Convergence de séries: résumé des crit`eres

Convergence de séries: résumé des crit`eres

Convergence de séries: résumé des critères
Soit
∞
P
an une série dont on veut étudier la convergence.
n=1
1. Série géométrique
∞
P
arn−1 :
n=1
a
• si |r| < 1, la série converge vers 1−r
;
• si |r| ≥ 1, la série diverge.
2. Série de Riemann
∞
P
n=1
1
np :
• si p > 1, la série converge;
• si p ≤ 1, la série diverge.
3. Critère de comparaison:
• si 0 < an ≤ bn à partir d’un certain indice n et
∞
P
bn
n=1
∞
P
• si 0 < bn ≤ an à partir d’un certain indice n et
converge, la série converge;
bn diverge, la série diverge.
n=1
4. Critère de divergence: si lim an 6= 0, alors la série diverge.
n→∞
5. Critère des polynômes
∞
P
n=1
P (x)
Q(x) ,
P (x) polynôme de degré p, Q(x) polynôme de
degré q:
• si q − p > 1, la série converge;
• si q − p ≤ 1, la série diverge.
6. Critère du quotient généralisé:
an+1 • si lim a < 1, la série converge;
n
n→∞
an+1 • si lim a > 1, la série diverge;
n
n→∞
an+1 • si lim a = 1, on ne peut tirer aucune conclusion.
n
n→∞
7. Critère des séries alternées
∞
P
(−1)n an : si an+1 ≤ an à partir d’un certain indice
n=1
n et si lim an = 0, alors la série converge.
n→∞
c G. Heilporn, 2011
1
Exemples:
∞
X
2en
7n − 2
n=1
critère de divervence
2en
=∞=
6 1
n→∞ 7n − 2
la série diverge
lim
∞
X
7n
n=1
critère du quotient
n!
7n+1 n!
7
=0<1
= lim
n
n→∞ (n + 1)! 7
n→∞ n + 1
la série converge
lim
∞
X
n=1
n−4
2n3 + n − 1
critère des polynômes
q−p=3−1>1
la série converge
∞
X
7n + 1
√
2 n
n
n=1
séries de Riemann
∞
∞
X
X
7
1
=
+
donc p > 1 pour les deux séries
3/2
5/2
n
n
n=1
n=1
la série converge
∞
X
(−1)n
critère des séries alternées
n ln(n)
n=1
1
−1(ln(n) + 1)
1
=
< 0 pour n ≥ 1, lim
=0
2
n→∞
n ln(n)
(n ln(n))
n ln(n)
la série converge
∞
X
(−1)n n3
n=1
2n
critère du quotient généralisé
n
3
(−1)n+1 (n + 1)3
2
= lim (n + 1) = 1 < 1
lim n→∞
2n+1
(−1)n n3 n→∞ 2n3
2
la série converge
c G. Heilporn, 2011
2
∞
X
n=1
√
3
critère de comparaison
n2 − 7
∞
X
3
3
3
diverge (série harmonique)
0< ≤ √
pour n ≥ 3,
2
n
n
n −7
n=1
la série diverge
∞
X
(−3)n
n=0
série géométrique
8n+2
n
∞
X
1 −3
=
64 8
n=0
la série converge vers
∞
X
(2n + 1)!
n=1
(n − 1)!
1
64
1+
3
8
=
1
88
critère du quotient
(2n + 3)(2n + 2)
(2n + 3)! (n − 1)!
= lim
=∞>1
n→∞
n!
(2n + 1)! n→∞
n
la série diverge
lim
∞
X
n=1
7n
1
+ 2n
critère de comparaison
1
1
≤
pour n ≥ 1
7n + 2n
7n
∞
X
1
et
converge (série géométrique avec r = 1/7)
7n
n=1
0<
la série converge
∞
X
n=1
1
2 n−1
√
3
critère de comparaison
1
1
≤ 1/3
pour n ≥ 1
1/3
2n
2n − 1
∞
X
1
et
diverge (série de Riemann avec p = 1/3 < 1)
1/3
2n
n=1
0<
la série diverge
c G. Heilporn, 2011
3