Nom et Prénom : Traitement Statistique et Approche Système

Nom et Prénom :
Traitement Statistique et Approche Système
– Partie : Approche Système –
Janvier 2016
– Durée indicative : 1 heure.
– Les calculatrices et les documents sont autorisés.
– Répondre sur le sujet qui comporte 5 pages.
I. Identification d’un bassin hydraulique.
De l’eau est captée dans deux bassins pour alimenter une turbine. On note q(t) le débit
d’eau arrivant à la turbine, q1 (t) et q2 (t), les deux débits prélevés dans les bassins. Le
modèle reliant ces grandeurs est donné par :
Qm (p) =
k1
k2
Q1 (p) +
Q2 (p)
1 + T1 p
1 + T2 p
où qm (t) est le débit q(t) modélisé, où k1 et k2 représentent des obstructions possibles des
conduites et T1 et T2 modélisent le temps de transport dans les conduites.
L’objectif de l’étude est de déterminer les valeurs des paramètres k1 , k2 , T1 et T2 à partir
des grandeurs q1 (t), q2 (t) et q(t) mesurées au cours du temps par la méthode des fonctions
de sensibilité.
m
m
et σT i (t) = ∂q
, pour i = 1, 2. Donnez
1. Soit les fonctions de sensibilité σki (t) = ∂q
∂ki
∂Ti
les fonctions de transferts et les entrées à leurs appliquer pour obtenir Σki (p) et
ΣT i (p).
2. L’objectif de l’identification étant de minimiser le critère
Z ∞
1
(qm (t, θ) − q(t))2 dt, avec θ = [k1 k2 T1 T2 ]T
J(θ) =
2
0
écrire un programme Matlab permettant de déterminer θ connaissant Q1, Q2, Q et t
des vecteurs (de dimensions 150×1) des valeurs des débits tels que Q1(n)=q1(t(n)),
Q2(n)=q2(t(n)) et Q(n)=q(t(n)).
2
II. Régulations P et PI.
1. Le système G(p) =
1
p2 +p−2
est-il stable en boucle ouverte ?
2. On place le système G(p) dans une boucle fermée avec un régulateur proportionnel
de gain K. Quelle est la fonction de transfert en boucle fermée du système ?
3. Quelle condition doit satisfaire K pour que le système en boucle fermée soit stable ?
4. Pour une valeur de K assurant la stabilité, quelle est l’erreur statique pour une
entrée égale à un ?
3
5. On place le système G(p) dans une boucle fermée avec un régulateur proportionnelp)
intégral de fonction de transfert C(p) = K(1+T
, avec T > 0. Quelle est la fonction
Tp
de transfert en boucle fermée du système ?
6. Quelles conditions doivent satisfaire K et T pour que le système en boucle fermée
soit stable ?
7. Pour une valeur de K et de T assurant la stabilité, quelle est l’erreur statique pour
une entrée égale à un ?
4
III. Questions diverses (les réponses doivent être justifiées).
1. Quelles sont les marges de gain et de
phase du système dont le diagramme de
Bode du transfert de boucle est représenté ci-contre ?
a) MG = 50 dB et MΦ = −75 deg
b) MG = 50 dB et MΦ = 105 deg
c) MG = −50 dB et MΦ = −75 deg
p(1+2p)
2. Le système G(p) = (1+3p)(1+4p)
est régulé en boucle fermée par un correcteur PI
1
défini par C(p) = 6 1 + 2p
. Pour une entrée constante d’amplitude 1, l’erreur statique est...
a) nulle car c’est un correcteur PI.
b) infinie car le système comporte un terme déviateur pur.
c) égale à 0.25.
5
Éléments de correction
I. Identification d’un bassin hydraulique
1. L’équation du modèle est équivalente à l’équation différentielle suivante :
qm (t) + (T1 + T2 )q̇m (t) + T1 T2 q̈m (t) = k1 q1 (t) + k1 T2 q̇1 (t) + k2 q2 (t) + k2 T1 q̇2 (t)
En dérivant cette équation par rapport à chacun des paramètres on obtient le système d’équations différentielles :
σk1 (t) + (T1 + T2 )σ̇k1 (t) + T1 T2 σ̈k1 (t) = q1 (t) + T2 q̇1 (t)
σk2 (t) + (T1 + T2 )σ̇k2 (t) + T1 T2 σ̈k2 (t) = q2 (t) + T1 q̇2 (t)
σT 1 (t) + (T1 + T2 )σ̇T 1 (t) + T1 T2 σ̈T 1 (t) = −q̇m (t) − T2 q̈m (t) + k2 q̇2 (t)
σT 2 (t) + (T1 + T2 )σ̇T 2 (t) + T1 T2 σ̈T 2 (t) = −q̇m (t) − T1 q̈m (t) + k1 q̇1 (t)
En prenant la transformée de Laplace de ces relations, on obtient :
T2 p + 1
Q1 (p)
T1 T2 + (T1 + T2 )p + 1
T1 p + 1
Q2 (p)
Σk2 (p) =
2
T1 T2 p + (T1 + T2 )p + 1
k2 p
p
ΣT 1 (p) =
Q2 (p) −
Qm (p)
2
T1 T2 p + (T1 + T2 )p + 1
T1 p + 1
p
k1 p
Q1 (p) −
Qm (p)
ΣT 2 (p) =
2
T1 T2 p + (T1 + T2 )p + 1
T2 p + 1
Σk1 (p) =
p2
2. On initialise aux valeurs ki = 1 et Ti = 1000.
P=[1;1;1000;1000];
dJ=1;
while (abs(dJ)>0.0001)
k1=P(1);k2=P(2);T1=P(3);T2=P(4);
Qm=lsim(tf(k1,[T1 1]),Q1,t)+lsim(tf(k2,[T2 1]),Q2,t);
Sk1=lsim(tf([T2 1],[T1*T2 T1+T2 1]),Q1,t);
Sk2=lsim(tf([T1 1],[T1*T2 T1+T2 1]),Q2,t);
ST1=lsim(tf([k2 0],[T1*T2 T1+T2 1]),Q2,t)-lsim(tf([1 0],[T1 1]),Qm,t);
ST2=lsim(tf([k1 0],[T1*T2 T1+T2 1]),Q1,t)-lsim(tf([1 0],[T2 1]),Qm,t);
dJ=[Sk1 Sk2 ST1 ST2]’*(Qmp-Qp);
ddJ=[Sk1 Sk2 ST1 ST2]’*[Sk1 Sk2 ST1 ST2];
P=P-inv(ddJ)*dJ;
end
II. Régulations P et PI
1. Les pôles du système G(p) sont −2 et 1. Le pôle 1 étant positif, le système est
instable.
2. La fonction de transfert en boucle fermée est :
HBF (p) =
KG(p)
K
= 2
1 + KG(p)
p +p+K −2
3. D’après le tableau de Routh de HBF (p) donné ci-dessous, le système est stable en
BF si et seulement si K > 2.
6
1
K-2
1
0
K-2
0
4. La transformée de Laplace de l’entrée constante et unitaire x(t) = 1 est X(p) = 1/p,
en appliquant le théorème de la valeur finale à l’erreur e(t), il vient :
e∞ = lim p (1 − HBF (p))
p→0
1
2
=
p
2−K
5. La fonction de transfert en boucle fermée devient :
HBF (p) =
K + KT p
C(p)G(p)
=
3
2
1 + C(p)G(p)
T p + T p + pT (K − 2) + K
6. D’après le tableau de Routh de HBF (p) donné ci-dessous, le système est stable en
BF si et seulement si K > 0 et K(T − 1) − 2T > 0.
T
T
T(K-2)-K
K
T(K-2)
K
0
0
7. La transformée de Laplace de l’entrée constante et unitaire x(t) = 1 est X(p) = 1/p,
en appliquant le théorème de la valeur finale à l’erreur e(t), il vient :
e∞ = lim p (1 − HBF (p))
p→0
1
=0
p
III. Questions diverses
1. La marge de gain se calcule en ωπ = 5 rad/s et vaut MGdB = −GdB (ωπ ) = 50 dB.
La marge de Phase se calcule en ω0 = 0.1 rad/s et vaut Mϕ = 180+ϕ(ω0 ) = 105 deg.
Soit la réponse (b).
2. L’intégrateur du correcteur et le dérivateur du système se compensent dans le transfert de boucle :
3(1 + 2p)2
L(p) =
(1 + 3p)(1 + 4p)
et l’erreur statique est donnée par : e∞ =
7
1
1+L(0)
= 14 , soit la réponse (c).