Séries Numériques

Université Mohammed I
Année 2007-2008
Ecole Nationale des Sciences Appliquées
ENSA1 - Analyse II
Oujda
Enseignant : I.Elmahi
Chapitre 2
Séries Numériques
Table des matières
1 Généralités
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Dénition d'une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condition nécessaire de convergence d'une série . . . . . . . . . . . . .
Critère de Cauchy de convergence d'une série dans un espace complet .
Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reste de rang n d'une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espace vectoriel des séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séries complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Séries à termes réels positifs
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Lemme fondamental . . . . . . . . . . .
Comparaison des séries . . . . . . . . . .
Comparaison d'une série à une intégrale
Série de Riemann . . . . . . . . . . . . .
Règle de Riemann . . . . . . . . . . . .
Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . .
Critère de d'Alembert . . . . . . . . . .
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3 Séries à termes réels, de signe quelconque, ou à termes complexes
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplication des séries . . . . . . . . . . . . . .
Multiplication des séries absolument convergentes
Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séries semi-convergentes . . . . . . . . . . . . . .
Règle d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Bilan
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1
1
2
2
3
4
5
5
6
6
6
8
9
10
11
13
14
14
16
16
17
18
18
20
ENSA1
Analyse II
Séries Numériques
Séries Numériques
Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C.
1
Généralités
1.1 Dénition d'une série
1.1.1 Dénition 1
Soit (Un )n∈ N une suite numérique. (c'est à dire à valeur dans R ou C). Pout tout
n ∈ N, posons :
Sn = U0 + U1 + · · · + Un
=
n
X
Uk
k=0
On dénit ainsi une nouvelle suite (Sn )n∈ N à partir de la suite (Un )n∈ N .
On appelle série la suite (Un , Sn )n∈ N d'éléments dans K2 .
Un est nommé terme général de la série.
Sn est la somme partielle de rang n.
P
On notera, en abrégé, la série (Un ) ou bien n≥0 Un .
1.1.2 Dénition 2 (Convergence, divergence d'une série)
n≥0 Un est dite convergente si la suite (Sn )n∈ N des sommes partielles a
une limite lorsque
n → +∞. Dans ce cas, la limite S = limn→+∞ Sn est appelée somme
P
de la série n≥0 Un . On écrira :
• La série
P
S=
+∞
X
Uk
k=0
• La série
P
n≥0 Un
est dite divergente si la suite (Sn )n∈ N n'a pas de limite.
• Deux séries sont dites de même nature si elles sont toutes les deux convergentes, ou
bien toutes les deux divergentes.
Remarque
Toute série est soit convergente, soit divergente. Elle a une, et une seule de ces propriétés qui
lui confère sa nature.
1.1.3 Proposition 1
Soit n0 ∈ N. Les séries
convergent on a :
P
n≥0 Un
+∞
X
n=0
I.Elmahi
et
P
Un =
n≥n0
nX
0 −1
n=0
1
Un sont de même nature. De plus si elles
Un +
+∞
X
Un
n=n0
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Preuve
On a ∀n ∈ N; n ≥ n0 :
n
X
Uk =
k=0
nX
0 −1
Uk +
k=0
n
X
Uk
(1)
k=n0
Il est clair donc que si la série n≥0 Un converge, alors limn→+∞ nk=0 Uk existe. Et donc d'après
P
P
la formule (1) limn→+∞ P+∞
k=n0 Uk existe. D'où la série
n≥0 Un converge.
Inversement,
si
la
série
U
converge,
en
utilisant
la
relation (1), on déduit que la série
n
n≥0
P
U
converge
aussi.
n≥0 n
En passant à la limite lorsque n → +∞ dans (1), on obtient :
P
P
+∞
X
Uk =
k=0
nX
0 −1
k=0
Uk +
+∞
X
Uk
k=n0
1.2 Condition nécessaire de convergence d'une série
1.2.1 Proposition
Si la série
P
n≥0 Un
converge, alors on a :
lim Un = 0
n→+∞
Preuve
Soit
P
n≥0 Un
une série convergente de somme S . (c'est à dire limn→+∞
∀n ≥ 1;
Pn
k=0 Uk
= S ).
Un = Sn − Sn−1
.
P
Si la série n≥0 Un converge, alors :
limn→+∞ Un = limn→+∞ Sn − Sn−1
= S−S
= 0
Remarque
La réciproque de cette proposition est fausse comme on le verra l'un des exemples qui suivront
(série harmonique).
1.3 Critère de Cauchy de convergence d'une série dans un espace complet
Théorème
(K = R ou C) est un espace complet. Donc la série
P
∗
Un converge si et seulement si :
∀ε > 0; ∃N ∈ N; ∀n ≥ N ; ∀p ∈ N ; |
n+p
X
Uk | < ε
k=n+1
I.Elmahi
2
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Preuve
La série Un converge si et seulement si la suite des sommes partielles (Sn ) converge. Comme
K est complet, alors il faut et il sut que Sn soit une suite de Cauchy. C.A.D :
P
∀ε > 0; ∃N ∈ N; ∀n ≥ N ; ∀p ∈ N∗ ; |Sn+p − Sn | < ε
Soit :
n+p
X
|
Uk | < ε
k=n+1
1.4 Premiers exemples
1.4.1 Série géométrique
Soit la série géométrique
sommes partielles de rang n :
P
n≥0 q
Sn =
(q ∈ C). Son terme général est Un = q n . La suite des
n
n
X
qk = 1 + q + q2 + · · · + qn
k=0
Si q = 1 :
Sn = n + 1 −−−−−→ +∞. Donc
P
n→+∞
q n diverge.
Supposons que q 6= 1, ona a alors :
Sn =
1 − q n+1
1−q
1er cas : |q| < 1 :
Alors |q n+1 | −−−−−→ 0. Donc limn→+∞ Sn =
n→+∞
1
converge et sa somme vaut S = 1−q
.
P
qn
1
1−q .
Donc la série
P
qn
2eme cas : |q| > 1 :
Donc limn→+∞ |q n+1 | = +∞. D'où limn→+∞ Sn n'existe pas. Donc
3eme cas : |q| = 1 :
Donc q = eiθ avec θ 6= 2kπ .
diverge.
limn→+∞ q n+1
q n+1 = eiθ(n+1) = cos((n + 1)θ) + i sin((n + 1)θ)
P
n'existe pas. Donc q n diverge.
On peut alors énoncer le théorème suivant :
Théorème
Soit q ∈ K, La série géométrique
Sa somme est :
P
n≥0 q
S=
n
+∞
X
est convergente si et seulement si |q| < 1.
qn =
n=0
I.Elmahi
3
1
1−q
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1.4.2 Série harmonique
On sePplace dans R.
P
La série n≥1 n1 est appelée série harmonique. On écrit souvent Hn = nk=1 k1
Nous allons prouver que cette série est divergente.
Pour ce faire, on va montrer que la suite des sommes partielles (Sn )n≥1 n'est pas une suite de
Cauchy donc divergente.
Soit donc N > 0 ; prenons n = N ; p = N
|Sn+p − Sn | = |S2N − SN |
2N
N
X 1 X
1
= −
k
k
k=1
k=1
2N
X
1 = k
k=N +1
1
1
1
1
1 1
1
= ≥
=
+
+ ··· +
+
+ ··· +
N +1 N +2
2N
2N {z
2N} 2
|2N
N
fois
La diérence |S2N − SN | étant minorée par 12 , la suite (Sn )n≥1 n'est donc pas une suite de
Cauchy.
P
Par conséquent, la série n≥1 n1 est divergente et on a le théorème suivant :
Théorème
Sur la droite réelle R, la série
• Soit la série
P
1
n≥1 n
P
est divergente.
Un de terme général Un =
Sn =
n
X
k=1
n ≥ 1. On a :
1
n(n+1)
X 1
1
1
1
=
n −
=1−
k+1
k k+1
n+1
k=1
lim Sn = 1
n→+∞
Donc la série
1
n≥1 n(n+1)
P
converge et a pour somme S =
P+∞
1
n=1 n(n+1)
=1
1.5 Reste de rang n d'une série convergente
1.5.1 Dénition
Si la série
P
n≥0 Un
converge, on appelle reste de rang n :
Rn =
+∞
X
Uk
k=n+1
1.5.2 Proposition
Soit
P
n≥0 Un
une série convergente alors la suite Rn est convergente et on a :
lim Rn = 0
n→+∞
I.Elmahi
et
4
Sn + Rn = S
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Preuve
La série
P
n≥0 Un
est convergente, on a donc :
∀n ∈ N;
+∞
X
Uk =
k=0
n
X
+∞
X
Uk +
k=0
Uk
k=n+1
Soit S = Sn + Rn donc Rn = S − Sn et :
lim Rn = S − lim Sn = S − S = 0
n→+∞
n→+∞
1.6 Espace vectoriel des séries convergentes
l'ensemble des séries.
l'ensemble des séries convergentes.
On peut montrer facilement que : (faire en exercice).
Notons par
S(K)
C(K)
1.6.1 Proposition
1. La somme de deux séries convergentes est une série convergente.
2. La somme d'une série convergente et une série divergente est une série divergente.
P
P
P
3. Pour toute série n≥0 Un et tout λ ∈ K − {0}, les séries n≥0 Un et n≥0 λUn
sont de même nature.
1.6.2 Théorème
L'ensemble des séries convergentes C(K) est un sous-espace vectoriel de S(K) .
Remarque
P Si
P
n≥0 Un
n≥0 Un
+ Vn .
et
P
n≥0 Vn
divergent, alors on ne peut rien dire sur la nature de la série
Exemples
1. Un = −1 etPVn = 1 P
donc Un + Vn = 0.
P
P
Les séries Un et Vn divergent alors que Un + Vn converge.
2. Un = 1 et P
Vn = 1 donc
P Un + Vn = 2.
P
P
Les séries Un et Vn divergent de même Un + Vn diverge.
1.7 Séries complexes
Soit
P
n≥0 Wn
une série numérique à termes complexes.
∀n ∈ N;
Wn = Un + iVn
(Un ) est la série des parties réelles et (Vn ) est la série des parties immaginaires.
P
P
Si l'on désigne par Sn , Sn0 et σn les sommes partielles de rang n des séries n≥0 Un , n≥0 Vn et
P
n≥0 Wn respectivement, alors on a :
∀n ∈ N,
σn = Sn + iSn0
Pour que la suite (σn ) converge il faut et il sut que les suites (Sn ) et (Sn0 ) convergent.
Et on peut énoncer le corollaire suivant :
I.Elmahi
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Corollaire
X
n≥0
2
P
<(Wn ) converge.
Pn≥0
Wn converge ⇐⇒
n≥0 =(Wn ) converge.
Séries à termes réels positifs
2.1 Lemme fondamental
2.1.1 Dénition
Une série
• Soit
P
P
n≥0 Un
n≥0 Un
réelle est dite à termes positifs si ∀n ∈ N;
Un ≥ 0.
une série réelle à termes positifs. Posons :
Sn =
n
X
Uk
k=0
Sn+1 = Sn + Un+1 . Comme Un+1 est positif, alors Sn ≤ Sn+1 . Donc (Sn )n∈N est une suite
croissante.
D'après le théorème de convergences des suites des suites monotones, pour (Sn ) converge, il faut
et il sut qu'elle soit majorée. On peut donc énoncer le lemme fondamental suivant :
2.1.2 Lemme
Soit n≥0 Un une série à termes positifs. Pour que n≥0 Un converge, il faut et il sut
que la suite des sommes partielles associées (Sn )n≥0 soit majorée.(i,e ∃M > 0; ∀n ∈
N; Sn ≤ M ).
P
P
Remarque
Si (Sn ) n'est pas majorée, alors
lim Sn = +∞
n→+∞
Donc
P
n≥0 Un
diverge.
2.2 Comparaison des séries
2.2.1 Théorème 1 (comparaison avec une autre série : Inégalité)
Soient n≥0 Un et n≥0 Vn deux séries à termes positifs telles que ∀n ∈ N; Un ≤ Vn
P
P
1. Si n≥0 Vn converge alors n≥0 Un converge.
P
P
2. Si n≥0 Un diverge alors n≥0 Vn diverge.
P
P
Preuve
1. En posant
Sn =
n
X
Uk
k=0
Si
σn =
n
X
Vk
k=0
n≥0 Vn converge alors d'après le lemme fondamental (σn ) est majorée. Or comme
∀n ∈ N; Un ≤ Vn ; alors Sn ≤ σP
n . Donc (Sn ) est aussi majorée.
D'après le lemme fodamental, n≥0 Un converge.
P
I.Elmahi
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2. Par contraposition on obtient : si
P
n≥0 Un
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diverge alors
P
n≥0 Vn
diverge.
Remarques
1. Si Pn≥0 Un et n≥0 Vn sont à termes négatifs, alors il sut d'étudier les séries n≥0 −Un
et n≥0 −Vn .
2. Dans le théorème de comparaison, on peut remplacer l'hypothèse (∀n ∈ N; Un ≤ Vn ) par
l'hypothèse plus faible suivante : (∃n0 ∈ N; ∀n ≥ n0 ; Un ≤ Vn ).
P
P
P
2.2.2 Conséquence
Considérons deux séries à termes strictement positifs
limn→+∞ UVnn = l 6= 0 alors :
∀ε > 0; ∃N ∈ N; ∀n ≥ N ;
P
n≥0 Un
|
et
P
n≥0 Vn
et supposons que :
Un
− l| < ε
Vn
En particulier pour : ε ∈]0, l[ on a :
n>N ⇒l−ε<
Vn
<l+ε
Un
n > N ⇒ (l − ε)Un < Vn < (l + ε)Un
P
1. Si n≥0 Un converge, alors il en est de même pour n≥0 (l + ε)Un .
Et
P comme ∀n ≥ N ; Vn < (l + ε)Un , On déduit d'après le théorème de comparaison que
Vn converge aussi.
P
P
2. Si n≥0 Un diverge, alors il en est de même pour n≥0 (l − ε)Un .
Et
P comme ∀n ≥ N ; (l − ε)Un < Vn , On déduit d'après le théorème de comparaison que
n≥0 Vn diverge aussi.
P
On a donc le théorème suivant :
2.2.3 Théorème 2
Soient
P
et
n≥0 Un
P
n≥0 Vn
deux séries à termes strictement positifs telles que :
Vn
= l 6= 0
n→+∞ Un
lim
Alors
P
n≥0 Un
et
P
n≥0 Vn
sont de même nature.
2.2.4 Théorème 3
(
Soient
P
P
n≥0 Un
Un et
P
αn deux séries à termes positifs. Si
converge aussi.
= O(αn )
alors
n≥0 αn converge
U
Pn
n→+∞
Remarque
f
f
I.Elmahi
= o(g)
⇐⇒
∀ε > 0; ∃η > 0; |x − x0 | < η
⇒
|f (x)| ≤ ε|g(x)|
= O(g)
⇐⇒
∃λ > 0; ∃η > 0; |x − x0 | < η
⇒
|f (x)| ≤ λ|g(x)|
x→x0
x→x0
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Preuve
n
= donc ∃λ > 0 ; il existe un rang N ∈ N tel que ∀n ≥ N on a | U
On a Un n→+∞
αn | ≤ λ .
Comme les deux séries sont à termes positifs :
n→+∞
O(Vn )
∃λ > 0; ∃N ∈ N; ∀n ≥ N ; Un ≤ λαn
P
La série αn étant convergente, il en est de même pourPla série λαn et d'après le théorème
de comparaison
séries à termes positifs, la série n≥N Un converge.
P de deuxP
P
Les séries n≥N Un et n ≥ 0Un étant de même nature, on en déduit que la série n≥0 Un
Un
=
⇐⇒
P
converge aussi.
2.2.5 Théorème 4 (théorème d'équivalence)
Soient Un et Vn deux sériesP
à termesPpositifs à partir d'un certain rang.
Si Un ∼n→+∞ Vn alors les séries Un et Vn sont de même nature.
P
P
Preuve
Un =+∞ O(Vn )
Vn =+∞ o(Un )
P
Et
Un converge si et seulement si la série
P d'après le théorème 3, on peut conclure que la série
Vn converge.
Un ∼n→+∞ Vn ⇒
Remarque
Le théorème d'équivalence ne peut être appliqué aux séries à termes complexes, et aux séries
à termes réels de signe variable.
Exemple
Un = ln(1 +
1
)
n
Un est une série à termes positifs ( ln(1 + n1 ) > 0; ∀n ∈ N∗ ).
Et on a ln(1 + n1 ) ∼n→+∞ n1 .
P1
Nous avons vu que la série
n est divergente. D'après le théorème d'équivalence,
P harmonique
on conclut que la série ln(1 + n1 ) diverge aussi.
P
2.3 Comparaison d'une série à une intégrale
Soit n0 ∈ N ; f : [n0 , +∞[7−→ R+ continue
R
P par morceau et décroissante.
Nous voulons étudier la série à termes réels n≥n0 f (n) àP
l'aide de l'intégrale généralisée n+∞
f (x)dx.
0
Notons par Sn la somme partielle de rang n de la série n≥n0 f (n) c'est à dire :
Sn =
n
X
f (k) = f (n0 ) + f (n0 + 1) + · · · + f (n)
k=n0
Comme f est décroissante sur [n0 , +∞[, alors ∀k ∈ N(k ≥ n0 ) on a :
k ≤x≤k+1
I.Elmahi
⇒
f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k)
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Donc kk+1 f (k + 1)dx ≤ kk+1 f (x)dx
R k+1
Soit f (k + 1)
≤ k f (x)dx
R k+1
≤ k f (k)dx
≤ f (k)
R k+1
Pn
Pn
Pn
( k f (x)dx) ≤
f (k + 1) ≤
k=n0 f (k)
k=n
k=n
0
0
R n+1
Pn+1
≤ n0 f (x)dx
≤ Sn
k=n0 +1 f (k)
Z n+1
f (x)dx ≤ Sn
Sn+1 − f (n0 ) ≤
R
R
n0
1. Supposons que
R +∞
n0
f (x)dx existe, alors on aura (puisque f est positive)
Z
n+1
Sn+1 − f (n0 ) ≤
Z
+∞
f (x)dx ≤
f (x)dx
n0
n0
Z
Soit Sn+1 ≤
+∞
f (x)dx + f (n0 )
{z
}
| n0
M
La suite (Sn+1 ) est donc majorée
f (x) est une série à termes positifs, d'après
P et comme
le lemme fondamental, la série n≥n0 f (x) converge.
P
2. Supposons maintenant que la série n≥n0 f (x) converge.
Soit u ≥ n0 et posons n = E(u) on a donc :
P
Z
n+1
Z
u
f (x)dx =
n0
Z
n+1
f (x)dx +
n0
f (x)dx
u
f (x)dx.
Comme f est positive alors un+1 f (x)dx ≥ 0 donc nu0 f (x)dx ≤ nn+1
R n+1
Ru 0
D'après 1) on a aussi n0 f (x)dx ≤ Sn . Par
P conséquent on a n0 f (x)dx ≤ Sn .
Sn étant majorée par S (on a une série n≥n0 Un convergente à termes positifs). Donc
Ru
n0 f (x)dxR ≤ S .
R +∞
f (x)dx existe et majorée par S : n0 f (x)dx ≤ S .
Par suite n+∞
0
R
R
R
Et on a le théorème suivant :
Théorème
Soit n0 ∈PN, f : [n0 , +∞[7−→ R+ une fonction continue
R +∞ par morceau, décroissante.
La série n≥n0 f (x) converge si et seulement si n0 f (x)dx converge.
Dans le cas de convergence, on a :
Z
+∞
f (x)dx
n0
≤
+∞
X
Z
f (k)
≤
+∞
f (n0 ) +
f (x)dx
n0
k=n0
2.4 Série de Riemann
2.4.1 Dénition
On appelle série de Riemann la série à termes positifs
P
1
nα ,
où α est un réel donné.
1
Considérons la série de Riemann du terme général
n = nα ; α ∈ R.
P U
Si α ≤ 0 alors limn→+∞ Un 6= 0 donc la série n1α diverge.
I.Elmahi
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Si α > 0 alors la fonction f (x) = x1α est positive et décroissante sur [1, +∞[. D'après le théoR
P
rème précédent, la série de Riemann n1α converge si et seulement si l'intégrale 1+∞ x1α dx existe.
Si α = 1
+∞
Z
1
1
dx =
xα
Z
+∞
1
1
dx = [ln x]+∞
= +∞
1
x
Si α 6= 1
+∞
Z
1
1
dx = lim
X→+∞
xα
Z
X
1
1−α X
1
x
1
dx = lim
= lim
X 1−α − 1
α
X→+∞ 1 − α 1
X→+∞ 1 − α
x
On voit donc bien que 1+∞ x1α dx existe si et seulement si 1 − α < 0 c'est à dire α > 1.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
R
2.4.2 Théorème
La série de Riemann
P
1
nα
converge pour α > 1 et diverge pour α ≤ 1.
2.5 Règle de Riemann
2.5.1 Proposition 1
Soit n≥0 Un une série réelle à termes positifs.
α
Supposons qu'il
P existe α > 1 tel que limn→+∞ n Un = 0.
Alors la série n≥0 Un converge.
P
Preuve
On a limn→+∞ nα Un = 0, donc :
∀ε > 0; ∃N ∈ N / ∀n ≥ N ;
|nα Un − 0| ≤ ε
Soit alors (pour ε = 1) : 0 ≤ nα UnP≤ 1. C'est à dire 0 ≤ Un ≤ n1α .
de comparaison
α > 1 donc la série de Riemann n≥1 n1α est convergente d'après le théorème
P
de séries à termes positifs, on peut en conclure la convergence de la série n≥0 Un .
Exemple (Série de Bertrand)
Considérons la série à termes positifs de terme général Un =
Montrons que la série
1
n≥2 nα (ln n)β
P
converge si et seulement si
1
, (α, β) ∈ R2 , n ≥ 2.
nα (ln n)β

 α>1
ou

(α = 1 et β > 1)
Cas 1 : α > 1 : Dans ce cas on a
> 1.
Prenons donc γ = 1+α
et
utlisons
la
proposition
précédente.
2
1+α
2
lim nγ Un = lim nγ
n→+∞
Or
α−1
2
n→+∞
1
(ln n)−β
(ln n)−β
=
lim
=
lim
n→+∞ nα−γ
n→+∞ n α−1
nα (ln n)β
2
> 0 donc :
lim
n→+∞
I.Elmahi
(ln n)−β
n
α−1
2
10
=0
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C'est à dire limn→+∞ nγ Un = 0 avec γ > 1. D'après la proposition précédente, la série
converge.
Cas 2 : α < 1 :
1
n≥2 nα (ln n)β
P
alors nous avons
n1−α
n→+∞ (ln n)β
lim nUn = lim
n→+∞
n1−α
= +∞
n→+∞ (ln n)β
Or 1 − α > 0 donc
i,e
lim
lim nUn = +∞ donc ∀A > 0; ∃N ∈ N; ∀n ≥ N ; |nUn | > A
n→+∞
Soit Un > An . La série
divergente.
A
n≥N n
P
de Riemann est divergente. On en déduit que la série
Cas 3 : α = 1 :
Un =
P
Un est
1
n(ln n)β
−β
β ≤ 0 : alors Un = (ln n)
; −β ≥ 0.
n
Or ∀n ≥ 3 on a : ln n ≥ ln e = 1 donc (lnPn)−β ≥ 1 (puisque −β ≥ 0).
P
D'où n(ln1n)β ≥ n1 . La série de Riemann n1 est divergente. On en déduit que la série n(ln1n)β
diverge aussi.
β > 0 : Nous allons utiliser le théorème de comparaison d'une série avec une intégrale.
Considérons la fonction : f (x) = x(ln1x)β dénie de [2, +∞[→ R+ . f est positive de plus elle est
décroissante et continue.
X
Z
2
donc
1
dx =
x(ln x)β
Z
lim
X→+∞ 2
X
Z
ln X
ln 2
dt
tβ
(poser t = ln x)
1
dx = lim
X→+∞
x(ln x)β
Z
ln X
ln 2
dt
= lim
Y →+∞
tβ
Z
Y
ln 2
dt
tβ
Or l'intégrale de Riemann ln 2 tdtβ existe si et seulement si β > 1. Pa conséquent, 2+∞ x(ln1x)β dx
existe si et seulement si β > 1.
P
On déduit d'après le théorème de comparaison d'une série avec une intégrale que la série n(ln1n)β
converge si et seulement si β > 1.
Et on peut ennoncer le théorème suivant :
R +∞
R
Proposition (Série de Bertrand)
Soit (α, β) ∈ R2 ,
la série de Bertrand
1
n≥2 nα (ln n)β
P
converge si et seulement si

 α>1
ou

(α = 1 et β > 1)
2.6 Critère de Cauchy
Soit
P
I.Elmahi
Un une série à termes positifs.
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√
1. Supposons qu'il existe un
λ tel que l'on ait : ∀n ∈ N; n Un ≤ λ < 1, alors Un ≤ λn .
P réel
Or la série géométrique λn est à termes positifs et
Pest convergente puisuqe λ < 1. D'après
le théorème de majoration on déduit que la série Un est convergente.
√
2. Si l'on a : ∀n ∈ N;P n Un ≥ 1 alors ∀n ∈ N; Un ≥ 1 et donc limn→+∞ Un 6= 0. Par
conséquent la série Un diverge.
On peut énoncer le théorème suivant :
2.6.1 Théorème
Soit Un une série à termes positifs.
√
P
1. S'il existe un réel λ tel que ∀n ∈ N; n Un ≤ λ < 1, alors la série Un converge.
√
P
2. Si ∀n ∈ N; n Un ≥ 1, alors la série Un diverge.
P
2.6.2 Conséquence
En particulier, s'il existe l ∈ R tel que limn→+∞
√
n
Un = l, on a alors :
p
∀ε > 0; ∃N ∈ N / ∀n ≥ N ; n Un − l < ε
c'est à dire
p
− ε < n Un − l < ε
p
Soit l − ε < n Un < l + ε
1. Supposons que l < 1 et prenons ε ∈]0; 1 − l[, alors l + ε < 1 on a donc
∀n ≥ N ;
p
n
Un < |l +
{z ε} < 1
λ
Par conséquent la série Un est convergente (théorème précédent).
2. Supposons que l > 1 et prenons ε = l − 1, on a donc :
P
∀n ≥ N ;
1<l−ε<
P
D'après le théorème précédent, la série Un diverge.
p
n
Un
On a le théorème suivant :
2.6.3 Théorème (Critère de Cauchy)
Soit Un une série à termes positifs. S'il existe l ∈ R tel que limn→+∞
on a :
P
1. Si λ < 1, la série Un converge.
P
2. Si λ > 1, la série Un diverge.
P
√
n
Un = l, alors
Remarque
√
Le cas l = 1 est "le cas douteux"√du critère de Cauchy. Le doute est levé si lim n → +∞ n Un =
+
1 car dans ce cas on a : ∀n ∈ N; n Un ≥ 1 et donc la série diverge.
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Exemple
général est : Un = (a + n1 )n .
P Soit a > 0 ; Considérons la série dont le1 terme
Un est une série à termes positifs (a + n )n > 0 ∀n ∈ N∗ .
lim
n→+∞
p
1
n
Un = lim (a + ) = a
n→+∞
n
Si a < 1, la série P Un converge.
√
P
n
U
diverge.
Donc Si a > 1, la série
Donc
∀n
∈
N;
U
>
1
et
la
série
Un diverge.
n
n
√
n
1
Si a = 1, on a Un = 1 + n > 1
P
2.7 Critère de d'Alembert
Soit
P
Un une série à termes strictement positifs.
1. Supposons qu'il existe λ < 1 tel que l'on ait : ∀n ∈ N;
On obtient alors :
Un+1
Un
≤ λ < 1, alors Un+1 ≤ λUn .
Un ≤ λUn−1 ≤ λ2 Un−2 ≤ · · · ≤ λn U0
Les séries Un et λn U0 sont à termes positifs. De plus la
λn U0 est géométrique
Psérie
et est convergente puisque λ < 1. Par conséquent, la série Un converge aussi.
2. Supposons que l'on ait : ∀n ∈ N; UUn+1
≥ 1, alors Un+1 ≥ Un .
n
P
La suite (Un ) est donc croissante. Donc lim n → +∞Un 6= 0, d'où la série Un diverge.
Et on a le théorème suivant :
P
P
P
2.7.1 Théorème
Soit Un une série à termes strictement positifs.
P
1. S'il existe λ tel que ∀n ∈ N, UUn+1
≤
λ
<
1
alors
la
série
Un converge.
n
P
2. Si ∀n ∈ N;
Un+1
Un
≥ 1 alors la série
P
Un diverge.
2.7.2 Conséquence
En particulier, supposons qu'il existe l ∈ R tel que : limn→+∞ UUn+1
= l. Alors :
n
∀ε ∈ N; ∃N ∈ N; ∀n ≥ N on a
Un+1
<ε
−
l
Un
Un+1
<l+ε
Un
Soit l − ε <
1. Supposons l < 1 et prenons ε ∈]0; 1 − l[ alors l + ε < 1. On a donc :
Un+1
<l+ε<1
Un
∀n ≥ N ;
Par conséquent la série
P
Un converge (d'après le théorème précédent).
2. Supposons l > 0 et prenons ε = l − 1, on a donc :
∀n ≥ N ;
1<l−ε<
Un+1
Un
D'après le théorème précédent, la série Un diverge.
Et on peut énoncer le théorème suivant :
P
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2.7.3 Théorème (Critère de d'Alembert)
Soit
P
Un une série à termes strictement positifs telle que :
lim
n→+∞
Un+1
=l
Un
1. Si l < 1, la série Un converge.
P
2. Si l > 1, la série Un diverge.
P
Remarque
Le cas l = 1 est "le cas douteux" du critère de d'Alembert.
= 1+ . Puisque dans ce cas on a : ∀n ∈ N;
Le doute est levé si limn→+∞ UUn+1
n
la série diverge.
Un+1
Un
≥ 1 et donc
Exemples
1. Soit la série
P
1
n! .
Un =
1
n!
> 0 ∀n ∈ N.
n!
1
Un+1
1
·
=
=
Un
(n + 1)! 1
n+1
limn→+∞ UUn+1
= 0 < 1 Donc la série
n
P nn
nn
2.
Un = n! > 0 ∀n ∈ N∗
n!
P
Un converge.
(n + 1)n+1 n!
(n + 1)n
1
Un+1
=
· n =
= (1 + )n
Un
(n + 1)!
n
nn
n
lim
n→+∞
1
Un+1
= lim en ln (1+ n )
n→+∞
Un
Or ln(1 + n1 ) ∼n→+∞ n1 . Donc :
1
Un+1
= lim en· n = e > 1
n→+∞ Un
n→+∞
lim
Donc la série
3
P nn
n!
diverge.
Séries à termes réels, de signe quelconque, ou à termes complexes
3.1 Convergence absolue
3.1.1 Dénition
On dit qu'une série U
Pn à termes réels ou complexes est absolument convergente si
et seulement si la série |Un | est convergente.
P
3.1.2 Théorème
Si
P
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Un est absolument convergente alors elle est convergente.
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Preuve
Soit Un une série absolument convergente, donc la série |Un | converge d'après le critère
de Cauchy de convergence des séries dans un espace complet on a :
P
P
n+p
X
∀ε > 0; ∃N ∈ N; ∀n ≥ N ; ∀p ∈ N∗ ; |Uk | < ε
k=n+1
i,e
n+p
X
|Uk | < ε
k=n+1
Et comme
Alors
X X
Uk ≤
|Uk |
n+p
X
|Uk | < ε
k=n+1
D'où la série
P
Un converge.
Remarque Ce théorème montre que l'absolue convergence entraine la convergence. L'interêt
fondamental
P de ce théorème est que l'on peut appliquer les propriétés des séries à termes positifs,
à la série |Uk | qui est à termes positifs.
3.1.3 Proposition
Notons par SA (K) l'ensemble des séries absolument convergentes. SA (K) est un sousespace vectoriel de S(K) (ensemble des séries dans K).
Preuve
• SA (K) P
6= ∅ carPla série du terme général Un = 0 ∈ SA (K).
P
•
Soient
Un ,
Vn deux séries absolument convergentes. Par conséquent, les séries
|Un |
P
et |V
|
convergent.
Pn
D'où |λ| |Un | + |Vn | converge (λ ∈ K). Et comme on a :
∀n ∈ N;
|λUn + Vn | ≤ |λ| |Un | + |Vn |
D'après
le théorème de comparaison de deux séries à termes positifs, on en déduit que la série
P
|λUn + Vn | converge.
P
C'est à dire la série λUn + Vn est absolument convergente.
Exemples
n
n
1. Considérons la série sin
. ∀n ∈ N∗; Un= sin
.
n2
n2
P sin n
Etudions la série à termes positifs
. On a :
n2
P
sin n 1
∀n ∈ N ; |sin n| ≤ 1 donc 2 ≤ 2
n
n
P n
converge. Donc la
(de Riemann) est convergente donc la série sin
n2
∗
Or la série n12
P n
série sin
est absolument convergente d'où convergente.
n2
P
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n
2. Un = (−1)
.
n2
On a ∀n ∈ N; |Un | =
3. Un =
1
.
n2
Donc la série
P
|Un | converge absolument donc converge.
(−1)n
.
n
P
P
|Un | =
La série de Riemann n1 n'est pas convergente donc la série (−1)
n'est pas
n
absolument convergente.
Par contre, et on va le montrer dans la suite du cours, cette série converge.
n
1
n.
3.2 Multiplication des séries
On se place dans le champs complexe C (K = C) et on note par S(C) l'ensemble des séries à
valeurs dans C.
3.2.1 Dénition
Soient Un et Vn deux séries àP
termes dans
P C.
P
On appelle série-produit des séries Un et Vn , la série Wn dont le terme général
est donné par :
P
P
Wn =
n
X
Uk Vn−k
k=0
C'est à dire qu'on a :
W0
W1
..
.
= U0 V0
= U0 V1 + U1 V0
Wn = U0 Vn + U1 Vn−1 + · · · + Un V0
Remarque
On a ∀n ∈ N;
Wn =
n
X
Uk Vn−k
k=0
On voit que Wn est toujours dénie puisque
P la somme
P estPnie.
• On note en général la série-produit :
W n = ( Un ) ( V n ) .
• Remarquer que cette multiplication est analogue à celle des polynômes à une indéterminée à
coecients dans C.
3.3 Multiplication des séries absolument convergentes
Nous allons nous contenter ici d'énoncer un théorème sur le produit de deux séries absolument
convergentes. Nous laisserons la démonstration en exercice.
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3.3.1 Théorème
Soient
P
P
Un et
P
Vn deux séries absolument convergentes dans C. Alors la série-produit
Wn dénie par :
∀n ∈ N;
Wn =
n
X
Uk Vn−k = U0 Vn + U1 Vn−1 + · · · + Un V0
k=0
est absolument convergente. De plus sa somme est donnée par :
+∞
X
Wn =
n=0
+∞
X
!
Un
n=0
+∞
X
!
Vn
n=0
3.4 Séries alternées
3.4.1 Dénition
On dit qu'une série
P
Un à termes réels est alternée si :
∀n ∈ N;
Un = (−1)n |Un |
ou Un = (−1)n+1 |Un |
Exemple
La série
P (−1)n
n
est une série alternée.
Sn = −1 +
1 1 1
(−1)n
− + − ··· +
2 3 4
n
Remarquons qu'une série du second type se ramène à celle d'une série du premier type en changeant tous les signes. Nous étudions donc les séries alternées du premier type : Un = (−1)n |Un |.
On a le théorème suivant :
3.4.2 Théorème
Soit
Un une série alternée telle que :
limn→+∞ Un = 0
∀n ∈ N; |Un+1 | ≤ |Un | ((|Un |) décroît)
P
Alors la série Un est convergente.
P
Preuve
Soit la série alternée
P
Un ; Un = (−1)n |Un |. Nous avons :
S2p+2 − S2p = (−1)2p+1 |U2p+1 | + (−1)2p+2 |U2p+2 | = |U2p+2 | − |U2p+1 | ≤ 0
Donc la suite extraite (S2p )p∈N est décroissante.
S2p+3 − S2p+1 = (−1)2p+2 |U2p+2 | + (−1)2p+3 |U2p+3 | = |U2p+2 | − |U2p+3 | ≥ 0
Donc la suite extraite (S2p+1 )p∈N est croissante. De plus :
lim (S2p+1 − S2p ) = lim U2p+1 = 0
p→+∞
p→+∞
Par conséquent, les suites (S2p ) et (S2p+1 ) sont adjacentes et ont par suite
P la même limite S . Il
en résule que(Sn ) converge et a pour limite S . On en déduit que la série Un est convergente.
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Exemple
n
Soit la série alternée (−1)
nα où α ∈ R, α xé.
(−1)n
1
Un = nα et |Un | = nα . On a donc Un = (−1)n |Un |.
P
1. Si α ≤ 0 alors
(−1)n
6= 0
n→+∞ nα
lim Un = lim
n→+∞
P (−1)n
Donc la série
nα diverge.
2. Si α > 1, on a |Un | = n1α .
n
P
P
La série n1α de Riemann est donc convergente. (car α > 1). D'où la série (−1)
est
nα
absolument convergente donc convergente.
n
P
P 1
3. Si 0 < α ≤ 1, la série (−1)
nα n'est pas absolument convergente. (Car la série
nα dans
ce cas ne converge pas ).
Cependant on a la suite (|Un |) est décroissante |Un | = n1α . D'après le théorème précédent,
n
P
la série (−1)
nα converge.
3.5 Séries semi-convergentes
Dénition
Une série Un à termes réels ou complexes est dite semi-convergente si elle est convergente sans être absolument convergente.
P
Exemple
Pour 0 < α ≤ 1, la série
P (−1)n
nα
est semi-convergente.
3.6 Règle d'Abel
Théorème
Soit
P
Un une série à termes réels ou complexes telle que son terme général s'écrit :
Un = εn · αn
Supposons que la série Un vérie les trois conditions :
P
1. ∃M ∈ R / ∀n ∈ N; | nk=0 αk | ≤ M .
2. La suite (εn ) est décroissante.
3. limn→+∞ εn = 0.
P
Alors la série
P
Un est convergente.
Preuve
Nous allons utiliser le critère de Cauchy de convergence d'une série dans un espace complet.
On a :
∀n ∈ N;
n+p
n+p
X
X
Uk = Un = εn · αn k=n+1
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k=n+1
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Si l'on note par Sn = nk=0 αk alors l'hypothèse 1) s'écrit : ∀n ∈ N; |Sn | ≤ M .
En remarquant que : αn = Sk − Sk−1 on peut écrire :
P
n+p
n+p
X
X
U
=
ε
(S
−
S
)
k
k
k
k−1 ∀p ∈ N;
k=n+1
k=n+1
= |εn+1 (Sn+1 − Sn ) + εn+2 (Sn+2 − Sn+1 ) + εn+3 (Sn+3 − Sn+2 ) + · · · + εn+p (Sn+p − Sn+p−1 )|
= |−εn+1 Sn + Sn+1 (εn+1 − εn+2 ) + Sn+2 (εn+2 − εn+3 ) + · · · + Sn+p−1 (εn+p−1 − εn+p ) + εn+p Sn+p |
≤ |−εn+1 | |Sn |+|Sn+1 | |εn+1 − εn+2 |+|Sn+2 | |εn+2 − εn+3 |+· · ·+|Sn+p−1 | |εn+p−1 − εn+p |+|εn+p | |Sn+p |
Or l'hypothèse 1) dit : ∀n ∈ N; |Sn | ≤ M .
l'hypothèse 2) dit : ∀n ∈ N; εn ≥ εn+1 i,e |εn − εn + 1| = εn − εn + 1.
Par conséquent on a : ∀p ∈ N;
n+p
"
#
n+p−1
X
X
Uk ≤ M |εn+1 | +
(εk − εk+1 ) + |εn+p |
k=n+1
k=n+1
= M [|εn+1 | + (εn+1 − εn+p ) + |εn+p |]
Comme limn→+∞ εn = 0 (hypothèse 3)) alors :
n+p
X
lim Uk = 0
n→+∞ k=n+1
n+p
X
i,e ∀ε > 0; ∃N ∈ N; ∀n ≥ N ; Uk ≤ ε
k=n+1
P
On en déduit que la série εn · αn converge.
Exemple
Etudier la série complexe
P einθ
nα
où θ ∈ [0, 2π[ α ∈ R.
Un =
On a : |Un | =
1
nα .
einθ
nα
Donc :
Si α > 1 ; La série
P
Un est absolument convergente.
Si α ≤ 1 ; limn→+∞ |Un | =
6 0 donc limn→+∞ Un 6= 0 d'où la série diverge.
Si 0 < α ≤ 1 ;
Si θ = 0 ; Un =
1
nα
⇒
P
Un diverge.
Si θ 6= 0 ; utilisons le critère d'Abel : On a Un = εn · αn avec : εn =
1
nα
et αn = einθ .
1. limn→+∞ εn = 0.
2. La suite (εn ) est décroissante.
I.Elmahi
19
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Analyse II
3.
n
n
X X
1 − ei(k+1)θ 2
ikθ |Sn | = αk = e =
≤
1 − eiθ |1 − eiθ |
k=0
Donc ∃M =
2
|1−eiθ |
k=0
P
tel que : ∀n ∈ N; | nk=0 αk | ≤ M .
On en déduit d'après le critère d'Abel que la série
4
Séries Numériques
P
Un est convergente.
Bilan
Série
P
Un
↓
Est ce que limn→+∞ Un = 0 ? −−
Non
−−→ La série diverge −→ Fin.
↓ Oui
Série à termes positifs ?
↓ Non
P
Etudier la série
Test de comparaison.
Test d'équivalence.
Oui
−−
−−→ Comparaison avec une intégrale.
Critère de Cauchy.
Citère de d'Alembert.
|Un |
↓
|Un | converge ? −−
Non
Non
−−→ Un = εn · αn ? −−
−−→ On se débrouille ! −→ Fin.
↓
↓ Oui
P
Un converge
Utiliser le lemme d'Abel
P
↓
↓
Fin.
Fin.
I.Elmahi
20
Année 2007-2008