Convergence de séries: résumé des crit`eres
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Convergence de séries: résumé des crit`eres
Convergence de séries: résumé des critères Soit ∞ P an une série dont on veut étudier la convergence. n=1 1. Série géométrique ∞ P arn−1 : n=1 a • si |r| < 1, la série converge vers 1−r ; • si |r| ≥ 1, la série diverge. 2. Série de Riemann ∞ P n=1 1 np : • si p > 1, la série converge; • si p ≤ 1, la série diverge. 3. Critère de comparaison: • si 0 < an ≤ bn à partir d’un certain indice n et ∞ P bn n=1 ∞ P • si 0 < bn ≤ an à partir d’un certain indice n et converge, la série converge; bn diverge, la série diverge. n=1 4. Critère de divergence: si lim an 6= 0, alors la série diverge. n→∞ 5. Critère des polynômes ∞ P n=1 P (x) Q(x) , P (x) polynôme de degré p, Q(x) polynôme de degré q: • si q − p > 1, la série converge; • si q − p ≤ 1, la série diverge. 6. Critère du quotient généralisé: an+1 • si lim a < 1, la série converge; n n→∞ an+1 • si lim a > 1, la série diverge; n n→∞ an+1 • si lim a = 1, on ne peut tirer aucune conclusion. n n→∞ 7. Critère des séries alternées ∞ P (−1)n an : si an+1 ≤ an à partir d’un certain indice n=1 n et si lim an = 0, alors la série converge. n→∞ c G. Heilporn, 2011 1 Exemples: ∞ X 2en 7n − 2 n=1 critère de divervence 2en =∞= 6 1 n→∞ 7n − 2 la série diverge lim ∞ X 7n n=1 critère du quotient n! 7n+1 n! 7 =0<1 = lim n n→∞ (n + 1)! 7 n→∞ n + 1 la série converge lim ∞ X n=1 n−4 2n3 + n − 1 critère des polynômes q−p=3−1>1 la série converge ∞ X 7n + 1 √ 2 n n n=1 séries de Riemann ∞ ∞ X X 7 1 = + donc p > 1 pour les deux séries 3/2 5/2 n n n=1 n=1 la série converge ∞ X (−1)n critère des séries alternées n ln(n) n=1 1 −1(ln(n) + 1) 1 = < 0 pour n ≥ 1, lim =0 2 n→∞ n ln(n) (n ln(n)) n ln(n) la série converge ∞ X (−1)n n3 n=1 2n critère du quotient généralisé n 3 (−1)n+1 (n + 1)3 2 = lim (n + 1) = 1 < 1 lim n→∞ 2n+1 (−1)n n3 n→∞ 2n3 2 la série converge c G. Heilporn, 2011 2 ∞ X n=1 √ 3 critère de comparaison n2 − 7 ∞ X 3 3 3 diverge (série harmonique) 0< ≤ √ pour n ≥ 3, 2 n n n −7 n=1 la série diverge ∞ X (−3)n n=0 série géométrique 8n+2 n ∞ X 1 −3 = 64 8 n=0 la série converge vers ∞ X (2n + 1)! n=1 (n − 1)! 1 64 1+ 3 8 = 1 88 critère du quotient (2n + 3)(2n + 2) (2n + 3)! (n − 1)! = lim =∞>1 n→∞ n! (2n + 1)! n→∞ n la série diverge lim ∞ X n=1 7n 1 + 2n critère de comparaison 1 1 ≤ pour n ≥ 1 7n + 2n 7n ∞ X 1 et converge (série géométrique avec r = 1/7) 7n n=1 0< la série converge ∞ X n=1 1 2 n−1 √ 3 critère de comparaison 1 1 ≤ 1/3 pour n ≥ 1 1/3 2n 2n − 1 ∞ X 1 et diverge (série de Riemann avec p = 1/3 < 1) 1/3 2n n=1 0< la série diverge c G. Heilporn, 2011 3