Rang d`une matrice, syst`emes linéaires

Chap 33
Rang d’une matrice, systèmes linéaires
1
1.1
Rang d’une matrice
Rang des applications linéaires représentées par une même matrice
Définition. On appelle rang d’une matrice A le rang d’une application linéaire que A représente.
Propriété. Le rang d’une matrice est indépendant du choix de l’application linéaire représentée. (Il est donc
bien défini.)
Remarque. On a bien-sûr rg A ¤ minpn, pq, où A P Mnp pKq.
Corollaire. En considérant l’application linéaire canoniquement associées à la matrice A, le rang de la matrice
A est aussi le rang de la famille de ses vecteurs colonnes.
1.2
Rang des matrices équivalentes
Propriété. Deux matrices équivalentes ont le même rang.
Corollaire. On ne change pas le rang d’une matrice en la multipliant à droite ou à gauche par une matrice
inversible :
Soit A P Mnp pKq, Q P GLn pKq et P P GLp pKq. Alors rg pQAq rg A rg pAP q.
Théorème.
matrice A P Mnp pKq est équivalente à une matrice Jnpr pαij q ¤ ¤ , où r ¤¤
"α Toute
1 si i j et 1 ¤ i ¤ r
1 i n
1 j p
0
sinon
r colonnes
1 0
p colonnes
p r colonnes
0
0
0
0 1<
<
<<
<< 0
<
0
0
0 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
r lignes
n
n lignes
Jnpr r lignes
ij
αij
rg A et
Corollaire. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.
1.3
Rang de la transposée d’une matrice
Théorème.
Le rang d’une matrice A est aussi le rang de sa transposée t A.
Corollaire. Le rang d’une matrice, qui est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes, est aussi le rang de la
famille de ses vecteurs lignes.
2
2.1
Opérations conservant le rang
Opérations élémentaires sur les lignes des matrices
Définition. On appelle opération élémentaire sur les lignes d’une matrice l’une des trois opérations suivantes :
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Chap 33 – Rang d’une matrice, systèmes linéaires
(a) Échange de deux lignes
(b) Multiplication d’une ligne par α 0
(c) Ajout à une ligne de α fois une autre, α qcq
Propriété. Une opération élémentaire sur les lignes d’une matrice ne change pas le rang de celle-ci.
En effet, elle correspond à la multiplication à gauche de celle-ci par une matrice inversible, donc transforme la
matrice en une matrice équivalente.
Échange Lj Ø Lk avec j k.
1 0
0 ;;;;;
1
Pj,k j
k
0
1_ _ _ _
0
1 ==
=
1
1
0
0_ _ _ _
1;
;;
;; 0
0 1
ème
ligne
ème
ligne
Alors Pj,k A est la matrice A où l’on a échangé les lignes Lj et Lk .
2 I donc P
D’autre part Pj,k
n
j,k est inversible.
Lj Ð αLj , α 0.
1 0
0 ;;;;;
1
Dj,α 0
0
α_ _ _ _
1;
;;
;; 0
0 1
j
ème
ligne
Alors Dj,α A est la matrice recherchée.
D’autre part (α 0) Dj,α Dj,α1 In donc Dj,α est inversible.
Lj Ð Lj αLk , α qcq et j k.
k
colonne
1 0
0
>>
0 >>>>
>>
>>
_ _ _ _
α
>>
>>
αEj,k >>
>>
>>
>>
>
ème
Tj,k,α
In
>0
0
j
ème
ligne
0 1
Alors Tj,k,α A est la matrice recherchée.
D’autre part, Tj,k,α Tj,k,α pIn αEj,k q pIn αEj,k q In donc Tj,k,α est inversible.
1 3 4 5
2 4 5 6
Exemple. Pour se concaincre, avec A , effectuer le produit de A par P1,3 , D1,2 et T3,1,4 .
3 5 6 7
4 6 7 8
Remarque.
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2.2
Opérations élémentaires sur les colonnes des matrices
Définition. Ce sont les mêmes que sur les lignes, mais sur les colonnes.
Proposition. Une opération élémentaire sur les colonnes d’une matrice ne change pas le rang de celle-ci.
En effet, elle correspond à la multiplication à droite de celle-ci par une matrice inversible, donc transforme la
matrice en une matrice équivalente.
Remarque. Pour se convaincre, reprendre l’exemple précédent, en effectuant les multiplications à droite.
Remarque.
2.3
Méthode du pivot de Gauss pour détermination du rang
Introduction. On ne change pas le rang d’une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur ses lignes
et ses colonnes. On transforme donc la matrice par opérations élémentaires jusqu’à obtenir une matrice simple,
dont le rang se détermine facilement.
Méthode du pivot de Gauss. Soit A paij qij une matrice non nulle (sinon, elle est de rang 0).
Si le coefficient a11 est nul, on effectue des permutations de lignes et de colonnes pour le rendre non nul.
On obtient une matrice A1 pa1ij qij avec p1 a111 0, appelé premier pivot.
Méthode du pivot de Gauss. On annule tous les coefficients de la première colonne sous le pivot, en effectuant
a1
L1 . On obtient
Lj Ð Lj pj1
1
p1
♠
♠
Si la matrice bloc b1,1
b1,p1
bn1,1
bn1,p1
b1,1
b1,p1 0
B
bn1,p1
0 bn1,1
n’est pas nulle, on réapplique le procédé sur cette matrice.
Méthode du pivot de Gauss. Cette suite d’opérations est répétée jusqu’à avoir une matrice bloc nulle, c’està-dire lorsque la matrice a la forme :
p1 ♠
0 AAAAAAAAAAA
AA AA
pr ♠
Tr 0 0
0
Le rang de la matrice est alors r.
Exemple. Déterminer le rang de la matrice
0
♠ où p 0, . . . , p 0
1
r
0
♠
0
0
3
6
18
2 4
3
2
2
2
2
3
7
4
5
7
3
2
9
7
1
Remarque.
Remarque. Utilisation de Maple
> with(Student[LinearAlgebra]):
> M := < <1,2,0,3> | <0,2,1,2> | <2,4,0,1> | <1,4,1,3> >; # définition par colonnes
> GaussianElimination (M);
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>
#
>
>
>
#
>
#
2.4
Rank(M);
3
GaussianEliminationTutor (M);
N := < <1,1,x,y> | <x,y,1,1> | <1,1,y,x> | <y,x,1,1> >;
Rank(N);
4
x;
x
Calcul de l’inverse d’une matrice carrée inversible
Première méthode. Si on a la chance d’avoir une relation du type A3 3A 2In 0, alors on écrit Ap 12 A2
3
2 In q In donc A est inversible et on a directement l’expression de l’inverse.
Deuxième méthode (de Gauss). On effectue sur A une suite d’opérations élémentaires sur les lignes (ou les
colonnes, mais ne pas mélanger !) pour obtenir In . On effectue en même temps les mêmes opérations élémentaires
sur In et on obtient A1 . Les calculs seront présentés dans un tableau.
0 1 1
Exemple. Déterminer l’inverse de 1 0 1
1 1 0
Remarque.
Remarque. Utilisation de Maple
> with(Student[LinearAlgebra]):
> M := < <1,2,0,3> | <0,2,1,2> | <3,2,0,2> | <1,4,1,3> >; # définition par colonnes
> M^(-1);
18 34 21 78 47 12 14 21 0
78 34 21
1
4
1
4
1
2
1
4
#
> InverseTutor (M);
Remarque. On aura aussi une autre méthode avec le déterminant.
3
3.1
Équations linéaires
Rappel : structure de l’ensemble des solutions
Rappel. Soit E et F deux K-espaces vectoriels. On appelle équation linéaire une équation de la forme :
upxq b
où u P LpE, F q et b P F . x P E est l’inconnue et b le second membre.
On appelle équation sans second membre associée l’équation :
upxq 0F
Remarque. L’ensemble des solutions de l’équation de départ est S u1 ptbuq et celui de l’équation sans second
membre est S0 Ker u.
Théorème.
L’ensemble des solutions de l’équation linéaire upxq b est
ãÑ soit S ∅
ãÑ soit S x0
Ker u où x0 est solution particulière.
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3.2
Systèmes d’équations linéaires
$a x
'
'
& a1121x11
..
'
'
% a x.
Définition. On appelle système d’équations linéaires la donnée de :
a12 x2
a22 x2
...
...
a1p xp
a2p xp
pL n q
Les données sont les aij P K, appelés coefficients du système, regroupés en A paij q ¤ ¤ P Mn,p pKq appelée
¤¤
matrice du système, et pb1 , . . . , bn q P Kn .
Les inconnues du système sont les px1 , . . . , xp q P Kp .
n1 1
an2 x2
...
anp xp
pL 1 q
pL 2 q
b1
b2
..
.
bn
1 i n
1 j p
Le rang de A s’appelle le rang du système.
Résoudre ce système, c’est trouver tous les p-uplets px1 , . . . , xp q P Kp solutions des n équations simultanément.
Interprétation vectorielle.
Propriété. Soit r rgpuq.
• Si r n, alors u est surjectif, donc le système a des solutions, quel que soit le second membre.
• Si r n, u n’est pas surjectif. Le second membre doit satisfaire certaines conditions (appelées relations
de compatibilité) pour que le système admette des solutions.
• Si r p, alors u est injectif. Si une solution existe, elle est unique.
• Si r p, alors u n’est pas injectif. On pourra toujours ajouter à une solution un élément non nul du
noyau. Donc, s’il y a des solutions, les solutions ne seront jamais uniques. On fixe arbitrairement la valeur
de certaines inconnues, et on exprime les autres en fonction de celles-là.
Propriété.
• Si n p r, u est bijectif. On dit que le système est de Cramer. Il existe une unique solution, quel
que soit le second membre : c’est u1 pbq.
Remarque.
Interprétation matricielle.
Remarque.
3.3
Résolution par la méthode du pivot de Gauss
Méthode. Soit un système d’équations linéaires représenté matriciellement par AX B. On effectue simultanément sur A et B
les opérations élémentaires sur les lignes des matrices de la méthode du pivot vu dans la détermination du rang. Cela revient à faire
des multiplications à gauche par des matrices d’opérations élémentaires.
On peut être amené à effectuer des permutations sur les colonnes, ce qui revient à effectuer les mêmes permutations sur les lignes
de X, c’est-à-dire changer l’ordre des inconnues.
On obtient :
Qk . . . Q1 AP1 . . . Pl Pl . . . P1 X Qk . . . Q1 B
looooooooooomooooooooooon looooomooooon looooomooooon
X1
Tr
B1
où B 1 est le nouveau second membre, et X 1 est X dans lequel on a éventuellement effectué des permutations de lignes.
Méthode.
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
Le système est ainsi équivalent à : (on a multiplié par des matrices inversibles)
p1 x11
a112 x12
p2 x12
..
.
pr x1r
a11p x1p
a12p x1p
a1rp x1p
0
..
.
0
b11
b12
..
.
b1r
b1r
..
.
b1n
1
Les n r dernières équations ne font plus intervenir les inconnues. Ce sont les relations de compatibilité . Ce sont les
conditions portant sur le second membre pour que le système admette des solutions.
Les p r dernières (nouvelles) inconnues peuvent être fixées arbitrairement. On dit qu’elles deviennent des paramètres des
solutions.
Le système des r premières équations aux r premières inconnues est de Cramer, triangulaire, donc se résout à vue.
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$ x 3y 2z 3
&
3y z 0
Exemple. Soit à résoudre pS q
% 2x
$ 3x5x 2y4y z 57
&
3
Exemple. Soit à résoudre pS q
% xx 2y 2z
8z 7
$ ax
&
Exemple. Soit à résoudre, avec a paramètre réel, pS q
% xx
$x y z t 0
'
&
y
t 0
Exemple. Soit à résoudre pS q
z
2t 0
'
%x
x
2y
Remarque. Utilisation de Maple
>
>
>
>
z
y z
ay z
y az
1
1
1
0
with(Student[LinearAlgebra]):
M := < <1,2,0> | <2,3,2> | <0,2,1> | <3,5,5> >; # définition par colonnes
v := <5,4,2>;
LinearSolve( M, v );
#
7
11
3
3 t1
28
11
3
3 t1
t1
5
10
3
3 t1
> LinearSolveTutor( M, v );
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0
#
AB 0
A B inversible
Soit A et B dans Mn pKq telles que :
2
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9
Soit a
3
4
et n
PR
1
a
#
P N.
1
2
5
19
aij
1
1
1
2
1
3
4
11
A paij q1¤i,j ¤n , où :
33.5
2
syst_10.tex
syst_9.tex
1
3 6
cos 2θ
cos 3θ
syst_11.tex
si i j
si i j
Déterminer le rang de la matrice
syst_12.tex
cos θ
cos 2θ
cos 2θ cos 3θ cos 4θ
1
B cos θ
5
1 2 2 0 1 0 2 2 B
1 2 2 2
Déterminer le rang des matrices suivantes :
0
2 3 4
3 1 5 A
1 0 1
Déterminer le rang des matrices suivantes :
1 1
2 1
A
1 2
33.4
33.3
(a) Donner un exemple de telles matrices pour n 2.
(b) Montrer que rg A rg B n.
33.2
0
1 4 3 2 2 2 6 6 4 4 M 3 12 12 6 9
3
Décrire les opérations élémentaires permettant de passer de
M à Jn,p,r et déterminer le rang de M avec :
33.1
Rang
1
1
x
x
y
1
y 1
1
1
y
x
y
x
1
1
Discuter suivant les valeurs des réels x et y le rang de la
Soit A
$ mx
&
% xx
1
m
m2
$x
&
% xx
y
jy
j2 y
jz
j2 z
z
a
b
c
ppa, b, cq P C q. On appelle pS q le système :
z
z
mz
R 3 pm P R q :
syst_1.tex
$
m x
p m 1q y
&
p
2m 1q x
p
m 1q y %
2 x 4y
33.11
Résoudre dans
R les systèmes suivants :
mz
mz
2m z
syst_3.tex
a
b
c
Déterminer le(s) valeur(s) de m pour la(les)quelle(s) pS q n’est pas de
Cramer. Dans ce(s) cas, résoudre pS q.
33.10
Soit pm, a, b, cq P R4 . On note pS q le système :
Soit
3
y
my
y
Résoudre et discuter dans
syst_16.tex
P M4pKq telle que A2 0 et A3 0. Déterminer le
Montrer que ce système est de Cramer. Par une combinaison linéaire
des équations, déterminer l’unique solution px, y, z q.
syst_2.tex
33.9
33.8
Systèmes
rang de A.
33.7
syst_15.tex
Représenter les résultats dans un plan rapporté à un repère pOx, Oy q.
matrice :
33.6
syst_13.tex
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7/8
8/8
x
$x
& 1
% x2x2 1
2 x4
5 x4
10 x4
3
7
13
2x2 x3 3x4 x5 0
x3 2x4 2x5 0
x2 5x3 4x5 0
R5 le système suivant :
3
0
3
6
x3
2 x3
3 x3
3z
5z
z
13 z
On considère dans
y
y
y
3y
4 x2
8 x2
12 x2
a
syst_4.tex
pa P
33.13
$ x ay a2z a
&
2
1
% axax ayy aaz
3z 1
Soit a P C. Résoudre le système :
Que penser a priori de la structure de l’ensemble des solutions ? En
donner la dimension, puis une base.
syst_7.tex
33.12
'
& 23 xx (b)
'
% 4x R$q
$ 3x
& 1
(a)
% 69 xx11
mx
3x y 2z
my
contiennent une même droite vectorielle.
z
R3 d’équations :
x 2y
toriels de
Donner une C.N.S. sur m
3x 2y z
syst_8.tex
mz
P R pour que les trois plans vec-
syst_6.tex
33.16
3
33.15
3 2 1
4
1 1
5
Inverser la matrice A 2
syst_5.tex
Trouver un polynôme P de degré minimal prenant respecti-
vement les valeurs 5, 6, 2 et 1 en 1, 2, 3 et 4.
33.14
Divers
syst_14.tex
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