TD: Modes de vibration d`un tambour

TD: Modes de vibration d’un tambour
1 Position du problème
On se propose d’étudier les modes de vibration de la membrane d’un tambour de rayon R. Le problème
étant à symétrie de révolution, on utilise les coordonnées cylindriques (r, θ, z, t). Un point de la membrane se
2
2
1 ∂2u
trouve à une altitude z(r, θ, t) qui vérifie l’équation du mouvement: ∂∂t2z = c2 .∆z avec ∆z = ∂∂rz2 + 1r . ∂u
∂r + r 2 . ∂θ 2 ,
q
le Laplacien en coordonnées cylindriques, et c = Tσ , la vitesse [m.s−1 ], où T est la tension de la membrane
[N.m−1 ] et σ la masse par unité de surface [kg.m−2 ].
Les conditions limites imposent ∀(θ, t), z(r = R, θ, t) = 0.
La résolution de l’équation s’obtient en séparant les variables sous la forme: z(r, θ, t) = R(r).Θ(θ).T (t).
∂R
∂2z
∂2R
∂z
∂Θ
∂2z
∂2Θ
Ainsi, ∂z
∂r = ∂r .Θ(θ).T (t);
∂r 2 = ∂r 2 .Θ(θ).T (t);
∂θ = R(r). ∂θ .T (t);
∂θ 2 = R(r). ∂θ 2 .T (t);
∂z
∂T
∂2z
∂2T
∂t = R(r).Θ(θ). ∂t et ∂t2 = R(r).Θ(θ). ∂t2 .
i
1
∂2Θ
(t) + 1r . ∂R
.Θ(θ).T
(t)
+
.R(r).
.T
(t)
2
2
∂r
2
r 2 ∂θ
1
c2
∂2T
c2
∂ R
1 ∂R
1 ∂ Θ
En séparant les variables, on a: T (t) . ∂t2 = R(r) . ∂r2 + r . ∂r + Θ(θ) . r2 . ∂θ2 .
Pour que l’équation précédente soit valable quels que soient r, θ et t, il faut que les deux membres soient
constants; cette constante doit être négative, on la nomme: −ω 2 .
2
On obtient: R(r).Θ(θ). ∂∂tT2 = c2 .
(
D’où:
1
∂2T
2
2 = −ω
T (t) . ∂t
2
2
c
1 ∂R
∂ R
.
+
.
2
R(r)
∂r
r ∂r
h
∂2R
∂r 2 .Θ(θ).T
(
+
c2
Θ(θ) .
1 ∂2Θ
r 2 . ∂θ 2
= −ω
2
⇒
T (t) = T1 . cos(ω.t)
+ T2 . sin(ω.t)
ω 2 .r 2
c2
+
r2
R(r) .
∂2R
∂r 2
1
+ 1r . ∂R
= − Θ(θ)
.
∂r
∂2Θ
∂θ 2
Pour que la dernière équation soit valable quels que soient r et θ, il faut que les deux membres soient
constants; cette constante doit être positive, on la nomme: +m2 .
2
 2 2
( 2
2
r2
∂ R
1 ∂R
 ω .r
∂ R
1 ∂R
ω
m2
+
.
+
.
= m2
2
2
c
R(r)
∂r
r ∂r
=0
2 + r . ∂r + R(r).
2 − r2
∂r
c
D’où:
⇒
 − 1 . ∂ 2 Θ2 = m2
Θ(θ)
=
Θ
.
cos(m.θ)
+
Θ
.
sin(m.θ)
1
2
Θ(θ)
∂θ
L’équation différentielle vérifiée
par R(r) possède des solutions que l’on exprime sous la forme des fonctions
.
de Bessel d’ordre m: Jm ω.r
c D’où: z(r, θ, t) = Jm ω.r
. (Θ1 . cos(m.θ) + Θ2 . sin(m.θ)) . (T1 . cos(ω.t) + T2 . sin(ω.t))
c
ième
racine de la fonction
Les conditions limites imposent: R(r = R) = 0 ⇒ ω.R
c = ξ(m,n) avec ξ(m,n) la n
c
de Bessel d’ordre m. D’où: ω(m,n) = R .ξ(m,n) . Les pulsation temporelles sont donc quantifiées.
ξ(m,n)
Jm=0
Jm=1
Jm=2
Jm=3
n=1
2, 404
3, 832
5, 135
6, 379
n=2
5, 520
7, 016
8, 417
9, 760
n=3
8, 654 10, 173 11, 620 13, 017
n = 4 11, 792 13, 323 14, 796 16, 224
1
ISEN-Brest. Kany.
TD: Modes de vibration d’un tambour
Si l’on s’arrange pour que ω(0,1) corresponde à une fréquence de 1000 Hz, on a les fréquences suivantes:
f(m,n)
m=0
m=1
m=2
m=3
n=1
1000 Ut
1594 La1−
2136 Ré2−
2653 Fa2−
n=2
2296 Ré2+
2918 Sol2−
3501 La2+
4060 Ut3+
n=3
3600 Si2−
4231 Ut3#
4833 Mi3−
5414 Fa3+
n=4
4905 Mi3−
5542 Fa3+
6155 Sol3+
6748 La3+
2 Code avec Mathematica
Tambour
In[1]:= Needs["NumericalMath‘BesselZeros‘"]
Needs["Graphics‘SurfaceOfRevolution‘"]
In[3]:= Sol=DSolve[r^2*D[D[RR[r],r],r]+r*D[RR[r],r]+RR[r]*((r*w/c)^2-m^2)==0,RR[r],r]
Out[3]=
2
2
w
{{RR[r] -> BesselJ[Sqrt[m ], r Sqrt[--]] C[1] +
2
c
2
2
w
BesselY[Sqrt[m ], r Sqrt[--]] C[2]}}
2
c
In[4]:= Sol=RR[r]/.Sol[[1]]
Out[4]=
2
2
2
w
2
w
BesselJ[Sqrt[m ], r Sqrt[--]] C[1] + BesselY[Sqrt[m ], r Sqrt[--]] C[2]
2
2
c
c
In[5]:= Sol=Sol/.{Sqrt[m^2]->m,Sqrt[w^2/c^2]->w/c}
Out[5]=
r w
r w
BesselJ[m, ---] C[1] + BesselY[m, ---] C[2]
c
c
In[6]:= Sol0=Sol/.{C[1]->1,C[2]->0,m->0}
Out[6]=
r w
BesselJ[0, ---]
c
2
ISEN-Brest. Kany.
TD: Modes de vibration d’un tambour
In[7]:= R=1;Findw[i ]:=BesselJZeros[0,i][[i]]*c/R
In[8]:= Sol01=Sol0/.{w->Findw[1]}
Out[8]= BesselJ[0, 2.40483 r]
In[9]:= Plot[Sol01,{r,0,R}]
Out[9]= -Graphics-
In[10]:= SurfaceOfRevolution[Sol01,{r,0,R}]
Out[10]= -Graphics3D-
In[11]:= Sol02=Sol0/.{w->Findw[2]}
Out[11]= BesselJ[0, 5.52008 r]
In[12]:= Plot[Sol02,{r,0,R}]
3
ISEN-Brest. Kany.
TD: Modes de vibration d’un tambour
Out[12]= -Graphics-
In[13]:= SurfaceOfRevolution[Sol02,{r,0,R}]
Out[13]= -Graphics3D-
In[14]:= Sol03=Sol0/.{w->Findw[3]}
Out[14]= BesselJ[0, 8.65373 r]
In[15]:= Plot[Sol03,{r,0,R}]
Out[15]= -Graphics-
In[16]:= SurfaceOfRevolution[Sol03,{r,0,R}]
4
ISEN-Brest. Kany.
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Out[16]= -Graphics3D-
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*from mpl toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from pylab import *
from sympy.mpmath import besselj,findroot,j0,nprint,fp
Les trois premiers modes
1.0
0.8
0.6
R
0.4
0.2
0.0
0.2
0.40.0
0.2
0.4
r
0.6
0.8
1.0
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ISEN-Brest. Kany.
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