Projection

Les espaces et les sous-espaces vectoriels
Algèbre linéaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
Département de mathématiques et d’informatique
Université Laurentienne
Sudbury, 4 mars 2011
Espaces vectoriels (de Wikipedia)
En mathématiques, un espace vectoriel est un ensemble d’objets
(appelés vecteurs) qui, grosso modo, peuvent être multipliés et
additionnés, c’est-à-dire, dont on peut faire des combinaisons
linéaires.
Plus formellement, un espace vectoriel est un ensemble sur lequel
deux opérations, nommément l’addition (vectorielle) et la
multiplication (scalaire), sont définies et satisfont un certain
nombre d’axiomes naturels listés plus loin.
Espaces vectoriels (de Wikipedia)
Les espaces vectoriels les plus familiers sont les espace euclidiens
bi- et tridimensionnel. Les vecteurs dans ces espaces sont des pairs
ou des triplets ordonnés de nombres réels, souvent représentés
comme des vecteurs géométriques qui sont des quantités avec une
grandeur et une direction, et généralement illustrés par des flèches.
Ces vecteurs peuvent être additionnés ensemble en utilisant la règle
du parallélogramme (l’addition vectorielle) et peuvent être
multipliés par des nombres réels (multiplication scalaire). Le
comportement de ces vecteurs géométriques munis de ces
opérations nous donnent un bon modèle intuitif du comportement
d’un espace vectoriel plus abstrait qui peut ne pas avoir de
représentation géométrique.
Définition d’un espace vectoriel (p. 217)
Définition (Espace vectoriel)
Soit V , un ensemble non vide d’objets dont les éléments seront
appelés des vecteurs. Un espace vectoriel V sur le corps IR est
un ensemble V muni de deux opérations,
V ×V →
V
1. l’addition vectorielle
(u, v) 7→ u + v
IR × V → V
(k, u) 7→ ku
et qui satisfait les 8 prochains axiomes sur les deux prochains
transparents.
6. la multiplication scalaire
Les axiomes 1 et 6 expriment la fermeture de V sous l’addition
vectorielle et sous la multiplication scalaire.
Définition d’un espace vectoriel (suite)
Définition (Espace vectoriel (suite))
Les axiomes d’addition vectorielle
2. L’addition vectorielle est commutative :
Pour tout u, v ∈ V , on a u + v = v + u.
3. L’addition vectorielle est associative :
Pour tout u, v, w ∈ V , on a u + (v + w) = (u + v) + w.
4. L’addition vectorielle a un élément neutre :
Il existe un élément 0 ∈ V , appelé le vecteur nul, tel que
u + 0 = u pour tout u ∈ V .
5. L’addition vectorielle a un élément inverse :
Pour tout u ∈ V , il existe un élément v ∈ V , appelé l’inverse
additif de u, tel que u + v = 0. L’inverse additif v de u est
souvent noté −u et est appelé l’opposé de u.
Définition d’un espace vectoriel (suite)
Définition (Espace vectoriel (suite))
Les axiomes de multiplication scalaire
7. Distributivité à gauche de la multiplication scalaire sur
l’addition vectorielle :
Pour tout k ∈ IR et u, v ∈ V , on a k(u + v) = ku + kv.
8. Exo-distributivité à droite de la multiplication scalaire sur
l’addition dans IR :
Pour tout k, l ∈ IR et u ∈ V , on a (k + l )u = ku + l u.
9. Exo-associativité de la multiplication scalaire par rapport à
la multiplication dans IR :
Pour tout k, l ∈ IR et u ∈ V , on a k(l u) = (kl )u.
10. La multiplication scalaire a un élément neutre à gauche :
Pour tout u ∈ V , on a 1u = u, où 1 est l’élément neutre de la
multiplication dans IR.
Espaces vectoriels
Cette définition d’un espace vectoriel laisse beaucoup de place pour
différents types d’ensembles V de “vecteurs” (vecteurs,
matrices, fonctions, polynômes, suites, etc) ;
différentes définitions de l’addition de deux objets dans
l’ensemble V ;
différentes définitions de la multiplication scalaire d’un objet
de V par un scalaire de IR.
Aussi l’ensemble des nombres réels IR peut être remplacé par un
autre corps commutatif K tel que l’ensemble des nombres
complexes. Les éléments du corps d’un espace vectoriel sont
appelés des scalaires.
Les concepts couverts dans les prochaines sections (bases,
sous-espaces, dimension, rang, indépendance linéaire,
orthogonalité, norme, etc) sont valides pour tous les espaces
vectoriels.
L’ensemble M2×2 des matrices 2 × 2
Soit l’ensemble V = M2×2 des matrices réelles de taille 2 × 2.
l’addition de deux éléments u et v de M2×2 est définie comme
a b
e f
a+e b+f
u+v =
+
=
c d
g h
c +g d +h
la multiplication de la matrice u ∈ M2×2 par un scalaire
k ∈ IR est définie comme
a b
ka kb
ku = k
=
.
c d
kc kd
Alors, l’ensemble M2×2 des matrices réelles de taille 2 × 2 est un
espace vectoriel sur le corps IR parce qu’il satisfait les 10 axiomes.
L’ensemble des droites qui passent par l’origine
Soit l’ensemble V des droites de IR2 qui passent par l’origine.
si d1 et d2 sont deux éléments de V , la somme d1 + d2 est la
droite passant par l’origine dont la pente est la somme des
pentes de d1 et d2 .
kd soit la droite passant par l’origine dont la pente est k fois
celle de d.
Alors l’ensemble V des droites passant par l’origine est un espace
vectoriel sur le corps IR parce qu’il satisfait les 10 axiomes.
L’ensemble des fonctions (p. 219)
Soit l’ensemble V de toutes les fonctions à valeurs réelles définies
sur un ensemble D. Chaque élément de V est une fonction f de D
vers IR.
Si f et g sont deux éléments de V , la somme f + g est la
fonction f(t) + g(t) pour toute valeur t du domaine D.
La multiplication de la fonction f par le scalaire k ∈ IR est
définie par (kf)(t) = k (f(t)) pour toute valeur t du domaine
D.
Alors l’ensemble V de toutes les fonctions à valeurs réelles définies
sur un ensemble D est un espace vectoriel sur le corps IR parce
qu’il satisfait les 10 axiomes.
Propriétés des espaces vectoriels (p. 217)
1. Le vecteur nul 0 ∈ V de l’addition vectorielle est unique :
Si 01 et 02 sont deux vecteurs nuls de V tels que 01 + v = v
et 02 + v = v pour tout v ∈ V , alors 01 = 02 = 0.
2. La multiplication scalaire avec le vecteur nul donne le vecteur
nul :
Pour tout k ∈ IR, on a k0 = 0.
3. La multiplication scalaire par le scalaire 0 donne le vecteur
nul :
Pour tout u ∈ V , on a 0u = 0, où 0 est l’élément neutre
additif dans IR.
4. Il n’y a pas d’autre multiplication scalaire qui donne le vecteur
nul :
On a que ku = 0 si et seulement si k = 0 ou u = 0.
Propriétés des espaces vectoriels (p. 217)
5. L’inverse additif −u du vecteur u est unique :
Si v1 et v2 sont tous deux l’inverse additif de u ∈ V , tel que
u + v1 = 0 et u + v2 = 0, alors v1 = v2 . On note l’inverse
additif −u et on l’appelle l’opposé de u. On définit aussi
v − u ≡ v + (−u).
6. La multiplication scalaire par −1 donne l’inverse additif du
vecteur :
Pour tout u ∈ V , on a (−1)u = −u, où 1 est l’élément neutre
de la multiplication dans le corps IR.
7. La négation commute librement :
Pour tout k ∈ IR et u ∈ V , on a (−k)u = k(−u) = −(ku).
Sous-espace vectoriel
Définition
Soit V un espace vectoriel,
et soit H un sous-ensemble non-vide de V (i.e. H ⊆ V ).
Si H, muni de l’addition et de la multiplication scalaire de V , est
un espace vectoriel, alors H est appelé un sous-espace (vectoriel)
de V .
Sous-espace vectoriel (p. 220)
Définition
Un sous-espace d’un espace vectoriel V est un sous-ensemble H
de V qui possède les trois propriétés :
a. Le vecteur nul de V appartient à H.
b. H est fermé pour l’addition vectorielle, c’est-à-dire que la
somme u + v appartient à H pour tous u et v dans H.
c. H est fermé pour la multiplication par un scalaire, c’est-à-dire
que le vecteur ku appartient à H pour tout u dans H et pour
tout k dans IR.
Exemples de sous-espaces
Exemple : L’ensemble des vecteurs de la forme (a, 0, b) où a et b
sont des réels est un sous-espace de IR3 . (Vérifier les propriétés a,
b et c du transparent précédent). Cet ensemble ressemble à IR2 ,
mais en est distinct.
x
Exercice : L’ensemble H =
tel que x ∈ IR est-il un
x +1
espace vectoriel ? De quel espace est-il un sous-ensemble ?
L’ensemble des polynômes Pn (p. 218)
L’ensemble Pn est l’ensemble des polynômes de degré au plus égal
à n (avec n ≥ 0) de la forme p(t) = a0 + a1 t + a2 t 2 + · · · + an t n
où les coefficients a0 , ..., an et la variable t sont des réels.
Pn est un sous-ensemble de l’ensemble V des fonctions à valeurs
réelles définies sur IR. L’ensemble V , muni de l’addition
(f + g) (t) = f(t) + g(t) et de la multiplication scalaire
(kf)(t) = k (f(t)), forme un espace vectoriel.
La fonction nulle 0(t) = 0 est un polynôme de degré au plus
égal à n (a0 = a1 = · · · = an = 0).
Si p et q sont deux éléments de Pn , la somme p + q est définie
par p(t) + q(t) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + · · · + (an + bn )t n .
Donc p + q est un polynôme de degré au plus égal à n.
La multiplication du polynôme p par un scalaire k ∈ IR est
définie par (kp)(t) = k (p(t)) = ka0 + ka1 t + · · · + kan t n .
Donc kp appartient à Pn .
Alors l’ensemble Pn de tous les polynômes de degré au plus égal à
n est un sous-espace vectoriel de V .
Sous-espace engendré par un ensemble (p. 221)
Définition
Si les vecteurs v1 , ..., vp appartiennent à un espace vectoriel V ,
alors l’ensemble des combinaisons linéaires des ces vecteurs
L{v1 , ..., vp } est un sous-espace de V .
L{v1 , ..., vp } est appelé le sous-espace engendré (ou
sous-tendu) par {v1 , ..., vp }. Étant donné un sous-espace
quelconque H de V , un ensemble générateur (ou partie
génératrice) de H est un ensemble {v1 , ..., vp } d’éléments de H
tels que H = L{v1 , ..., vp }.
Sous-espace engendré par un ensemble
Pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace, il suffit de
trouver un ensemble genérateur.
Pour montrer qu’il n’est pas un sous-espace, il suffit de prouver
qu’un des trois axiomes du transparent 14 est violé.
Exemple : Montrer que V = {(a + 2b, 2a − 3b) | a ∈ IR, b ∈ IR}
est un sous-espace de IR2 .
Solution :
a + 2b
2a − 3b
a
2b
=
+
2a
−3b
2
1
+b
= a
−3
2
| {z }
| {z }
v1
v2
Donc V = L{v1 , v2 } et V est un sous-espace de IR2 .
Sous-espace engendré par un ensemble



 a + 2b

Exercice : Est-ce que H =  a + 1  | a ∈ IR, b ∈ IR est un


a
sous-espace de IR3 ?
Exercice : Est-ce que H =
un sous-espace de M2×2 ?
2a
b
3a + b 3b
| a ∈ IR, b ∈ IR
est