Histoire La géométrie étudiée au collège est la géométrie

6ème
CHAPITRE 8
DROITES SECANTES, PERPENDICULAIRES ou PARALLELES
I. Droites parallèles, sécantes, perpendiculaires
(d’) se dit
« d prime »
1. Droites sécantes
Définition
Deux droites sécantes sont deux droites ayant un seul point commun.
Exemple 1
Les droites (d) et (d’) sont sécantes en A.
On dit aussi : « Les droites (d) et (d’) se coupent en A. »
« Le point d’intersection des droites (d) et (d’) est A. »
Exemple 2
Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
En effet, on peut prolonger la droite (AB)…
A
(d')
(d)
A
C
B
D
2. Droites perpendiculaires
On code des droites
perpendiculaires
Définition
Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent
en formant quatre angles droits.
Exemple 3
« Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires. »
On utilise une équerre pour tracer des droites perpendiculaires.
Notation
Le symbole « ⊥ » signifie « est perpendiculaire à »
Codage
On ne code qu’un seul angle droit.
Remarque
- Deux droites perpendiculaires sont sécantes.
- Deux droites sécantes ne sont pas toujours perpendiculaires
(voir les exemples 1 et 2 ci-dessus)
(d)
(d')
3. Droites parallèles
Définition
Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.
Notation
Le symbole « // » signifie « est parallèle à »
Exemple 4
Les droites (d) et (d’) sont parallèles.
Autrement dit, les droites (d) et (d’) n’ont
aucun point commun, même si on les prolonge…
On note : (d) // (d’)
Histoire
(d)
(d')
La géométrie étudiée au collège est la géométrie euclidienne du savant grec Euclide vivant à
Alexandrie au 3e siècle avant J.C.
Il en a fondé les postulats (points de départ) :
« - Deux droites non parallèles se croisent en un point et un seul. »
« - Il existe qu’une seule droite passant par un point et parallèle à une autre droite. »
Le mot « Géométrie» vient des mots grecs « geo » (terre) et « metron » (mesure).
II. Propriété d’orthogonalité et de parallélisme
Propriété n°1
Les DONNEES
ou
Ce que l’on sait au
début du problème…
Donnée n°1 :
Donnée n°2 :
(d2) ⊥ (d1)
(d3) ⊥ (d1)
Propriété n°2
Donnée n°1 :
Donnée n°2 :
(d2) // (d1)
(d3) ⊥ (d1)
Propriété n°3
Donnée n°1 :
Donnée n°2 :
(d2) // (d1)
(d3) // (d1)
La FIGURE
La CONCLUSION
ou
Ce que l’on peut
dire des droites
(d2) et (d3)…
La PROPRIETE
ou
Ce que l’on peut
utiliser pour justifier
en géométrie
(d2) // (d3)
(d2) ⊥ (d3)
(d2) // (d3)
(en gras sur la figure)
(en gras sur la figure)
(en gras sur la figure)
Si deux droites sont perpendiculaires
à une même troisième,
alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles,
alors toute perpendiculaire à l’une
est perpendiculaire à l’autre.
Si deux droites sont parallèles à une
même troisième,
alors elles sont parallèles entre elles.
III. Constructions…
1. Construire une perpendiculaire passant par un point
A
A
A
d
A
d
1
d
d
4
3
2
Animations en ligne : Construire une perpendiculaire passant par un point hors de la droite
Entrainements en ligne :
Passer le permis Equerre
2. Construire une parallèle passant par un point
A
d
1
d
d
2
A
A
A
d
4
3
A
A
d
6
d
5
Animations en ligne : Construire une perpendiculaire passant par un point hors de la droite
IV. La médiatrice d’un segment
Définition
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à
ce segment et qui passe par le milieu de ce segment.
Exemple
La droite (d) est la médiatrice du segment [AE] :
• (d) est perpendiculaire à [AE] ;
• (d) coupe le segment [AE] en son milieu I.
Remarque
On peut « plier sur lui-même » le segment [AE] selon la droite (d).
On dit que la droite (d) est un axe de symétrie du segment [AE].
V.
Des figures particulières…
1. Le trapèze
Définition
Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles.
A
Figure
B
D
C
2. Le rectangle
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.
K
Figure
N
L
Les côtés opposés sont parallèles
M
Remarque
Un rectangle a ses côtés opposés parallèles.
3. Le carré
Définition
Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses quatre côtés de même longueur.
F
Figure
I
Remarques
G
H
- Un carré a ses quatre angles droits, donc c’est aussi un rectangle particulier.
- Un carré a ses quatre côtés de même longueur, donc c’est aussi un losange particulier.
- Un carré a aussi ses côtés opposés parallèles
4. Le triangle rectangle
Définition
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
S
Figure
P
O
Le triangle SOP est un triangle rectangle en S.