Examen M303 (Seconde session) –Éléments de réponse

Département de Mathématiques
Université de Lille 1
M303 Topologie
Année 2009/2010
Examen M303 (Seconde session) – Éléments de réponse
Exercice 1 (3 points)
Notons T ⊂ Mn (R) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures; on a X = (Xi,j ) ∈ T ssi Xi,j = 0
pour 1 ≤ j < i ≤ n, ce qui vaut dire aussi P
que T = f −1 ({0}) si l’on désigne par f l’application, continue,
2
de Mn (R) vers R définie par f ((Xi,j )) =
1≤i<j≤n Xi,j ; on en déduit qu’il est fermé en tant qu’image
réciproque continue d’un fermé. (On pourrait choisir une tout autre fonction à la place de f ; ou bien encore,
on raisonnerait avec des suites convergentes; ...)
Le sous-espace T est connexe car connexe par arcs: si X, Y ∈ T , le segment reliant X et Y , {tX +(1−t)Y :
t ∈ [0, 1]}, appartient entièrement à T puisque T est en fait un sous-espace vectoriel de Mn (R).
Exercice 2 (8 points)
1. (2 points) Par l’absurde, si Z n’était pas dense dans X, alors ∃ (x, r) ∈ X×]0, +∞[ tel que B(x, r)∩Z = ∅;
or Y étant dense dans X, ∃y ∈ B(x, r/2) ∩ Y ; du fait que B(y, r/2) ⊂ B(x, r) (d’après les inégalités
triangulaires), on aurait B(y, r/2)∩Z = ∅, ce qui donnerait: (B(y, r/2)∩Y )∩Z = ∅, ceci en contradiction
avec l’hypothèse que Z est dense dans Y . (On pourrait aussi donner une preuve directe...)
2. (a) (2 points) Il suffit de démontrer que X \ Y est un ouvert, c-à-d: pour tout x ∈ X \ Y , ∃r > 0 avec
B(x, r) ∩ Y = ∅. Pour voir ceci, remarquons que x = (xn ) ∈
/ Y signifie que, ∃² > 0 et une infinité
de termes xn tels que |xn | > ². Si l’on choisit r = ²/2, alors tout élément de B(x, r) représente une
suite qui ne converge vers zéro.
(b) i. (1 point) Y n’est pas dense dans X, car si x est la suite constante non nulle alors B(x, r)∩Y = ∅
dès que r est plus petit que la valeur absolue de la limite de x. (Ou bien, on aurait Y = Ȳ = X
si Y était dense...)
ii. (2 points) Z est dense dans Y , car pour tout y = (yn ) ∈ Y , puisque yn → 0 avec n → ∞, on
aura zm → y dans (X, d) si l’on pose
z0 = (y0 , 0, 0, 0, ...),
z1 = (y0 , y1 , 0, 0, ...),
z2 = (y0 , y1 , y2 , 0, ...),
...
iii. (1 point) Z n’est pas dense dans X car Y , contenant Z, n’est déjà pas dense dans X.
Exercice 3 (4 points)
1. (2 points) Voir le cours.
2. (a) (1 point) C est l’image du compact [0, 1] par l’application F : x 7→ (x, f (x)) qui est continue car f
l’est.
(b) (1 point) L’ensemble C est connexe par arcs, car [0, 1] l’est et que C est l’image continue de ce
dernier.
Exercice 4 (7+1 points*)
1. (a) (1 point) Voir le cours.
(b) (2 points) Non. En effet, pour tout n ≥ 0 soit fn la fonction définie, continue, affine par morceaux
et ayant pour graphe la courbe composée des segments [OAn ], [An B] et [BC] avec O(0, 0), An (1/2 −
1/(n + 3), 0), B(1/2, 1), C(1, 1); la suite (fn ) ainsi formée est de Cauchy dans (E, k k) et elle ne
converge vers aucune fonction continue sur [0, 1].
2. (a) (2 points) On peut vérifier que (gn ) converge vers la fonction nulle dans (E, k k) si l’on note gn la
fonction définie et continue sur [0, 1] qui vaut (−1)n en x = 0, est nulle sur [1 − 1/(n + 2), 1] et qui
est affine sur [0, 1 − 1/(n + 2)]; par contre gn (0) n’a pas de limite pour n → ∞.
(b) (1 point) Non, car toute application lipschitzienne est continue.
3. (1 point) L’espace E muni de la norme de la convergence uniforme étant de Banach, les normes k k et
k k∞ ne sont pas topologiquement équivalentes, donc ne sont pas équivalentes dans E.
* Un bonus d’un point sera appliqué si la réponse fournie à l’exercice est complète.