analyse multicriteres et fusion d`information pour l`expertise et

Transcription

Colloque LambdaMu 17 –5-7 Octobre 2010, La Rochelle, France – J.M. Tacnet, M. Batton-Hubert, J. Dezert
ANALYSE MULTICRITERES ET FUSION D’INFORMATION POUR L’EXPERTISE
ET LA GESTION INTEGREE DES RISQUES NATURELS EN MONTAGNE
MULTICRITERIA DECISION ANALYSIS AND INFORMATION FUSION FOR
EXPERTISE APPLIED TO NATURAL RISKS IN MOUNTAINS
Jean-Marc TACNET
Cemagref- Unité ETNA
2, rue de la papèterie - 38402
Saint Martin d’Hères Cedex
[email protected]
Mireille Batton-Hubert
Ecole des Mines de SaintEtienne (ENMSE/SITE)
29, rue Ponchardier - 42100
Saint-Etienne Jean Dezert
ONERA
29, avenue de la division
Leclerc - B.P. 72 - 92232
Chatillon Cedex
Résumé
Les risques naturels en montagne (crues torrentielles, avalanches) menacent les biens et les personnes avec des
conséquences souvent dramatiques. Dans un contexte de connaissances partielles et imparfaites de l'occurrence et de la
physique des phénomènes, l'expertise utilise des approches pluridisciplinaires à la fois qualitatives et quantitatives pour
identifier les phénomènes, analyser les risques et proposer des stratégies de réduction des risques au travers de mesures
structurelles (ouvrages de génie civil) ou non-structurelles (zonage, plans d’alerte). Les analyses dépendent de la qualité et de
l’ « incertitude » associées à l’information disponible provenant soit de mesures, d’analyses historiques, de témoignages mais
aussi d’avis subjectifs, parfois contradictoires exprimés par les experts eux-mêmes. Finalement, les scénarios de phénomènes
et les décisions peuvent reposer sur des informations incertaines et contradictoires sans qu’il soit réellement possible
d’expliciter la part de vérité, d’imprécision, de conflit ou simplement de méconnaissance dans les hypothèses ayant conduit au
résultat. Cet article décrit une méthodologie (dénommée ER-MCDA) d’aide à la décision basée sur l’association de l’analyse
multicritères hiérarchique (AHP), les théories des ensembles flous, des possibilités et des fonctions de croyances. Les théories
des ensembles flous et des possibilités sont utilisées pour transformer des critères quantitatifs et qualitatifs dans un cadre
commun de discernement dans le contexte des théories de Dempster-Shafer (DST) et de Dezert-Smarandache (DSmT). Un
problème de décision basée sur l’analyse de la sensibilité d’un site avalanche montre comment la méthode permet de prendre
en compte et tracer l’importance des critères, l’imperfection des évaluations et jugements d’expert et la fiabilité des sources.
Mots-clés : risques naturels, montagne, expertise, aide multicritères à la décision, Analyse multicritères hiérarchique (AHP),
information imparfaite, fusion d'information, logique floue, théorie des fonctions de croyance, DST, DSmT.
Summary
Rapid mass movements hazards such as mountain rivers (torrents) and snow avalanches put humans and material assets at
risk with dramatic consequences. Risk reduction is reached through structural and non-structural measures such as zoning
control, preventive information. In a context of lacking knowledge about the natural phenomena, expertise is required to provide
analyses for decision and risk management purposes using multi-disciplinary quantitative or qualitative approaches. Expertise
depends on the quality and uncertainty of the available information that may result from measures, historical analysis,
testimonies but also subjective, possibly conflicting, assessments done by the experts themselves. At the end, phenomena
scenarios and decisions may very well rely on very uncertain and conflicting information without being able to really know what
was completely true, imprecise, conflicting or simply unknown in the hypotheses leading to the result. A framework mixing fuzzy
logics, evidential reasoning and multi-criteria decision analysis (ER-MCDA) is proposed. The Analytic Hierarchy Process (AHP)
is used to model the decision and to elicit preferences between criteria. Fuzzy Sets and Possibilities theories are used to
transform quantitative and qualitative criteria into a common frame of discernment for Dempster-Shafer Theory (DST) and
Dezert-Smarandache Theory (DSmT). A simplified decision sorting problem based on a snow-avalanche risk management
problem shows how the use of multi-criteria decision analysis principles and information fusion can be used to characterize and
take information quality or imperfection into account for decision purposes.
Keywords : Mountain natural hazards, multicriteria decision making, Analytic Hierarchy Process (AHP), information imperfection,
information fusion, fuzzy logic, evidence theory, DST, DSmT.
1
Introduction : gestion des risques naturels, décision et expertise
Les phénomènes gravitaires rapides en montagne (crues torrentielles, avalanches, chutes de
blocs) constituent un réel danger pour les enjeux humains et matériels en raison de l'intensité et de la
soudaineté des phénomènes (figure 1). Les connaissances liées à l'occurrence, à la physique et aux
effets des phénomènes sur les enjeux restent partielles et imparfaites. Les informations disponibles
sont fortement hétérogènes et entachées d’imperfections (imprécision, incertitude…). Elles résultent
de mesures, d’analyses historiques, de témoignages ou de résultats de modèles provenant de
sources inégalement fiables et potentiellement conflictuelles (Tacnet, 2009) (voir figure 19).
Figure 1 : Les avalanches, les crues torrentielles sont des phénomènes gravitaires destructeurs contre
lesquels on essaie de se protéger (Tacnet et al., 2009a).
L’expertise utilise des approches pluridisciplinaires à la fois qualitatives et quantitatives pour
définir et choisir parmi les différentes stratégies de réduction des risques (figure 2) mettant en œuvre
des mesures structurelles et non-structurelles (Tacnet et al., 2010b).
Figure 2 : Typologie des mesures de réduction du risque (Tacnet, 2009).
Cet article décrit une méthodologie dénommée ER-MCDA1 d’aide à la décision adaptée au
contexte de la gestion préventive des risques en particulier et plus généralement aux processus de
décision basés sur des informations hétérogènes et imparfaites provenant de sources inégalement
fiables et potentiellement conflictuelles. La section 2 décrit sommairement les méthodes d’aide
multicritères à la décision et les théories de représentation et traitement de l’imperfection de
l’information. Sur la base d’un exemple relatif à l’analyse de la sensibilité d’un site d’avalanche, la
section 3 décrit les principales étapes de la méthodologie ER-MCDA à savoir, l’analyse hiérarchique
du problème de décision et la définition du cadre de discernement de décision, l’évaluation imprécise
des critères, la transposition et les deux étapes de fusion des évaluations puis des critères. Enfin, la
section 4 conclut par un résumé des atouts de la méthode et l’énoncé de ses principaux
développements actuels.
1
Raisonnement crédibiliste – Aide multicritères à la décision (Evidential Reasoning-Multicriteria Decision Analysis)
2
2.1
Aide multicritères à la décision, représentation et traitement de l’information imparfaite
Les méthodes d’aide multicritères
L’aide multicritères à la décision concerne trois problématiques de décision consistant pour un
décideur à choisir, ranger, ou trier des alternatives ou des solutions sur la base de préférences
exprimées sur des critères (Roy, 1989). Les méthodes d’agrégation totale, basées sur la théorie de
l’utilité multiattribut (M.A.U.T) (Dyer, 2005) attribuent à chaque alternative ou solution, l’évaluation d’un
critère unique de synthèse (figure 3). Contrairement aux méthodes dites d’agrégation partielle ou de
surclassement (Roy, 1989), ces méthodes reposent sur une hypothèse critiquable de transitivité de
l’indifférence.
Figure 3 : Principe des méthodes d’aide multicritères basées sur une agrégation totale
La fonction d’utilité est essentielle dans ces méthodes d’agrégation totale : elle transforme
des grandeurs réelles hétérogènes dans une mesure d’utilité commune sur laquelle va porter
l’agrégation (figure 3). L’analyse multicritères hiérarchique (AHP)2 (Saaty, 1980), la plus simple de ces
méthodes, est basée d’une part sur la décomposition d’un problème de décision en critères (analyse)
et d’autre part sur la synthèse et l’agrégation de poids affectés aux critères des différents niveaux de
la hiérarchie (figures 4 et 5). Les préférences (traduisant l’importance relative) entre critères,
s’expriment par les poids w j issues de matrices de comparaison par paires entre critères d’un même
niveau hiérarchique selon une échelle de ratio sémantique. L'agrégation des poids et de l'évaluation
se fait de la racine vers les feuilles selon un principe qui s'apparente à une somme pondérée.
Figure 4 : Principe de l’analyse multicritères
hiérarchique (AHP)
2
Analytic Hierarchy Process
Figure 5 : Agrégation dans un modèle critèreestimateur-solution (forme adaptée de l’AHP)
2.2
Nature, représentation et traitement de l’imperfection de l’information
La décision est liée à l’information et à ses multiples formes d’imperfection (figure 6). Cette
imperfection peut s’exprimer sous forme d’inconsistance (contradiction entre deux sources),
d’imprécision (« le volume est entre 5000 et 10000 m3 »), l’incomplétude (on ne connaît pas toutes les
valeurs pouvant être prises) et l’incertitude (on ne sait pas si l’information est vraie). Plusieurs théories
alternatives à la théorie classiques des probabilités permettent de représenter ces formes
d’imperfection.
Figure 6 : L’imperfection de l’information, sous ses multiples formes, conditionne la décision3
La théorie des ensembles flous permet de représenter l’appartenance partielle d’une
grandeur à un ensemble. Elle établit une correspondance entre des grandeurs quantitatives et des
variables linguistiques utilisées pour décrire une grandeur, une propriété de manière imprécise. A titre
d’exemple (fictif), une population de 13 habitants (dans une zone exposée) correspond partiellement à
une densité « faible » ( μ = 0.2 ) et majoritairement à une densité « modérée » ( μ = 0.8 ).
Figure 7 : Notion d’intervalles flous et de fonction d’appartenance dans le cadre de la théorie des
ensembles flous
La théorie des possibilités (Zadeh, 1978) (Dubois et al., 2006) permet de représenter
l’incertitude associée à une proposition au travers d’une distribution de possibilités constituée
d’intervalles emboîtés. La théorie définit une mesure de possibilité ( Π ) et de nécessité ( N )
constituant des bornes hautes et basses de la probabilité de vérité de la proposition considérée
(appartenance à un intervalle). Pour construire la distribution de possibilité, la source d’évaluation
exprime sur chacun des ces intervalles un niveau de confiance correspondant à une mesure de
nécessité (figure 8). Une distribution de possibilité permet d’exprimer des masses de croyance sur
chacun des intervalles (Dubois et al., 2006) (Baudrit, 2005).
3
voir (Tacnet, 2009) en référence aux travaux et synthèses de P. Smets, D.Dubois, Bonissone....
Figure 8 : Principe d’une distribution de possibilité
La théorie des fonctions de croyance, également nommée théorie de Dempster-Shafer
(DST) (Shafer, 1976), permet de manipuler des degrés de confiance (ou masses de croyance)
associés à la validité d'une information. Ces masses de croyance s'appliquent non plus seulement à
des singletons comme dans la théorie des probabilités mais à des sous-ensembles (figure 9). Un
cadre théorique indépendant de la théorie des probabilités a ensuite été formulé par P. Smets (1994)
dans le cadre du modèle des croyances transférables (TBM4). Enfin, la théorie de DezertSmarandache (DSmT) 5constitue l'évolution la plus récente (Smarandache et Dezert, 2004-2009). Le
cadre de discernement Θ = {θ1 , θ 2 ,..., θ n } est essentiel. Il représente l’ensemble des éléments
θ i (hypothèses) correspondant à des notions vagues et incertaines. Des masses
mi (θ i ) sont affectées aux éléments de 2 Θ (respectivement D Θ ) dans le cadre de
de croyance6
la DST (resp.
DSmT).
Figure 9 : Théorie des fonctions de croyance (DST et DSmT) et lien avec la théorie des possibilités
La fusion d'information est un des atouts de cette théorie. Elle consiste à prendre en compte
la qualité (ou véracité) de l'information dans le processus de décision. Cette fusion d'information
4
Transferable Belief Model
Dezert-Smarandache Theory ou Théorie du raisonnement plausible et paradoxal
6
En anglais basic belief assignment , noté bba
5
consiste à produire une fonction de masse de croyance unique exprimée sur un même cadre de
discernement à partir de plusieurs fonctions de masse de croyance issues de sources distinctes. Des
facteurs d'affaiblissement, noté α permettent de considérer la fiabilité des sources. La règle de fusion
de Dempster (figure 10), basée sur un principe de consensus conjonctif, est la première à avoir été
proposée. Cette règle gère assez mal les situations de fort conflit et d’autres règles ont été imaginées
notamment dans le cadre de la théorie DSmT (Smarandache et Dezert, 2004-2009) en proposant de
repartir proportionnellement le conflit (règles dites P.C.R.7).
Figure 10 : Principe de la fusion de deux sources
En conclusion, la prise en compte de l’incertitude dans le cadre de l’analyse multicritères reste un
problème difficile (Stewart, 2005). Des approches ont associé la théorie des fonctions de croyance et
l’analyse multicritères (Beynon, 2000) (Wang, 2006) et/ou les ensembles flous (Omrani et al., 2007).
Elles restent basées sur l’utilisation de la règle de Dempster et ne permettent pas de prendre des
situations de fort conflit, la multiplicité et la fiabilité variable des sources.
3
La méthodologie ER-MCDA
La méthodologie ER-MCDA8 utilise d’une part l’analyse multicritères hiérarchique (AHP)
uniquement comme cadre conceptuel pour décomposer le problème de décision en critères et d’autre
part les théories des ensembles flous, des possibilités et des fonctions de croyance pour représenter
et fusionner les évaluations imparfaites proposées par des sources. La démarche comprend quatre
étapes (figure 11). L’évaluation des critères précède deux niveaux de fusion. Le premier concerne la
fusion des évaluations. Le second concerne la fusion de critères considérés comme des sources
(figure 12).
Figure 11 : La méthodologie ER-MCDA comprend 4 étapes et dissocie l’analyse du problème,
l’évaluation des critères et la décision obtenue par fusion
7
8
Proportional Conflict Redistribution Rules
pour une description détaillée, voir (Tacnet, 2009) (Tacnet,2009a)
Figure 12 : ER-MCDA - l’évaluation des critères précède le premier niveau de fusion des évaluations,
puis le niveau de fusion des critères.
Etape 1 – Décomposer et structurer le problème de décision. Cette étape-clé concerne la
définition du cadre de discernement et de la structure hiérarchique des critères. On utilise un exemple
(très) simplifié basé sur l’analyse de la sensibilité d’un site avalancheux dérivé d’un système
opérationnel réel (Rapin et al., 2006). La décision porte sur le choix d’un niveau de sensibilité faible,
moyen ou fort en fonction de critères liés à la vulnérabilité et à l’aléa (figure 13).
Principe du zonage
Structuration hiérarchique (simplifiée) des critères
Figure 13 : Représentation hiérarchique d’un problème de décision : cas du zonage des risques
Etape 2 – Evaluer les critères. Pour chaque critère quantitatif ou qualitatif, une évaluation imprécise
et incertaine est formulée par un expert sous la forme d’une distribution de possibilités correspondant
à des intervalles emboîtés. Les mesures de nécessité (représentant la confiance) sont affectées à
chaque intervalle puis transformées en masses de croyances affectées aux intervalles (figure 14).
Etape 3 – Transposer les évaluations. La fusion ne peut concerner que des masses de croyance
exprimées (par différentes sources) sur un même cadre de discernement. Le modèle de transposition
permet d’établir une correspondance entre des grandeurs quantitatives (nombre d’habitants...) et/ou
qualitatives évaluées par les sources (experts) et les classes de décision du cadre de discernement
de décision (sensibilité faible, moyenne, forte...) représentées par des intervalles flous. Les masses de
croyance affectées à chacun des intervalles des distributions de possibilités sont réparties selon un
principe de projection géométrique proportionnelle sur les hypothèses. Après transposition, on
dispose donc, pour chaque source, de masses affectées sur le même cadre (figure 15).
Figure 14 : Evaluations imprécises d’un critère
quantitatif par deux sources
Figure 15 : Principe de la transposition par
projection géométrique
Etape 4.1 – Fusionner les évaluations : Les masses résultant des évaluations des experts (ou
d’autres sources) sont fusionnées dans le premier niveau de fusion (voir figure 1). Les masses de
croyances issues de la transposition des évaluations des critères par les sources sont ensuite
éventuellement affaiblies par application d’un coefficient d’affaiblissement α s caractérisant leur
fiabilité (figure 16).
Figure 16 : Jeu de masses de croyance résultant de la transposition et affaiblissement (fiabilité de la
source) pour une source
Plusieurs évaluations d’un même critère peuvent être fusionnées en utilisant diverses règles
de fusion9. On obtient donc un jeu de masse fusionné exprimé sur le cadre de discernement de
décision (NoS, LS, MS, HS) pour chaque critère (figure 17).
Figure 17 : Résultats de la fusion des jeux de masses affaiblis associés à deux sources
Etape 4.2 – Fusionner les critères. Le second processus de fusion10 permet de fusionner les
masses de croyance affectées aux critères considérés comme des sources. La fusion concerne les
critères « terminaux » de l’arbre hiérarchique. Leur poids agrégé permet de définir leur importance
relative dans le processus de fusion. Le coefficient d’affaiblissement (proposé dans la théorie des
fonctions de croyance) a été utilisé en première approche sans être totalement satisfaisant (Tacnet et
9
voir (Smarandache et Dezert, 2004-2009) pour une comparaison exhaustive des méthodes
3 2
Les calculs de fusion ont été réalisés grâce aux routines de calcul Matlab® développées par Arnaud Martin (laboratoire E I EA3876 ENSIETA Brest, France)(Martin,2009).
10
al., 2009a). Des développements récents ont permis de proposer une nouvelle méthode de fusion
pour prendre en compte de manière différenciée l’importance et la fiabilité associée aux sources
(figure 18) , un cas où la DST échoue, en adaptant des règles de fusion basées sur des principes de
redistribution des masses de croyance spécifiques (Dezert et al., 2010) (Smarandache et al., 2010).
Figure 18 : Le processus de fusion doit distinguer l’importance et la fiabilité des sources
Les résultats de la fusion permettent d’obtenir des valeurs de masses de croyance (ou des
crédibilités, plausibilités) affectées à chacune des classes (figure 19). Il est ainsi possible non
seulement de choisir une classe mais aussi de savoir comment l’information disponible soutient le
choix (répartition relative entre les classes) et de connaître le niveau d’information disponible (en
analysant la masse affectée à Θ , représentant l’ignorance totale). Les cadres de la DST et de la
DSmT sont utilisés pour modéliser le problème (figure 20). L’analyse comparative doit être poursuivie.
Figure 19 : Le second niveau de fusion des
critères permet la décision
4
Figure 20 : Les résultats sont exploités dans le
cadre de la DST et de la DSmT
Conclusion – perspectives
L’approche proposée associe de manière originale l'aide multi-critères à la décision, les théories
des ensembles flous, des possibilités et la fusion d'information. Elle permet d’améliorer et tracer les
processus de décision associés à l'expertise des risques naturels. Au niveau thématique, cette
méthodologie présente des perspectives d’extension dans le cadre de l'analyse de l'efficacité des
ouvrages et de la sureté de fonctionnement (Tacnet et al., 2010b). Sur le fond de la méthode, les
perspectives de développement concernent l'analyse de sensibilité des méthodes, le choix des
processus de fusion, la définition et le test de protocoles de validation qui constitue souvent un verrou
pour l’ensemble des méthodes d’aide à la décision. Pour prendre en compte la composante
géographique des risques et permettre une appropriation des résultats par les décideurs (figure 21),
une version spatialisée de la méthodologie est en cours de développement. Elle permet de
considérer l’imperfection des sources, de déterminer un niveau de risque en traçant la provenance, la
fiabilité et l’importance des informations utilisées mais aussi de représenter les résultats pour une
meilleure exploitation par les décideurs. Elle sera confrontée à des approches pluridisciplinaires dans
le cadre de la gestion intégrée des risques notamment en terme de perception de l’incertitude.
Figure 21 : Application spatiale de la fusion appliquée au processus d’expertise des risques naturels
5
Références
M. Beynon, B. Curry, and P. Morgan, 2000. "The Dempster-Shafer theory of evidence: an alternative approach to
multicriteria decision modelling", Omega, vol.28, no.1, pp. 37--50.
C. Baudrit, 2005. "Représentation et propagation de connaissances imprécises et incertaines : application à l'évaluation des
risques liés aux sites et aux sols pollués ", Thèse de doctorat, Université Toulouse III -U.F.R. Mathématiques
Informatique Gestion.
J. Dezert, J.M. Tacnet, M. Batton-Hubert and F. Smarandache, 2010. “Multi-criteria decision making based on DSmT-AHP” in
st
Belief 2010, Proceedings of the 1 international Workshop on the Theory of Belief Functions, Brest (France), 1-2 april 2010.
D. Dubois and H. Prade, 2006. "Représentations formelles de l'incertain et de l'imprécis", dans Concepts et méthodes pour
l'aide à la décision - Volume 1 : outils de modélisation, D. Bouyssou, D. Dubois, M. Pirlot, et H. Prade (Eds.), Hermès-Lavoisier,
Paris.
J. Dyer, 2005. "MAUT - Multiattribute Utility theory" in Multiple Criteria Decision Analysis:State of the Art Surveys – J. Figueira,
S. Greco, M. Ehrgott, (Eds.) - Springer Verlag, Boston, Dordrecht, London, vol.78 of International Series in Operations Research
and Management Science, pp.263--295.
A. Martin,2009. "Implementing general belief function framework with a practical codification for low complexity" in Advances
and applications of DSmT for Information Fusion - Collected works - Volume 3 – J. Dezert, F.Smarandache F. (Eds.) - American
Research Press, Rehoboth, USA,, pp. 217--273.
H. Omrani, L. Ion-Boussier and P. Trigano, 2007. "A new approach for impacts assessment of urban mobility", WSEAS
Transactions on Information Science and Applications, vol.4, no.3, pp. 439--444, 2007.
F. Rapin, L. Belanger, A. Hurand and J.M. Bernard, 2006. "Sensitive avalanche paths:using a new method for inventory and
classification of risk" in International Snow Science Workshop Proceedings (ISSW) 2006, 6 september to 30 october,
Telluride, Colorado, United States, 2006.
B. Roy, 1989, "Main sources of inaccurate determination, uncertainty and imprecision in decision models", Mathematical and
Computer Modelling, vol.12, no.10-11, pp. 1245--1254, 1989.
T. Saaty, 1980. The analytic hierarchy process. McGraw Hill, New York.
G. Shafer, 1976. A mathematical theory of Evidence .Princeton University Press.
F. Smarandache and J. Dezert, 2004—2009. "Advances and applications of DSmT for information fusion (Collected works)",
Vol(s). 1-3, American Research Press, (téléchargeable sur http://fs.gallup.unm.edu//DSmT.htm)
F. Smarandache, J. Dezert and J.M. Tacnet, 2010. Fusion of sources of evidence with different importances and reliabilities
(accepted may 2010) in Fusion 2010 Proceedings, 13th International Conference on Information Fusion, Edinburgh, U.K., 26-29
July 2010.}
Smets P., Kennes R.,1994. “The transferable belief model”, Artificial Intelligence, vol. 66, n°2, p.191-234.
T.J. Stewart, 2005. "Dealing with uncertainties in MCDA" in Multiple Criteria Decision Analysis: state of the Art Surveys – J.
Figueira, S. Greco, M. Ehrgott (Eds.) - Springer Verlag, Boston, Dordrecht, London, vol.78 of International Series in Operations
Research and Management Science, pp.445--470.
J.M. Tacnet, M. Batton-Hubert and J. Dezert, 2009a. "Information fusion for natural hazards in mountains" in Advances and
applications of DSmT for Information Fusion- Collected works - Volume 3 - Dezert J., Smarandache F. (Eds.) - American
Research Press, Rehoboth, USA., pp. 565--659, 2009.
J.M. Tacnet, 2009b. "Prise en compte de l'incertitude dans l'expertise des risques naturels en montagne par analyse
multicritères et fusion d'information", Thèse de doctorat en Sciences et génie de l'environnement, Ecole Nationale Supérieure
des Mines, Saint-Etienne, France, 2009.
J.-M. Tacnet, M. Batton-Hubert, J. Dezert, 2010. “A two-step fusion process for multi-criteria decision applied to natural hazards
st
in mountains”, Belief 2010, Proceedings of the 1 International Workshop on the Theory of Belief Functions, Brest (France), 1-2
april 2010.
J.M. Tacnet, D. Richard, M. Batton-Hubert and J. Dezert, 2010b. Aide à la décision et fusion d'information pour l'expertise des
èmes
jounées de fiabilité des
risques naturels : analyse de l'efficacité des ouvrages de protection, Actes de JFMS' 2010 (6
matériaux et des structures), Toulouse, France, 25-26 mars 2010.
O.S. Vaidya and S. Kumar, 2006. "Analytic hierarchy process:an overview of applications", European Journal of Operational
Research, vol.169, no.1, pp. 1--29.
Y.M. Wang, J.B. Yang, and D.L. Xu, 2006. "Environmental impact assessment using the evidential reasoning
approach", European Journal of Operational Research, vol.174, no.3, pp. 1885--1913.
L. Zadeh, 1978. "Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility", Fuzzy Sets and Systems, vol.1 , pp. 3--28, 1978.

analyse multicriteres et fusion d`information pour l`expertise et

Transcription

Documents pareils

Bulletin d`inscription Stand Up Paddle

Histoire-BC - Université Paris 4 Sorbonne TRANSPORT, LOGISTIQUE

LES MASSES

Bulletin d`inscription Dezert Point Surf Club

Faire une recherche dans le catalogue

ventes dun 24 novembre 2016

Croyance, certitude, conviction

bulletin d`inscription – annee 2015 dezert point surf club printemps

LAVILLE D`ARGELES-SUR-MER

NOM : Classe : 4ème Prénom : DST de Physique