L`analyse de bifurcations

Cours Master 1 ENS
L’analyse de bifurcations
Jean-Olivier Irisson
1386
FABIO DERCOLE, JEAN-OLIVIER IRISSON, SERGIO RINALDI
2
0.8
1
1.5
8
1
0.6
4
2
7
1
6
0.4
5
3
9
0.5
3
2
7
9
0.2
3
12
5
6
5
1
0
0.2
0.25
0.3
0
0.2
0.25
Fig. 4. Bifurcation diagram of evolutionary model (5) with respect to predator efficiency e and
mutation frequency ratio k1 /k2 (A) and handling time θ (B). See Figure 3 for coevolutionary state
portraits and parameter values.
points out that there are fourteen subregions in the parameter space characterized by
different coevolutionary portraits. In each one of them, for simplicity, the boundary of
the stationary coexistence region, where the predator population becomes extinct, is
École Pratique des Hautes Études, UMR - CNRS 8046
not shown. This, however, fails to point out, graphically, that evolutionary extinction
52, Av.
Paul Alduy
of the predator
population
occurs in all cases, as shown in Figure 1, which is actually
66860
Perpignan
the coevolutionary portraitCedex
corresponding to subregion 11. It is worth noticing that
[email protected]
this form
of evolutionary extinction is always an evolutionary murder. In fact, on the
Telof: the
+33stationary
(0)4 68 66coexistence
20 55
boundary
region ẋ2 = 0, because n̄2 = 0 in (5); i.e., the
predatorFax
trait
is locally
: +33
(0)4 68constant
50 36 36while the prey trait varies.
Coevolutionary attractors can be equilibria or limit cycles, and the existence of
alternative attractors is rather common. When they exist, attracting cycles surround
all equilibria. Actually, there can be up to three alternative attractors (two equilibria
and one cycle), as shown by the coevolutionary portraits 10, 11, 13, and 14. There
are ten codimension-2 bifurcation points, namely a cusp (C), two generalized Hopf
(GH1 and GH2 ), two Bogdanov–Takens (BT1 and BT2 ), four noncentral saddle-node
homoclinic loops (S1 , S2 , B1 , and B2 ), and a double homoclinic loop (D) (see [17]).
No other bifurcation curves and codimension-2 bifurcation points are present in
L’analyse de bifurcations
Table des matières
1 Introduction
1.1 Les modèles en écologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 L’évolution et les dynamiques adaptatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3
2 Concepts en analyse de bifurcations
4
3 Bifurcations locales
3.1 Collisions d’équilibres : Bifurcation “saddlenode” ou “fold” . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Cas particuliers de la bifurcation saddlenode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bifurcation transcritique ou échange de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Bifurcation pitchfork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Structure en cusp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Collisions de cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Collision d’un cycle et d’un équilibre : Bifurcation de Hopf . . . . . . . . . .
3.3.2 Collision de deux cycles : Bifurcation tangente des cycles . . . . . . . . . . .
3.3.3 Collision d’un cycle et d’un tore : Bifurcation de Neimark-Sacker . . . . . . .
3.3.4 Collision d’un cycle de période T et d’un cycle de période 2T : Bifurcation
doublement de période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
5
5
7
8
8
8
10
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
flip ou
. . . . . 11
4 Bifurcations globales
12
4.1 Orbite hétéroclinique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Orbite homoclinique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Diagramme de bifurcation
2
14
L’analyse de bifurcations
1
Introduction
1.1
Les modèles en écologie
L’analyse de systèmes écologiques fait de plus en plus souvent appel à des modèles mathématiques.
Des modèles utilisés dans ce cadre, on peut retenir deux caractéristiques :
1. L’importance du temps et, fréquemment, la volonté de faire des prédictions à un temps futur
2. L’importance de l’aspect qualitatif des résultats car les modèles sont toujours grossiers et loin
de la réalité
En effet, représenter des phénomènes réels implique presque toujours de prendre en compte leur
dimension temporelle et de les simplifier. Ces deux contraintes tracent le chemin vers un formalisme
mathématique approprié que sont les équations différentielles. Le temps peut y être représenté facilement, implicitement (équations différentielles autonomes) ou explicitement (équations différentielles
non-autonomes). De plus, il existe un outil puissant permettant d’analyser qualitativement le comportement du système en fonction des valeurs de ses paramètres : l’analyse de bifurcations.
1.2
Les bifurcations
Les systèmes d’équations différentielles paramétrées peuvent avoir différents comportements asymptotiques (tendre vers un équilibre, un cycle limite. . .) en fonction des valeurs de leurs paramètres. Il peut
donc exister certaines valeurs pour lesquelles le comportement du système passe d’un état qualitatif à un
autre (l’attracteur du système était un équilibre et devient un cycle par exemple). Ce changement d’état
qualitatif est une bifurcation et la valeur du paramètre associée est appelée valeur de bifurcation.
Sur un intervalle de valeurs d’un paramètre qui contient une valeur de bifurcation, un système est donc
structurellement instable. L’analyse de bifurcations a pour objectif de localiser ces éventuelles valeurs
particulières des paramètres.
1.3
L’évolution et les dynamiques adaptatives
Un domaine au sein duquel les équations différentielles trouvent une application particulièrement
intéressante est l’évolution, vue par le biais de la théorie des dynamiques adaptatives. Tout d’abord,
il est évident que le temps y joue un rôle prépondérant. De plus, la rareté des données sur de longues
échelles de temps ne permet en général pas une calibration fine des modèles. Dès lors, ce sont plutôt
les changements qualitatifs de l’état du système qui vont être intéressants. Deux facteurs qui poussent
à utiliser des équations différentielles pour représenter ces systèmes. De plus, la théorie des dynamiques
adaptatives permet de construire ces modèles différentiels d’évolution des traits à partir des modèles
différentiels, plus classiques, représentant la dynamique des populations. Ainsi, le lien est fait entre les
interactions écologiques et leurs conséquences évolutives.
3
L’analyse de bifurcations
2
Concepts en analyse de bifurcations
À la suite de Sergio Rinaldi, je verrais ici les bifurcations comme des “collisions”. En effet, dans un
système structurellement stable (i.e. dans lequel il n’y a pas de bifurcation) les attracteurs, les points
répulsifs, les selles et leurs variétés stables et instables sont séparés et restent séparés pour n’importe
quel jeu de paramètres.
Def. Variétés (in)stables: La variété stable (resp. instable) d’une solution est la courbe tangente au
champ de vecteurs propres associés à une valeur propre du Jacobien dont la partie réelle est négative
(resp. positive).
Def. Jacobien: Le Jacobien est la matrice des dérivées partielles du système. Par exemple pour le
système :
x˙1
= f1 (x1 , x2 )
(1a)
x˙2
= f2 (x1 , x2 )
(1b)
Le Jacobien est égal à :
J=
df1
dx1
df2
dx1
df1
dx2
!
Une bifurcation correspond donc à la “collision” de deux objets (attracteur, point répulsif ou selle)
ou de deux variétés et ceci est une méthode géométrique efficace pour les décrire. La collision de deux
objets donne naissance à une bifurcation locale alors que la collision de deux variétés donne naissance
à une bifurcation globale.
Les bifurcations “locales” sont appelées ainsi car elles peuvent toujours être identifiées lors d’une
linéarisation du système au voisinage de la solution. Le critère de détection utilisé dans le cas des
bifurcations locales concerne les valeurs propres du Jacobien (étant donné qu’il intervient au premier
ordre dans la linéarisation).
Les bifurcations globales correspondent à des collisions de variétés et elles ne font donc pas forcément
intervenir le voisinage de la solution. Ici les linéarisations locales autour de la solution ne seront donc
d’aucune aide. C’est pour cela que ces bifurcations sont appelées “globales”.
Dans la suite, chaque bifurcation sera présentée graphiquement puis le critère de détection utilisé dans
les algorithmes pour la localiser sera présenté. Les conventions des représentations graphiques seront les
suivantes :
Fig. 1 – Conventions graphiques
4
L’analyse de bifurcations
3
Bifurcations locales
3.1
Collisions d’équilibres : Bifurcation “saddlenode” ou “fold”
Son nom vient du fait que dans un système de dimension deux (x1 , x2 ), une selle entre en collision
avec un nœud (stable ou instable). Elle est représentée pour un système à une dimension dans la Figure 2.
Fig. 2 – Bifurcation saddlenode
Un exemple simple d’équation pour laquelle elle est observée est :
ẋ = x2 − p
Détection :
3.2
(2)
Une valeur propre du Jacobien est nulle pour p = p̄.
Cas particuliers de la bifurcation saddlenode
Certaines bifurcations, souvent considérées comme classiques, sont en fait des cas particuliers de cette
bifurcation saddlenode. La plupart des logiciels d’analyse de bifurcation les détectent d’ailleurs en tant
que telle. Une perturbation du système, même très faible, suffit pour qu’elles redeviennent une bifurcation
saddlenode.
3.2.1
Bifurcation transcritique ou échange de stabilité
Le nom de cette bifurcation est éloquent quand ont voit sa représentation dans la Figure 3.
Des équations simples permettant d’observer ce phénomène peuvent être :
ẋ = px − x2
(3)
ẋ = ε + px − x2
(4)
ε<0
3.2.2
Bifurcation pitchfork
Encore une fois le nom de cette bifurcation est lié à son aspect dans la Figure 4.
Les équations les plus simples permettant d’observer le phénomène de bifurcation supercritique et sa
dégénéresence sont les suivantes :
ẋ = px − x3
(5)
ẋ = ε + px − x3
(6)
5
L’analyse de bifurcations
Fig. 3 – Bifurcation transcritique et sa dégénérescence après perturbation du système
Fig. 4 – Bifurcations pitchfork supercritique (à gauche), subcritique (à droite) et la dégénérescence de
la supercritique après perturbation du système (en bas)
6
L’analyse de bifurcations
La distinction super/subcritique est intéressante du point de vue biologique car les deux bifurcations
n’ont pas du tout la même signification. En effet, pour des valeurs décroissantes du paramètre, dans le
cas de la bifurcation supercritique le système passe continûment d’un équilibre “haut” ou “bas” à un
équilibre “moyen”. Au contraire, dans le cas de la bifurcation subcritique, le système est sur l’équilibre
“moyen” et brusquement cet attracteur disparaı̂t et la solution du système saute de manière discontinue
vers un autre attracteur ou diverge vers l’infini. Par exemple, si le système représente une population,
il y a une différence énorme entre le passage doux d’un régime de croissance à un autre (bifurcation
supercritique) et l’extinction brutale de la population (bifurcation subcritique).
3.2.3
Structure en cusp
Cette structure, obtenue uniquement dans un système avec deux paramètres, illustre plusieurs phénomènes
intéressants.
Fig. 5 – Structure en Cusp
La surface tracée représente dans la Figure 5 représente l’équilibre du système. Sur une portion de
l’espace des paramètres – partie grisée du plan (p1 ,p2 ) – trois équilibres coexistent (deux stables et un
instable) alors que sur le reste de l’espace un seul équilibre stable est présent. Tout d’abord il faut
remarquer qu’il y a deux façons très différentes de passer de A (équilibre stable “haut”) à B (équilibre
stable “bas”). Le chemin 1 permet de passer continûment d’un équilibre à l’autre alors que le chemin 2
implique une discontinuité, ce qui, biologiquement, peut être très différent (de la même façon que pour
les bifurcations super/subcritiques).
De plus le chemin discontinu a un propriété intéressante. Le comportement du système pour p2
constant et positif est le suivant : en augmentant puis diminuant p1 , le système suit deux trajectoires
différentes entre A et B et il se forme donc un cycle appelé cycle d’hystéresis, comme cela est illustré par
la Figure 6. Ce genre de phénomène a par exemple été observé dans le fonctionnement de neurones au
niveau du système nerveux central. Il y intervient dans le cadre de processus de mémorisation.
7
L’analyse de bifurcations
Fig. 6 – Cycle d’hystéresis
Enfin, cette structure illustre bien le fait que la bifurcation pitchfork est un cas particulier de la
bifurcation saddlenode . En effet, en projection sur le plan (p1 ,p2 ), comme cela est illustré par la Figure 7,
il est facile de remarquer qu’il est beaucoup plus probable d’observer une bifurcation saddlenode qu’une
pitchfork et que cette dernière intervient pour un jeu de paramètres très précis (p1 = 0 et p2 = 0).
Fig. 7 – Projection de la structure en cusp sur le plan (p1 ,p2 )
3.3
3.3.1
Collisions de cycles
Collision d’un cycle et d’un équilibre : Bifurcation de Hopf
Il existe évidement aussi la version subcritique de cette bifurcation.
Remarque : Le cycle apparaı̂t avec une amplitude infinitésimale mais une période finie.
Détection : Deux valeurs propres complexes conjuguées du Jacobien traversent l’axe des imaginaires.
Le sens de traversée détermine le type (super ou sub critique) de bifurcation.
3.3.2
Collision de deux cycles : Bifurcation tangente des cycles
Remarque : Le cycle apparaı̂t avec une amplitude et une période finies.
8
L’analyse de bifurcations
Fig. 8 – Bifurcation de Hopf (supercritique)
Fig. 9 – Bifurcation tangente des cycles
9
L’analyse de bifurcations
Détection : Dans ce cas la détection fait intervenir une section de Poincarré. La section de Poincarré
d’un objet est une portion de plan prise orthogonale au plan de l’objet sur laquelle une nouvelle fonction
(en temps discret) est définie. Ici, sur la section de Poincarré de la Figure 10, la bifurcation s’apparente
à une bifurcation saddlenode, elle sera donc détectée ainsi.
Fig. 10 – Analyse de la section de Poincarré d’une bifurcation tangente des cycles
3.3.3
Collision d’un cycle et d’un tore : Bifurcation de Neimark-Sacker
Fig. 11 – Bifurcation Neimark-Sacker
Détection : Dans ce cas, sur une section de Poincarré, la bifurcation s’apparente à une Hopf et sera
donc détectée comme telle.
Fig. 12 – Analyse de la section de Poincarré d’une bifurcation Neimark-Sacker
10
L’analyse de bifurcations
3.3.4
Collision d’un cycle de période T et d’un cycle de période 2T : Bifurcation flip ou doublement
de période
Fig. 13 – Bifurcation flip ou doublement de période
Cette bifurcation a un intérêt particulier car une cascade de doublement de période aboutit au chaos.
Il y a des conditions à satisfaire pour observer une telle cascade mais en pratique, seules les deux,
voire trois premières bifurcations sont détectées et ensuite il est admis que la cascade continue, avec des
bifurcations de plus en plus proches les unes des autres.
Détection : La détection de cette bifurcation fait encore intervenir une section de Poincarré. Ici, la
fonction définie sur la section a une propriété particulière : les deux équilibres stables sont visités alternativement. Cela se traduit, au niveau du Jacobien par une valeur propre égale à -1.
Fig. 14 – Analyse de la section de Poincarré d’une bifurcation flip
11
L’analyse de bifurcations
4
Bifurcations globales
Ces bifurcations correspondent à la collisions de variétés et ne sont plus détectées par linéarisation
autour de la solution.
4.1
Orbite hétéroclinique
Cette bifurcation résulte de la collision de variétés stables et instables de 2 selles séparées. C’est en
fait un phénomène assez rare.
Fig. 15 – Bifurcation hétéroclinique
4.2
Orbite homoclinique
Ici, ce sont les variétés stable et instable d’une même selle qui entrent en collision. Selon le signe
d’une certaine quantité, appelée quantité de selle et notée σ, deux types de cycles sont observés comme
on peut le voir sur la Figure 16.
Au niveau temporel, les orbites homocliniques ont un comportement très particulier. Comme le montre
la Figure 17, les trajectoires restent longtemps à proximité de la selle avant d’être très rapidement
expulsées vers le cycle homoclinique en cours de formation pour revenir enfin près de la selle et y passer
un peu plus de temps encore etc. La théorie prédit que, pour la valeur du paramètre pour laquelle l’orbite
homoclinique est observée (valeur de bifurcation) la période des trajectoires sur l’orbite est infinie. Cela
rend les points de bifurcation homoclinique très difficilement détectables par simulation (à la limite, le
temps de simulation serait infini !). D’autre part, dans le cas des systèmes biologiques, les données sont
souvent recueillies sur une période de temps assez courte (quelques années par exemple pour les systèmes
écologiques). Dans ce cas, il faut garder à l’esprit le comportement des orbites homocliniques pour ne
pas identifier à tort un équilibre du système qui serait en fait une phase stationnaire (proche de la selle)
d’une trajectoire attirée par une orbite homoclinique, qui pourrait donc encore subir des changements
brutaux.
Remarque : De plus, cette bifurcation peut aussi être à l’origine d’un comportement chaotique. Dans
ce cas, une seule bifurcation est suffisante pour faire basculer le système dans un régime chaotique (pas
de cascade).
12
L’analyse de bifurcations
Fig. 16 – Bifurcation homoclinique
Fig. 17 – Comportement temporel d’une orbite homoclinique
13
L’analyse de bifurcations
5
Diagramme de bifurcation
L’objectif d’un analyse de bifurcation est d’arriver à un, ou plusieurs, diagrammes de bifurcations.
Un diagramme de bifurcation est une portion de l’espace des paramètres sur laquelle sont représentés
tous les points de bifurcation.
Les logiciels actuels ne permettent de construire que des diagrammes de bifurcation en deux dimensions. Les ensembles de points de bifurcation de même nature (Hopf, saddlenode etc.) forment donc
des courbes, appelées courbes de bifurcation. Elles délimitent des zones de l’espace dans lesquelles le
comportement qualitatif du système est monomorphe. Par exemple, trois zones sont délimitées dans la
Figure 18.
Fig. 18 – Exemple de diagramme de bifurcation
Dans ce cas, pour p1 croissant, le système est d’abord attiré par un équilibre stable (Zone 1). Ensuite
une bifurcation saddlenode fait apparaı̂tre deux nouveaux équilibres, un stable et un instable. Dans la
nouvelle zone (Zone 2), deux attracteurs sont donc présents et l’équilibre atteint pas le système dépend
des conditions initiales pour x1 et x2 . Enfin pour p2 assez petit et p1 assez grand, il existe une zone
délimitée par un bifurcation de Hopf de l’équilibre initial. Dans ce cas (Zone 3), deux attracteurs sont
présents mais ils ne sont pas de même nature : il y a un cycle et un équilibre. Le régime adopté dépend
encore une fois des conditions initiales.
Conclusion
L’analyse de bifurcation est une méthode d’étude de l’impact des valeurs de paramètres sur le comportement du système. Dans le cas général, le fait de varier un paramètre et d’évaluer l’impact de cette
variation sur un système se nomme une analyse de sensibilité. L’analyse de bifurcation est finalement une
sorte d’analyse de sensibilité axée sur les événements majeurs (changement du comportement asymptotique) dans le système.
Un avantage non négligeable de cette méthode est qu’elle permet de représenter les choses graphiquement, que ce soit pour l’identification des bifurcations ou pour la synthèse des résultats au niveau
du diagramme. Il n’est pas nécessaire de connaı̂tre les détails mathématiques pour être capable de comprendre un diagramme de bifurcation. Pour un chercheur un biologie, au public plutôt généraliste, cela
est particulièrement intéressant.
14