x - Institut des Actuaires

MODÈLE ALM :
APPORT DE LA LOGIQUE FLOUE DANS LA
MODÉLISATION DES COMPORTEMENTS
1
Le 27 Septembre 2013
Sandrine Mouret
Sylvain Detroulleau
INTRODUCTION (1/2)
¢ 
Solvabilité II : valorisation du bilan selon le principe
de la « juste valeur » :
— 
— 
¢ 
Le Best Estimate :
— 
— 
¢ 
¢ 
Actifs : en valeur de marché
Passifs : vision « Best Estimate »
Représente la valeur actualisée des cash flows futurs de l’assureur ( Prestation, Frais,…)
Repose sur des hypothèses réalistes et non nécessairement prudentes (vision 50/50).
Dans les sociétés d’assurance vie commercialisant des contrats d’épargne, un modèle ALM
(Gestion Actif/Passif) est souvent nécessaire afin de capter l’ensemble des interactions entre
l’actif et le passif
Pour valoriser le passif en « Best Estimate », le modèle ALM doit tenir compte des incertitudes
liées :
— 
— 
Aux comportements des assurés (rachats, décès,...)
Aux actions futures du management (politique de taux servis, allocation d’actif,…)
2
INTRODUCTION (2/2)
¢ 
Bien que relevant d’un enjeu important dans la détermination du Best Estimate, les lois
comportementales soulèvent des difficultés sur leur calibrage, leur modélisation et plus
largement leur justification.
¢ 
Objectif : trouver une modélisation proche de la réalité
¢ 
Le raisonnement humain
Attitude devant un feu tricolore
SI le feu est rouge…
— 
— 
SI ma vitesse est élevée…
ET SI le feu est proche…
ALORS je freine fort.
Pour résoudre des problèmes complexes, les être humains utilisent des données
approximatives de par une connaissance imparfaite de l’environnement qui les entoure.
Leurs raisonnements se basent sur des critères plus qualitatifs que quantitatifs.
è La logique floue en permettant de modéliser les imprécisions et les
incertitudes du raisonnement humain, apparait alors comme alternative
de modélisation des comportements
3
SOMMAIRE
¢ 
Le modèle ALM
— 
— 
— 
¢ 
Interactions Actif/Passif
Fonctionnement du modèle ALM
Lois comportementales
Modélisation des rachats conjoncturels par la Logique floue
— 
— 
Méthodologie de la logique floue
Sensibilités des rachats conjoncturels
¢ 
Modélisation de la politique de taux servis par la Logique floue
¢ 
Analyses des résultats
4
LE MODÈLE ALM
5
Calcul du Best Estimate d’une compagnie d’assurance vie fictive :
- Interactions Actif/Passif
- Fonctionnement du modèle ALM
- Lois comportementales
LES INTERACTIONS ACTIF/PASSIF
¢ 
Options et garanties des contrats épargnes : interactions entre l’actif et le passif
— 
Le taux minimum garantie (TMG)
— 
La participation aux bénéfices (PB)
— 
¢ 
L’option de rachat
Interactions
— 
Allocation d’actifs
— 
Réalisation de plus-values
— 
Politique de taux servis
— 
…
Les techniques de simulations sont préférées pour évaluer le coût des options et
garanties
6
FONCTIONNEMENT DU MODÈLE ALM
Modèle ALM
Générateur
de scénarios
économiques
Scénario i
Données
Paramètres
Portefeuille
d’Actifs
Rachats,
Décès
Model points
Passif
Allocation
d’actifs
Bilan
d’ouverture
Politique de
taux servis
…
…
Sortie
Projection
dans le
temps
Cash-Flows
Actualisation
Best
Estimate
Feront l’objet d’une modélisation
par la logique floue
7
LOIS COMPORTEMENTALES : RACHATS
¢ 
Rachats structurels (RS)
— 
— 
¢ 
Liés à la structure du portefeuille
Estimés à partir de l’historique de l’assureur
Rachats conjoncturels (RC)
— 
— 
— 
¢ 
Liés à la conjoncture économique et à la performance de l’assureur
Absence de données.
Modélisés traditionnellement à partir d’une loi proposée par l’ACP
Limites de la « loi ACP » :
— 
— 
— 
— 
Absence d’éléments permettant la justification du calibrage
Suppose les assurés rationnels
Repose sur un seul critère : l’écart de taux servis
Une loi pour tous
8
LOIS COMPORTEMENTALES : MOTIFS DES
RACHATS CONJONCTURELS
D’autres facteurs peuvent expliquer le comportement des assurés en matière de
rachats conjoncturels
¢ 
L’âge de l’assuré
— 
¢ 
L’ancienneté
— 
— 
¢ 
Les jeunes sont peu réactifs et disposent d’un encours faible, ils seront moins sensibles à l’écart
entre le taux servi et le taux concurrent
Les assurés dont l’ancienneté est élevée ont une meilleure connaissance du marché
Les assurés dont l’ancienneté est faible ne bénéficieront pas d’abattement fiscal en cas de rachat
L’inertie des assurés
— 
Un assuré ne rachète pas nécessairement son contrat si l’assureur lui sert un taux moins
avantageux que la concurrence mais si cela fait plusieurs années qu’il lui propose des taux moins
attractifs
¢ 
Frais d’acquisition
¢ 
Pénalité de rachat
¢ 
…
9
LOIS COMPORTEMENTALES : ACTION DU
MANAGEMENT
¢ 
¢ 
Les actions du management dans les modèles ALM sont traditionnellement
transposées sous la forme de fonctions statiques ou sous la forme de problèmes
d’optimisations sous contraintes
Exemples d’actions du management dans notre modèle :
— 
— 
¢ 
Limites :
— 
— 
— 
¢ 
Objectif de taux servis
servir le taux concurrent
Allocation d’actif
70% d’obligation, 10% d’action, 15% d’immobilier et 5% de monétaire
Le management n’est pas impliqué dans la modélisation
Modélisation pouvant devenir complexe
Les simplifications usuelles ne sont pas réalistes
Alternative possible
Ø 
Modélisation des comportements par la théorie de la logique floue…
10
MODÉLISATION DES RACHATS
CONJONCTURELS PAR LA LOGIQUE FLOUE
11
Méthodologie de la logique floue
- Pré-requis et définitions
- Le raisonnement en logique floue
* La fuzzification
* L’inférence floue
* La défuzzification
Sensibilités des rachats conjoncturels
MÉTHODOLOGIE DE LA LOGIQUE FLOUE
12
PRÉREQUIS ET DÉFINITIONS
¢ 
Limites de la théorie classique des ensembles :
La taille d’un individu (moyen, grand?)
è Nécessité de créer des ensembles flous
— 
¢ 
Variables et ensembles flous
— 
Une variable linguistique correspond à un triplet (X,U,R) :
¢ 
¢ 
¢ 
X = la variable (ex: la taille)
U = univers du discours = valeurs prises par la variable (ex: mètre )
R = ensemble de sous-ensemble flous (ex: petit, moyen, grand)
Un ensemble flou A est caractérisé par
sa fonction d’appartenance :
— 
∀x ∈ X ; µ A ( x) ∈[0,1]
¢ 
Opérateurs flous
Opérateurs de Zadeh
Intersection : ET
µ A∩B ( x) = MIN(µ A ( x), µB ( x))
Réunion : OU
µ A∪B ( x) = MAX (µ A ( x), µB ( x))
13
LE RAISONNEMENT EN LOGIQUE FLOUE
Fuzzification
Entrées
Passage du
quantitatif au
qualitatif
Valeurs
numériques
Inférence floue
Défuzzification
Simulation du
raisonnement
humain
Prise de décisions
Domaine flou
Valeurs
numériques
Sorties
14
ETAPE 1 : FUZZIFICATION
La fuzzification est l’étape qui permet de passer du monde réel au monde flou.
¢ 
Méthode :
— 
— 
— 
Déterminer les variables floues d’entrée et de sortie du modèle
Déterminer pour chacune de ces variables leurs ensembles flous associés
Déterminer la fonction d’appartenance de chacun de ces ensembles flous
Dans le cadre des rachats conjoncturels:
Variables Ensembles flous Univers du discours Entrées Ecart de rendement Fortement néga,f Faiblement néga,f Proche de 0 Faiblement posi,f Fortement posi,f [-­‐6%; 4%] Ancienneté du contrat Sor0e Age de l'assuré Taux de rachat Très néga,f Néga,f Faible Jeune-­‐Adulte Moyenne Adulte Proche de 0 Importante Retraité Posi,f Très posi,f [0 ans; 40 ans] [18 ans; 100 ans] [-­‐5%; 20%] 15
è Les fonctions d’appartenance des variables d’entrée et de sortie
•  Les fonctions d’appartenance sont déterminées à l’aide de jugements d’experts et d’intuitions
Remarque : Les fonctions choisies sont linéaires par morceaux en vue de simplifier les calculs
futurs mais il est possible d’utiliser d’autre formes de fonctions d’appartenance : hyperboliques,
normales,…
16
ETAPE 2 : INFÉRENCES FLOUES (1/4)
¢ 
Déterminer la matrice de décisions
Etablir l’ensemble des règles de décisions possibles pour un individu
— 
SI prémisse 1… ET prémisse 2… ALORS conclusion
¢ 
— 
Liens logiques : ET è chaque variable influence conjointement la décision
Calibrage de la matrice
¢ 
¢ 
Expertise
Argumentation soutenue
Matrice de décisions pour les rachats conjoncturels :
Ancienneté du contrat & Age de l'assuré Taux de rachat Faible Moyenne Importante Ecart de rendements Jeune-­‐Adulte Adulte Retraité Jeune-­‐Adulte Adulte Fortement néga,f Proche de 0 Posi,f Posi,f Posi,f Posi,f Faiblement néga,f Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Posi,f Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Faiblement posi,f Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Néga,f Fortement posi,f Proche de 0 Néga,f Néga,f Néga,f Néga,f Encours faible et faibles connaissances
du marché è Pas réactifs
Retraité Jeune-­‐Adulte Posi,f Posi,f Proche de 0 Proche de 0 Adulte Retraité Très posi,f Posi,f Posi,f Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Proche de 0 Néga,f Néga,f Néga,f Proche de 0 Très néga,f Néga,f Encours important et désire de
s’assurer une bonne retraite
è Très réactifs
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Exemple : x0 = (Ecart de rendements -1.7%; Ancienneté 3.5 ans; Age 61 ans)
Remarque : Pour chaque combinaison d’entrée, plusieurs règles de décisions peuvent être
déclenchées. D’après la forme des fonctions d’appartenance, on peut prendre en compte
jusqu’à 8 règles de décisions
Ecart des rendements Ensembles flous Y_rdmt 0,40 Fortement néga,f 0,60 Faiblement néga,f 0,00 Proche de 0 0,00 Faiblement posi,f 0,00 Fortement posi,f Ancienneté du contrat Ensembles flous Y_ancien 0,75 Faible 0,25 Moyenne 0,00 Importante Age de l'assuré Ensembles flous Y_age 0,00 Jeune-­‐Adulte 0,86 Adulte 0,14 Retraité Il y a donc 8 règles de décisions à prendre en compte :
Règles Ecart de rendement ET Ancienneté ET Age de l'assuré ALORS Rachat R1 Fortement néga,f ET Faible ET Adulte ALORS Posi,f R2 Fortement néga,f ET Moyenne ET Adulte ALORS Posi,f R3 Fortement néga,f ET Faible ET Retraité ALORS Posi,f R4 Fortement néga,f ET Moyenne ET Retraité ALORS Posi,f R5 Faiblement néga,f ET Faible ET Adulte ALORS Proche de 0 R6 Faiblement néga,f ET Moyenne ET Adulte ALORS Posi,f R7 Faiblement néga,f ET Faible ET Retraité ALORS Proche de 0 R8 Faiblement néga,f ET Moyenne ET Retraité ALORS Proche de 0 Conclusions déterminées à
l’aide de la matrice de
décisions
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ETAPE 2 : INFÉRENCES FLOUES (2/4)
¢ 
Définir le degré d’activation de la règle R :
µ R ( x0 )
Déterminer la véracité des propositions de chacune des règles floues
Niveau de vérité des propositions è MINIMUM entre les degrés d’appartenance
Pour R1 :
Règles R1 Ecart de rendement 0,40 MIN MIN Ancienneté 0,75 MIN MIN Age de l'assuré Degré d'ac:va:on 0,86 0,40 Rachat Posi,f µ R ( x0 ) = 40%
1
19
ETAPE 2 : INFÉRENCES FLOUES (3/4)
¢ 
Implication :
Préciser la conclusion par rapport au niveau de vérité de la proposition
è Evaluer la fonction d’appartenance de la conclusion de la règle R
¢ 
Méthode Mamdani
'
µconclusion
( y) = MIN y (µ R ( x0 ), µconclusion ( y))
R
R
Pour R1:
µ Positif ( y)
'
µ Positif
( y)
R1
R1
1,20
1,20
1,00
1,00
0,80
Implication
0,60
0,60
0,40
0,40
0,20
0,20
0,00
-5%
0,80
0%
5%
10%
15%
20%
0,00
-5,00% 0,00%
20
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
ETAPE 2 : INFÉRENCES FLOUES (4/4)
¢ 
Agrégation des conclusions
— 
Caractériser la décision floue
Les fonctions d’appartenance des conclusions de chaque règle floue sont reliées
par un « OU » logique è un « MAX » en logique floue
'
µFINALE ( y) = MAX y (µconclusion
( y)); ∀1 ≤ i ≤ N
Ri
Agrégation
21
ETAPE 3 : DÉFUZZIFICATION
Cette étape permet de repasser dans l’univers réel pour prendre une décision
¢ 
Deux méthodes de défuzzification :
— 
Méthode du centre de gravité (COG) :
n
xG
xi × µ ( xi )
xµ ( x)dx ∑
∫
=
=
µ
(
x
)
dx
∫
∑ µ(x )
i =0
n
i
i =0
— 
Méthode de la moyenne des maxima (MM) :
N
xMM
xi
xdx ∑
∫
=
=
N
dx
∫
i =0
è Prise de décision réelle
22
SENSIBILITÉS DES RACHATS CONJONCTURELS
23
¢ 
Les différentes méthodes de défuzzification
•  Résultats proches des préconisations
de l’ACP
•  Résultats plus stables avec la
défuzzification par centre de gravité
¢ 
Cohérence avec la matrice de décisions
•  Evolution de la réactivité des
individus retranscrite dans les
résultats
24
¢ 
Impacts des changements dans la matrice de décisions
Hypothèse : La connaissance joue un rôle plus important que l’encours sur la réactivité
des jeunes adultes d’ancienneté importante
Remarque : une seule colonne à
changer dans notre matrice de
décisions
•  Impact de la matrice de décisions immédiat et important
25
MODÉLISATION DE LA POLITIQUE DE
TAUX SERVIS PAR LA LOGIQUE FLOUE
26
CARACTÉRISTIQUES RETENUES POUR LA
POLITIQUE DE TAUX SERVIS
¢ 
Variables et ensembles flous
Variables Ensembles flous Univers de discours ¢ 
Entrées Sor0e PPE Produits financiers Ra:o de solvabilité Poli:que de taux servis Faible Faibles Passable Peu concurrente Convenable Appréciables Bon Concurrente Elevée Elevés Très bon Très concurrente [0%, 4%] [20%, 130%] [100%, 400%] [85%, 120%] La matrice de décisions
Produits financiers &PPE Poli:que de taux servi Faibles Solvabilité (ra:o MSR) Passable Bon Très bon Faible Convenable Appréciables Forte Faible Convenable Importants Forte Faible Convenable Forte Peu Peu Peu Peu Peu Concurrente Concurrente Concurrente Concurrente concurrente concurrente concurrente concurrente concurrente Peu Peu Peu Très Concurrente Concurrente Concurrente Concurrente Concurrente concurrente concurrente concurrente concurrente Peu Peu Très Très Très Concurrente Concurrente Concurrente Concurrente concurrente concurrente concurrente concurrente concurrente 27
SENSIBILITÉS DU MANAGEMENT ACTION
•  Toutes les décisions prises lors du
calibrage de la matrice de décisions se
retranscrivent dans les résultats
28
ANALYSES DES RÉSULTATS
29
APPORTS DE LA LOGIQUE FLOUE
Rachats conjoncturels
Ecart : 0,09% des
fonds propres
• 
Les résultats obtenus avec notre matrice de décisions sont comparables aux résultats
obtenus avec la courbe de rachats « ACP »
• 
La vision plus fine du management est au global en adéquation avec la vision ACP
Ø 
La logique floue :
• 
Permet de justifier et d’argumenter l’utilisation de la fonction ACP
• 
Apporte une méthodologie de calibrage
30
APPORTS DE LA LOGIQUE FLOUE
+3,79%
+5,45%
-5,24%
Société A : moyenne d’âge = 47 ans
Société R : moyenne d’âge = 65 ans
Société J : moyenne d’âge = 20 ans
Ø 
Ø 
Ø 
Société A : scénario central
Société B : scénario « réactif »
La logique floue permet une modélisation individuelle du comportement de
rachat
Méthodologie directement applicable sur des portefeuilles atypiques
La matrice de décisions est un outil pertinent pour modifier/ajuster le
comportement de certaines classes d’assurés
31
APPORTS DE LA LOGIQUE FLOUE
Politique de taux servis
Ecart : 3,2% des
fonds propres
• 
Meilleure gestion du taux servi par rapport à notre modèle standard
Ø 
Réels apports de la logique floue:
• 
• 
• 
• 
Niveau d’optimisation flexible
Etablie un lien concret entre la politique du management et sa
modélisation
Force le management à prendre position
Le module logique floue se positionne comme un outil d’aide à la décision
intéressant
32
CONCLUSION
¢ 
¢ 
Logique innovante et cadre conceptuel mathématique rigoureux pour traduire les
expertises
Apporte des justifications sur un problème où les données sont insuffisantes
— 
Justification du calibrage et généralisations des courbes de rachats conjoncturels proposées par
l’ACP
¢ 
Fournie un lien concret entre la politique du management et sa modélisation
¢ 
Limites :
— 
— 
¢ 
Recommandations d’utilisation :
— 
— 
¢ 
Sources d’erreurs difficiles à identifier
Résultats sensibles aux fonctions d’appartenances et aux univers de discours
Justifications du calibrage de la matrice de décisions contrôlées par le régulateur
Comprendre ses assurés : questionnaire de souscription, analyses des causes de rachats,…
Axes de développement possibles
— 
— 
Allocation d’actif, politique d’extériorisation des PVL,…
Outil d’aide à la décision au sein de l’ORSA
33
MERCI DE VOTRE ATTENTION
QUESTIONS/REPONSES
Contacts :
§ 
[email protected]
§ 
[email protected]
34