Compensation et synthèse des systèmes asservis

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CHAPITRE 6
COMPENSATION ET SYNTHESE DES SYSTEMES ASSERVIS
6.1. INSUFFISANCE DE LA COMMANDE PROPORTIONNELLE
Dans une chaîne d'asservissement, le gain des préamplificateurs et des
amplificateurs (placés dans la chaîne directe à la suite du détecteur d'écart) est réglable,
généralement dans d'assez larges proportions. Le réglage de ce gain A donne ainsi la
possibilité d'ajuster la valeur du gain statique en boucle ouverte K du système en
fonction des performances désirées pour l'asservissement.
Pour illustrer notre propos, considérons le cas très classique d'un asservissement
de position, assujettissant la position angulaire 0 d'une charge à une tension de
commande proportionnelle à une position angulaire désirée 8d :
Automatique S.A.L.
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1997], INSA de Lyon, tous droits réservés.
chapitre 6 : Compensation et synthèse
* sa fonction de transfert en boucle fermée (du deuxième ordre) :
Htf(p)
ï
1
1+
1
K
y
A
2
0
+
—
0
F
F
K
, . propre non-amortie. :
présentant une pulsation
con = J/K"
—
et un coefficient d'amortissement réduit :
z = —7=
2VKT
La seule possibilité de réglage étant d'agir sur la valeur du gain A (et donc du
gain statique en boucle ouverte K), on voit donc que les performances de ce système
vont dépendre essentiellement du choix effectué, privilégiant soit une bonne stabilité,
soit une grande rapidité, soit encore une bonne précision.
Le tableau de la page suivante résume la situation et les performances atteintes,
dans ces différents cas.
Remarque : Ce tableau est calculé en fonction de certains groupements de paramètres,
tels que : KT, Ta)n? Tr /T, de telle façon qu'il puisse être utilisé pour tout système
présentant une fonction de transfert du deuxième ordre.
Automatique S.A.L.
Critère privilégié
KT
z
STABILITE
Marge de
phase
de 45°
1,414
0,42
RAPIDITE
Temps de
réponse
minimum
0,50
0,70
PRECISION
Ecart de
traînage de
10%
10
0,16
Stabilité
Rapidité
Précision statique
Commentaires
A
T can
Tr/T
Ecart de Ecart de
position tramage
45°
1,19
6,55
0
70%
65°30
0,70
4,18
0
200% Traînage prohibitif
18°
3,16
0
10%
6,33
Pas assez rapide,
traînage trop
important
Régime transitoire
trop peu amorti,
oas assez rapide
Ce tableau est assez éloquent par lui-même pour souligner l'insuffisance notoire
de la commande proportionnelle (par réglage du gain des amplificateurs uniquement)
pour conférer à un système asservi des performances acceptables ; le choix d'un
compromis entre les exigences de Stabilité, de Précision et de Rapidité conduirait à un
résultat décevant et plutôt médiocre.
6.2. COMPENSATION PAR CORRECTEUR EN CASCADE
6.2.1. Principe de la correction
Pour pallier l'inconvénient majeur présenté par la seule commande
proportionnelle, on conçoit d'agir également (et conjointement) sur la forme de la
fonction G(p) en vue de déformer, de modeler, le lieu de transfert en boucle ouverte,
Automatique S.A.L.
afin que celui-ci permette l'obtention des performances désirées par le concepteur de
l'asservissement.
Le schéma ci-dessous montre l'esprit de la démarche entreprise :
K! G : système initial, stable, peu précis et peu rapide.
K2 G : choix d'une valeur de K satisfaisante pour la précision et la rapidité,
mais rendant le système instable.
K2 G* : déformation du lieu de transfert cumulant les avantages de l'un et
l'autre.
On agit doncy non plus sur le gain K seul, mais également sur la fonction G(p)
afin que le système satisfasse toutes les exigences de performances souhaitées.
Automatique S.A.L.
Ceci est obtenu par l'adjonction au système d'un organe de traitement de
l'information, appelé compensateur, circuit correcteur ou régulateur, et tel que l'on
substitue à :
Hbo(p) = K G(p)
une nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte :
H;O(P) = K*.G*( P )
avec:
K*.G*(p) = K . G(p). C(p)
où C(p) représente la fonction de transfert du circuit correcteur.
6.2.2. Le correcteur PJ.D.
Le traitement subi par le signal d'erreur est généralement de trois types :
* Action proportionnelle
Nous en avons vu les limites (c.f. § 6.1).
Automatique S.A.L.
* Action intégrale
8 C (t)-=T/o8(T>dT
1
i
ou
£
£
C(P) = —
(P)
T
iP
Le temps TTi est le temps d'action intégrale ou le taux d'action intégrale. Ce
temps Tj est réglable et permet de doser la part d'action intégrale du signal. On voit que
pour minimiser cette part, il faut augmenter Tj.
Ce type d'action est favorable à une amélioration notable de la précision. En
effet, la fonction de transfert en boucle ouverte de l'ensemble devient :
H M
H'
l
K
rl p
"H' - )
bolP) =r—
:
T -~ÏÏ"-T;
* ? nfi-pf'.p)
Ce qui revient à augmenter d'une unité le nombre d'intégrations du système et
donc à annuler l'erreur permanente à une entrée d'ordre immédiatement supérieur (c.f.
chapitre précédent § 5.2.).
Par contre, une action intégrale pure tend à rendre l'asservissement instable
je
par un déphasage supplémentaire de - — ; elle doit donc être combinée à d'autres
types d'actions (c.f. chapitre précédent, § 5.2.4).
Automatique S.A.L.
* Action dérivée
^w-T,i
8c(p)=Td.P.e(p)
Td est le temps d'action dérivée ou le taux d'action dérivée. Cette action
procure au système une avance de phase (argument de Hbo (jœ) moins négatif), qui
éloigne le lieu de transfert au boucle ouverte du point critique. Ceci a pour
conséquence une augmentation de la stabilité du système asservi (c.f. chapitre 4).
Par contre, elle présente deux inconvénients :
* le gain statique en boucle ouverte diminue. Cet accroissement de la stabilité s'assortit
d'une diminution de la précision statique ;
* le terme "dérivée" procure un gain élevé aux hautes fréquences. Il favorise donc
l'amplification du bruit créé par les signaux parasites (de hautes fréquences) au
détriment du signal utile (basses fréquences) (c.f. Cours deMécatronique. Chapitre 1. § 1.3.2).
On peut pallier ce dernier inconvénient en utilisant une pseudo-dérivée de
fonction de transfert :
T -r\
—-—
1 +Tp
(filtrage du premier ordre)
Automatique S.A.L.
* Action combinée des trois types de correction. Régulateur PID
Ces différentes actions sont utilisées par couple (P.L, P.D.) ou les trois en même
temps (P.I.D.), profitant des avantages de chacune d'entre elles et contrecarrant
mutuellement leurs inconvénients.
On est donc amené à réaliser un correcteur de type P.I.D. qui exécute, par
exemple, l'équation suivante :
e c (t) - A |e(t) + 1 jje(t) dT + Td £ e(t)|
et qui présente une fonction de transfert du type :
C
C(P), A 1 + T i P + T i T d P 2
e(p)
*
T lP
Remarque 1 : Pour le calcul et la réalisation de ces différents circuits correcteurs, on se
reportera utilement au chapitre 2 du cours de Mécatronique, intitulé : les
organes de réglage : les correcteurs P.I.D. analogiques. La deuxième
partie de ce chapitre 2 est en particulier consacrée à la réalisation d'un
régulateur analogique industriel universel.
Remarque 2: II existe plusieurs méthodes pratiques pour régler valablement les
diverses actions P, I, D des régulateurs associés à un processus donné.
Ces méthodes sont abondamment décrites dans la littérature spécialisée.
La plus connue est la méthode de ZIEGLER et NICHOLS, qui s'appuie
sur le relevé de la réponse indicielle du processus.
Automatique S.A.L.
6.2.3. Compensation par avance ou retard de phase
Pour un asservissement particulier, on peut être amené à calculer un
circuit correcteur spécifique parfaitement adapté au cas traité, plutôt que d'utiliser un
régulateur universel du type PID.
Soit le montage suivant :
On montre facilement que :
en posant :
C(p) =
c
e(p)
=
1 + TP
T = R C2
constante de temps du correcteur
C
a = —-
facteur d'avance (ou de retard) de phase
v^2
Suivant la valeur du coefficient a Ton aura affaire soit à un circuit correcteur à avance
déphasé (a > 1), soit à un circuit correcteur à retard déphasé (a < 1).
Automatique S.A.L.
* Circuit à avance de phase (a > 1)
a = 2 ; T = 10 ms
Le tracé correspond à : 1/a. C(p)
* Circuit à retard de phase (a < 1)
a = 0,5 ; T = 10ms
Le tracé correspond à : 1/a. C(p)
Automatique S.A.L.
* Correcteur Avance-Retard de phase
On constate que les correcteurs à avance de phase agissent plus efficacement
dans la zone de fréquences du lieu de transfert proche du point critique (plutôt Hautes
Fréquences), alors que l'action des correcteurs à retard de phase se fait plus sentir en
Très Basses Fréquences.
Comme pour le régulateur universel P.I.D., on peut être amené à combiner les
différentes actions, afin de profiter à la fois des avantages de l'avance de phase
(renforcement de la Stabilité) et des avantages du retard de phase (accroissement de la
Précision), puisque les deux types de correction agissent dans des bandes de fréquences
différentes.
Un exemple de réalisation pratique d'un tel correcteur a été donné au
paragraphe 2.2.4. du chapitre 2 du cours de Mécatronique (les organes de réglage :
les régulateurs PID analogiques).
6*2.4. Influence d'une correction sur la Rapidité
Dans ce qui précède, on a souligné l'action bénéfique de l'une ou l'autre des
compensations sur la Stabilité du système concerné ou sur sa Précision.
* D'une façon générale, la correction par avance de phase a tendance à
décaler l'échelle des fréquences vers des phases moins négatives, ce qui revient à
augmenter la fréquence de résonance du système en boucle fermée.
Automatique S.A.L,
La bande passante du système asservi compense s en trouve augmentée, d où
une augmentation notable de la rapidité des asservissements dotés d'une correction à
avance de phase.
* La compensation par retard de phase, agissant plutôt vers les basses
fréquences, ne modifie pas d'une façon significative la bande passante du système
corrigé (elle a tendance à la diminuer légèrement) ; la rapidité du système en est donc
peu affectée.
Automatique S.A.L.
6.3. CAS DE LA REGULATION DE VITESSE
La possibilité de disposer d'actions autres que l'action proportionnelle
(compromis sur la valeur du gain A, afin de ménager à la fois les exigences de rapidité
et de précision, évoqué au § 5.4 du chapitre précédent) donne beaucoup plus de latitude
dans la conception de l'asservissement.
Initialement le système étudié est du premier ordre :
Hbovw
bo (p)=-^—
1 + Tp
avec :
K=
Ak g
k
-
On peut donc ajouter, sans aucun risque d'instabilité, une action intégrale pure :
1
TiP
Le correcteur intégral, placé en cascade avec l'amplificateur de gain A dans la
chaîne directe, a pour effet d'assurer une précision parfaite à une entrée (commande ou
perturbation) en échelon-unité :
lim
AQ = O
t -* oo
pour toute variation brutale ACr du couple-résistant.
Automatique S.A.L.
En régime permanent, la vitesse de rotation du mandrin du tour sera
rigoureusement constante quelque soient les aléas de Vusinage (profondeur de passe,
points durs,...).
N'ayant pas de souci de stabilité, on peut également agir sur le temps de réponse
du système en rajoutant un correcteur à avance de phase du type :
1 + Tp
l + T*p
T
T* = — < T
a
avec :
Le correcteur préconisé sera donc globalement :
C(p) = —-. + T P
T
iP 1+Ip
a
avec
a>l
La fonction de transfert en boucle ouverte du tour devient alors :
H
w*
K
1
M = 7j7 • ~i j~
bolP;
1
P\ l + -aP /l
A la constante de temps T du moteur, on a substitué une constante de temps plus
faible.
T
T* =~a
Automatique S. A.L.
En boucle fermée, le système est du deuxième ordre. Les possibilités de réglage
des performances (stabilité, rapidité) sont maintenant plus nombreuses ; on dispose en
effet du :
• gain A de l'amplificateur,
• taux d'action intégrale Ti5
• facteur d'avance de phase a.
En agissant judicieusement sur ces trois réglages, on peut par exemple conférer
au système un temps de réponse minimum (rapidité optimale), ou envisager un réglage
intermédiaire ménageant un compromis réfléchi entre les exigences de Rapidité (par le
choix de a) et celles de Stabilité (par le choix de A) (c.f. le tableau du § 6.1.).
6.4. COMPENSATION PAR BOUCLE DE RETOUR
6.4.1. Principe de la contre-réaction interne
On peut accroître les performances d'un asservissement en créant une boucle
interne de contre-réaction. Ce type de correction est couramment utilisé dans le cas
d'un asservissement de position, où Ton crée une contre-réaction tachymétrique qui
permet un contrôle permanent à la fois de la position et de la vitesse. Cela revient à
asservir en vitesse le moteur qui sert d'actionneur dans la chaîne déposition.
Automatique S.A.L.
On dispose donc des deux boucles imbriquées, dont les paramètres de réglage
sont:
• le gain A de l'amplificateur d ' entrée
* et le taux de contre-réaction tachymétrique X.
Le calcul de ce système donne :
H bo ( P ) = ^.—V
n
P ÀdB + -i-v
H(P)
H (n)
AP)
1
%&
<p) " r i + Mn
aA
l
JL-JL
aAB H(p)
où H(p) représente la fonction de transfert de l'ensemble moteur-réducteur-charge.
Automatique S.A.L.
Dans l'hypothèse où l'on utilise un servomoteur à courant continu, la forme
mathématique de cette fonction de transfert dépend du type de commande adopté :
* Si le moteur est commandé par sa tension d'induit :
où :
H(p)
=—
vw
k(l + Tp)
avec
T = —*k2
J = J m + —TT
n"
inertie ramenée à l'arbre-moteur
ke - kc - k
* Si le moteur est commandé par son courant d'induit :
H
Nota :
<»>-J?
Ces modèles ont été développés dans le cours de Mécatronique, au
chapitre 3 portant sur les moteurs à courant continu, dans la 3ème partie du
cours (Actionneurs électriques).
Remarque : Selon la commande adoptée, l'amplificateur de puissance de gain B (nonréglable) est soit de type tension-tension, soit de type tension-courant (c.f.
cours de Mécatronique, 1ère partie, chapitres 4 et 5).
Automatique S.A.L.
6.4..2. Cas d'une commande en tension
Remarque : Dans ce cas, la boucle interne correspond à la régulation de vitesse, qui a
servi de fil conducteur tout au long de ce cours !
La fonction de transfert H(p) de l'ensemble Moteur-Réducteur-Charge est du premier
ordre. Le calcul de la fonction de transfert en boucle fermée :
e(p)
conduit à une
fonction du deuxième ordre, de :
• gain statique :
1
a
, .
.
• Fpulsation Fpropre
non-amortie :
F
fâkAB
enn = I
Y nRJ
• facteur d'amortissement réduit : z = —V(k + XdB); /aABR
2
V
J
On voit donc, qu'en agissant sur le réglage du gain A, on peut imposer au
système une pulsation œ n choisie puis, en réglant cette fois-ci le taux de contre-réaction
tachymétrique X, choisir un facteur d'amortissement z à sa convenance.
Remarque : en agissant sur le taux X, on ne peut qu'augmenter le facteur
d'amortissement z, ce qui peut être gênant pour un système qui paraîtrait
déjà trop amorti...
Automatique S.A.L.
On peut pallier cet inconvénient, en créant une réaction positive (et non
plus une contre-réaction négative) :
Dans ce cas, œ n n'est pas affectée, mais z devient :
z-(k-MB).p^
v
;
VABRJ
On peut donc ainsi diminuer le facteur z (ce qui rendra l'asservissement
plus nerveux), en veillant cependant à ne pas trop l'affaiblir, voire à le
rendre négatif, ce qui rendrait l'asservissement respectivement trop
oscillatoire et à la limite instable !
Automatique S. A.L.
6.4.3. Cas d'une commande en courant
Dans ce cas, la fonction de transfert H(p) de l'ensemble est un intégrateur pur.
La fonction de transfert en boucle fermée de l'ensemble est aussi du deuxième ordre, de
même gain statique -, mais de :
a
• pulsation propre non-amortie :
/âkAB~
con = J
\f nJ
* facteur d'amortissement réduit : z = — À,d J
2
VaAJ
Là aussi, on peut régler indépendamment dans d'assez larges proportions les
deux paramètres con et z de la fonction de transfert en agissant sur les valeurs du gain
A et du taux de contre-réaction tachymétrique A,.
6.4.4. En conclusion
On voit donc les effets de ce type de correction dans une boucle de retour
spécifique :
* en augmentant le gain A (donc le gain statique en boucle ouverte K), on augmente la
précision et la bande passante (donc la rapidité) ; mais on diminue le facteur
d'amortissement, accroissant la tendance à l'oscillation de la réponse de
l'asservissement ;
Automatique S.A.L.
* en jouant sur le taux de contre-réaction tachymétrique X, on peut retrouver un
amortissement correct vis-à-vis du réglage de la stabilité.
D'une façon générale, l'association d'un correcteur P.I.D. placé dans la chaîne
directe avec une boucle interne de retour accroît d'autant plus les possibilités de réglage
et Vobtention de performances optimales de Vasservissement en découplant le choix
de chacun des critères de Stabilité, de Précision et de Rapidité.
Réseaux à Avance de phase :
Diagrammes de Bode tracés pour différents valeurs du facteur d'avance de phase a .

Compensation et synthèse des systèmes asservis

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