Le théorème de Thalès

VERS LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS
Thalès de Millet (né vers 640 avant Jésus-Christ) fut l'un des sept Sages de la Grèce Antique.
Il trouva un moyen rapide pour mesurer la hauteur des Pyramides d'Égypte.
En voici une première ébauche :
On considère un triangle ABC.
On a marqué un point M sur le segment [AB].
Par ce point M, mène la parallèle à la droite (BC); elle coupe le segment [AC] en N.
Fais cette construction dans les trois situations ci-dessous; effectue les mesures et complète le tableau.
d
c
e
AM
AB
AN
AC
MN
BC
AM
AB
AN
AC
MN
BC
c
d
e
Que peux-tu constater ?:…………………………….………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………….
LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS
n - Énoncé de la propriété
Recherche :
utilisable après le chapitre sur le cosinus
On considère un triangle ABC et un point M du côté
[AB].
La parallèle à [BC], passant par M, coupe [AC] en N.
Il s’agit de comparer les quotients
A
1
AM
AN
et
.
AB
AC
2
N
M
K
La hauteur [AH] du triangle ABC coupe (MN) en K.
perpendiculaire à [BC], elle est aussi perpendiculaire à
sa parallèle [MN].
Les triangles ABH, AMK, ACH et ANK sont donc
des triangles rectangles.
dans le triangle ABH : ⎫
⎪
m = AH
⎪
cos A
1
⎪
AB
⎬ donc
dans le triangle AMK :⎪
⎪
m = AK
cos A
⎪
1
AM
⎭
dans le triangle ACH : ⎫
⎪
AH
m
⎪
cos A 2 =
⎪
AC
⎬ donc
dans le triangle ANK :⎪
⎪
m = AK
cos A
⎪
2
AN
⎭
On admet que
B
C
H
⎫
⎪
⎪
AM AK ⎪
AH AK
=
=
ou
AB AM
AB AH ⎪
⎪
⎪
⎪⎪
AM AN
=
⎬ donc
AB AC
⎪
⎪
⎪
AN AK ⎪
AH AK
=
=
ou
AC AN
AC AH ⎪
⎪
⎪
⎪⎭
MN
est aussi égal à ces derniers quotients.
BC
Propriété :
A
Dans un triangle ABC,
si M est un point du côté [AB],
si la parallèle au côté [BC], passant par M, coupe le
côté [AC] en N,
M
N
on a :
AM AN MN
=
=
AB AC BC
Autrement dit :
B
Si [MN] est parallèle à [BC]
alors les côtés du triangle AMN sont respectivement proportionnels aux côtés du triangle ABC.
C
Ou, plus généralement encore :
Deux triangles qui ont leurs côtés parallèles deux à deux ont leurs côtés respectivement proportionnels.
A
Remarque :
On retrouve ainsi la propriété de la droite des milieux :
J
I
AI AJ
IJ 1
=
=
=
AB AC BC 2
C
B
o - Application au partage d’un segment
On considère un segment [AC] que l’on veut partager
(sans mesurer la longueur AC) en sept parties égales pour
placer le point N de ce segment tel que :
M
A
B
AN 3
=
AC 7
N
Sur une demi-droite d’origine A, on construit une division
régulière de sept segments.
On place les points M et B (voir le schéma)
La parallèle à [BC], passant par M coupe [AC] au point N
C
cherché.
En effet :
La propriété de Thalès permet d’écrire :
AN AM 3
=
=
AC AB 7
Le segment [AC] est bien partagé en sept : il suffit de tracer, par chaque point de la division régulière, les
parallèles à [BC]
p - Construction d’une quatrième proportionnelle
On veut construire un segment de longueur x sachant que :
3 2
=
7 x
7 cm
3 cm
M
A
B
x est bien la quatrième proportionnelle aux nombres 7, 5 et 3.
2c
Remarque : le calcul de x ne présente pas d’intérêt :
m
N
x = 4, 6666...
C
On se place dans une situation de Thalès et on assimile
3 2 AM AN
= à
=
7 x
AB AC
On représente donc un triangle ABC (avec [MN]//[BC]) tel que : AM = 3 , AB = 7 , AN = 2 .
l est quelconque)
On construit un triangle AMN tel que AM = 3 et AN = 2 . (l’angle A
Sur la demi-droite [AM), on marque le point B tel que AB = 7 .
La parallèle à [MN], passant par B, coupe la droite (AN) en C.
On obtient ainsi un segment [AC] tel que : AC = x
q - Application : la croix du bûcheron
La croix du bûcheron est constituée de deux branches de même longueur, perpendiculaires et articulées.
Elle permet de mesurer la hauteur d’un arbre.
L’œil O du bûcheron aligne le point A de la croix avec le sommet S de l’arbre et le point B de la croix avec le
pied P de l’arbre ; la partie [AB] de la croix est tenue verticalement. L’arbre [SP] est supposé vertical.
S
A
H
O
L
B
P
En utilisant la propriété de Thalès dans les triangles OSL ([AH]//[SL]) et OSP ([AB]//[SP]) :
OH OA
OA AB
=
=
et
OL OS
OS SP
OH AB
Par conséquent :
=
OL SP
Puisque : OH = AB
Alors : OL = SP
La hauteur de l’arbre est égale à la distance séparant le bûcheron de l’arbre.
Exercices
LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS
X - Entraînement à la résolution d’équations ayant la forme d’une proportion :
5 3
=
x 4
1 x
=
3 5
x 7
=
2 3
7 3
=
3 x
...........................
............................
.............................
............................
...........................
............................
.............................
............................
x x+4
=
3
5
x
3
=
x −1 2
5− x 7 − x
=
2
3
2
5
=
x − 3 x +1
...........................
............................
.............................
............................
...........................
............................
.............................
............................
...........................
............................
.............................
............................
...........................
............................
.............................
............................
Y - M est un point du segment [AB] et N le point du segment [AC] tels que (MN) soit parallèle à (BC).
Complèter le tableau après avoir utilisé la formule :................................
AB
AC
AM
4
5
3
9
6
8
9
AN
4
9
3
3
4
Z - On reprend la configuration précédente.
a) Calcule x sachant que AM = 5 ; AB = 8 ; NC = 4 et AN = x
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
b) Calcule x et y sachant que AM = 4 ; AN = 3 ; MB = x ; NC = 7 ; MN = 6 et BC = y
..........................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................
Devoir
X Antoine et Louis veulent se partager un terrain ayant la forme d’un triangle ABC tel que :
AB = 40 m ; AC = 96 m ; BC = 104 m.
Y - Prouve que ce terrain a la forme d’un triangle rectangle.
Z - Antoine propose de partager ce terrain selon un segment [EF] perpendiculaire à [AC] ; le point E du segment
[AC] étant à 27 m de A.
Calcule EF. (Utilise la propriété de Thalès)
Calcule l’aire de la parcelle CEF puis celle de la parcelle AEFB.
Ce partage est-il équitable ?
[ - Louis préfère un partage selon un segment [IJ] parallèle à [BC] ; le point I étant un point de [AB].
Malheureusement, Louis ne sait pas où placer le point I pour que les deux parcelles AIJ et BIJC aient la même
aire !
a) Quelle doit être l’aire de chacune des parcelles ?
b) On pose : AI = x.
Exprime la longueur AJ en fonction de x. (Utiliser la propriété de Thalès)
Calcule l’expression de l’aire du triangle AIJ en fonction de x.
c) Calcule x et définis la position de I.
VERS LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS
Thalès de Millet (né vers 640 avant Jésus-Christ) fut l'un des sept Sages de la Grèce Antique.
Il trouva un moyen rapide pour mesurer la hauteur des Pyramides d'Égypte.
En voici une première ébauche :
On considère un triangle ABC.
On a marqué un point M sur le segment [AB].
Par ce point M, mène la parallèle à la droite (BC); elle coupe le segment [AC] en N.
Fais cette construction dans les trois situations ci-dessous; effectue les mesures et complète le tableau.
A
A
N
M
N
M
C
B
d
C
B
c
A
e
M
N
C
B
c
d
e
AM
AB
AN
AC
MN
BC
AM
AB
AN
AC
MN
BC
1,5
5,5
2,2
8,1
2,5
9
0,27
0,27
0,28
3
5,5
4,4
8,1
5
9
0,55
0,54
0,56
4,5
5,5
6,6
8,1
7,4
9
0,82
0,81
0,82
Que peux-tu constater ?:Les quotients sont, dans chacun des trois cas, très voisins.
On peut supposer qu’ils sont égaux :
AM AN MN
=
=
AB AC BC
Exercices (Corrigé)
LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS
X - Entraînement à la résolution d’équations ayant la forme d’une proportion :
5 3
=
x 4
3x = 20
x=
1 x
=
3 5
x 7
=
2 3
3x = 14
20
3
x=
3x = 5
14
3
x x+4
=
3
5
x
3
=
x −1 2
5x = 3(x + 4)
5x = 3x + 12
2x = 12
2x = 3(x − 1)
2x = 3x − 3
− x = −3
x=6
x =3
7 3
=
3 x
x=
7x = 9
5
3
x=
2
5
=
x − 3 x +1
2(x + 1) = 5(x − 3)
2x + 2 = 5x − 15
−3x = −17
x=
17
3
9
7
5− x 7 − x
=
2
3
3(5 − x) = 2(7 − x)
15 − 3x = 14 − 2x
− x = −1
x =1
Y - M est un point du segment [AB] et N le point du segment [AC] tels que (MN) soit parallèle à (BC).
Complète le tableau après avoir utilisé la formule
AB
AC
AM
AN
4
5
3
3,75
9
6
6
4
24
8
9
3
9
12
3
4
AM AN
=
AB AC
Z - On reprend la configuration précédente.
a) Calcule x sachant que AM = 5 ; AB = 8 ; NC = 4 et AN = x
AM AN
=
AB AC
5
x
=
8 4+x
8x = 5(4 + x)
ou
3x = 20
x=
20
3
b) Calcule x et y sachant que AM = 4 ; AN = 3 ; MB = x ; NC = 7 ; MN = 6 et BC = y
AM AN MN
=
=
AB AC BC
3(4 + x) = 4 × 10
12 + 3x = 40
3x = 28
x=
28
3
soit
et
4
3
6
=
=
4+ x 3+ 7 y
3y = 6 × 10
y = 20