10 Symétrie

Maths 6e
10
10.1
10. Symétrie
2012-2013
Symétrie
Axe de symétrie d’une figure
Une droite est un axe de symétrie d’une figure si les deux parties de la figure situées de
part et d’autres de la droite se superposent exactement par pliage suivant cette droite.
Exemples : les diagonales d’un losange sont ses axes de symétrie ; la bissectrice d’un angle
est son axe de symétrie ; tout diamètre d’un cercle est un de ses axes de symétrie.
10.2
Médiatrice d’un segment
Le segment [AB] a deux axes de symétrie : la droite (AB)
elle-même et la droite ∆ perpendiculaire à la droite (AB)
passant par le milieu du segment [AB].
Définition : La droite perpendiculaire à un segment en son
milieu s’appelle la médiatrice du segment.
A
P
M
∆
B
Théorèmes :
1. Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités du segment ;
2. Si un point est équidistant des extrémités du segment, alors il appartient à la médiatrice du segment.
fig.1
fig.2a
fig.2b
Construction de la médiatrice d’un segment :
– règle graduée et équerre (fig.1 ) : mesurer le segment, diviser sa mesure par deux, tracer
le milieu, puis la perpendiculaire à l’aide de l’équerre ;
– compas et règle non graduée (fig.2a ou fig.2b) :
– avec le compas on trace deux arcs de cercles de même rayon et de centres respectifs les
extrémités du segment : l’intersection de ces deux arcs est un point de la médiatrice,
car il est équidistant des extrémités du segment ;
– de même on trace un second point de la médiatrice (on peut garder le même rayon
en traçant un point de l’autre côté du segment) ;
F.Bonomi
– 24/32 –
prog 2005
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– les deux points construits permettent de tracer la médiatrice du segment.
Remarque : l’utilisation du compas est plus rapide et plus précise que la règle graduée et
l’équerre ; de plus il n’est pas nécessaire de tracer le segment pour connaître sa médiatrice ;
on peut également se servir de cette méthode pour construire le milieu du segment en
traçant l’intersection du segment avec la médiatrice.
10.3
Bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est aussi son axe de symétrie.
Rappel : la bissectrice d’un angle peut être construite de deux façons (voir chapitre sur
les angles) :
– à l’aide d’un rapport en mesurant l’angle et, après division de cette mesure par deux,
en traçant la droite issue du sommet de l’angle qui partage cet angle en deux angles
de même mesure.
– à l’aide du compas et de la règle non graduée en construisant deux points équidistants
du sommet de l’angle sur chacun des côtés de l’angle, puis un point équidistant des
deux points ainsi obtenus.
10.4
Axes de symétrie d’un triangle
En général un triangle n’a pas d’axe de symétrie : on parle de triangle quelconque.
Théorèmes :
1. Si un triangle est isocèle, alors il a un axe de symétrie et son axe de symétrie est
à la fois la bissectrice de l’angle formé par les deux côtés de même longueur et la
médiatrice du côté opposé à ce sommet.
2. Si un triangle a un axe de symétrie, alors il est isocèle.
3. Si un triangle est équilatéral, alors il a trois axes de symétrie qui sont les bissectrices
de ses angles et les médiatrices de ses côtés.
4. Si un triangle a au moins deux axes de symétrie distincts, alors il est équilatéral.
10.5
Axes de symétrie d’un quadrilatère
En général un quadrilatère n’a pas d’axe de symétrie : on parle de quadrilatère quelconque.
Théorèmes :
1. Un trapèze isocèle a un axe de symétrie qui est la médiatrice commune de ses deux
bases (côtés parallèles).
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2. Un cerf-volant à un axe de symétrie qui est une de ses diagonales.
3. Un rectangle a deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés.
4. Un losange a deux axes de symétrie qui sont ses diagonales.
5. Un carré a quatre axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés et ses
diagonales. (preuve : le carré est à la fois un rectangle et un losange. !)
10.6
Symétrie axiale ou réfléxion
Si deux figures se superposent exactement par pliage suivant une droite, alors on dit
que ces deux figures sont symétriques par rapport à cette droite qui est appelée axe de
symétrie.
On parle de symétrie ou de réflexion par rapport à une droite.
Théorème : deux figures symétriques par rapport à une droite ont mêmes dimensions,
mêmes formes et même aire.
Preuve : les deux figures sont superposables par retournement. !
Construction de la symétrie :
Deux points M et M ! sont symétriques par rapport à l’axe ∆ si la droite ∆ est la médiatrice du segment [MM ! ].
Pour construire le point M ! symétrique du point M par rapport à la droite ∆ on utilise
le principe de la construction de la médiatrice d’un segment :
M
M
∆
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M!
∆
– 26/32 –
M!
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– avec la régle graduée et l’équerre : tracer la perpendiculaire à l’axe de symétrie ∆
passant par le point M ; sur cette perpendiculaire reporter la distance du point M à
l’intersection de l’axe ∆ avec la perpendiculaire de l’autre côté de l’axe ∆ ; le point
obtenu est le symétrique M ! de M (l’axe ∆ est la médiatrice du segment [MM ! ]).
– avec le compas et la règle non graduée : tracer un arc de cercle de centre M coupant
l’axe ∆ en deux points ; tracer deux arcs de cercle de même rayon et de centres respectifs
les deux points tracés sur l’axe ∆ ; ces deux arcs se coupent en M ! , symétrique de M
par rapport ∆.
10.7
Propriétés et théorèmes
Théorème : la symétrie axiale conserve les distances et les angles, donc :
– le symétrique d’un segment est un segment de même longueur ;
– le symétrique d’une droite est une droite ;
– le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon ;
– le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.
Autres résultats intéressants :
– si un point se trouve sur l’axe de symétrie, alors il est son propre symétrique ;
– si un segment ou une droite coupe l’axe de symétrie, alors le symétrique de ce segment
ou de cette droite passe par ce point d’intersection avec l’axe.
Exemple :
On construit le symétrique du triangle ABC par rapport au côté [AC] (la droite (∆) est
l’axe de symétrie).
Les points A et C appartiennent à l’axe
de symétrie donc le point A est son
propre symétrique, de même pour C.
B
Il suffit donc de construire le symétrique B ! de B, alors [AB ! ] est le symétrique de [AB] et [CB ! ] est le symétrique de [BC].
La conservation des longueurs par la
symétrie permet d’écrire les égalités :
AB = AB ! et CB = CB ! .
C
A
(∆)
B!
La conservation des angles par la symétrie permet d’écrire les égalités :
! AC, BCA
! CA et ABC
! C (l’angle droit reste un angle droit).
! =B
"
! =B
"
! = AB
"
BAC
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