Théorème de la limite simple de Baire

Sandrine C ARUSO
Théorème de la limite simple de Baire
Référence : H. Queffélec, Topologie
Théorème. Soit X un espace métrique complet. Soit (Y, d) un espace métrique. Soit
(fn ) une suite de fonctions continues de X dans Y qui converge simplement vers une
fonction f . Alors l’ensemble C(f ) des points de continuité de f est dense dans X.
Pour x0 ∈ X, on introduit l’oscillation de f en x0 :
ω(f, x0 ) =
inf
V ∈V(x0 )
sup{d(f (x), f (x0 )), x, x0 ∈ V }
où V(x0 ) désigne l’ensemble des voisinages de x0 . S’il n’y a pas d’ambiguïté sur la
fonction f , on notera simplement ω(x0 ).
Propriétés. L’oscillation ω vérifie les propriétés suivantes :
1. ω(x0 ) = 0 ⇐⇒ f est continue en x0 .
2. Pour tout ε > 0, l’ensemble Ωε = {x ∈ X, ω(x) < ε} est ouvert.
T
3. C(f ) =
Ω1 .
p∈N
p
Démonstration. La propriété 1 est immédiate, et la propriété 3 en est une conséquence
directe. Montrons la propriété 2. Soit ε > 0 et x0 ∈ Ωε . Soit η tel que ω(x0 ) < η < ε,
et soit V un voisinage ouvert de x0 tel que pour tous x, x0 ∈ V , d(f (x), f (x0 )) < η. Si
x1 ∈ V , comme V est ouvert, c’est aussi un voisinage de x1 , et l’inégalité précédente
montre que ω(x1 ) 6 η < ε, et ce pour tout x1 ∈ V . Par conséquent, V ⊂ Ωε et Ωε est
ouvert.
Fixons ε > 0 et montrons que Ωε est non vide (ce qui est loin d’être évident), puis
que Ωε est dense dans X.
Étape 1 : Ωε est non vide. Soit ε0 > 0. Soient x, x0 ∈ X. À l’aide de l’inégalité
triangulaire, on a, pour tout n,
d(f (x), f (x0 )) 6 d(f (x), fn (x)) + d(fn (x), fn (x0 )) + d(fn (x0 ), f (x0 )).
Le but est de trouver un x0 , et un voisinage de x0 tel que, pour tout x dans ce voisinage,
chacun de ces trois termes soit majoré par ε0 (en choisissant n convenablement). Tout
d’abord, quel que soit x0 , il existe un voisinage Vx0 de x0 tel que, si x ∈ Vx0 , alors
d(fn (x), fn (x0 )) < ε0 car fn est continue. Pour majorer les deux autres termes, nous
aimerions utiliser le fait que (fn ) converge simplement vers f ; mais il n’est pas évident
1
que l’on puisse trouver n tel que pour tout x dans un voisinage de x0 , d(f (x), fn (x))
soit inférieur à ε0 .
Considérons l’ensemble Gn = {x ∈ X, d(f (x), fn (x)) 6 ε0 }. Il n’est pas nécessairement fermé (car f n’est pas nécessairement continue), en revanche, l’ensemble
Fn = {x ∈ X, d(fm (x), fn (x)) 6 ε0 , ∀m > n}
est, lui, fermé (c’est l’intersection des fermés {x ∈ X, d(fm (x), fn (x)) 6 ε0 } pour
m > n), et on a Fn ⊂ Gn (car (fm ) converge simplement vers f ). De plus,
[
X=
Fn
n∈N
car (fn ) est simplement de Cauchy. Or, X étant complet, le théorème de Baire assure
alors qu’il existe n ∈ N tel que F˚n 6= ∅. Ainsi, il existe un ouvert W ⊂ Fn ⊂ Gn . Il
suffit alors de choisir x0 ∈ W , et on aura, pour tout x ∈ W ∩ Vx0 = U ,
d(f (x), f (x0 )) < 3ε0 .
Pour conclure, il suffit de remarquer que, pour tous x, x0 ∈ U , d(f (x), f (x0 )) < 6ε0 , ce
qui implique ω(x0 ) 6 6ε0 , et donc x0 ∈ Ω7ε0 . En posant ε0 = 7ε , on obtient le résultat
annoncé.
Étape 2 : Ωε est dense dans X. Soit Ω un ouvert non vide de X. Alors Ω vérifie la
propriété de Baire. En effet, soit (Op ) une suite d’ouverts de Ω (donc de X)Tdenses dans
c
c
de X denses dans X, et donc p (Op ∪ Ω )
Ω. Alors (Op ∪ Ω ) est une suite d’ouverts
T
est dense dans X. On en déduit que p Op est dense dans Ω.
Par conséquent, on peut appliquer à Ω et à la suite (fn|Ω ), qui converge simplement
vers f|Ω , le résultat démontré à l’étape 1 (la propriété de Baire est la seule propriété
de X que l’on ait utilisée). Ainsi, il existe x0 ∈ Ω tel que ω(f|Ω , x0 ) < ε. Comme Ω
est ouvert, c’est un voisinage de x0 , et donc l’inf dans la définition de ω(f, x0 ) peut
être restreint aux voisinages contenus dans Ω. Par suite, ω(f|Ω , x0 ) = ω(f, x0 ) et donc
x0 ∈ Ωε . On a montré que Ω ∩ Ωε est non vide, et comme c’est vrai pour tout ouvert
non vide Ω, que Ωε est dense dans X.
Il reste à conclure en invoquant encore une fois le théorème de Baire : C(f ) est une
intersection dénombrable d’ouverts denses, donc est dense dans X.
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