Représentation et analyse des syst`emes linéaires 1

ISAE-N6K/Première année
Représentation et analyse
des systèmes linéaires
Petite classe No 6
1
1.1
Compléments sur l’analyse fréquentielle des systèmes
bouclés
Stabilité relative et marges de stabilité
Dans l’analyse qualitative que l’on peut faire d’un système bouclé, la stabilité absolue telle
qu’elle peut être attestée par le critère de Nyquist n’est pas l’unique indice pertinent. La manière
dont un système est stable est également primordiale et conduit à l’étude de la stabilité
relative du système bouclé. Dans le domaine temporel, cette notion est reliée aux paramètres
tels que le dépassement maximal et l’amortissement. Dans le domaine fréquentiel, le pic de
résonnance Mr peut également servir à cet effet. Un autre moyen de mesurer le degré de
stabilité relative dans le domaine fréquentiel consiste à mesurer la distance du lieu de transfert
en boucle ouverte au point critique défini comme le point d’affixe (−1, j0) dans le plan de
Nyquist. Cette distance peut être mesurée dans deux directions différentes donnant lieu à la
définition de la marge de phase et de la marge de gain.
1.1.1
Marge de phase et marge de gain
Déf. 1.1 (marge de phase) La marge de phase est définie par :
MΦ = Φ(ωco ) + 180o
(1)
où ωco est la pulsation de coupure à 0 dB, (gain-crossover frequency), de la fonction de transfert
en boucle ouverte :
L(jωco ) = 0 dB
(2)
Déf. 1.2 (marge de gain) La marge de gain se définit par :
Kg =
1
|L(jω180o )|
Kg dB = −20Log10 |G(jω−180o )|
(3)
où ω−180o est la pulsation pour laquelle la phase de la boucle ouverte vaut −180o , (phasecrossover frequency).
(4)
Arg[L(jω−180o )] = −180o
Remarques 1.1 Pour un système à minimum de phase, cela indique de combien le gain peut
être augmenté avant de devenir instable. La marge de phase et de gain mesurent la distance du
lieu de Nyquist au point critique −1.
1
Ces indicateurs sont représentés graphiquement dans les différents plans.
|L| dB
Im
1
Kg
Mφ
−1
0
Re
Mφ
ωco
Kg
ω−180o
ω−180o
0 dB
Φ
o
ωco
−180
o
Black − Nichols
Nyquist
Figure 1 – Marges de gain et de phase dans les plans de Nyquist et de Black
|L| dB
0
ωco
ω−180o
Kg
ω rad/s
Φo
Mφ
−180
ω−180o
o
ωco
ω rad/s
Bode
Figure 2 – Marges de gain et de phase dans le plan de Bode
1.1.2
La marge de module
Les deux indicateurs précédents permettent de juger de la robustesse en stabilité dans deux
directions précises. Une mesure plus objective est définie par la marge de module (vector
margin) introduite par O.J.M. Smith en 1958.
Déf. 1.3 (marge de module) La marge de module est la plus petite distance du point
critique −1 au lieu de transfert en boucle ouverte. C’est donc le rayon du cercle de centre le
point critique (−1, 0) et tangent au lieu de transfert.
∆M =
1
1
1
=
= min
ω |S(jω)|
MS
max |S(jω)|
ω
2
(5)
Im
1
Kg
0
α1
−1
Mφ
1
Re
∆M
α2
L(jω)
Figure 3 – Marge de module dans le plan de Nyquist
A partir de la figure 3, des relations simples peuvent être déduites pour redéfinir les marges de
gain et de phase.
α2
1
MΦ = 2sin−1
Kg =
1 − α1
2
1.1.3
La marge complexe
La marge de module permet de travailler directement à partir de la fonction de sensibilité S.
Il est également possible de définir un indicateur différent de stabilité relative qui est directement
relié aux marges de gain et de phase et qui est construit à partir de la fonction de sensibilité
complémentaire T .
Déf. 1.4 (La marge complexe) La marge complexe est définie par :
∆T =
1
1
= min
ω |T (jω)|
max |T (jω)|
(6)
ω
La marge complexe est illustrée graphiquement dans le plan de Nyquist. Noter que pour la
visulaiser correctement, il est nécessaire de tracer la réponse fréquentielle inverse de la boucle
ouverte L.
3
Im
PSfrag
∆C
1
0
Mφ
−1
Re
Kg
L−1 (jω)
Figure 4 – Marge complexes dans le plan de Nyquist
Les relations avec les marges de gain et de phase sont données alors par :
∆C
2
D’autres indicateurs fréquentiels sont également très importants à définir.
Kg ≥ 1 + ∆C MΦ ≥ 2sin−1
1.2
(7)
Pulsation et amplitude de résonnance
De même que pour les systèmes du second ordre, il est possible de caractériser la réponse
fréquentielle du système en boucle fermée.
Déf. 1.5 (pulsation de résonnance) La pulsation de résonnance est la pulsation ωr telle
que :
ωr = Arg[maxω (L(jω))]
(8)
Déf. 1.6 (amplitude de résonance) L’amplitude de résonance est définie par :
Mr = max |F (jω)| = |F (jωr )|
ω
(9)
où F (p) est la fonction de transfert en boucle fermée.
1.3
Abaque des M-cercles et des N-cercles
Il s’agit de construire un abaque permettant de connaitre la boucle fermée à partir du tracé
du lieu de transfert en boucle ouverte. Nous examinons en premier lieu le cas dans le plan de
Nyquist. Pour simplifier, nous supposons que l’asservissement est à retour unitaire.
r +
u
L(p)
−
y
Figure 5 – Asservissement à retour unitaire
4
où l’on suppose que G(p) est telle que la boucle fermée
G(p)
1+G(p)
est stable.
Im
(point critique)
−1
0
θ
P
Φ−θ
Φ
Re
ωA
A
L(jω)
Figure 6 – Lieu de Nyquist
−→
OA représente G(jω1 ) où ω1 est la pulsation au point A.
−→
|OA| = |G(jω1)|
(10)
Φ(G(jω1 )) = Φ
−→
P A représente 1 + G(jω1 ), d’où,
−→
G(jω1 )|
|OA|
−→ = |1 + G(jω )|
1
|P A|
G(jω1 )
α−θ =Φ
1 + G(jω1 )
(11)
A partir de la connaissance du lieu de transfert en boucle ouverte G(jω), il s’agit de calculer
G(jω)
. On souhaite
pour chaque pulsation donnée, l’amplitude et la phase de la boucle fermée 1+G(jω)
donc tracer dans le plan de Nyquist, les lieux d’amplitude constante et de phase constante en
boucle fermée. On note,
Y (jω)
= Mejα
G(jω) = X + jY
(12)
R(jω)
où M est le module en boucle fermée et α la phase en boucle fermée.
Déf. 1.7 (M-cercles et N-cercles)
- Les lieux d’amplitude constante en boucle fermée
sont appelés les M-cercles et ont pour équation :
M2
X+ 2
M −1
2
5
+Y2 =
M4
(M 2 − 1)2
(13)
- Les lieux de phase constante en boucle fermée sont appelés les N-cercles et ont pour
équation :
2
1
1
1
2
(X + 1/2) + Y −
(14)
= +
2N
4 (2N)2
où N = tanα.
A partir de ces M-cercles et de ces N-cercles, il est possible de tracer des abaques utilisés afin
de déterminer l’amplitude et la phase en boucle fermée à partir de la connaissance du lieu de
transfert de la boucle ouverte tracé sur les abaques. L’intersection de G(jω) avec les M-cercles
et les N-cercles donnent les valeurs de M et N en des pulsations données comme il est indiqué
par les figures suivantes. Ainsi, le pic de résonnance Mr est déterminé comme le plus petit Mcercle tangent avec le lieu de transfert en boucle ouverte alors que la pulsation de résonnance
ωr correspond à la pulsation de point d’intersection. La bande passante à −3 dB du système
en boucle fermée est la pulsation du point d’intersection du lieu de transfert avec le M-cercle
M = −0.707.
Im
ω0.707
M = 1.2
M = 0.833
1.3
0.707
1.5
0.67
2
0.5
3
−1
Re
M =∞
M =1
M =0
L(jω)
−1/2
ωr (Mr = 2)
Figure 7 – Abaque des M-cercles
L’utilisation de l’abaque des N-cercles est complètement identique à celui des M-cercles et
n’est donc pas détaillée ici. Un exemple d’abaque est donné à la figure 8.
6
2.5
o
o
30 (−150 )
2
36o
1.5
45o
60o
1
90o
Im G
0.5
0
−90o
−0.5
−60o
−1
−45o
o
−1.5
−36
−30o
−2
−2.5
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Re G
0.5
1
1.5
2
2.5
Figure 8 – Abaque des N-cercles
1.4
Abaque de Hall-Nichols
Un inconvénient majeur de l’utilisation des abaques des M-cercles et des N-cercles est que la
forme générale de la courbe du lieu de tranfert dans le plan de Nyquist n’est généralement pas
conservée lors de modifications mêmes élémentaires de la fonction de transfert, (changement
de la valeur du gain par exemple). De ce fait, si l’on souhaite utiliser un abaque en vue de la
synthèse d’un correcteur venant modifier la boucle ouverte, il est plus pratique de travailler dans
le plan de Black et d’utiliser l’abaque de Hall-Nichols. De la même manière que des abaques ont
été développés dans le plan de Nyquist pour passer de la boucle ouverte à la boucle fermée, il
est ainsi possible de tracer un abaque dans le plan de Black-Nichols afin de calculer le module
et la phase de la boucle fermée d’un asservissement à retour unitaire connaissant le lieu de
transfert en boucle ouverte. Le principe est identique à celui permettant le tracé des M-cercles
et des N-cercles et donnent les courbes tracées figure 9 qui forment l’abaque de Hall.
7
60
50
40
0 dB
Gain Boucle Ouverte (dB)
30
0.25 dB
0.5 dB
20
1 dB
−1 dB
3 dB
10
−3 dB
6 dB
0
−6 dB
−10
−12 dB
−20
−20 dB
−30
−40
−360
−40 dB
−315
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
Phase Boucle Ouverte (deg)
Figure 9 – Abaque de Hall
Soit la fonction de transfert :
G(p) =
10K
p(p2 + 4p + 16)
Le lieu de transfert de G(p) est tracé dans l’abaque de Hall pour K = 2.5. Différentes valeurs
de l’amplitude de la boucle fermée à retour unitaire peuvent ainsi être calculées.
40
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
20
1 dB
−1 dB
3 dB
6 dB
−3 dB
−6 dB
0
Amplitude (dB)
−12 dB
−20
−20 dB
−40
−40 dB
−60
−60 dB
−80
−80 dB
−100
−360
−100 dB
−315
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
Phase (deg)
En produisant un zoom sur les fréquences intermédiaires, il est alors possible de calculer
la marge de phase, la marge de gain, le coefficient de surtension qui est égal ici au pic de
8
résonnance ainsi que la pulsation de résonnance.
MΦ = 60 deg. ωco = 1.7 rad/s. Kg = 8 dB ω−π = 4 rad/s.
Mr = 0.5 dB
ωr = 2.8 rad/s.
15
3 dB
10
6 dB
Amplitude (dB)
5
System: G
Gain (dB): −0.0126
Phase (deg): −117
Frequency (rad/sec): 1.7
0
System: G
Gain (dB): −3.82
Phase (deg): −144
Frequency (rad/sec): 2.8
−5
System: G
Gain (dB): −8.12
Phase (deg): −180
Frequency (rad/sec): 3.99
−10
−180
−135
−90
Phase (deg)
Un tracé identique est donné pour K = 5 où l’on peut voir l’effet de l’augmentation du gain
sur le système en boucle fermée.
30
0.25 dB
0.5 dB
20
1 dB
3 dB
10
6 dB
Amplitude (dB)
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−225
−180
−135
Phase (deg)
9
−90
20
1 dB
3 dB
10
6 dB
Amplitude (dB)
0
System: untitled1
Gain (dB): 0.0729
Phase (deg): −163
Frequency (rad/sec): 3.44
System: untitled1
Gain (dB): −1.99
Phase (deg): −179
Frequency (rad/sec): 3.96
−10
−20
−30
−40
−50
−225
−180
−135
−90
Phase (deg)
Remarques 1.2 Si l’asservissement n’est pas unitaire, il faut calculer,
1
G(p)H(p)
Y (p)
=
R(p)
H(p) 1 + G(p)H(p)
(15)
G(jω)H(jω)
1
1
en
On trace alors
que l’on translate de
en gain et de Arg
1 + G(jω)H(jω)
|H(jω)|
H(jω)
phase.
2
Exercices
Exercice 1 :
Tracer dans le lieu de Nichols, le lieu de transfert en boucle ouverte des asservissements à retour unitaire dont la boucle ouverte est G(p). Déterminer la marge
de phase et de gain et déduire à l’aide de l’abaque de Hall, le tracé de la boucle
fermée dans le lieu de Bode. On choisira K = 1.
1− G(p) =
K
p(p + 1)(2p + 1)
2− G(p) =
K
p−1
3− G(p) =
K(p2 − 5p + 2)
p(p3 + 2p2 + 2p + 10)
4− G(p) =
K(p − 2)
p(p2 − 1)
6− G(p) =
K
p(p + 2)(p + 10)
8− G(p) =
K(p2 − 5p + 1)
p(p + 1)(p2 + 4)
5− G(p) =
10K(p + 0.5)
+ 2)(p + 10)
p2 (p
7− G(p) =
K(1 − p)
(p + 1)
9− G(p) =
K(p + 1)
p(p + 2)(p + 5)(p + 15)
10
Exercice 2 :
Soit le système en boucle fermée de fonction de transfert :
G(p) =
10(p + 1)
(p + 2)(p + 5)
1- Montrer que la réponse fréquentielle de ce système possède un pic de résonance
et calculer Mr ainsi que ωr .
2- Refaire la question en utilisant l’abaque de Hall-Nichols et la boucle ouverte
en supposant que l’asservissement est à retour unitaire.
Exercice 3 :
On considère un système modélisé par un double intégrateur corrigé par un
correcteur placé dans la chaı̂ne directe et de fonction de transfert K(p) = K(p +
2). L’asservissement ainsi constitué est à retour unitaire.
1- Déterminer le gain K tel que la marge de phase est égale à 50 deg.
2- Pour cette valeur de K, quelle est la valeur de la marge de gain ?
Exercice 4 :
Tracer le lieu de transfert dans le plan de Bode de la fonction de transfert en
boucle ouverte :
20(p + 1)
p(p + 5)(p2 + 2p + 10)
et détermineer la marge de phase et de gain.
Exercice 5 :
Un asservissement à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte
G(p).
2.245
G(p) =
p(p + 1)(p + 2)
1- Tracer le lieu de Nyquist de G(jω) dans l’abaque des M-cercles.
2- Déterminer la valeur de la pulsation de résonance ωr et l’amplitude de résonance
en boucle fermée Mr .
Exercice 6 :
Etant donné la fonction de transfert en boucle ouverte
G(p) =
1
p(p + 1)(0.5p + 1)
Tracer sa réponse fréquentielle dans l’abaque de Hall-Nichols. Relever l’amplitude
et la phase en boucle fermée afin de la tracer deans le plan de Bode.
11
3
Solution des exercices
Exercice 1 :
1- On obtient les tracés suivants (tracé de la boucle ouverte dans Hall-Nichols et
tracé de la boucle fermée dans Bode) :
Bode Diagram
Nichols Chart
40
20
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
0
1 dB
−1 dB
3 dB
6 dB
−3 dB
−6 dB
0
−20
Magnitude (dB)
20
−40
−60
−20 dB
−20
−80
−100
0
−40
−40 dB
−60
−60 dB
−80
−80 dB
−90
Phase (deg)
Open−Loop Gain (dB)
−12 dB
−180
−100
−360
−270
−100 dB
−315
−270
−225
−180
−135
−90
−45
−1
0
10
Open−Loop Phase (deg)
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Les marges de gain et de phase sont données par :
Kg = 3.52 dB MΦ = 11.4 deg
2- On obtient les tracés suivants (tracé de la boucle ouverte dans Hall-Nichols et
tracé de la boucle fermée dans Bode) :
Nichols Chart
Bode Diagram
40
5
0 dB
30
0
0.25 dB
Open−Loop Gain (dB)
20
1 dB
Magnitude (dB)
0.5 dB
−1 dB
−5
−10
3 dB
10
−3 dB
6 dB
−15
0
−6 dB
−10
−12 dB
−20
−20 dB
−20
−89
−90
−90.5
−30
−40
−360
Phase (deg)
−89.5
−40 dB
−315
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
−91
0
1
10
Open−Loop Phase (deg)
10
Frequency (rad/sec)
Les marges de gain et de phase sont données par :
Kg = 0 dB MΦ = 0 deg
3- On obtient les tracés suivants (tracé de la boucle ouverte dans Hall-Nichols et
tracé de la boucle fermée dans Bode) :
12
Bode Diagram
Nichols Chart
40
20
0 dB
10
0.25 dB
0.5 dB
0
1 dB
−1 dB
3 dB
6 dB
Magnitude (dB)
20
−3 dB
−6 dB
0
−10
−20
−30
−40
−20 dB
−20
−50
0
−40 dB
−40
−45
−60 dB
−60
Phase (deg)
Open−Loop Gain (dB)
−12 dB
−90
−135
−80 dB
−80
−180
−100
−360
−225
−100 dB
−315
−270
−225
−180
−135
−90
−45
−1
0
0
10
1
10
Open−Loop Phase (deg)
10
Frequency (rad/sec)
Les marges de gain et de phase sont données par :
Kg = 1.58 dB MΦ = 5.87 deg
4- On obtient les tracés suivants (tracé de la boucle ouverte dans Hall-Nichols et
tracé de la boucle fermée dans Bode) :
Nichols Chart
Bode Diagram
40
20
0 dB
10
0.25 dB
0
0.5 dB
−10
1 dB
−1 dB
Magnitude (dB)
20
3 dB
−3 dB
6 dB
−6 dB
−30
−40
−50
−12 dB
−60
−70
−20 dB
−20
−80
0
−40
−40 dB
−60
−60 dB
−45
Phase (deg)
Open−Loop Gain (dB)
0
−20
−90
−135
−80
−360
−80 dB
−315
−270
−225
−180
−135
−90
−45
−180
−1
0
10
0
1
10
Open−Loop Phase (deg)
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Les marges de gain et de phase sont données par :
Kg = ∞ dB MΦ = 62 deg
5- On obtient les tracés suivants (tracé de la boucle ouverte dans Hall-Nichols et
tracé de la boucle fermée dans Bode) :
Bode Diagram
Nichols Chart
100
0
Magnitude (dB)
−20
50
0 dB
−1 dB
−40
−60
−3 dB
−6 dB
0
−80
−12 dB
−20 dB
−100
0
−40 dB
−50
−60 dB
−80 dB
−100 dB
−100
−120 dB
Phase (deg)
Open−Loop Gain (dB)
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
−90
−180
−140 dB
−150
−160 dB
−360
−315
−270
−225
−180
−135
−90
−45
−270
0
Open−Loop Phase (deg)
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Les marges de gain et de phase sont données par :
Kg = 24.5 dB MΦ = 30.3 deg
13
2
10
6- On obtient les tracés suivants (tracé de la boucle ouverte dans Hall-Nichols et
tracé de la boucle fermée dans Bode) :
Bode Diagram
Nichols Chart
0
40
0 dB
−20
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
−40
−1 dB
3 dB
6 dB
−60
−3 dB
−6 dB
0
−12 dB
−20
−20 dB
−40
−40 dB
−60
−60 dB
−80
−80 dB
−100
−100 dB
−120
−120 dB
−140
−140 dB
Magnitude (dB)
20
−80
−100
−120
−160
−180
−200
0
−90
Phase (deg)
Open−Loop Gain (dB)
−140
−180
−160
−360
−160 dB
−315
−270
−225
−180
−135
−90
−45
−270
−3
0
10
−2
−1
10
10
Open−Loop Phase (deg)
0
1
10
2
10
3
10
10
Frequency (rad/sec)
Les marges de gain et de phase sont données par :
Kg = 47.6 dB MΦ = 88.3 deg
7- On obtient les tracés suivants (tracé de la boucle ouverte dans Hall-Nichols et
tracé de la boucle fermée dans Bode) :
Bode Diagram
Nichols Chart
40
40
35
0 dB
30
25
30
Magnitude (dB)
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
15
10
5
−1 dB
0
−5
3 dB
10
−10
360
−3 dB
6 dB
0
−6 dB
−10
−12 dB
Phase (deg)
Open−Loop Gain (dB)
20
20
−20 dB
−20
0
45
90
135
180
225
270
315
315
270
−2
360
10
−1
0
10
1
10
Open−Loop Phase (deg)
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Les marges de gain et de phase sont données par :
Kg = 0 dB MΦ = 0 deg
8- On obtient les tracés suivants (tracé de la boucle ouverte dans Hall-Nichols et
tracé de la boucle fermée dans Bode) :
Bode Diagram
Nichols Chart
10
40
0
20
1 dB
−1 dB
3 dB
6 dB
−3 dB
−10
−20
−30
−40
−50
−20
90
−40
Phase (deg)
Open−Loop Gain (dB)
0
Magnitude (dB)
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
−60
0
−90
−80
−180
45
90
135
180
225
270
315
Open−Loop Phase (deg)
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
14
1
10
Les marges de gain et de phase sont données par :
Kg = −2.31 dB MΦ = 89.8 deg
9- On obtient les tracés suivants (tracé de la boucle ouverte dans Hall-Nichols et
tracé de la boucle fermée dans Bode) :
Bode Diagram
Nichols Chart
0
40
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
−1 dB
3 dB
6 dB
−3 dB
−6 dB
0
Magnitude (dB)
20
−20
−20 dB
−40
−40 dB
−60
−60 dB
−80
−80 dB
−100
−100 dB
−120
−120 dB
−140
−140 dB
−160
−160 dB
−50
−100
−150
0
Phase (deg)
Open−Loop Gain (dB)
−12 dB
−180
−270
−180 dB
−180
−360
−315
−270
−225
−180
−135
−90
−45
−90
−3
0
−2
10
−1
10
0
10
Open−Loop Phase (deg)
10
1
10
Les marges de gain et de phase sont données par :
Kg = 65.7 dB MΦ = 90.1 deg
Exercice 2 :
Soit le système en boucle fermée de fonction de transfert :
10(p + 1)
(p + 2)(p + 5)
G(p) =
1- Le module de G(p) est donné par :
|G(jω)| = p
√
10 1 + ω 2
(10 − ω 2 )2 + 40ω 2
On calcule la dérivée de |G(jω)| par rapport à ω.
10ω [−ω 4 − 2ω 2 + 81]
|G(jω)|′ = p
(1 + ω 2 )(100 + ω 4 + 20ω 2 )(100 + ω 4 + 20ω 2)
√
Cette dérivée s’annule pour ωr = 2 2 = 2.82. En remplaçant cette valeur
dans l’expression du module de G, on obtient :
5
Mr = √ = 3.5655 dB
11
Bode Diagram
Nichols Chart
5
System: G
Frequency (rad/sec): 2.84
Magnitude (dB): 3.56
Magnitude (dB)
0
0 dB
35
30
0.25 dB
−5
25
0.5 dB
−10
Open−Loop Gain (dB)
20
−15
−20
45
1 dB
15
3 dB
10
6 dB
5
Phase (deg)
System: Gbo
Gain (dB): 8.25
Phase (deg): −157
Frequency (rad/sec): 2.81
0
0
−5
−45
−10
−90
−1
10
0
1
10
2
10
10
−270
−225
−180
−135
Open−Loop Phase (deg)
Frequency (rad/sec)
15
−90
−45
2
10
Frequency (rad/sec)
2- On calcule la boucle ouverte F (p).
G(p) =
F (p)
1 + F (p)
F (p) =
10(p + 1)
p(p − 3)
Soit
On trace le lieu de transfert de F (p) dans l’abaque de Hall-Nichols et l’on
relève la valeur de ωr et de Mr .
Exercice 3 :
1- La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit :
K(p + 2)
p2
dont le module et la phase sont donnés par :
√
K 4 + ω2
ω
|G(jω)| =
Φ(G(jω)) = −180o + tan−1
2
ω
2
On calcule la pulsation de coupure à 0 dB, ωc pour laquelle la phase Φ(G(jω))
doit être égale à 50 deg.
ωc = 2tan(50o ) = 2.3855 rad/s
On déduit le gain K :
K=√
ωc2
= 1.8259
4 + ω2
Bode Diagram
10
Magnitude (dB)
5
0
5.22 dB
−5
−10
−15
Phase (deg)
−90
System: untitled1
Frequency (rad/sec): 2.38
Phase (deg): −130
−120
−150
−180
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2- Pour toute valeur du gain K, la marge de gain est infinie.
16
Exercice 4 :
Le tracé dans le lieu de Bode est donné à la figure suivante.
Bode Diagram
Gm = 9.93 dB (at 4.01 rad/sec) , Pm = 104 deg (at 0.443 rad/sec)
Magnitude (dB)
50
0
−50
−100
−45
Phase (deg)
−90
−135
−180
−225
−270
−2
−1
10
0
10
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Les marges de phase et de gain sont données par :
MΦ = 104 deg Kg = 9.93 dB
Exercice 5 :
1- Le tracé du lieu de Nyquist est donné par :
Nyquist Diagram
Mr = 2
1
0.8
0.6
Imaginary Axis
0.4
0.2
0
−0.2
System: untitled1
Real: −0.844
Imag: −0.441
Frequency (rad/sec): 0.837
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1.5
−1
−0.5
0
Real Axis
17
0.5
1
1.5
2- On obtient donc avec l’abaque des M-cercles.
Mr = 2 ωr = 0.83 rad/s
Exercice 6 :
Le lieu de transfert de G(p) dans l’abaque de Hall-Nichols est représenté à la
figure suivante.
Nichols Chart
30
0.25 dB
0.5 dB
20
Open−Loop Gain (dB)
System: G
Gain (dB): 35.1
Phase (deg): −91.7
Frequency (rad/sec): 0.0194
0 dB
System: G
Gain (dB): 15.3
Phase (deg): −104
Frequency (rad/sec): 0.168
1 dB
3 dB
10
6 dB
0
System: G
Gain (dB): 3.1
System:
G (deg): −136
Phase
Gain (dB):
−0.618(rad/sec): 0.581
Frequency
Phase (deg): −150
Frequency (rad/sec): 0.787
−1 dB
−3 dB
−6 dB
−10
−12 dB
−20
−20 dB
−30
−40 dB
−40
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
Open−Loop Phase (deg)
On prélève un certain nombre de points afin de tracer la boucle fermée dans
Bode.
Bode Diagram
10
Magnitude (dB)
5
0
−5
−10
Phase (deg)
0
−90
−180
−270
−1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
18
1
10
Notes bibliographiques
La lecture de l’article de 1934 de H.S. Black [3] permettra de constater que c’est sans doute la première référence ayant proposé
l’utilisation de l’abaque de Hall-Nichols dans un plan (gain,phase) et dans le cas particulier de l’amplificateur opérationnel stabilisé.
Le chapitre 4 du livre [14] est la référence la plus ancienne le présentant sous la forme utilisée jusqu’à présent dans le cadre de
l’étude du Radar SCR-584 et reconnue comme telle dans la littérature [5]. A défaut de consulter la référence original sur le sujet
[12], [5] est une référence très détaillée pour la construction des abaques des M-cercles et des N-cercles dans le plan de Nyquist.
Des références plus modernes et donc plus accessibles sont données par [8], [25], [15].
La marge de module a été introduite par I.D. Landau dans [23] Les ouvrages recommandés en bibliographie ont été regroupés
suivant des catégories ayant trait à leur nature ou au sujet traité si ce dernier est particulièrement pertinent pour un des sujets du
chapitre.
- Articles fondateurs : articles de H.S. Black et H.W. Bode dans [3]
- Manuels historiques : [14],[12], [22], [29], [5], [4], [13], [24], [20] ;
- Manuels généraux : [28], [21], [8], [6], [19], [25], [11], [15] ;
- Manuels modernes : [10], [31], [1], [26], [17], [2], [30] ;
- Critère de Nyquist multivariable : [9], [18], [27] ;
- Systèmes à contre-réaction : [16], [8], [10], [25], [7] ;
- Fonctions de sensibilité : [8], [10], [30] ;
- Analyse fréquentielle en boucle fermée et abaques : [8], [25], [17], [30]
Références
[1] A. Abramovici and J. Chapsky. Feedback control systems : A fast-track guide for scientists
and engineers. Kluwer Academic Publishers, Boston, Massachusetts, USA, 2000.
[2] P. J. Antsaklis and A. N. Michel. Linear systems. Birkhäuser, Boston, Massachussets,
USA, 2006.
[3] T. Basar, editor. Control theory, twenty-five seminal papers (1932-1981). IEEE press,
Piscataway, New Jersey, USA, 2000.
[4] B. M. Brown. The mathematical theory of linear systems. Chapman and Hall, London,
UK, 1961.
[5] H. Chesnut and R. W. Mayer. Servomécanismes et régulation. Dunod, Paris, France,
1957.
[6] R. C. Dorf and R. H. Bishop. Modern control systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, USA, 1995.
[7] S. Engelberg. A mathematical introduction to control theory. Imperial College Press,
Singapore, Singapore, 2005.
[8] G. F. Franklin, J. D. Powell, and A. Emami-Naeni. Feedback control of dynamic systems.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, USA, 2009.
[9] B. Friedland. Control system design. Dover publications, Mineola, New York, USA, 2009.
[10] T. Glad and L. Ljung. Control theory : Multivariable and nonlinear methods. Taylor and
Francis, New York, New York, USA, 2000.
[11] G.C. Goodwin, S. F. Graebe, and M. E. Salgado. Control system design. Prentice Hall,
Upper Saddle River, New Jersey, USA, 2001.
[12] A. C. Hall. Analysis and synthesis of linear servomechanisms. Technology Press, Cambridge, Massachussets, USA, 1943.
[13] I. M. Horowitz. Synthesis of feedback systems. Academic Press, London, UK, 1963.
[14] H. M. James, N. B. Nichols, and R. S. Phillips. Theory of servomechanisms. McGraw-Hill
book company, New York, New York, USA, 1942.
[15] B. C. Kuo and F. Golnaraghi. Automatic control systems. John Wiley, New York, New
York, USA, 2003.
[16] H. K. Kwakernaak and R. Sivan. Modern signals and systems. Prentice Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey, USA, 1991.
19
[17] J. R. Leigh. Control theory. MPG books LTD, Bodmin, UK, 2004.
[18] M. Morari and E. Zafiriou. Robust process control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, USA, 1989.
[19] A. G. O. Mutambara. Design and analysis of control systems. CRC press, Boca Raton,
Florida, USA, 1999.
[20] P. Naslin. Technologie et calcul pratique des systèmes asservis. Dunod, Paris, France,
1968.
[21] K. Ogata. Modern control engineering. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, USA,
1990.
[22] R. Oldenburg and H. Sartorius. Dynamics of automatic control systems. Oldenburg,
Munich, Allemagne, 1951.
[23] A. Oustaloup, editor. Régulation numérique robuste. Le placement de pôles avec calibrage
de la fonction de sensibilité, chapter 6. Hermès, Paris, France, 1993.
[24] R. Pallu de la Barrière. Cours d’automatique. Dunod, Paris, France, 1966.
[25] W. J. Palm. Modeling, analysis and control of dynamical systems. John Wiley, New York,
New York, USA, 2000.
[26] M. Schetzen. Linear time-invariant systems. John Wiley, New York, New York, USA,
2003.
[27] S. Skogestad and I. Postlethwaite. Multivariable feedback control. John Wiley, New York,
New York, USA, 1996.
[28] Y. Takahashi, M. J. Rabins, and D. M. Auslander. Control and dynamic systems. AddisonWesley Publishing Company, Reading, Massachussets, USA, 1970.
[29] J.C. Truxal. Automatic Feedback Control System Synthesis. Mc Graw-Hill Electrical and
Electronic Engineering Series. Mc Graw-Hill, New York, USA, 1955.
[30] D. Xue, Y. Chen, and D. P. Atherton. Linear feedback control : Analysis and design with
c Advances in design and control. SIAM, Philadelphy, Pennsylvania, USA,
MATLAB.
2007.
[31] H. Özbay. Introduction to feedback control theory. CRC press, New York, New York, USA,
2000.
20