Solution

Notons c entier la longueur du côté du carré, xi et yi les dimensions respectivement
horizontale et verticale de la parcelle n°i (1<=i<=7) comme indiqué sur la figure.
2
1
6
3
7
4
5
Toutes les parcelles sont rectangulaires, différentes et de même aire a.
Les dimensions de la parcelle de Doc sont entières, ce qui prouve que a est un entier.
L’aire du carré permet de relier a et c avec l’équation c^2 = 7a, ce qui implique qu’il existe un
entier k tel que c = 7k et a = 7k^2.
Comme x2 = x1 + x6 + x7 > x1 => y1 > y2 => 2y1 > y1+y2 = c => y1 > c / 2, cela nous
amène naturellement à poser y1 = c / 2 + y = (7k+2y) / 2.
x1 = a / y1 = 14k^2 / (7k+2y)
x5 = c - x1 = 7k(5k+2y) / (7k+2y)
y5 = a / x5 = k(7k+2y) / (5k+2y)
y6 = y1 - y5 = (7k+2y)(3k+2y) / 2(5k+2y)
y2 = c - y1 = c/2 - y = (7k-2y) / 2
x2 = a / y2 = 14k^2 / (7k-2y)
x3 = c - x2 = 7k(5k-2y) / (7k-2y)
y3 = a / x3 = k(7k-2y) / (5k-2y)
y4 = c - y3 - y5 = 5k(21k^2-4y^2) / (5k+2y)(5k-2y)
x4 = a / y4 = 7k(5k+2y)(5k-2y) / 5(21k^2-4y^2)
x7 = x4 - x3 = 7k(5k-2y)(-70k^2+16y^2+4ky) / 5(7k-2y)(21k^2-4y^2)
y7 = y3 - y2 = (7k-2y)(-3k+2y) / 2(5k-2y)
x6 = x5 - x4 = 7k(5k+2y)(70k^2-16y^2+4ky) / 5(7k+2y)(21k^2-4y^2)
x6y6 = a ou x7y7 = a conduisent à la même équation se simplifiant en 19k^2 = 4y^2.
D’où y = k*sqrt(19)/2 et on peut à présent tout exprimer en fonction de k.
y1 = k(7+sqrt(19)) / 2
x1 = 7k(7-sqrt(19)) / 15
x5 = 7k(8+sqrt(19)) / 15
y5 = k(8-sqrt(19)) / 3
y4 = 5k / 3
x6 = 7k(sqrt(19)-1) / 15
y6 = 5k(sqrt(19)+1) / 6
y2 = k(7-sqrt(19)) / 2
x2 = 7k(7+sqrt(19)) / 15
x3 = 7k(8-sqrt(19)) / 15
y3 = k(8+sqrt(19)) / 3
x4 = 21k / 5
x7 = 7k(sqrt(19)+1) / 15
y7 = 5k(sqrt(19)-1) / 6
sqrt(19) étant irrationnel, nous en déduisons que la parcelle de Doc est la n°4 et ses
dimensions seront entières ssi k est un multiple de 15.
L’aire du bois sera minimale pour k = 15 et vaudra c^2 = (7k)^2 = 11 025 m^2.
NB : pour comprendre le titre, cf http://mathworld.wolfram.com/BlanchesDissection.html