Chapitre III Espaces vectoriels

Chapitre III
Espaces vectoriels
1 Révisions
a)
Espace vectoriels
Définitions.
(a) On appelle anneau un ensemble A muni de deux lois de composition internes, x, y
tion), et x, y
x y (multiplication) avec les propriétés suivantes :
(i) A,
x
y (addi-
est un groupe commutatif, d’élément neutre 0 A .
(ii) La multiplication est une loi associative.
(iii) La multiplication est distributive à gauche et à droite par rapport à l’addition, c’est-à-dire quels
que soient x, y, z
,x y z
x y x z, et y z x y x z x.
(b) Un anneau est dit unitaire s’il existe un élément neutre, noté 1 A , pour la multiplication.
(c) Un corps est un anneau unitaire tel que 0 A 1 A , dans lequel tout élément non nul est inversible. Si de
plus la multiplication est une loi commutative, alors on dit que le corps est commutatif.
Exemple. Munis des lois usuelles d’addition et de multiplication, , et
et 1 sont les éléments neutres respectifs de l’addition et la multiplication.
Définition. On appelle espace vectoriel sur , ou plus simplement un
lequel on a défini deux lois de composition :
E E
x, y
quelle E est un groupe commutatif. Autrement dit :
(A). une loi interne, c’est-à-dire une application
(A1).
x, y, z
(A2).
x, y
E, x
E, x
y
y
z
x
y
-espace vectoriel, un ensemble E sur
E
, appelée addition vectorielle, pour lax y
z (associativité de
x (commutativité de
y
sont des corps commutatifs. 0
).
).
(A3). il existe un élément de E, noté 0E , dit neutre ou vecteur nul, tel que x
(A4). pour tout x
E, il existe un élément de E, noté
(B). une loi externe de domaine
x , dit opposé de x, tel que x
(B1).
λ, µ
, x
E, λ
µ x
(B2).
λ, µ
, x
E, λ
µ
λµ
x
λ x
E
x
x.
x
0E .
E
, appelée multiplication
λ, x
λ x
E associe un élément λ x E vérifiant :
, c’est-à-dire une application
par un scalaire, qui à chaque couple λ, x
E, 0E
x (associativité de ).
µ x (distributivité de
17
).
CHAPITRE III. ESPACES VECTORIELS
(B3).
, x, y
λ
(B4). pour tout x
E, λ
E, 1 x
x
y
18
λ y (distributivité de ).
λ x
x, où 1 est l’élément neutre pour la multiplication dans K.
Remarques.
(a) Les éléments de E sont dits vecteurs, ceux de
(b) L’élément neutre 0E est unique. Pour chaque x,
scalaires.
x est unique.
Les résultats suivants sont des conséquences de la définition d’espace vectoriel :
Proposition 19. Soit E un
0E et 0x
(a) λ0E
(b) si λx
(c)
λ x
0E alors λ
λ
x
-espace vectoriel. Alors quels que soient λ
et x
E, on a :
0E .
0 ou x
0E .
λx .
Remarque. Dans ce qui suit,
λ x sera noté
λx, et x
y sera noté x
y.
b) Sous-espace vectoriel
Définition. Soient E un -espace vectoriel et F une partie non vide de E. On dit que F est un sous-espace
vectoriel de E si la restriction des lois de E fait de F un espace vectoriel.
Pour montrer qu’une partie non vide F de E est un sous-espace vectoriel de E, il suffit de démontrer la
stabilité des lois de composition.
Proposition 20. Soient E un -espace vectoriel et F
E. Alors F est un sous-espace vectoriel de E si et
seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
(a) F
∅,
(b) F est stable pour
: quels que soient x, y
(c) F est stable pour : quels que soient x
F, on a x
F et λ
y
F,
, on a λx
F.
Remarque. Donc si F est un sous-espace vectoriel, il contient nécessairement le vecteur nul 0E , et si x
alors x F.
Des deux conditions (b) et (c), on peut en faire une :
Proposition 21. Soient E un -espace vectoriel et F
E. Alors F est un sous-espace vectoriel de E si, et
seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
(a) F
(b)
∅,
x, y
F et λ
, on a x
λy
F.
F,
CHAPITRE III. ESPACES VECTORIELS
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À l’aide de cette proposition, on peut démontrer facilement :
Proposition 22. Soient F, G des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Alors F
vectoriel de E.
G est un sous-espace
Remarques.
(a) Plus généralement, si F1 , . . . , Fn sont des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, alors F1
Fn est un sous-espace vectoriel de E aussi.
(b) Si F et G sont des sous-espaces vectoriels d’un -espace vectoriel E, alors F G n’est pas en général un
2 , F la droite vectorielle
sous-espace vectoriel de E, car non stable pour . Par exemple, prenons E
engendrée par 1, 0 , et G celle engendrée par 0, 1 . Alors 1, 0 , 0, 1
F G, mais 1, 1
0, 1
1, 0
F G.
Proposition 23. Soient F, G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Alors l’ensemble
H
x
y |x
F et y
G
est un sous-espace vectoriel de E.
Définition. Le sous-espace vectoriel H défini dans la Proposition 23 s’appelle la somme de F et G, et se note
F G.
Remarque. De manière analogue, si F1 , . . . , Fn sont des sous-espaces vectoriels de E, alors F1
x1
xn | x1 F1 , . . . , xn Fn est aussi un sous-espace vectoriel de E.
Fn
c) Combinaison linéaire, famille génératrice, indépendance linéaire, base
Définition. Soient E un -espace vectoriel et A un sous-ensemble de E. Tout élément de la forme λ1 x1
λn xn , où x1 , . . . , xn A et λ1 , . . . , λn
, est appelé combinaison linéaire des éléments de A.
Théorème 24. Soient E un -espace vectoriel, et A une partie non vide de E. Soit Vect A l’ensemble des
vecteurs de E qui sont combinaison linéaire des éléments de A, c’est-à-dire :
Vect A
y
E| n
, λ1 , . . . , λ n
et x1 , . . . , xn
A tels que y
λ1 x1
λn xn .
Alors :
(a) Vect A est un sous-espace vectoriel de E.
(b) Vect A est égal à l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E qui contiennent A.
(c) Vect A est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A (au sens de l’inclusion). Autrement dit, si G
est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors G Vect A .
CHAPITRE III. ESPACES VECTORIELS
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Définitions.
(a) Le sous-espace vectoriel Vect A défini au Théorème 24 s’appelle le sous-espace vectoriel engendré par A.
Par convention, Vect ∅
0E .
(b) Lorsque Vect A
que A engendre E.
E, on dit que A est une famille génératrice ou système générateur de E. On dit aussi
(c) Un espace vectoriel est dit de dimension finie (sur
contraire, on dira qu’il est de dimension infinie.
Proposition 25. Soient E un
-espace vectoriel, et A, B des parties de E.
(a) A
B
(b) A
Vect A , et si A est lui-même un sous-espace vectoriel, alors A
(c) Vect A
Vect A
) s’il existe une famille génératrice finie ; dans le cas
B
Vect B .
Vect A
Vect A .
Vect B .
(d) Si F1 et F2 sont des sous-espaces vectoriels de E, alors Vect F1
F2
F1
F2 .
Définitions.
(a) Soit x1 , . . . , xn une famille finie d’éléments de E. On dit qu’elle est libre si l’on a l’implication :
λ1 , . . . , λ n
K, λ1 x1
λn xn
0E
λ1
λn
0 .
On dit aussi que les vecteurs x1 , . . . , xn sont linéairement indépendants.
(b) Une famille qui n’est pas libre est dite liée (on dit aussi que ses vecteurs sont liés ou linéairement dépendants).
(c) On appelle base d’un espace vectoriel une famille à la fois libre et génératrice.
Remarques.
(a) Les éléments d’une famille libre sont distincts et non nuls.
(b) Toute sous-famille d’une famille libre est libre.
Théorème 26. Soit e1 , . . . , en une base de E. Alors tout x
combinaison linéaire de e1 , . . . , en . Autrement dit, quel que soit x
x λ 1 e1
λn en .
E se décompose de manière unique comme
E , il existe λ1 , . . . , λn
, uniques, tels que
Définition. Dans le Théorème 26, les scalaires λi s’appellent les composantes ou coordonnées de x dans la base
e1 , . . . , e n .
d)
Dimension
CHAPITRE III. ESPACES VECTORIELS
Théorème 27. Soient E un
21
-espace vectoriel différent de 0E de dimension finie.
(a) E admet une base.
(b) Toutes les bases de E possèdent le même nombre d’éléments.
Définition. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Le nombre d’éléments de toute base de E s’appelle la dimension de E et se note dim E, ou dim E quand on veut préciser le corps des scalaires. On définit
la dimension de 0E en posant dim 0E
0.
Remarques.
(a) Un espace vectoriel E est de dimension 0 si et seulement si E
0E .
(b) Le dimension d’un espace vectoriel dépend du corps . L’ensemble des nombres complexes peut
être considéré comme espace vectoriel sur , mais aussi sur . Dans le premier cas, sa dimension est
égale à 1, une base étant 1 , tandis que dans le second cas, sa dimension est égale à 2, une base étant
1, i .
Définitions. Un sous-espace vectoriel F de E de dimension 1 est dit droite vectorielle ; un sous-espace vectoriel F de E de dimension 2 est dit plan vectoriel. Si dim E n, un sous-espace vectoriel F de E de dimension
n 1 est dit hyperplan vectoriel.
Théorème 28. Soit E un espace vectoriel de dimension finie de dimension n. Alors :
(a) Toute famille génératrice de n éléments est une base.
(b) Toute famille libre de n éléments est une base.
En ce qui concerne les sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie, on a le résultat
suivant :
Théorème 29. Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E de dimension finie. Alors F est de dimension finie, et dim F dim E, avec égalité si et seulement si F E.
Dans la pratique, pour montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G d’un espace vectoriel de dimension finie sont égaux, on montre que F G et que dim F dim G.
On utilise souvent le résultat suivant :
Théorème 30. Soit E un
-espace vectoriel de dimension finie.
(a) Soit A une famille finie génératrice de E. Alors on peut extraire de A une base de E, c’est-à-dire il existe une
sous-famille de A qui soit une base de E.
(b) (Théorème de la base incomplète) Soit D une famille libre de E. Alors on peut étendre D en une base de E,
c’est-à-dire il existe une base B de E qui contient D.
CHAPITRE III. ESPACES VECTORIELS
22
Définition. Soient E un -espace vectoriel de dimension finie, et x1 , . . . , xr une famille de vecteurs de E.
On appelle rang de x1 , . . . , xr la dimension du sous-espace vectoriel engendré par x1 , . . . , xr . Autrement
dit,
rg x1 , . . . , xr
dim Vect x1 , . . . , xr .
Remarques.
(a) Il suit du Théorème 30 que le rang d’une famille de vecteurs x1 , . . . , xr est le nombre maximal de
vecteurs linéairement indépendants que l’on peut extraire de cette famille.
(b) Par les Théorèmes 28 et 29, rg x1 , . . . , xr
dim E.
(c) Dans la pratique, le rang d’une famille de vecteurs se calcule par la méthode de Gauss.
CHAPITRE III. ESPACES VECTORIELS
2
23
Somme directe de sous-espaces vectoriels
Définition. Soient E un -espace vectoriel et F1 , . . . , Fr des sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme
de F1 , . . . , Fr le sous-ensemble de E :
F1
Proposition 31. F1
Fr
x1
xr
Fr .
F1 , . . . , xr
x1
Fr est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration. Laissée en exercice. Utiliser la Proposition 20.
Définition. Soient E un -espace vectoriel et F1 , . . . , Fr des sous-espaces vectoriels de E. On dit que F1 , . . . , Fr
sont en somme directe si tout vecteur x de F F1
Fr s’écrit de manière unique sous la forme
x
On écrit alors F
Fi .
Fr , et on dit que F est somme directe de F1 , . . . , Fr .
F1
2,
Exemples. Soient E
et e2
0, 1 .
(a) E
xr , avec xi
x1
F1
Vect e1 , F2
Vect e2 et F3
Vect f 1
2e1
e2 , f 2
e1
e2 , où e1
1, 0
F2 , car e1 , e2 est une base de E.
F1
(b) La somme F1 F3 n’est pas directe car le vecteur e1 s’écrit de deux manières différentes (e1
f 1 f 2 ) comme élément de F1 F3 .
0E , 0E
Théorème 32. Soient E un -espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E, et F1 , . . . , Fr
des sous-espaces vectoriels de E, de bases respectives B1 , . . . , Br . Les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) F
F1
Fr .
(b) F
F1
Fr , et la relation x1
(c) F
F1
Fr , et pour tout i
Fi , implique que x1
xr
0E .
1, . . . , r,
Fi
(d) B1
0E , avec xi
xr
F1
Fi
Fi
1
0E .
Fr
1
Br est une base de F.
Démonstration.
(a)
x1
(b) : si x1
xr 0 E .
(b)
(c) : soit x
xr
Fi
0E , alors x1
F1
Fi
x
avec xi
Fi
1
0E
xr
Fr . Alors x s’écrit
1
x1
0E , et l’unicité de l’écriture implique que
xi
1
xi
xr ,
1
Fi . Donc
x1
et comme x
Fi , il vient que x1
xi
x
1
x
xi
xr
1
0E .
xr
0E ,
CHAPITRE III. ESPACES VECTORIELS
(c)
(a) : soit x F. Alors il existe xi
pour tout i 1, . . . , r, on a
xi
yi
y1
Fi tels que x
x1
Fi
donc xi
24
yi
F1
Fi
xi
1
Fi
1
xr . Si x
x1
yi
1
1
xi
yr
1
Fi , alors
xr
0E ,
Fr
1
yr , avec yi
y1
yi , et l’écriture de x est unique.
i
i
(c)
(d) : soit Bi
e1 , . . . , esi une base de Fi , où si dim Fi pour i 1, . . . , r. Puisque F F1
Fr , B engendre F (on rappelle que Vect B1
Br
Vect B1
Vect Br
F1
Fr , voir
Proposition 25(c)). Montrons que B est libre. Pour i 1, . . . , r et j 1, . . . , sr , soient λi,j
tels que
1
1
λ1,1 e1
1
λ1,2 e2
2
λ1,r1 es1
2
λ2,1 e1
2
λ2,2 e2
x1 F1
λ2,r2 es2
x2 F2
r
r
λr,1 e1
r
λr,2 e2
λr,sr er1
0E .
xr Fr
Pour i
1, . . . , r, on a donc
xi
x1
xi
xi
1
1
xr
Fi
F1
Fi
1
Fi
0E ,
Fr
1
d’où xi 0E pour tout i 1, . . . , r. Puisque Bi est libre, il en résulte que λi,j
j 1, . . . , sr , et B est libre, donc est une base de E.
0 pour tous i
1, . . . , r et
(d)
(a) : soit B
B1
Br , et supposons que c’est une base de F. Puisqu’elle engendre F, on a
F F1
Fr . Comme B est une base de F, tout x F s’écrit de manière unique sous la forme
x
1
λ1,1 e1
1
1
λ1,r1 es1
λ1,2 e2
2
λ2,1 e1
2
2
λ2,2 e2
λ2,r2 es2
F2
F1
r
r
λr,1 e1
r
λr,sr er1 .
λr,2 e2
Fr
Les λi,j étant uniques, x se décompose de manière unique sur les Fi , d’où E
F1
Fr .
Corollaire 33. Soient E un -espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E, et F1 , . . . , Fr
des sous-espaces vectoriels de E. Alors F F1
Fr si et seulement si :
(a) F
F1
(b) dim F
Fr , et
dim F1
dim Fr .
Démonstration. C’est une conséquence de l’équivalence ((a)
(d)) du Théorème 32.
Remarques.
(a) Les conditions Fi
F1
Fi 1 Fi 1
Fr
0E pour i
1, . . . , r impliquent que Fi Fj
2 , prenons
pour tous 1
i
j
r. Mais la réciproque n’est pas vraie : par exemple, dans E
F1
x, 0
x
, F2
0, x
x
et F3
x, x
x
. On a alors que Fi Fj pour tous
1 i j 3, mais F3
F1 F2
F3 E F3 .
CHAPITRE III. ESPACES VECTORIELS
25
(b) Dans la pratique, pour montrer qu’un espace vectoriel E est somme directe de sous-espaces vectoriels
F1 , . . . , Fr , lorsqu’on connaît une base Bi de chaque Fi , si Card ri 1 Bi
dim E, il suffit de montrer
r
que i 1 Bi est une famille libre.
Définition. Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E de dimension finie. Par le théorème de
la base incomplète, on peut toujours trouver un sous-espace vectoriel G de E tel que E F G. On dit que
G est un supplémentaire de F.
Remarque. Un supplémentaire n’est pas unique (sauf dans des cas triviaux). Par exemple, dans la Remarque (a) ci-dessus, F2 et F3 sont tous les deux des supplémentaires de F1 .
Théorème 34 (Formule de Grassmann). Soient E un
sous-espaces vectoriels de E. Alors :
dim F
G
dim F
-espace vectoriel de dimension finie, et F, G deux
dim G
G .
dim F
En particulier, si F, G sont en somme directe,
dim F
Démonstration. Écartons les cas triviaux F
Si F
G
G
dim F
G et G
F.
dim G.
0E , alors par le Théorème 32, F et G sont en somme directe, et dim F
dim F
G
dim G.
0E . Soit e1 , . . . , e p une base de F G, que l’on complète en une base
Supposons donc que F G
e1 , . . . , e p , f 1 , . . . , f q de F, et une base e1 , . . . , e p , g1 , . . . , gr de G. On sait que F G est engendré par F G,
de sorte que e1 , . . . , e p , f 1 , . . . , f q , g1 , . . . , gr est une famille génératrice de F G. On affirme que c’est une
famille libre, donc est une base de F G. Ceci étant, on a
dim F
G
dim F
G
p
q
r
dim F
p
Démontrons l’affirmation. Soient λ1 , . . . , λ p , µ1 , . . . , µq , ν1 , . . . , νr
λ 1 e1
λpep
µ1 f 1
µq f q
y
F
tels que
ν1 g1
νr gr
G. Par suite, il existe ξ 1 , . . . , ξ p
ξ 1 e1
0E .
( )
y G
x F
Donc x y
0E , et x
relation ( ) devient
dim G.
ξ pep
ν1 g1
tels que x
ξ 1 e1
ξ p e p . La
νr
0. Par consé-
0E ,
νr gr
G
mais comme la famille e1 , . . . , e p , g1 , . . . , gr est libre, il vient que ξ 1
quent x y 0E , et la relation ( ) devient
λ 1 e1
λpep
µ1 f 1
Comme la famille e1 , . . . , e p , f 1 , . . . , f q est libre, il suit que λ1
e1 , . . . , e p , f 1 , . . . , f q , g1 , . . . , gr est libre.
ξp
ν1
0E .
µq f q
λp
µ1
µq
0, et alors la famille