Exercices sur le barycentre

Première S
Exercices barycentre
2010-2011
Exercice 1 :
[AB] est un segment.
C est le barycentre de (A,-1), (B,4).
 1 
1
, (B,β) avec β ≠ - .
P est le barycentre de A;
3
 3 
Déterminer β dans chacun des cas suivants.
1) P et C sont confondus.
→
→
2) PC = 2 AB .
Exercice 2 :
ABC est un triangle. Les points I et J sont repérés sur la figure, dont les
graduations sont régulières. G est le milieu de [CI]. Le but de cet exercice est
de prouver que A, G et J sont alignés.
1) Exprimer I comme un barycentre de A et B, puis J comme un barycentre
de B et C.
2) On note G’ le barycentre de (A,1), (B,2), (C,3).
Quel théorème permet de justifier que G’ est milieu de [IC] ?
En déduire que G = G’.
3) Démontrer que A, G et J sont alignés.
1
Première S
Exercices barycentre
2010-2011
Exercice 3 :
→
→ 3→
3→
AB et BN = BC . I, J et K
2
2
désignent les milieux respectifs de [AB], [BC] et [MN].
Sur la figure, les points M et N sont tels que AM =
1) Ecrire M comme un barycentre de A et B puis N comme un barycentre de
B et C.
2) Choisir un repère du plan et prouver que les points I, J et K sont alignés.
2
Première S
Exercices barycentre
CORRECTION
2010-2011
Exercice 1 :
[AB] est un segment.
C est le barycentre de (A,-1), (B,4).
 1 
1
, (B,β) avec β ≠ - .
P est le barycentre de A;
3
 3 
Déterminer β dans chacun des cas suivants.
1) P et C sont confondus.
→
→
2) PC = 2 AB .
→
→
→
Si C est barycentre de (A,-1), (B,4) alors – AC + 4 BC = 0
→ →
 1 
1 →
, (B,β) alors AP + β BP = 0
Si P est barycentre de barycentre de A;
3
 3 
→
→
→
1) Si P et C sont confondus alors AC = 4 BC = - 3β BC
4
Donc β = 3
→
2) Exprimons de deux manières différentes le vecteur AP en fonction du
→
vecteur AB en utilisant la relation de Chasles.
→
→
4→
AC = 4 BC AC = AB
3
→ → → 4→
→
2 →
AP = AC + CP = AB – 2 AB = - AB
3
3
→
→
→ →
AP = -3β BP = -3β( BA + AP )
→
→
(1 + 3β) AP = 3β AB
→
3β →
AP =
AB
1 + 3β
2
3β
On a donc – =
3 1 + 3β
Soit -2 - 6β = 9β
2
D’où : β = 15
Autre méthode utilisant les distances :
On représente les différents points sur une droite graduée en posant par
exemple AB = 3.
3
Première S
Exercices barycentre
CORRECTION
→
AC =
4 →
AB permet de placer le point C.
3
→
→
2010-2011
PC = 2 AB permet de placer le point P.
On a alors : AC = 4 et AP = 2 et BP = 5
→
→
La relation vectorielle AP = -3β BP se traduit en terme de distance par :
2 = 3|β|5
Donc |β| =
→
2
15
→
Or, AP et BP ont le même sens.
2
Donc β < 0 et donc β = 15
Exercice 2 :
ABC est un triangle. Les points I et J sont repérés sur la figure, dont les
graduations sont régulières. G est le milieu de [CI]. Le but de cet exercice est
de prouver que A, G et J sont alignés.
1) Exprimer I comme un barycentre de A et B, puis J comme un barycentre
de B et C.
2) On note G’ le barycentre de (A,1), (B,2), (C,3).
Quel théorème permet de justifier que G’ est milieu de [IC] ?
En déduire que G = G’.
3) Démontrer que A, G et J sont alignés.
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Première S
→
Exercices barycentre
CORRECTION
→
2010-2011
→
1) AI +2 BI = 0
Donc I est barycentre de (A,1) (B,2).
→
→
→
2 BJ + 3 CJ = 0
Donc J est barycentre de (B,2) (C,3).
2) Par associativité du barycentre :
Si G’ est barycentre de (A,1), (B,2), (C,3) alors G’ est barycentre de (I,3),
(C,3) (car I est barycentre de (A,1) (B,2)).
Donc G’ est le milieu de [IC].
Donc G’ = G
3) Toujours avec l’associativité du barycentre G est barycentre de (A,1) et
(J,5) car (J est barycentre de (B,2) (C,3)).
Donc G appartient au segment [AJ].
Donc les points A, G et J sont alignés.
Exercice 3 :
→
→ 3→
3→
AB et BN = BC . I, J et K
2
2
désignent les milieux respectifs de [AB], [BC] et [MN].
Sur la figure, les points M et N sont tels que AM =
1) Ecrire M comme un barycentre de A et B puis N comme un barycentre de
B et C.
2) Choisir un repère du plan et prouver que les points I, J et K sont alignés.
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Première S
Exercices barycentre
CORRECTION
→
→
→
→
→
→
1) AM – 3 BM = 0
2010-2011
: donc M est barycentre de (A,1), (B,-3).
BC – 2 CN = 0
: donc N est barycentre de (B,1), (C,-2).
→ →
1  1 1
3 
2) Dans le repère (A ; AB ; AC ), on a I ;0, J ;  ; M ;0
2  2 2
2 
→ 3→
 1 3
xN – 1 3 0 - 1
= 
 N - ; 
BN = BC 
 yN  2 1 - 0
2
 2 2
3 – 1 0 + 3 
 1 3
2  Soit K ; 
K milieu de [MN] K 2 2
2 4
 2 ; 2 
0
0
→  
→  
On a donc IJ  1  et IK = 3
2
4
→
D’où : IK =
3 →
IJ
2
→
→
Donc les vecteurs IJ et IK sont colinéaires.
Donc les points I, J et K sont alignés.
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