chapitre 2

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chapitre 2

NOTES PERSONNELLES
CHAPITRE 2
ECHANTILLONNAGE ET RECONSTITUTION DU SIGNAL
2.1.
LES ELEMENTS ECHANTILLONNEURS
2.1.1. Echantittonneur idéal
Un échantillonneur idéal fait correspondre à un signal continu x(t) une suite de
valeurs discrètes (numériques), distribuées toutes les périodes (ou pas) T.
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
NOTES PERSONNELLES
La fermeture du contact est supposée avoir lieu sur un laps de temps infiniment
court par rapport à la période T. On a déjà signalé que le signal discret, dépourvu
d'énergie, ne peut être appliqué à l'entrée d'un système de commande.
Le symbole de ce type d'échantillonneur est :
T
Remarque : l'échantillonnage idéal est une opération symbolique, commune à tout calcul
numérique selon un pas de calcul constant.
2.1.2. Echantillonneur à pulsations (ou échantillonneur)
En associant aux échantillons précédents des impulsions de Dirac (régulièrement
réparties dans le temps, selon la période T), on forme à partir du signal continu x(t) le
signal échantillonné x*(t).
NOTES PERSONNELLES
On peut exprimer ce signal par :
+00
x*(t)= £ x(nT)Ô(t-nT)
n=o
On peut remarquer que ce signal résulte en fait de la modulation d'amplitude
d'un signal-porteur ôT(t), formé d'un train périodique d'impulsions-unité, par le signal
utile (continu) x(t).
En effet, considérons le train d'impulsions (ou fonction-peigne)
ôT(t) :
NOTES PERSONNELLES
Remarque 1 : Le symbole de cet échantillonneur est celui d'un interrupteur :
T
On représente rarement l'horloge qui permet de le piloter ; sa présence
(nécessaire) est implicite.
Remarque 2 : Pratiquement, les échantillonnées sont des transistors à effet de champ
FET, très rapides, commandés en commutation. On les représente
souvent comme une résistance, qui vaut zéro à chaque période (passage)
et l'infini entre les instants d'échantillonnage.
Automatique - S.A.E.
chapitre 2 : Echantillonnage
2.1.3. Quantification
Les calculateurs de processus travaillent de manière digitale. Un signal digital,
convenablement codifié, ne peut pas varier de manière continue, mais seulement par
gradins, à cause du nombre fini des chiffres représentant une grandeur digitale. Ainsi,
après échantillonnage, le signal (toujours sous forme analogique) doit être quantifié,
c'est-à-dire numérisé et transformé en différents niveaux qui sont codés en binaire.
C'est le rôle du Convertisseur Analogique-Numérique (CAN) que de quantifier ce
signal ; le CAN assure également et préalablement la fonction Echantillonnage.
Si la quantification est effectuée dans de bonnes conditions, elle n'introduit
aucune distorsion (ou une distorsion très faible) sur l'information contenue dans le
signal, contrairement à la fonction-Echantillonnage, dont on verra qu'elle peut entraîner
une perte d'information importante. Compte-tenu du principe de fonctionnement d'un
CAN, le nombre de niveaux de conversion est toujours une puissance de 2 ; par exemple
28, soit 256 niveaux. On dit alors que l'on dispose d'un convertisseur 8 bits.
L'information analogique est alors codée sur un octet.
L'erreur absolue commise dans cette opération de quantification est
proportionnelle au nombre de niveaux ; si l'on utilise un CAN 8 bits pour convertir une
tension comprise entre 0 et 10V, l'erreur absolue maximum commise est égale à :
— ~ 0,04 V
soit : 40 mV environ
La plupart des convertisseurs CAN actuels ont un nombre de bits supérieur à 8 : 10, 12
ou 16 ; exceptionnellement plus. Le tableau ci-dessous donne l'erreur absolue maximum
commise pour une plage d'entrée du CAN s'étendant de 0 à 10V.
nb de bits
8
10
12
16
20
24
nb de niveaux
256
1024
4096
65536
1,05.106
16,8.106
£ absolue maxi(mV)
40
10
2 5
°>15
°>01
°>0006
0,4
0,1
1,5.1Q-3
1.104
6.1Q-6
e %
>
0,025
NOTES PERSONNELL
Pour des raisons de précision, il est en général nécessaire de choisir une
quantification très fine, c'est-à-dire inférieure à 1%. Dans ce cas, on peut négliger l'effet
de la quantification en supposant que la valeur du signal échantillonné varie d'une
manière continue. Par la suite, on négligera donc l'influence de la quantification.
Remarque 1 : La quantification peut provoquer des oscillations dans les circuits de
réglage échantillonnés, sous forme de cycles-limites ; ces oscillations
sont dues au caractère non-linéaire de la quantification.
Remarque 2 : La conversion-inverse, du numérique à l'analogique (CNA), pose moins
de problème. Une conversion en un nombre réduit de bits peut largement
suffire (parfois 3 à 4 bits conviennent parfaitement).
2.2. TRANSFORMEE DE LAPLACE D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE
2.2.1. Première approche
On sait que la transformée de Laplace d'une distribution (impulsion de Dirac)
ô(t) est égale à l'unité. Si celle-ci est retardée d'un temps 6, on peut écrire (théorème
du retard) :
& ô(t-0) = e-0P
Considérons le signal échantillonné :
x*(t) = x(t)&r(t)
+00
x*(t) = £ x(nT) Ô(t-nT)
n=o
Sa transformée de Laplace X*(p) peut donc s'écrire :
+00
X*(p) = £ x(nT) e-nTP
n=o
Cette relation constitue une première expression de la transformée de Laplace
d'un signal échantillonné (ou transformée de Laplace échantillonnée).
2.2.2. Deuxième approche
La fonction-peigne (train d'impulsions-unité) peut être considérée comme un
signal périodique de période T et peut donc être décomposée en série de Fourier ; soit :
»Kt) = I cke^
k=-°°
Le coefficient ck s'exprime par :
f t+T
ck = |
We*2?*
Comme sur une période [t, t+T], n'apparaît qu'une seule impulsion-unité (de poids égal
al), l'intégrale prend la valeur :
i k 27tt
dk^r
qui, pour tout t = nT, est donc égale à 1.
Ainsi, quelque soit l'échantillon k considéré, les coefficients ck de la série de
Fourier sont tous égaux à : — .
T
NOTES PERSONNELLES
Le signal 6^(1) peut donc s'exprimer également par :
»i(t) = lle*^
k=-oo
Alors :
**(t) = l]F x(t)e-Jk2f
Sachant que selon le théorème de la translation dans le plan complexe :
^[x(t)H =X(p+a)
On obtient finalement :
+00
X*(p)=|£
X
(p+J k ^)
k=-<*>
avec :
Q=—
pulsation d'échantillonnage.
Remarque 1 : Cette relation n'est valable que si le signal x(t) est causal, c'est-à-dire si
x(t) = 0 pour tout t < 0 et qu'il ne présente pas de discontinuité pour
t = 0,soit x(0+) = 0.
NOTES PERSONNELLES
Remarque 2 : De cette expression, il résulte que le spectre de fréquences X*(jco) de
x*(t) est obtenu à partir de celui de x(t), c'est-à-dire de sa réponse en
o
fréquences X(jco), par une infinité de translations de valeur £2 = — . Le
spectre du signal échantillonné est donc bien plus étendu que celui du
signal continu qui lui a donné naissance.
Remarque 3 : Cet aspect de l'étude fréquentielle d'un signal échantillonné a été abordé
dans le cours de Traitement du Signal ; il ne sera donc pas développé
plus avant ici.
2.3. RECONSTRUCTION D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE
2.3.1. Théorème de SHANNON
On intuite facilement que l'on perd peu d'information sur un signal continu
échantillonné à haute cadence (a) (fréquence d'échantillonnage élevée par rapport au
spectre de fréquences du signal analogique) ; par contre, si la fréquence
d'échantillonnage est mal choisie, toute l'information peut être amoindrie (b), voire
irrémédiablement perdue (c).
Rappelons que le théorème de l'échantillonnage ou théorème de SHANNON
précise les conditions dans lesquelles un signal analogique peut être reconstruit de façon
unique à partir de sa version échantillonnée :
Théorème : Pour pouvoir reconstituer un signal continu à partir d'un train
d'échantillons de période T, il faut que la pulsation d'échantillonnage
Q=
2n
, soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des
pulsations contenues dans le signal continu que lui a donné naissance.
2.3.2. Application au cas des signaux à spectre de fréquence illimité
Ceci suppose que le signal analogique initial possède un spectre de fréquences
(module de sa transformée de Fourier) limité par une fréquence f MAX Ce n'est pas le cas de la plupart des signaux utilisés ; ceux-ci possèdent des
courbes de réponse en fréquences (modules) qui tendent vers zéro lorsque la fréquence
tend vers l'infini.
Dans les diagrammes de Bode, la courbe de réponse en fréquences (courbe du
module évalué en décibels) se caractérise généralement par :
- sa pulsation de coupure : coc = 27ifc
- sa rapidité de décroissance:
(limitant sa bande passante à - 3 db),
pente à -m db/décade
( exprimée souvent en -n db/octave
avec m = 20, 40, 60,...
avec n = 6, 12, 18,...)
Dans ce cas on peut déterminer en fonction de m la valeur de la pulsation
d'échantillonnage Q = — qui conduit à une certaine erreur d'échantillonnage définie
comme le rapport de la valeur quadratique moyenne de l'erreur apparaissant sur le
signal restitué à la valeur quadratique de celui-ci.
Par exemple :
Pour un signal dont le spectre de fréquence chute de -12 db/oct.
(ou -40 db/dec.) à partir de la fréquence de coupure f c = 10 Hz, un
échantillonnage à 100 Hz conduit à une erreur quadratique moyenne de
5%. Si l'on ne tolère qu'une erreur d'échantillonnage de 1%, il faudra
échantillonnera
~ = 3 0 fc c , s o i t à 300Hz.
T
NOTES PERSONNELLES
NOTES PERSONNELLES
En pratique, on conseille de choisir la période d'échantillonnage T, de telle façon que :
± > 10 f c ou
^ > 10coc
2.3.5. Echantillonneur-bloqueur
* Nécessité d'un élément de maintien
En supposant que le théorème de SHANNON ait été respecté, il n'en reste pas
moins que l'échantillonnage amène une dégradation des propriétés dynamiques du
signal et un certain retard dans la transmission des informations ; de même, la
quantification amène une certaine dégradation de l'état du signal en régime permanent.
Il est donc impératif de filtrer ce signal avant toute utilisation.
De plus, les différents signaux, qui ont subi un traitement au sein de l'ordinateur
(suivant l'algorithme imposé par les instructions mises en mémoire), sont des signaux
échantillonnés (ou plus exactement, numériques) qui doivent être transformés en
signaux analogiques afin de pouvoir commander les actionneurs du système.
En Automatique, le filtre reconstituant le plus utilisé est le bloqueur d'orde zéro.
Cet élément de maintien est bien souvent associé à l'échantillonner classique, car la
plupart du temps :
- le signal discret (échantillon) est mis en mémoire jusqu'à l'apparition de
l'échantillon suivant ;
NOTES PERSONNELLES
- le signal échantillonné (impulsion de Dirac) est transformé en échelon de position,
entre deux prises d'informations, afin d'attaquer le système physique commandé.
* Modélisation d'un échantillonneur-bloqueur
On obtient le signal mémorisé xm(t) qui se présente comme une suite de paliers,
changeant tous les instants nT.
On peut considérer que l'élément de maintien d'ordre zéro résulte de la
différence entre deux échelons-unitaires de position, décalés de T :
B0(t) = nt)-r(t-T)
Sa transformée de Laplace s'exprime par :
B0(p) = l-le-Tp
soit
B0(p) = l^
Le même élément de maintien, décalé de n périodes : B0(t-nT), aura pour
transformée de Laplace :
B0(p).e-nTP
Considérons maintenant un signal mémorisé xm(t) ; on peut l'écrire comme
résultant d'une suite d'éléments de maintien décalés les uns des autres de T :
+00
xm(t) = Z x(nT) Bo(t-nT)
n=o
NOTES PERSONNELLES
Sa transformée de Laplace s'écrit :
+00
X m (p)=£x(nT) B0(p)e-nTP
n=o
+00
soit
Xm(p) = B 0 (p)£x(nT)e-nT P
n=o
d'où
Xm(p) = B 0 (p)X*(p)
Expression que l'on peut illustrer par un bloc-diagramme, associant l'élément
bloqueur à un échantillonneur (à pulsations) :
xw
s X*(t) I
" r~i xma)
X*(p)
I
/
X(p)
^ B 0 (p) = I^
|
-
Xm(p)
Remarque : on peut concevoir d'autres types de filtres-bloqueurs, tels que le bloqueur
d'ordre k, avec correction partielle de vitesse :
Bk(p) = kT(i^)2 + l^(l-ke-Tp)
Si k = 0
on retrouve le bloqueur d'ordre zéro,
Si k = 1
on obtient un bloqueur d'ordre un.
Le choix de k autour de 0,3 à 0,4 semble un bon compromis. Cependant, ces
bloqueurs plus sophistiqués sont complexes à réaliser et c'est presque exclusivement les
bloqueurs d'ordre zéro (mise en mémoire entre deux instants d'échantillonnage) qui
sont utilisés.
* Réalisation
La plupart des échantillonneurs-bloqueurs sont réalisés selon l'un ou l'autre des
schémas ci-dessous. Dans le premier circuit, le condensateur de mémorisation C se
trouve à l'entrée d'un amplificateur non-inverseur de gain-unité. Il est chargé
directement par le signal à mesurer, à travers l'interrupteur S. C'est donc l'impédance
de la source qui détermine la rapidité avec laquelle un condensateur de valeur donnée
est chargé.
Dans ce second circuit, le condensateur de mémorisation est placé dans la contreréaction d'un amplificateur-inverseur. La rapidité de charge dépend donc du courant de
sortie maximum de cet amplificateur et de la constante de temps R 2 C. Par rapport au
précédent, ce circuit présente l'avantage d'une impédance d'entrée purement résistive,
donc indépendante de la fréquence. Cette impédance varie en fonction de la position de
l'interrupteur.
Les échantillonnées sont généralement des transistors à effet de champ (FET).
Dans une version intégrée, le condensateur de mémorisation C est généralement de type
MOS. Enfin, l'amplificateur opérationnel comportera un étage d'entrée à FET, afin de
réduire autant que possible le courant de polarisation.

chapitre 2

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