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BARYCENTRES
On se place aussi bien dans un plan que dans l’espace.
I. BARYCENTRE DE DEUX POINTS PONDÉRÉS
éfinition 1
Un point pondéré est un couple (A ; α ) , où A est un point du plan, ou de l’espace, et α un réel,
appelé coefficient de A.
Propriété 1 (existence et définition du barycentre)
Soient (A ; α ) et (B ; β ) deux points pondérés, avec α + β ≠ 0 (somme des coefficients non nulle).
 + β GB
 = 
Il existe un unique point G tel que α GA
0 (1).
Le point G est appelé le barycentre des points pondérés (A ; α) et (B ; β) (ou plus simplement de (A ; α) et (B ; β))


 + β BG = 
remarque : (1) ⇔ α AG
0 ⇔ AG =

β AB
α+β
Cette dernière égalité, à retenir, permet de construire G et prouve l’existence et l’unicité de G.
Propriété 2 (localisation du barycentre)
Soit G le barycentre de (A ; α ) et (B ; β ), où A et B sont deux points distincts.
1 A, B et G sont alignés.
2 G ∈ [ AB ] ⇔ αβ  0
3 G=A ⇔ β=0
G=B ⇔ α=0
Propriété 3 (homogénéité du barycentre)
Le barycentre de deux points pondérés est inchangé lorsqu’on multiplie chaque coefficient par un même réel non nul
exemple Soit G le barycentre de (A ; – 0,25 ) et (B ; 0,35 ) et H le barycentre de (A ; 3,5 ) et (B ; 0,7 5 )
5
G est aussi le barycentre de (A ; – 25 ) et (B ; 35 ), de (A ; – 5 ) et (B ; 7 ) ou encore de (A ; 5 ) et (B ; – 7)
H est aussi le barycentre de (A ; 3,5 ) et (B ; 3,5 ), de (A ; 1 ) et (B ; 1 ) ou encore de (A ; 16 ) et (B ; 16 ).
Définition 2
Le barycentre de (A ; α ) et (B ; α ), avec α ≠ 0 , est appelé l’isobarycentre de A et B.
C’est le milieu du segment [AB] .
Propriété 4 (réduction de sommes vectorielles)



G est le barycentre de (A ; α ) et (B ; β ) si, et seulement si, pour tout point M, α MA + β MB = ( α + β ) MG.
• En remplaçant M par G on retrouve l’égalité (1) de la propriété1.

 = β AB (preuve de la propriété 1).
• En remplaçant M par A on retrouve AG
α+β
 

• En prenant M = I, où I est le milieu de [AB], on retrouve l’égalité vue en seconde : MA + MB = 2MI.
• En remplaçant M par l’origine O d’un repère du plan, ou de l’espace, on obtient les coordonnées de G dans ce repère
Propriété 5 (coordonnées du barycentre)
On a : x G =
Soit G le barycentre de (A ; α ) et (B ; β ).
α x A + β x B ; y = α y A + β y B et z = α z A + β z B dans l’espace.
G
G
α+β
α+β
α+β
Propriété 6 (conservation du barycentre)
f désigne une symétrie centrale, une réflexion (symétrie axiale), une translation ou une rotation.
Soient A′, B′, C′, G′ les transformés respectifs par f des points A, B, C, G.
Si G est le barycentre de (A ; α ) et (B ; β ) alors G′ est le barycentre de (A′ ; α ) et (B′ ; β ).
II. BARYCENTRE DE TROIS POINTS PONDÉRÉS
Propriété 7 (existence et définition du barycentre)
Soient (A ; α ) , (B ; β ) et (C ; γ ) trois points pondérés, avec α + β + γ ≠ 0 (somme des coefficients non nulle).
 
 + β GB
 + γ GC
Il existe un unique point G tel que α GA
= 0 (2), appelé barycentre de (A ; α) , (B ; β) et (C ; γ).



 + β BG+ γ CG = 
remarques : (2) ⇔ α AG
0 ⇔ AG =


β
γ
AB +
AC
α+β+γ
α+β+γ
Cette dernière égalité, à retenir, prouve l’existence et l’unicité de G. Elle permet de construire G.
β
γ
 sont les coordonnées de G
;
α
+
β
+
γ
α
+
β + γ

Lorsque les points A, B et C ne sont pas alignés, 
 
dans le repère ( A ; AB , AC ) du plan (ABC).
Propriété 8 (localisation du barycentre)
Soit G le barycentre de (A ; α ) , (B ; β ) et (C ; γ ) .
Les points A, B, C et G sont coplanaires.
Si α = 0 alors B, C et G sont alignés.
Propriété 9 (homogénéité du barycentre)
Le barycentre de trois points pondérés est inchangé lorsqu’on multiplie chaque coefficient par un même réel non nul.
Définition 3
Le barycentre de (A ; α), (B ; α) et (C ; γ), avec α ≠ 0, est appelé l’isobarycentre de A et B.
C’est le centre de gravité du triangle ABC (intersection des médianes).
Propriété 10 (réduction de sommes vectorielles)
G est le barycentre de (A ; α ) , (B ; β ) et (C ; γ ) si, et seulement si, pour tout point M,




α MA + β MB + γ MC = ( α + β + γ ) MG.
• En remplaçant M par G on retrouve l’égalité (2) de la propriété1.
• En remplaçant M par A on retrouve l’égalité permettant de construire G.
• En remplaçant M par l’origine O d’un repère du plan, ou de l’espace, on obtient les coordonnées de G dans ce repère
Propriété 11 (coordonnées du barycentre)
On a : x G = α xA + β xB + γ xC
α+β+γ
Soit G le barycentre de (A ; α ) , (B ; β ) et (C ; γ ).
; y G = α yA + β yB + γ yC
α+β+γ
et
z G = α zA + β zB + γ zC dans l’espace.
α+β+γ
Propriété 12 (conservation du barycentre)
f désigne une symétrie centrale, une réflexion (symétrie axiale), une translation ou une rotation.
Soient A′, B′, C′ G′ les transformés respectifs par f des points A, B, C, G.
Si G est le barycentre de (A ; α ) , (B ; β ) et (C ; γ ) alors G′ est le barycentre de (A′ ; α ) , (B′ ; β ) et (C′ ; γ )
Propriété 13 (barycentre partiel ou associativité du barycentre)
Dans la recherche du barycentre de trois points pondérés on peut remplacer deux d’entre eux par leur
barycentre, s’il existe, affectés de la somme des coefficients de ces points.
exemple
Soit G le barycentre de (A ; 2), (B ; 1) et (C ; – 2).
G est aussi le barycentre de (H ; 2 +1) et (C ; – 2), avec H le barycentre de (A ; 2) et (B ; 1).
G est également le barycentre de (A ; 2) et (K ; 1 – 2), avec K le barycentre de (B ; 1) et (C ; – 2).
Ici le barycentre de (A ; 2) et (C ; – 2) n’existe pas.