2009 - BFH

Prüfung in Analysis
3. Novembre 2009
Aufgabe 1 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
x2 − x − 12
x→4 x2 − 7x + 12
sin(2x)
(c)
lim
x→0 sin(3x)
(a)
lim
(b)
3x3 − x2 + x + 1
x→∞ 6x5 − 3x2 + 95
lim
(Jede richtige Antwort gibt 1 Punkt)
Aufgabe 2 Gibt es eine reelle Zahl a , so dass der Grenzwert
3x2 + ax + a + 3
x→−2
x2 + x − 2
lim
existiert? Falls ja, bestimmen Sie a sowie den Grenzwert.
(2 Punkte)
Aufgabe 3 Wir betrachten die Funktion:
x+b
falls x < 1
f (x) =
2
ax − 2x + 5 falls x ≥ 1
(a) Welche Bedingungen müssen die Parameter a und b erfüllen, damit f stetig ist?
(1 Punkt)
(b) Welche Bedingungen müssen die Parameter a und b erfüllen, damit f differenzierbar ist?
(2 Punkte)
Aufgabe 4 Begründen Sie, ob die folgenden Funktionen an der Stelle x0 = 0 differenzierbar sind:
2
x · sin x1 falls x 6= 0 ,
x · sin x1 falls x =
6 0,
(b) g(x) =
(a) f (x) =
0
falls x = 0 .
0
falls x = 0 .
Hinweis: Sie müssen die Definition der Ableitung an der Stelle x0 benützen.
(jede richtige Antwort gibt 1 Punkt)
Epreuve d’analyse
3 novembre 2009
Exercice 1 Calculer les limites ci-dessous :
x2 − x − 12
x→4 x2 − 7x + 12
sin(2x)
(c)
lim
x→0 sin(3x)
(a)
lim
(b)
3x3 − x2 + x + 1
x→∞ 6x5 − 3x2 + 95
lim
(Chaque réponse correcte donne 1 point)
Exercice 2 Y a-t-il un nombre réel a tel que la limite
3x2 + ax + a + 3
x→−2
x2 + x − 2
lim
existe ? Si oui, déterminez a ainsi que la limite.
(2 points)
Exercice 3 Nous considérons la fonction :
x+b
si x < 1
f (x) =
2
ax − 2x + 5 si x ≥ 1
(a) Quelles conditions les paramètres a et b doivent-ils vérifier afin que f soit continue ?
(1 point)
(b) Quelles conditions les paramètres a et b doivent-ils vérifier afin que f soit dérivable ?
(2 points)
Exercice 4 Justifiez si les fonctions ci-dessous sont dérivables en x0 = 0 :
2
x · sin x1 si x 6= 0 ,
x · sin x1 si x 6= 0 ,
(b) g(x) =
(a) f (x) =
0
si x = 0 .
0
si x = 0 .
Indication : Vous devez utiliser la définition de la dérivée en x0 .
(Chaque réponse correcte donne 1 point)