Exercice A1 - XMaths

Exercice A1
2
1°) f est définie par f(x) = -2x + 3x - 9
1-x
donc f est définie lorsque 1 - x ≠ 0, c'est-à-dire x ≠ 1
On a donc :
D = IR - {1} = ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[
2°) Pour tout réel x de D on a :
2
2
2x - 1 - 8 = (2x - 1)(1 - x) - 8 = 2x - 2x - 1 + x - 8 = -2x + 3x - 9 = f(x)
1-x
1-x
1-x
1-x
Donc :
3°) On a
On a
f(x) = 2x - 1 -
8
1-x
lim 2x - 1 = -∞ et
x→-∞
lim 2x - 1 = +∞ et
x→+∞
pour tout réel x de D
lim
8 = 0 , donc
1-x
x→-∞
lim
8 = 0 , donc
1-x
x→+∞
x→-∞
x→+∞
lim f(x) = -∞
lim f(x) = +∞
On a lim -2x2 + 3x - 9 = -2 + 3 - 9 = - 8
x→1
x<1
et lim 1 - x = 0 par valeurs supérieures (si x < 1, alors 1 - x > 0)
x→1
x<1
On en déduit
lim f(x) = -∞
x→1
x<1
On a lim -2x2 + 3x - 9 = -2 + 3 - 9 = -8
x→1
x>1
et lim 1 - x = 0 par valeurs inférieures (si x > 1, alors 1 - x < 0)
x→1
x>1
On en déduit
4°) On a
lim f(x) = +∞
x→1
x>1
lim f(x) = -∞
x→1
x<1
et
lim f(x) = +∞
x→1
x>1
La courbe (C) admet donc pour asymptote verticale la droite D1 d'équation x = 1
8 , donc
1-x
8 = 0 et lim
8 =0
On sait que lim
x→-∞ 1 - x
x→+∞ 1 - x
On en déduit que :
Pour tout x ∈ D, on a
f(x) = 2x - 1 -
f(x) - (2x - 1) = -
8
1-x
(C) a pour asymptote oblique la droite D2 d'équation y = 2x - 1 quand x tend vers -∞ et vers +∞
8 < 0 , donc f(x) - (2x - 1) < 0 , c'est-à-dire f(x) < (2x - 1)
1-x
et si x > 1,
1 - x < 0 , donc - 8 > 0 , donc f(x) - (2x - 1) > 0 , c'est-à-dire f(x) > (2x - 1)
1-x
On en déduit que
Si x < 1, on a 1 - x > 0 , donc -
(C) est au-dessous de D2 lorsque x ∈ ]-∞ ; 1[ et (C) est au-dessus de D2 lorsque x ∈ ]1 ; +∞[
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5°) f est une fonction rationnelle, elle est dérivable sur son ensemble de définition D.
On sait que f(x) = 2x - 1 - 8 = 2x - 1 - 8 x 1 ,
1-x
1-x
donc f'(x) = 2 - 8 x - (-1)
(1 - x)2
donc
f'(x) = 2 -
8
(1 - x)2
pour tout x ∈ D
2
2
On peut écrire f'(x) = 2(1 - x) - 8 = 2[(1 - x) - 4] = 2(1 - x - 2)(1 - x + 2) = 2(- 1 - x)(3 - x)
2
(1 - x)2
(1 - x)2
(1 - x)
(1 - x)2
2
(1 - x) est toujours positif,
2(- 1 - x)(3 - x) est un trinôme du second degré dont les racines sont -1 et 3. (coefficient de x2 : 2)
La règle du signe du trinôme permet d'en déduire le signe de f'(x) :
x
f'(x)
-∞
+
-1
0
1
-
-
+∞
3
0
+
6°) On peut alors dresser le tableau des variations de f.
x
-∞
f'(x)
+
-1
0
-7
1
+∞
3
-
-
+∞
+∞
f
-∞
-∞
9
7°) On obtient avec une calculatrice le tableau de valeurs suivant :
x
f(x)
-10
-8
-6
-4
-21,7 -17,9 -14,1 -10,6
-2
-7,7
0
-9
2
11
4
9,7
6
12,6
8
16,1
10
19,9
8°) D'après le tableau de variations, la fonction f est continue et strictement croissante sur ]3 ; +∞[ et prend
ses valeurs dans ]9 ; +∞[.
Comme 10 ∈ ]9 ; +∞[ ,
l'équation f(x) = 10 a une solution unique α dans ]3 ; +∞[ .
Un tableau de valeurs obtenu avec une calculatrice permet d'approcher la valeur de α .
On a
α ≈ 4,28 à 10-2 près par défaut
9°) Voir représentation graphique sur la dernière page
10°) L'équation de la tangente T à la courbe (C) au point d'abscisse 2 a pour équation :
y = f'(2)(x - 2) + f(2)
2
8
On a f'(2) = 2 = 2 - 8 = - 6 et f(2) = -2 x (2) + 3 x 2 - 9 = 11
2
1-2
(1 - 2)
On obtient y = -6(x - 2) + 11 c'est-à-dire que : T a pour équation
y = -6x + 23
L'abscisse du point d'intersection de T avec l'axe Ox vérifie -6x + 23 = 0 c'est-à-dire x = 23
6
Les coordonnées du point d'intersection de T avec l'axe des abscisses sont donc 23 ; 0 .
6 
On observe graphiquement que ce point a une abscisse légèrement inférieure à 4, ce qui confirme la valeur trouvée.
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-2x2 + 3x - 9 = 10 ⇔ -2x2 + 3x - 9 = 10(1 - x) ⇔ -2x2 + 13x -19 = 0
1-x
On obtient donc une équation du second degré. Son discriminant est ∆ = 132 - 4 x (-2) x (-19) = 17
∆ > 0, donc l'équation a deux solutions qui sont -13 - 17 = 13 + 17 et -13 + 17 = 13 - 17
4
4
-4
-4
Ces deux valeurs étant des éléments de l'ensemble de définition D, on en déduit que :
11°) f(x) = 10 ⇔
L'équation f(x) = 0 a deux solutions qui sont 13 - 17 et 13 + 17
4
4
On a 13 + 17 ≈ 4,28 . On retrouve ainsi la valeur approchée de α trouvée au 8°)
4
-2x2 + 3x - 9 £ 10 ⇔ -2x2 + 3x - 9 - 10 £ 0
1-x
1-x
2 + 3x - 9 - 10(1 - x)
2
-2x
⇔
£ 0 ⇔ -2x + 13x -19 £ 0
1-x
1-x
2 + 13x -19
-2x
On peut donner le signe de
dans un tableau, en utilisant les résultats de la question
1-x
précédente et le signe d'un trinôme du second degré. On obtient :
12°) f(x) £ 10 ⇔
-∞
x
1-x
+ 13x -19
-2x2 + 13x -19
1-x
+
-
-2x2
13- 17
4
1
0
-
13+ 17
4
+∞
-
0
+
0
-
+
0
-
0
+
On en déduit que l'inéquation f(x) £ 10 a pour ensemble de solution ]-∞ ; 1[ ∪ 13- 17 ; 13+ 17 

On vérifie ce résultat sur le
dessin en déterminant
graphiquement les valeurs de x
pour lesquelles les points de la
courbe (C) se trouvent au
dessous des points de la droite
d'équation y = 10.
-10
-9
-8
-7
D2
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-6
-5
4
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
O
-1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16
4

( C)
y = 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D1
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T
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