et de manière analogue, on donne un sens aux expressions :
lim f (x) = l ;
x→−∞
1
ere
S2
lim f (x) = +∞ ;
x→−∞
2
lim f (x) = −∞
x→−∞
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3
Limites à l’infini des fonctions de référence
Proposition 1
• La fonction carré :
lim x2 = +∞
et
x→−∞
lim x2 = +∞
x→+∞
• La fonction puissance :
lim xn =
x→−∞
+∞ si n pair
−∞ si n impair
et
lim xn = +∞
x→+∞
• La fonction racine carrée :
lim
x→+∞
√
x = +∞
• La fonction inverse :
1
1
=0
et
lim
=0
x→+∞ x
x→−∞ x
Remarque : L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction inverse
en +∞ et en −∞.
lim
II
Limite infinie en un réel a
1
Activité d’introduction : étude de pour x proche de 0. Dans cette partie, a est un nombe réel qui
x
borne un intervalle ouvert contenu dans l’ensemble de définition de f , et f n’est pas définie en a.
1
Notion de limite infinie en un réel a
Définition 5
f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a signifie que f (x) peut prendre des valeurs aussi grandes que l’on
veut, dès que x est suffisamment proche de a. On écrit alors :
lim f (x) = +∞
x→a
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3
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On définit de même "f (x) tend vers −∞ quand x tend vers a".
Remarque :
On doit parfois distinguer le cas où x tend vers a en restant plus grand que a ("limite à droite") du cas où x
tend vers a en restant plus petit que a ("limite à gauche") car le comportement de f (x) n’est pas le même
suivant les cas. Ceci est le cas pour la fonction inverse en 0 (cf activité d’introduction).
Exemple 5
On considère la fonction f définie sur R − {−3; 2} représentée ci-contre.
Déterminer les limites de f en −3 ainsi qu’en 2.
lim f (x) = +∞
x→−3
lim f (x) = +∞
x→2
x<2
lim f (x) = −∞
x→2
x>2
2
Limites de fonctions de référence.
Théorème 1
lim
x→0
x<0
3
1
1
1
1
= −∞ ; lim = +∞ ; lim 2 = +∞ ; lim √ = +∞
x→0 x
x→0 x
x→0
x
x
x>0
x>0
Asymptote verticale
Définition 6
Lorsque f a pour limite +∞ ou −∞ en a, on dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale
−
→ −
→
à la courbe représentative de f dans un repère O, ı ,  .
III
Opérations sur les limites
On considère deux fonctions f et g.
Le but de cette partie est de pouvoir déterminer les limites de f + g, f g,
f
à partir des limites de f et g en
g
α, α désignant +∞ −∞ ou un nombre réel a.
Dans la suite l et l′ sont des nombres réels.
1ere S2
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1
Limite d’une somme
Limite de f
l
l
l
+∞
−∞
+∞
Limite de g
l′
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
l + l′
+∞
−∞
+∞
−∞
FI
Limite de f + g
2
3
Limite d’une produit
Limite de f
l
l>0
l>0
l<0
l<0
+∞
+∞
−∞
0
Limite de g
l′
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
±∞
Limite de f × g
ll′
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
+∞
FI
Limite d’un quotient
• Cas où le dénominteur g est non nul.
Limite de f
l
l
+∞
+∞
−∞
−∞
±∞
Limite de g
l′ 6= 0
±∞
l′ > 0
l′ < 0
l′ > 0
l′ < 0
±∞
l
l′
0
+∞
−∞
−∞
+∞
FI
Limite de
f
g
• Cas où le dénominteur est nul.
Quand g a une limite nulle, on doit étudier le signe de g.
Limite de f
l > 0 ou +∞
l > 0 ou +∞
l < 0 ou −∞
l < 0 ou −∞
0
Limite de g
0 et positif
0 et négatif
0 et positif
0 et négatifs
0
+∞
−∞
−∞
+∞
FI
Limite de
f
g
Exemple 6
Déterminer la limite en +∞ et −∞ de la fonction f définie sur R par f (x) = x2 + 3x − 3.
• limite en +∞ de f .

lim x2 = +∞ 

x→+∞

lim 3x = +∞
Donc
x→+∞


lim −3 = −3 
lim f (x) = +∞
x→+∞
x→+∞
• limite en −∞ de f .

lim x2 = +∞ 

x→−∞

lim 3x = −∞
Donc
x→−∞


lim −3 = −3 
lim f (x) est une f orme indeterminée
x→−∞
x→−∞
Pour déterminer la limite d’un polynôme en +∞ ou −∞, quand il s’agit d’une forme indétermminée,
on met le terme de plus haut degré en facteur.
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Ici, on met x2 en facteur, on obtient :
3
3
1+ − 2
x x
f (x) = x2







lim 1 = 1
x→−∞
3
=0
x→−∞ x
−3
lim
= 0 car
x→−∞ x2
lim
De plus,
!
donc




2

lim x = +∞ 
lim 1 +
x→−∞
3
3
− 2=1
x x
x→−∞
lim x2 = +∞
x→−∞
Donc
lim f (x) = +∞
x→−∞
Exemple 7
1
√
Déterminer la limite en 0 et en +∞ de la fonction g définie sur ]0; +∞[ par g(x) = (1 − x).
x
• limite en 0 de g.
1
lim
= +∞
x→0+ x √
lim 1 − x = 1
x→0



Donc lim g(x) = +∞
x→0


On peut en déduire que l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe représentative de g .
• limite en +∞ de g.


1

lim
=0
x→+∞ x √
Donc lim g(x) est une f orme indeterminée
x→+∞

lim 1 − x = −∞ 
x→+∞
Pour déterminer la limite de g en +∞ , on développe l’expression de g.On obtient :
g(x) =
1
lim
=0
x→+∞ x
1
lim √ = 0
x→+∞
x







1
1
−√
x
x
donc
lim g(x) = 0
x→+∞
On peut en déduire que l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe représentative de g
en +∞.
Exemple 8
x2 + 1
Déterminer les limites en 2, en +∞ et en −∞ de la fonction h définie sur R − {2} par h(x) =
.
2−x
• Limite de h en 2.
lim x2 + 1 = 5 et lim 2 − x = 0.
x→2
x→2
Pour déterminer la limite de h en 2, déterminons le signe de 2 − x.
2 − x > 0 sur ] − ∞; −2[
2 − x < 0 sur ] − 2; +∞[
Donc
lim 2 − x = 0+
x→2
x<2
lim 2 − x = 0−
x→2
x>2
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On alors :
lim f (x) = +∞ et lim f (x) = −∞
x→2
x<2
x→2
x>2
On en déduit que la droite d’équation x = 2 est asymptote verticale à la courbe représentative de h.
• Limite de h en +∞.
lim x2 + 1 = +∞
x→+∞
lim 2 − x = −∞
x→+∞
)
Donc
lim h(x) est une f orme indéterminée
x→+∞
Pour déterminer la limite d’un quotient de polynôme en +∞ ou en −∞, on met en facteur le terme de
plus haut degré au numérateur et au dénominateur. On simplifie ensuite le quotient obtenu.
On obtient ici :
!
1
1
x2 1 + 2
1+ 2
x
x
! = −x ×
h(x) =
2
2
− +1
−x − + 1
x
x
On a :
1
lim 1 + 2 = 1
x→+∞
x
2
lim − + 1 = 1
x→+∞ x
De plus,







1+
donc
lim
x→+∞
1
x2 = 1
2
− +1
x
lim −x = −∞
x→+∞
Donc
lim h(x) = −∞
x→+∞
De même, en −∞,
lim h(x) = +∞
x→−∞
IV
1
Asymptotes obliques
Activité
1
f est la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = x + 1 + .
x
Dans un repère, C est la courbe représentative de f et d est la droite d’équation y = x + 1.
1. Observations graphiques.
Obtenir à l’écran de la calculatrice, la courbe C et la droite d en appliquant chacune des fenêtres
graphiques suivantes. Que constate-t-on ?
a. 0 ≤ x ≤ 5 et 0 ≤ y ≤ 7.
b. 0 ≤ x ≤ 10 et 0 ≤ y ≤ 12
On observe que la courbe et la droite sont très proches. De plus, quand x devient de plus en plus grand,
la courbe et la droite semblent quasiment confondues.
2. Vers une explication.
x est un réel de ]0; +∞[.
M et P sont deux points d’abscisse x situés respectivement sur la courbe C et la droite d.
a. Quelle est, en fonction de x, l’ordonnée de M ? l’ordonnée de P ?
On note yM et yp les abscisses respectives des points M et P.
1
Comme M ∈ C, yM = x + 1 + .
x
Comme P ∈ d, yP = x + 1.
1ere S2
b. Calculer la distance MP. Que devient cette distance quand x prend de très grandes valeurs ?
Comment ceci se traduit-il graphiquement ?
1
1
MP=|yM − yP | = |x + 1 + − x − 1| = .
x
x
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1
= 0.
x→+∞ x
Donc, quand x prend de très grandes valeurs, la distance MP devient très proche de zéro. Par
conséquent, quand x prend de très grandes valeurs,la droite et la courbe sont très très proches.
Or lim
2
Asymptote oblique
Définition 7
C est la courbe représentative d’une d’une fonction f .
On dit que la droite d d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C en +∞ (ou −∞) lorsque :
lim [f (x) − (ax + b)] = 0 (ou
x→+∞
lim [f (x) − (ax + b)] = 0)
x→−∞
Exemple 9
1
f est la fonction définie sur R∗ par f (x) = 2x − 1 + 2
x
Dans un repère, C est la courbe représentative de f et d la droite d’équation y = 2x − 1.
Démontrer que d est asymptote oblique à C en +∞ et en −∞.
Calculons f (x) − (2x − 1).
f (x) − (2x − 1) = 2x − 1 +
1
1
− 2x + 1 = 2
2
x
x
1
= 0.
x→+∞ x2
Donc, comme lim [f (x) − (2x − 1)] = 0, la droite d d’équation y = 2x − 1 est asymptote oblique à C en
Or, lim
x→+∞
+∞. (de même, en −∞).
Exemple 10
On considère la fonction f définie sur ] − ∞; 0] par
f (x) =
x2 + x − 6
2x − 2
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout réel x de ] − ∞; 0], on ait f (x) = ax + b +
ax + b +
c
=
2x − 2
=
=
c
.
2x − 2
(ax + b)(2x − 2) + c
2x − 2
2ax2 − 2ax + 2bx − 2b + c
2x − 2
2
2ax + x(−2a + 2b) − 2b + c
2x − 2
Comme x2 + x − 6 = 2ax2 + x(−2a + 2b) − 2b + c, on obtient par identification :


1




 a= 2
 2a = 1
−2a + 2b = 1 ⇔
1


2b = 1 + 2 × = 2 Donc b = 1

−2b + c = −6


 c = −6 + 2 =2−4 donc c = −4
On a alors
1
4
f (x) = x + 1 −
2
2x − 2
2. En déduire l’existence d’une asymptote oblique d pour la courbe C.
1
Soit d la droite d’équation y = x + 1.
2
!
4
1
x+1 =−
.
D’après la question précédente, f (x) −
2
2x − 2
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4
= 0.
x→−∞
x→−∞ 2x − 2 !
1
x + 1 = 0, la droite d est asymptote oblique à C en −∞.
Par conséquent, comme lim f (x) −
x→−∞
2
Or lim 2x − 2 = −∞. Donc lim −
3. Etudier la position relative de C et d.
Afin d’étudier la position relative de C et d, on étudie le signe de f (x) −
Comme −
4
> 0 sur ] − ∞; 0], on en déduit que :
2x − 2
C est au-dessus de d sur ] − ∞; 0]
!
1
4
x+1 =−
.
2
2x − 2
−
→
j
0
1ere S2
9
−
→
i
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