Corrigé : teneur en fruits dans les confitures

Corrigé : teneur en fruits dans les confitures
Lois normales.
Une entreprise de confitures annonce sur ses emballages une teneur
en fruits de 60 grammes pour 100 grammes de confitures.
Le procédé de fabrication est soumis à quelques aléas. On considère
que la teneur en fruits pour 100 g de confitures fluctue selon la loi
N (60;9)
1
Quelle est la probabilité que la teneur en fruits soit différente
de plus de 5 grammes de la valeur annoncée sur l’emballage ?
Lois normales.
Une entreprise de confitures annonce sur ses emballages une teneur
en fruits de 60 grammes pour 100 grammes de confitures.
Le procédé de fabrication est soumis à quelques aléas. On considère
que la teneur en fruits pour 100 g de confitures fluctue selon la loi
N (60;9)
1
Quelle est la probabilité que la teneur en fruits soit différente
de plus de 5 grammes de la valeur annoncée sur l’emballage ?
Soit X la teneur en fruit dans un pot de 100 g. D’après
l’énoncé, X suit la loi N (60;9) c’est-à-dire la loi N (60;32 )
(attention, on a donc σ = 3).
Lois normales.
Une entreprise de confitures annonce sur ses emballages une teneur
en fruits de 60 grammes pour 100 grammes de confitures.
Le procédé de fabrication est soumis à quelques aléas. On considère
que la teneur en fruits pour 100 g de confitures fluctue selon la loi
N (60;9)
1
Quelle est la probabilité que la teneur en fruits soit différente
de plus de 5 grammes de la valeur annoncée sur l’emballage ?
Soit X la teneur en fruit dans un pot de 100 g. D’après
l’énoncé, X suit la loi N (60;9) c’est-à-dire la loi N (60;32 )
(attention, on a donc σ = 3).
La teneur en fruits est annoncée à 60 g. Elle s’en écarte de plus
de 5 grammes si X < 55 ou si X > 60.
Lois normales.
Une entreprise de confitures annonce sur ses emballages une teneur
en fruits de 60 grammes pour 100 grammes de confitures.
Le procédé de fabrication est soumis à quelques aléas. On considère
que la teneur en fruits pour 100 g de confitures fluctue selon la loi
N (60;9)
1
Quelle est la probabilité que la teneur en fruits soit différente
de plus de 5 grammes de la valeur annoncée sur l’emballage ?
Soit X la teneur en fruit dans un pot de 100 g. D’après
l’énoncé, X suit la loi N (60;9) c’est-à-dire la loi N (60;32 )
(attention, on a donc σ = 3).
La teneur en fruits est annoncée à 60 g. Elle s’en écarte de plus
de 5 grammes si X < 55 ou si X > 60. On cherche donc :
P((X < 55) ∪ (X > 65)) = 1 − P(55 É X É 65)
Lois normales.
Une entreprise de confitures annonce sur ses emballages une teneur
en fruits de 60 grammes pour 100 grammes de confitures.
Le procédé de fabrication est soumis à quelques aléas. On considère
que la teneur en fruits pour 100 g de confitures fluctue selon la loi
N (60;9)
1
Quelle est la probabilité que la teneur en fruits soit différente
de plus de 5 grammes de la valeur annoncée sur l’emballage ?
Soit X la teneur en fruit dans un pot de 100 g. D’après
l’énoncé, X suit la loi N (60;9) c’est-à-dire la loi N (60;32 )
(attention, on a donc σ = 3).
La teneur en fruits est annoncée à 60 g. Elle s’en écarte de plus
de 5 grammes si X < 55 ou si X > 60. On cherche donc :
P((X < 55) ∪ (X > 65)) = 1 − P(55 É X É 65)
A la calculatrice : P(55 É X É 65) ≈ 0, 904 au millième près.
Ainsi, P((X < 55) ∪ (X > 65)) ≈ 0, 096
Lois normales.
2
Dans quel intervalle fluctue la teneur en fruits avec une
probabilité de 0,95.
Lois normales.
2
Dans quel intervalle fluctue la teneur en fruits avec une
probabilité de 0,95.
D’après le cours, on sait qu’une variable suivant la loi N (µ; σ2 )
fluctue à 95% dans l’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ].
Lois normales.
2
Dans quel intervalle fluctue la teneur en fruits avec une
probabilité de 0,95.
D’après le cours, on sait qu’une variable suivant la loi N (µ; σ2 )
fluctue à 95% dans l’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ].
Puisqu’ici µ = 60 et σ = 3, la teneur en fruit fluctue à 95% dans
l’intervalle [54;66].
Lois normales.
2
Dans quel intervalle fluctue la teneur en fruits avec une
probabilité de 0,95.
D’après le cours, on sait qu’une variable suivant la loi N (µ; σ2 )
fluctue à 95% dans l’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ].
Puisqu’ici µ = 60 et σ = 3, la teneur en fruit fluctue à 95% dans
l’intervalle [54;66].
Le service qualité demande au service technique de modifier
l’écart-type σ pour rendre la teneur en fruits moins fluctuante.
3
Celui-ci doit-il pour cela augmenter ou diminuer la valeur de σ ?
Lois normales.
2
Dans quel intervalle fluctue la teneur en fruits avec une
probabilité de 0,95.
D’après le cours, on sait qu’une variable suivant la loi N (µ; σ2 )
fluctue à 95% dans l’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ].
Puisqu’ici µ = 60 et σ = 3, la teneur en fruit fluctue à 95% dans
l’intervalle [54;66].
Le service qualité demande au service technique de modifier
l’écart-type σ pour rendre la teneur en fruits moins fluctuante.
3
Celui-ci doit-il pour cela augmenter ou diminuer la valeur de σ ?
L’écart-type σ quantifie la dispersion de la variable aléatoire X .
Plus σ est élevé, plus les réalisations de X sont dispersées. Il
faut donc diminuer σ pour réduire l’intervalle de fluctuations
de X .
Lois normales.
Plus précisément, le service qualité souhaite que la teneur en fruits
fluctue désormais à 95% dans l’intervalle [58;62].
4
Quelle valeur de σ le service technique doit-il atteindre ?
Lois normales.
Plus précisément, le service qualité souhaite que la teneur en fruits
fluctue désormais à 95% dans l’intervalle [58;62].
4
Quelle valeur de σ le service technique doit-il atteindre ?
On souhaite que l’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ] soit égal à
[58;62].
Lois normales.
Plus précisément, le service qualité souhaite que la teneur en fruits
fluctue désormais à 95% dans l’intervalle [58;62].
4
Quelle valeur de σ le service technique doit-il atteindre ?
On souhaite que l’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ] soit égal à
[58;62].Puisque µ = 60, cela implique σ = 1.
Lois normales.
Plus précisément, le service qualité souhaite que la teneur en fruits
fluctue désormais à 95% dans l’intervalle [58;62].
4
Quelle valeur de σ le service technique doit-il atteindre ?
On souhaite que l’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ] soit égal à
[58;62].Puisque µ = 60, cela implique σ = 1.
5
Avec cette nouvelle valeur de σ, quelle est la probabilité que la
teneur en fruit soit différente de plus de 5 grammes de la valeur
annoncée ?
Lois normales.
Plus précisément, le service qualité souhaite que la teneur en fruits
fluctue désormais à 95% dans l’intervalle [58;62].
4
Quelle valeur de σ le service technique doit-il atteindre ?
On souhaite que l’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ] soit égal à
[58;62].Puisque µ = 60, cela implique σ = 1.
5
Avec cette nouvelle valeur de σ, quelle est la probabilité que la
teneur en fruit soit différente de plus de 5 grammes de la valeur
annoncée ?
A présent, X suit la loi N (60;1). On reprend la méthode vue
dans la première question. On trouve
P((X < 55) ∪ (X > 65)) ≈ 6 × 10−7
Lois normales.