Corrigé Exercice 1 - Stephane Genouel.

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Corrigé Exercice 1 : DIRECTION ASSISTÉE ELECTRIQUE
DE RENAULT TWINGO
(Selon le concours CCP 2004 filière PSI)
Question 1 : Donner le graphe de liaison de
ce système. Quelle aurait été
la différence si le graphe de
structure avait été demandé ?
2x2 liaisons sphères-cylindres (linéaires
annulaires) auraient été tracées en parallèle
à la place des 2 liaisons pivots glissants.
Question 2 : Donner les caractéristiques, le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système.
Caractéristique : angle de brisure : 
Paramètre d’entrée : position angulaire de l’arbre d’entrée 1 par rapport au bâti 0 : 01
Paramètre de sortie : position angulaire de l’arbre de sortie 2 par rapport au bâti 0 : 02
Question 3 : Représenter les figures planes de changement de base relatives aux angles 01 ,  et 02 .
Question 4 : A partir de la particularité géométrique angulaire des axes du croisillon 3 (les axes x2 et z1 sont
constamment orthogonaux), déterminer la loi entrée-sortie en position du joint de Cardan.
x2  z1
x2 .z1  0
(cos 02 .x0 '  sin 02 .z0 ).(cos 01.z0  sin 01.x0 )  0
cos 02 .sin 01.cos   sin 02 .cos 01  0
sin 02 .cos 01  cos 02 .sin 01.cos 
tan 02  cos . tan 01
Question 5 : En déduire la loi entrée-sortie en vitesse
2  f (1, 01 ) du joint de Cardan. On notera
1  01 et 2  02 . Conclure sur le caractère homocinétique (égalité des vitesses de
rotation) de la transmission par le joint de Cardan.
En dérivant la relation ci-dessus : (tan u )' 
u'
2
 u '.(1  tan2 u ) :
cos u
2
2
02 .(1  tan 02 )  cos .01.(1  tan 01 )
2
1
 cos .
(1  tan2 01 )
(1  tan2 02 )
Puis en réinjectant la loi E/S en position déterminée dans la
question précédente :
(1  tan2 01 )
2
 cos .
 1 (sauf pour   0)
1
(1  cos2 . tan2 01 )
Le joint de Cardan n’est donc pas homocinétique…
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2
 f (, 01 )
1
Pour   30
Ex : Tracé de
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Question 6 : A l’aide de vos observations sur la
figure 1, expliquer la solution utilisée
par le concepteur de la direction
assistée pour rendre la transmission
homocinétique entre la partie haute de
la colonne entrainée par le volant
(assisté du motoréducteur ) et le
pignon qui met en mouvement la
crémaillère.
Si l'arbre 1 tourne à une vitesse 1 constante par rapport au bâti 0, alors l'arbre 2 tourne à une vitesse 2
irrégulière, vitesse de rotation dont on vient de déterminer les caractéristiques. Réciproquement, si l'on
réussit à entraîner l'arbre 2 à une vitesse 2 "irrégulière comme il faut", on obtient sur l'arbre 1 une vitesse
1 constante. Ainsi, en mettant deux joints de Cardan en série, le deuxième annulera les irrégularités de
vitesse de rotation générées par le premier. Mais attention, ceci n'est possible que sous certaines
conditions…
Exemple, prenons 3 arbres : un arbre d'entrée 1, un arbre intermédiaire 2 et un arbre de sortie 3.
(1  tan2 02 )

Un joint de Cardan étant symétrique, on peut permuter les indices dans la loi E/S : 1  cos 21.
2
(1  cos2 21. tan2 02 )
Pour le 2
Ainsi
3
1
ème

joint (entre 3 et 2), on réécrit la loi E/S telle qu'elle était :
3
2
 cos 23 .
(1  tan2 02 )
(1  cos2 23 . tan2 02 )
3 2
cos 23 .(1  tan2 02 ) (1  cos2 21. tan2 02 )
.

.
 1 ssi cos 23  cos 21
2 1 (1  cos2 23 . tan2 02 ) cos 21.(1  tan2 02 )
donc homocinétique
seulement si
23  12
Configuration d’un double joint de Cardan homocinétique
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Vue éclatée d’un double joint de Cardan
Plan d’un double joint de Cardan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Exemples de doubles joints de Cardan
Joint simple et joint double vendu par
"axesindustries.com" pour des arbres de
diamètres 6 à 50 mm
Arbre de transmission de
moto BMW K 1300 GT
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La photo ci-contre et les deux autres photos
ci-dessous représentent des arbres de
transmission pour véhicule à propulsion ou
à 4 roues motrices.
Pour transmettre le mouvement de rotation
provenant du groupe (moteur + boîte de
vitesses), aux roues arrières, ils utilisent des
arbres de transmission avec double joint de
Cardan.
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Corrigé Exercice 2 : LÈVE BARRIÈRE SINUSMATIC.
Question 1 : Donner le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système.
Paramètre d’entrée : position angulaire du plateau 7 par rapport au bâti 1 : 
Paramètre de sortie : position angulaire de l’arbre de sortie 2 par rapport au bâti 1 : 
Question 2 : Dessiner le graphe des liaisons de ce système.
Pivot
d’axe (C, x2 )
2
Pivot glissant
d’axe (B, y 3 )
3
Pivot
d’axe (D, y )
6
Sphérique
(ou rotule)
de centre B
7
1
Pivot
d’axe ( A, z )
Question 3 : Dessiner, dans le plan ( A, y, z) , le schéma cinématique du système dans la position
particulière où   0 .
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Question 4 : Déterminer la liaison équivalente Leq aux deux liaisons en série entre 7 et 3.
V7/6 

 x,7/6
 y ,7/6

 z,7/6
B
0

0

0 
( x3 ,y 3 ,z3 )
V6/3  
 0

y ,6/3

P(B,y 3 )  0

0

v y ,P6/3 

0
( x3 ,y 3 ,z3 )
NB : Ces 2 torseurs sont déjà écrits au point B !
Comme ces 2 liaisons sont en série :
Donc
V 
Leq
7/3

x,7/6


 y ,7/6  y ,6/3

z,7/6

B
Pour déterminer une liaison
équivalente, il faut utiliser
l'écriture en colonne pour les
torseurs.
V   V   V 
Leq
7/3
7/6
6/3



v y ,B6/3 

0
( x

0
3 ,y 3 ,z3 )
On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique correspondant à une liaison sphère-cylindre (ou
linéaire annulaire) de centre B et de direction y 3 .
Question 5 : Représenter les figures planes de changement de base relatives aux angles  ,  et  .
y
y7
z7
z3


x7


y3


y7
x
z  z7
x
x2
z2
z
y  y2
x7  x3
Question 6 : Déterminer à partir de la particularité géométrique y3  x2 , la loi entrée-sortie en position du
système.
y 3  x2  0
(cos   y 7  sin   z7 )  x2  0
(cos   (cos   y  sin   x )  sin   z )  x2  0

 cos   sin   cos   sin   cos(  )  0
2
 cos   sin   cos   sin   sin   0
 sin   tan   tan   0
sin    tan   tan 
Question 7 : Conclure quant au respect du critère de la fonction FC2.
Si   45 alors tan   1, ainsi tan    sin  . Or
Donc
0

1
 sin  
1
1
 tan  
1
45 


 360

45
Pour la rotation complète du plateau 7, l’angle de sortie  varie de -45° à +45°. Il a donc une amplitude de 90°.
Le critère de la fonction FC2 est validé (1 tour du moteur provoque bien un aller-retour de la barrière de 90°).
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