Théorème de Thalès

Théorème de Thalès
Théorème
Les mesures des côtés de deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux demidroites de même origine sont proportionnelles.
Mesures du triangle AMN AM AN MN
Mesures du triangle ABC AB AC BC
Ce tableau est un tableau de proportionnalité
Autrement dit :
Si, dans un triangle ABC, un point M appartient au segment [AB], un point N appartient au segment [AC] et si les
AM AN MN
droites (MN) et (BC) sont parallèles alors
=
=
.
AB AC BC
Exercice
RST est un triangle tel que RS = 7 cm, ST = 5 cm et RT = 6 cm.
I est un point de [ST] tel que SI = 4 cm.
La droite parallèle à (RT) passant par I coupe [RS] en J.
Calculer SJ.
On sait que, dans le triangle RST,
I est un point de [ST] ;
J est un point de [RS]
(IJ) // (TR)
SI SJ
IJ
=
=
Donc, d’après le théorème de Thalès,
ST SR TR
4 SJ
D’où
=
5 7
4×7
SJ =
5
28
SJ =
5
SJ = 5, 6
La longueur SJ est donc égale à 5,6 cm.
Exercice
On suppose que (BA) // (TR).
appartient à
Calculer la hauteur de la tour TR.
On sait que, dans le triangle ORT,
A ∈ [OR] ;
B ∈ [OT] ;
(BA) // (TR) ;
OB OA BA
Donc, d’après le théorème de Thalès,
=
=
.
OT OR TR
2, 5 1, 5
D’où
=
22, 5 TR
1,5 × 22, 5
TR =
2,5
33, 75
TR =
2, 5
TR = 13,5
La tour mesure donc 13,5 m.
Remarque
La réciproque du théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès.
I est le milieu de [AB].
La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.
AI AJ
IJ
=
=
AB AC BC
AI
AI
1
De plus AB = 2 AI ; d’où
= .
=
AB 2 AI 2
AJ 1
Ainsi
= ; et donc AC = 2 AJ.
AC 2
Par conséquent J est bien le milieu de [AC].
D’après le théorème de Thalès, on a :