METHODE DES DEPLACEMENTS

METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Matrices de rigidité des barres
u
Structure cinématiquement déterminée la plus
élémentaire ?
barre « bi-encastrée »!
Les kij ?
les réactions aux extrémités de la barre biencastrée sous un déplacement unitaire à
une de ces extrémités !
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Matrices de rigidité barre bi-encastrée
u
Un Dj provoque 6 kij !
Théorème du
déplacement unité!
y
k22
k12
D2=1
k32
k52
k62
k42
z
u
Six Dj provoquent 36 kij !
Matrice de rigidité de la barre
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Matrices de rigidité barre bi-encastrée :
 k 11
k
 21
 k 31
k= 
k 41
 k 51

k 61
u
u
u
Dehard 2002
k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62
k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63
k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64
k 15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65
k 16 
k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 
Les kij sont calculés en axes locaux ;
Poutre prismatique (A, I, L, module E) ;
Déformations dues à V négligeables.
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Matrice barre bi-encastrée (axes locaux):
y
5
2
z
3
k=
Dehard 2002
x
4
1
6
 EA
 L

 0

 0

 − EA

 L
 0


 0

0
0
12EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
4 EI
L
0
0
− 12EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
2 EI
L
−
− EA
L
0
0
EA
L
0
0
0
− 12EI
L3
6 EI
− 2
L
0
12 EI
L3
6 EI
− 2
L

0 
6 EI 

2
L 
2EI 
L 

0 

6 EI 
− 2 
L
4EI 

L 
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Matrice barre bi-encastrée (axes globaux):
5
4
y
6
2
α
1
z
3
12EI
sin α
3
L
sinα
1
α
cosα
x
α
Dehard 2002
k54 en axes globaux?
α
EA
cos α
L
 EA
 L

 0

 0

 − EA

 L
 0


 0

0
0
12EI
L3
6EI
L2
6EI
L2
4EI
L
0
0
− 12EI
L3
6EI
L2
6EI
L2
2EI
L
−
− EA
L
0
0
EA
L
0
0
0
− 12 EI
L3
6EI
− 2
L
0
12 EI
L3
6EI
− 2
L

0 
6EI 

L2 
2 EI 
L 

0 

6EI 
− 2 
L
4 EI 

L 
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Matrice barre bi-encastrée (axes globaux):
5
4
y
6
2
α
1
z
α
Dehard 2002
sinα
1
α
cosα
x
3
12EI
sin α
3
L
k54 en axes globaux?
α
EA
cos α
L
k 54 =
EA
12EI
cos α sin α − 3 sin α cos α
L
L
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Matrice barre bi-encastrée
(axes globaux):
5
y
6
2
α
1
z
k=
 EA 2 12 EI 2
 L c + L3 s
 EA
12 EI

cs − 3 cs
 L
L
6EI

− 2 s

 EA L 12 EI
−
c2 − 3 s 2
 L
L
 EA
12EI
 − L cs + 3 cs
L

6EI

− 2 s

L
Dehard 2002
EA
12 EI
cs − 3 cs
L
L
EA 2 12EI 2
s + 3 c
L
L
6EI
c
L2
EA
12 EI
−
cs + 3 cs
L
L
EA 2 12EI 2
−
s − 3 c
L
L
6EI
c
L2
6EI
s −
x
3
EA 2 12EI 2
c − 3 s
L
L2
L
6EI
EA
12 EI
c −
cs + 3 cs
L
L2
L
4EI
6EI
s
L
L2
6EI
EA 2 12EI 2
s
c + 3 s
L
L2
L
6EI
EA
12EI
− 2 c
cs − 3 cs
L
L
L
2EI
6EI
s
L
L2
−
4
EA
12EI
cs + 3 cs
L
L
EA 2 12 EI 2
−
s − 3 c
L
L
6EI
− 2 c
L
EA
12 EI
cs − 3 cs
L
L
EA 2 12 EI 2
s + 3 c
L
L
6EI
− 2 c
L
−
6EI 
s
L2 
6EI
c
L2 
2EI 
L 
6EI 
s
L2 
6EI 
− 2 c
L 
4EI 
L 
−
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Matrice barre encastrée/articulée (axes locaux):
y
2
5
z
3
k=
Dehard 2002
x
4
1
 EA
 L

 0

 0

 EA
−
 L
 0

0
0
3EI
L3
3EI
L2
3EI
L2
3EI
L
0
0
−
3EI
L3
−
3EI
L2
−
EA
L
0
0
EA
L
0

0 
3EI 
− 3 
L 
3EI
− 2 
L

0 

3EI 
L3 
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Matrice barre articulée/encastrée (axes locaux):
y
2
4
3
1
5
z
k=
Dehard 2002
x
 EA
 L

 0

 − EA
 L

 0

 0

0
−
EA
L
3EI
L3
0
0
EA
L
3EI
L3
3EI
L2
−
0
0
0
−
3EI
L3
0
3EI
L3
3EI
− 2
L

0 
3EI 

2
L 
0 
3EI 
− 2 
L 
3EI 
L 
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
5
Matrice barre encastrée/art.
y
(axes globaux):
4
2
α
1
z
k=
3
EA
3EI
3EI
EA 2 3EI 2
 EA 2 3EI 2
c
+
s
cs
−
cs
−
s
−
c − 3 s
 L
3
3
2
L
L
L
L
L
L
 EA
3EI
EA 2 3EI 2
3EI
EA
3EI

cs − 3 cs
s + 3 c
c
−
cs
+
cs
2
3
L
L
L

L
L
L
L
3
EI
3
EI
3
EI
3
EI

− 2 s
c
s

2
2
L
L
L
L
 EA
3EI
EA
3EI
3EI
EA 2 3EI 2
−
c2 − 3 s2 −
cs + 3 cs
s
c + 3 s
L
L
 L
L
L
L2
L
 EA
3EI
EA 2 3EI 2
3EI
EA
3EI
−
cs
+
cs
−
s
−
c
−
c
cs
−
cs
 L
L
L

L3
L3
L2
L3
Dehard 2002
x
EA
3EI 
cs + 3 cs 
L
L
EA 2 3EI 2 
−
s − 3 c
L
L

3EI

− 2 c

L

EA
3EI
cs − 3 cs 
L

L
EA 2 3EI 2 
s + 3 c 
L
L

−
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Vecteurs des charges extérieures des barres
u
Structure cinématiquement déterminée la plus
élémentaire ?
barre bi-encastrée ou encastrée/articulée !
Les kiP ?
les réactions d’appui aux extrémités de la
barre sous les charges extérieures qui lui
sont appliquées !
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Vecteur des charges ext. barre bi-encastrée
u
Une charge provoque 6 réactions d’appui !
y
k4P
k1P
z
u
k3P
k2P
k6P
k5P
Une charge provoque 6 kiP !
Vecteur des charges de la barre
Dehard 2002
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Vecteur des charges ext. barre bi-encastrée
 k 1p 
k 
 2p 
 k 3p 
kp =  
k 4 p 
 k 5p 


k 6p 
u
u
u
Dehard 2002
Les kip sont calculés en axes locaux ;
Poutre prismatique ;
Déformations dues à V négligeables.
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Vecteur des charges barre bi-encastrée
(Charge uniformément répartie - axes locaux):
y
2
5
p
4
1
6
3
z
kp =
Dehard 2002
 0 
 − pL 
 2 
 pL2 
−

 12 
 0 
 pL 
− 2 

2 
pL


 12 
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Vecteur des charges barre encastrée/articulée
(Charge concentrée - axes locaux):
y
P
2
a
1
5
b
3
z
kp =
Dehard 2002
0


2
2
 Pb(3L − b ) 
−

3
2
L


Pab
(
L
+
b
)
 −

2


2L


0
2
 Pa (3L − a ) 
−

3

2L

4
x
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Equation générale de la méthode des déplacements
pour la structure entière (en axes globaux)
∑
m
k ij .D j + k iP = Pi pour i=1, 2, …m
j=1
Σ des kij des barres
(axes globaux)
u
Σ des kiP des barres
(transformés en
axes globaux)
La résolution donne les Dj en axes globaux !
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
n
Calcul des efforts aux extrémités des barres de
la structure (en axes locaux)
u
Un déplacement Dj d’une extrémité de barre
provoque des réactions kij.Dj correspondant
aux efforts intérieurs si on est en axes locaux !
u
Les charges appliquées sur une barre
provoquent des réactions kiP correspondant
aux efforts intérieurs si on est en axes locaux !
Finalement tout effort intérieur aux extrémités
d’une barre en axes locaux : F =
k .D + k
i
∑
j
Dehard 2002
ij
j
iP
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Calcul des efforts aux extrémités des barres de
la structure (en axes locaux)
u
Sous forme matricielle :
{F} = [k b ]{D b } + {k p }
matrice rigidité barre
en (axes locaux)
vecteur charges
(axes locaux)
vecteur déplacements
(axes locaux)
Dehard 2002
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Calcul des efforts aux extrémités des barres de
la structure (en axes locaux)
u
y
Sous forme détaillée :
x
z
A
NA 
 D1   k 1p 
V 
D  k 
A


 2   2p 
M A 
 D3   k 3p 

 = [k b ]  + 

 NB 
D 4  k 4 p 
 VB 
D 5   k 5 p 


  

 M B 
D 6  k 6 p 
Dehard 2002
B
METHODE DES DEPLACEMENTS
n
Calcul des efforts aux extrémités des barres de
la structure (en axes locaux)
u
y
Sous forme détaillée :
x
z
A
NA 
 D1   k 1p 
V 
D  k 
A


 2   2p 
M A  = [k b ] D3  +  k 3p 
 NB 
D 4  k 4 p 


  

 VB 
D 5   k 5p 
Dehard 2002
B